2014石景山高三数学一模理科

2014年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)1 (2014年东城一模理科)若双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）．A ．2 BCD答案：C2 (2014年西城一模理科)若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =___8__；C 的准线方程为__4x =-___．3 (2014年西城一模理科) “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（A ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（ B ）．A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >5 (2014年海淀一模理科)已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m ____34___．6 (2014年朝阳一模理科) 直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且MN ON ≥+uuu r r uuu r，其中O 是坐标原点，则实数m的取值范围是（D ）A．(-UB．(⎡--⎣UC ．[2,2]-D．[-7 (2014年朝阳一模理科)双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b =2此双曲线的离心率为8 (2014年丰台一模理科)已知点F,B 分别为双曲线C:的焦点和虚22221(0,0)x y a b a b -=>>轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是___________.9 (2014年石景山一模理科)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（D ） A ．2B ．8C D ．410 (2014年石景山一模理科) 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（A ）A B ．3C ．125D ．111 (2014年顺义一模理科)已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为____(1,0)_,点的横坐标__3_.12 (2014年延庆一模理科)设m 是常数，若点)5,0(F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m=___16___1． 13 (2014年东城一模理科) （本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；（2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -，．所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，得23a =． 所以椭圆G 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠．设直线l 的方程为32y kx =+．由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2512k >．设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，， 得12229262x x k x k +==-+，12623262y y y k +==+． 由BM BN =，知BQ MN ⊥，所以6611y x k +=-，即2231162962k k k k ++=--+． 化简得223k =，满足0>△．所以k = 因此直线l的方程为32y =+． 14 (2014年西城一模理科)（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . …………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. …………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*） …… 8分由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-， …………10分解得2k =±. …………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ………… 12分 即12||3||m x x k-==， 解得m =.……… 13分 验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y x =，或y x =. ……………… 14分 15 (2014年海淀一模理科)（本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0)．（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形． 解：（Ⅰ）设00(,)A x y ，00(,)-B x y ，————————————————1分因为∆ABM为等边三角形，所以00|||1|=-y x ．————————2分 又点00(,)A x y 在椭圆上，所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，———————————3分 得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，—————————4分 当02=x时，||=AB 当043=-x时，||=AB ．———————————————————5分 {说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在．设直线AB ：=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，————6分由0∆>得到222960--<m k ①————————————7分 所以122623+=-+km x x k ，121224()223+=++=+my y k x x m k ，——————8分 所以2232(,)2323-++km mN k k，又(1,0)M 如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ，————————————9分所以1MN k k ⨯=-，即2222313123mk k km k+⨯=---+，—————————————10分 化简2320k km ++=，②—————————————11分由②得232k m k+=-，代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得2340+<k ，不成立，————————————————13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形．——————————14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ==———8分 设22(,)B x y，同理可得||MB =2[3,3]x ∈-———————9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =，————————————11分 因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠．所以||||MA MB ≠，————————————————13分所以∆ABM 不可能为等边三角形．———————————————14分16 (2014年朝阳一模理科)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立． 又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+， 所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(．………………………… 14分 17 (2014年丰台一模理科) 已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E 于C,D 两点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：点M 在直线上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM 的3倍？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由题意可知，，于是. 所以，椭圆的标准方程为程.------ ---------3分（Ⅱ）设，，，22221(0)x y a b a b +=>>(F k l 40x ky +=l c e a ==c =2,1a b ==2214x y +=11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M xy即.所以，，，， 于是.，所以在直线上----8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等，若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为，则.因为，解得. 于是，解得，所以.----------------14分 18 (2014年石景山一模理科) 给定椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>，称圆心在原点O ，半C的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值． 解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=，………………………………2分准圆方程为224x y +=．………………………………3分22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2222(41)1240k x x k +++-=12x x +=1202x x x +==00(y k x =+=M ∴40k +=M l 33(,)x y 302y y =22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩3y =2|41k k =+218k =4k =±（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，．………………………………7分 ，12l l ∴⊥．………………………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =1l：x =与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l：x =12l l ，垂直．………………………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=． 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=． 由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直．………………………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直． 121l l k k ⋅=-1l所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值．………………………………14分 19 (2014年顺义一模理科)已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知————2分，椭圆的方程为；————4分，即————10分，对满足恒成立，，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分20 (2014年延庆一模理科) 已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线4:=x l 分别交于N M ,两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值．解：（Ⅰ）．椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………3分（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，………………4分 从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ，………………7分 设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-，得2214182k k x +-=，………………8分 从而21414k k y +=，即)414,4182(222kkk k S ++-，………………9分 又)0,2(B ，故直线BS 的方程为)2(41--=x ky ………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(k N -，………………11分 故kk MN 216||+=，………………12分 又∵0>k ，∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ，………………13分 当且仅当k k 216=，即63=k 时等号成立， ∴63=k 时，线段MN 的长度取得最小值为32．……………………14分。

2014年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2} 2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝x+1C．y＝﹣lg|x|D．y＝2x3．（5分）在的展开式中，x的系数为（）A．10B．﹣10C．20D．﹣204．（5分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）A．4B．C．D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A．2B．8C．D．46．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．7．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．28．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||＝1且＝0，则||的最小值为（）A．B．3C．D．1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是．10．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16，则数列{a n}的通项公式a n＝，设b n＝log2a n，则数列{b n}的前n项和S n＝．11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为，若直线l：kx+y+3＝0与圆C相切，则实数k的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．13．（5分）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．（5分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y＝kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2﹣1和函数g（x）＝2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a＝2b sin A．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝，求c边的长和△ABC的面积．16．（13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．19．（14分）给定椭圆C：＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．20．（13分）对于数列{a n}，把a1作为新数列{b n}的第一项，把a i或﹣a i（i＝2，3，4，…，n）作为新数列{b n}的第i项，数列{b n}称为数列{a n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，﹣2，﹣3，4，5．已知数列{b n}为数列{}（n∈N*）的生成数列，S n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）写出S3的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{b n}满足S3n＝（1﹣），求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N*，S n的所有可能值组成的集合为{x|x＝，k∈N*，k≤2n﹣1}．2014年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A＝{x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B＝{x|x≥1}，∵全集U＝R，∴∁U B＝{x|x＜1}，则A∩（∁U B）＝{x|0＜x＜1}．故选：A．2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝x+1C．y＝﹣lg|x|D．y＝2x【解答】解：A．y＝x2在（0，+∞）内单调递增，是偶函数，不满足条件，故A 不选；B．y＝x+1在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故B不选；C．y＝﹣lg|x|在（0，+∞）内单调递减，是偶函数，满足条件，故C选；D．y＝2x在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故D不选，故选：C．3．（5分）在的展开式中，x的系数为（）A．10B．﹣10C．20D．﹣20【解答】解：的二项展开式的通项为T r+1＝•＝•（﹣1）r x10﹣3r，令10﹣3r＝1，得r＝3，故x项的系数为•（﹣1）3＝﹣10，故选：B．4．（5分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）A．4B．C．D．【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵以BC为直径的圆交AB于D，∴AC是圆的切线，∴AC2＝AD•AB，∴AD＝＝，∴BD＝5﹣＝．故选：D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A．2B．8C．D．4【解答】解：∵抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为：y＝﹣，∴由抛物线的定义得：1﹣（﹣）＝3，解得：p＝4．即焦点到准线的距离为4，故选：D．6．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2，∴底面的面积是＝1，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，∴三棱锥的高是，∴三棱锥的体积是故选：B．7．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．2【解答】解：根据题意，程序框图运行的程序为，i＝0，A＝2，i＝1，A＝1﹣＝，i＝2，A＝1﹣2＝﹣1；i＝3，A＝1﹣（﹣1）＝2，i＝4，A＝1﹣＝，…根据规律，总结得A值是2、、﹣1，并且以3为周期的关于i的函数∵i＝2015，∴A＝﹣1，i＝2015＞2014，输出A：﹣1；故选：C．8．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||＝1且＝0，则||的最小值为（）A．B．3C．D．1【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2＝|PF|2﹣|MF|2，而|MF|＝1，∴当PF最小时，切线长PM 最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3＝2．此时|PM|＝＝．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是∀x∈R，e x≥0．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥010．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16，则数列{a n}的通项公式a n＝2n，设b n＝log2a n，则数列{b n}的前n项和S n＝．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，则q3＝＝＝8，解得q＝2，∴a n＝a1q n﹣1＝2×2n﹣1＝2n，∴b n＝log2a n＝log22n＝n，∴b1＝1，∵b n＝n是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n＝＝故答案为：2n；11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为x2+y2＝4，若直线l：kx+y+3＝0与圆C相切，则实数k的值为．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，根据ρ2＝x2+y2，则圆C的直角坐标方程为x2+y2＝4．又因为直线l：kx+y+3＝0与圆C相切，则圆心（0，0）到直线kx+y+3＝0的距离d＝＝2＝r，解得：．故应填：x2+y2＝4；．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．【解答】解：满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x＝，y＝时，有最小值；当x＝1，y＝6时，有最大值6故答案为：13．（5分）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有180种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．【解答】解：甲、乙都不选时，有＝60种；甲、乙两个专业选1个时，有＝120种，根据分类计数原理，可得共有60+120＝180种不同的填报专业志愿的方法．故答案为：180．14．（5分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y＝kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2﹣1和函数g（x）＝2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为y＝2x﹣2．【解答】解：作出函数f（x）＝x2﹣1和函数g（x）＝2lnx的图象，由图象可知，两个函数的交点坐标为（1，0），要使f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则y＝kx+b，必须是两个函数在（1，0）处的公共切线，即k+b＝0，解得b＝﹣k，函数f′（x）＝2x，即k＝f′（1）＝2，∴b＝﹣2，即隔离直线方程为y＝2x﹣2，故答案为：y＝2x﹣2三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a＝2b sin A．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝，求c边的长和△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝2b sin A，∴sin A＝2sin A sin B，∵0＜A＜π，∴sin A≠0，∴sin B＝，∵0＜B＜π，且a＜b＜c，∴B＝60°；（Ⅱ）∵a＝2，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：（）2＝22+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3＝0，解得：c＝3或c＝﹣1（舍），∴c＝3，＝ac sin B＝×2×3×＝．则S△ABC16．（13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，则，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为．…（4分）（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，…（5分）ξ可能取0，1，2，3．…（6分）则，，，．…（10分）∴ξ的分布列如下：…（12分）∴．…（13分）17．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为A1B的中点．因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，…（2分）所以MD∥B1C．…（3分）因为MD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．…（4分）（Ⅱ）解：作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为AB＝2，，D是AC的中点．所以A（1，0，0），B（﹣1，0，0），，，…（5分）所以，，．设是平面A 1BD的法向量，所以即令，则y＝2，z＝3，所以是平面A 1BD的一个法向量．…（6分）由题意可知是平面ABD的一个法向量，…（7分）所以．…（8分）所以二面角A1﹣BD﹣A的大小为．…（9分）（Ⅲ）解：设E（1，x，0），则，设平面B1C1E的法向量，所以即令，则x 1＝3，，，…（12分）又，即，解得，所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且．…（14分）18．（13分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2+x﹣lnx（x＞0），∴，当，∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间．（Ⅱ），∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min＝g（1）＝﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，切线的斜率，又切线过原点，，即：t2+at﹣lnt＝2t2+at﹣1，∴t2﹣1+lnt＝0，令g（t）＝t2﹣1+lnt，，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，所以方程t2﹣1+lnt＝0有唯一解t＝1．综上，切点的横坐标为1．19．（14分）给定椭圆C：＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．∴，，∴＝1，∴椭圆方程为，∴准圆方程为x2+y2＝4．（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2＝4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y＝kx+2，联立得（1+3k2）x2+12kx+9＝0．∵直线y＝kx+2与椭圆相切，∴△＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝0，解得k＝±1，∴l1，l2方程为y＝x+2，y＝﹣x+2．∵，∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：，当l1：时，l1与准圆交于点，此时l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，∴由得．由△＝0化简整理得，∵，∴有．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程，∴t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2＝4的直径，|MN|＝4，∴线段MN的长为定值．20．（13分）对于数列{a n}，把a1作为新数列{b n}的第一项，把a i或﹣a i（i＝2，3，4，…，n）作为新数列{b n}的第i项，数列{b n}称为数列{a n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，﹣2，﹣3，4，5．已知数列{b n}为数列{}（n∈N*）的生成数列，S n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）写出S3的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{b n}满足S3n＝（1﹣），求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N*，S n的所有可能值组成的集合为{x|x＝，k∈N*，k≤2n﹣1}．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，，∴，由于，∴S3可能值为．…（3分）（Ⅱ）∵，当n＝1时，，当n≥2时，，∴，n∈N*，…（5分）∵{b n}是的生成数列，∴；；；∴，在以上各种组合中，当且仅当时，才成立．∴．…（8分）（Ⅲ）证明：共有2n﹣1种情形．，即，又，分子必是奇数，满足条件的奇数x共有2n﹣1个．…（10分）设数列{a n}与数列{b n}为两个生成数列，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．由于，不妨设a k＞0，b k＜0，则＝，所以，只有当数列{a n}与数列{b n}的前n项完全相同时，才有S n＝T n．…（12分）∴共有2n﹣1种情形，其值各不相同．∴S n可能值必恰为，共2n﹣1个．即S n所有可能值集合为．…（13分）。

北京市石景山区2014届高三3月统一测试（一模）理综试卷本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分300分，考试用时150分钟。

第I卷（选择题共20题每题6分共120分）可能用到的相对原子质量：H-1 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5 Cu-64 Ba-137 在每小题列出的四个选项中。

选出符合题目要求的一项。

请把答案涂在机读卡上。

1. 人脐带间充质干细胞在特定诱导条件下，可分化为脂肪、肝、神经等多种组织细胞。

下图表示培养人脐带间充质干细胞的大致过程，相关说法错误．．的是A. 人脐带间充质干细胞属于多能干细胞B. 通过离心去上清液可以除去胰蛋白酶C. 在超净台上操作可满足细胞培养所需的无毒、无菌条件D. 出现接触抑制前，培养瓶中的细胞数量增长呈“J”型2. 研究人员从木耳菜中提取过氧化物酶（POD），分别与四种不同酚类物质及H2O2进行催化反应，结果如下图所示。

相关说法正确的是A. 图1所示的实验目的是探究不同酚类物质的浓度对POD活性的影响B. 当底物浓度为0.08 mmol·L-1时，POD催化酚类2的反应速率一定大于酚类3C. 由图2可知，H2O2浓度过高会抑制POD的活性，降低浓度后POD活性就会恢复D. H2O2对POD活性的影响与温度和pH对POD活性的影响相同3. 油菜的凸耳和非凸耳是一对相对性状，用甲、乙、丙三株凸耳油菜分别与非凸耳油菜进行杂交实验，结果如下表所示。

相关说法错误．．的是PF1F2甲×非凸耳凸耳凸耳：非凸耳=15:1乙×非凸耳凸耳凸耳：非凸耳=3:1丙×非凸耳凸耳凸耳：非凸耳=3:1A. 凸耳性状是由两对等位基因控制B. 甲、乙、丙均为纯合子C. 甲和乙杂交得到的F2均表现为凸耳D. 乙和丙杂交得到的F2表现型及比例为凸耳：非凸耳=3：14. 栽培番茄含有来自野生番茄的Mi-1抗虫基因，它使番茄产生对根结线虫（侵染番茄的根部）、长管蚜和烟粉虱三种害虫的抗性。

北京市石景山区2014届高三3月统一测试（一模）理综试卷本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。

满分300分，考试用时150分钟。

第I卷（选择题共20题每题6分共120分）可能用到的相对原子质量：H-1 N-14 O-16 Na-23 S-32 CI-35.5 Cu-64 Ba-137在每小题列出的四个选项中。

选出符合题目要求的一项。

请把答案涂在机读卡上。

1. 人脐带间充质干细胞在特定诱导条件下，可分化为脂肪、肝、神经等多种组织细胞。

下图表示培养人脐带间充质干细胞的大致过程，相关说法错误的是A. 人脐带间充质干细胞属于多能干细胞B. 通过离心去上清液可以除去胰蛋白酶C. 在超净台上操作可满足细胞培养所需的无毒、无菌条件D. 出现接触抑制前，培养瓶中的细胞数量增长呈“J”型2. 研究人员从木耳菜中提取过氧化物酶（POD）,分别与四种不同酚类物质及H2O2进行催化反应,结果如下图所示。

相关说法正确的是A. 图1所示的实验目的是探究不同酚类物质的浓度对POD活性的影响B. 当底物浓度为0.08 mmol • L-1时，POD催化酚类2的反应速率一定大于酚类33 34 类«*ftftftQ 002 C L C4 O0G QI U12SI——・F 百■a2 0.4 0J6 L0 ii圏2C. 由图2可知，H2O2浓度过高会抑制POD的活性，降低浓度后POD活性就会恢复D. H2O2对POD活性的影响与温度和pH对POD活性的影响相同3. 油菜的凸耳和非凸耳是一对相对性状，用甲、乙、丙三株凸耳油菜分别与非凸耳油菜进行杂交实验，结果如下表所示。

相关说法错误的是A. 凸耳性状是由两对等位基因控制B. 甲、乙、丙均为纯合子C. 甲和乙杂交得到的F2均表现为凸耳D. 乙和丙杂交得到的F2表现型及比例为凸耳：非凸耳=3 : 14. 栽培番茄含有来自野生番茄的Mi-1抗虫基因，它使番茄产生对根结线虫（侵染番茄的根部）、长管蚜和烟粉虱三种害虫的抗性。

=2lnx ，那么函数 f （ x）和函数 g（ x）的隔离直线方程为
．
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（ 13 分）在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 a＜ b＜ c， a=2bsinA ．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
2．（ 5 分）下列函数中，在（ 0， +∞）内单调递减，并且是偶函数的是（
）
A． y=x 2 B． y=x+1
C． y=﹣ lg|x|
D． y=2x
3．（ 5 分）直线 l ： x+ y ﹣4=0 与圆 C： x 2+y2=4 的位置关系是（
）
A．相交 B ．相切 C．相离 D．无法确定
4．（ 5 分）已知双曲线
6．（ 5 分）正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为（
）
A． 4 B． 12 C．
D． 24
7．（ 5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（
）
A．﹣ 2 B．
C．﹣ 1 D． 2
8．（ 5 分）已知动点 P（ x， y）在椭圆 C：
=1 上， F 为椭圆 C 的右焦点，若点 M满
20．（ 13 分）对于数列 {a n} ，把 a1 作为新数列 {b n} 的第一项，把 ai 或﹣ ai （ i=2 ， 3，4，…， n）作为新数列 {b n } 的第 i 项，数列 {b n} 称为数列 {a n} 的一个生成数列．例如，数列 1，2，3，4，5 的一个生成数列是 1，﹣ 2，﹣ 3，4，5．已 知数列 {b n} 为数列 { } （ n∈N* ）的生成数列， Sn 为数列 {b n} 的前 n 项和．

2014年北京市各区高三一模试题分类汇编03立体几何(理科)1 (2014年东城一模理科)2 (2014年西城一模理科)如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ C ）（A ） 4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个3 (2014年西城一模理科)已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是__4 (2014一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为__96__．5 (2014某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为______，表面积为______）6 (2014年朝阳一模理科)如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是__2_7 (2014年丰台一模理科)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（B ） （A ）143（B ）4 （C ）103 （D ）38 (2014年石景山一模理科)右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（B ） A ．12 B ．3 C ．4 D ．69 (2014年顺义一模理科)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_________1 正视图 侧视图 俯视图111 侧视图俯视图主视图1主视图左视图俯视图BADC. P俯视图主视图侧视图10 (2014年延庆一模理科)右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(A)A ．3B ．34C ．1D ．3211 (2014年东城一模理科)12 (2014年西城一模理科)如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ； （Ⅱ）求证：1B C // 平面1BED ；（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，求线段1D E 的长度. 13 (2014年海淀一模理科) 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在，请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由．14 (2014年朝阳一模理科)如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面A B C D ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥．E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．15 (2014年丰台一模理科)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E 是棱AB 上的动点.（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1 ；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45o ，求AEAB的值； （Ⅲ）写出点E 到直线D1C 距离的最大值及此时点E 的 位置（结论不要求证明）.主视图侧（左）视图俯视图34主视图左视图俯视图1E BCAD FA E BCDPF16 (2014年石景山一模理科)如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，D 是AC 的中点．（Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ， 使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在， 求出AE 的长；若不存在，说明理由．17 (2014年顺义一模理科) 如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=， 平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上一点，且13PM PC =. （Ⅰ）求证：PQ ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）证明：PA ∥平面BMQ （Ⅲ）求二面角M BQ C --的度数.18 (2014年延庆一模理科) 在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ， 底面ABCD 是正方形，且2==AD PA ，F E ，分别是棱PC AD ,的中点． （Ⅰ）求证：//EF 平面PAB ； （Ⅱ）求证：⊥EF 平面PBC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小．2014年北京市各区高三一模试题汇编--立体几何(理科)答案1． ；2．C ；3．；4．96 ；5．13，；6．2 ；7．B ；8． B ；9． ；10．A ；11.吧A1A1B1CCDBFA BEPDPM Q ABCD12（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形， 所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又因为 1=CDCC C ，所以 BC ⊥平面11DCC D ， ………………2分 因为 1D E ⊂平面11DCC D ， 所以1BC D E ⊥. …………4分（Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形. 连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C .……………6分 又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF 平面1BED ，所以 1//BC 平面1BED . ………8分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥， 又因为 1D E CD ⊥，BCCD C =，所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED如图建立空间直角坐标系， 设1D E a =，则1(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), E B D a C 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ，因为1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==，由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩ 令1x =，得(1,1,0)=-n . …………11分 设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ，因为1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =，得(0,,1)a =-m .…………12分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3， 得 ||π|cos ,|cos 3⋅<>===m n m n m n ， ……………13分 解得1a =. ………………14分13（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在ABD ∆中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面BCD ．————————————————3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥． 由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD ．如图，以E 为坐标原点，分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -——4分 不妨设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==． 由图1条件计算得，AE =BC =BF =则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(3E D B AF C -———————5分(3,1,0),(0,1,DC AD ==．由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA ．———————6分设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0.y y +==⎪⎩ 令1z =，则1y x ==，所以(11)=-n ．——————————8分平面DCB 的法向量为EA 所以cos ,||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n ，所以二面角A DC B --—————————————9分 （Ⅲ）设AM AF λ=，其中[0,1]λ∈．由于3(AF =， 所以(AM AF λλ==，其中[0,1]λ∈————————————10分所以3,0,(13EM EA AM λ⎛=+=-⎝————————————11分由0EM ⋅=n ，即03λ=-(1-———12分 解得3=(0,1)4λ∈．————13分 所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF =．————————14分 14（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG ．因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以FG 是△PCD 的中位线． 所以FG ∥CD ，且12FG CD =．又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD ．所以AE ∥FG ，且AE FG =．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以EF 平面PAD ．…………………4分 （Ⅱ）证明：因为平面PAD ⊥平面A B C D ，PA AD ⊥，且平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD ．所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直．以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题意易知AB AD AP ==，设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)E ，(1,1,1)F ．因为(0,11)EF =uu u r ，，(022)PD =-u u u r ，，，(200)CD =-uu u r ，，，且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=u u u r u u u r，， (0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=u u u r u u u r，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ．…………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =-uu r ，，，(0,22)PD =-u u u r,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuruu u r n n 所以20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =uu u r，， 所以cos ,EFEF EF⋅〈〉===⋅uu u r uu u r uu u r n n n E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C --．…………14分 15.解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A （1，0，0）， B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =-- 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=所以DA1⊥ED1. ----4分 （Ⅱ）设平面CED1的一个法向量为(,,)v x y z =,则100v C D v C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而1(0,1,1)CD =-，(1,1,0)CE m =-所以0,(1)0,y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取z=1,得y=1,x=1-m ， 得(1,1,1)v m =-.因为直线DA1与平面CED1成角为45o ，所以1sin45|cos ,|DA v ︒=<> 所以11||2||||DA v DA v ⋅=⋅2=，解得m=12.-----11分 （Ⅲ）点E 到直线D1C E 在A 点处.------14分 16（Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11AA B B 是矩形，所以M 为1A B 的中点．因为D 是AC 的中点，M1B1CBCD所以MD 是三角形1AB C 的中位线，…………………………2分 所以MD ∥1B C ．…………………………3分因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1B C ∥平面1A BD ．……………4分 （Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -． 因为2AB =，1AA D 是AC 的中点． 所以(100)A ，，，(100)B -，，，(00C，1(10)A …………5分所以1(02D，3(02BD =，，1(20)BA =．设()n x y z =，，是平面1A BD所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即30220x z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，令x =2y =，3z =，所以(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量．……………6分 由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量，………7分 所以121cos 2n AA <>==，．………………8分 所以二面角1A BD A --的大小为3π．…………………………9分 （Ⅲ）设(10)E x ，，，则1(1C E x =-，11(10C B ，=-设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=，所以111100n C E n C B ，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11111)00x x y x ，，⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩ 令1z =13x =，1y =，1(3n =，…………………12分 又10n n ⋅=，即0--=，解得x =， 所以存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD 且AE =．…………………………14分结BD ，Q 底面ABCD 是菱形，且060BAD ∠=，∴BAD 是等边三角形，∴BQ AD ⊥由（Ⅰ）PQ ⊥平面ABCD . ∴PQ AD ⊥.以Q 为坐标原点，,,QA QB QP 分别为x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系 则(0,0,0),(1,0,0),Q A B P .————10分设平面BMQ 的法向量为(,,)m x y z =，∴0m QB m MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，注意到MN ∥PAx∴0m QB m PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,0,1)m =是平面BMQ 的一个法向量——12分 （Ⅰ）证明：设G 是PB 的中点，连接GF AG , ∵F E ,分别是PC AD ,的中点，∴BC GF 21//，BC AE 21// ∴AE GF //，∴AEFG 是平行四边形，∴AG EF //………………2分 ∵⊄EF 平面PAB ⊂AG 平面PAB ，∴//EF 平面PAB ………………3分 （Ⅱ）∵AB PA =，∴PB AG ⊥，………………4分∵ABCD PA ⊥，∴BC PA ⊥，又∵AB BC ⊥，∴⊥BC 平面PAB ， ∴AG BC ⊥，………………6分∵PB 与BC 相交，∴⊥AG 平面PBC ， ∴⊥EF 平面PBC ．………………7分（Ⅲ）以AP AD AB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，…8分 ∵2==AD PA ，∴)0,1,0(E ，)0,2,2(C ，)2,0,0(P ，)1,1,1(F 设H 是PD 的中点，连接AH ∵⊥AG 平面PBC ，∴同理可证⊥AH 平面PCD ，∴是平面PCD 的法向量，)1,1,0(=………………9分)0,1,2(=，)2,1,0(-=设平面PEC 的法向量),,(z y x m =，则0,0=⋅=⋅m∴02,02=+-=+z y y x 令2=y ，则1,1=-=z x ∴)1,2,1(-=m…………12分∴23263||||,cos =⋅=>=<AH m m．………………13分∴二面角D PC E --的大小为︒30………………14分。

石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则( )A. B. C. D.2．下列函数中，在上单调递减的是（）A. B. C. D.3．点与圆的位置关系是（）A.点在圆内B.点在圆外C.点在圆上D.与的值有关4. 某程序框图如右图所示，该程序运行输出的值是（）A.4B.5C.6D.75．以为公比的等比数列中，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．如果实数满足不等式组30,230,1.x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（）A.1B.2C.3D.47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A. B.C. D.8. 函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则( )A.6B. 8C. 10D. 12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数, ,则 ．10.为等差数列，，公差，、、成等比数列，则 ．11．如图，在边长为2的菱形中，为中点，则 ．12.若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为 ． 13. A , B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地， 则路程最短的走法有 种（用数字作答）．14. 设为非空实数集，若，都有，则称为封闭集．①集合{}2,1,0,1,2--=A 为封闭集； ②集合{}Z k k n n A ∈==,2|为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集；④若为封闭集，则一定有.其中正确结论的序号是____________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）如图所示，在四边形中，，，；为边上一点，，，. （Ⅰ）求sin ∠CED 的值； （Ⅱ）求BE 的长．16．（本小题共13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答.（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.17．（本小题共14分）如图,在四面体中,平面,22,2,==⊥BD AD CD BC .是的中点,是的中点. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若点在线段上，且满足,求证：平面； （Ⅲ）若,求二面角的大小.18.（本小题共13分）已知函数)0(ln )(22≠∈-+=a R a x a ax x x f 且. （Ⅰ）若是函数的极值点，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间.19.（本小题共14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；D A CB E（Ⅱ）直线交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数的取值范围.20．（本小题共13分）对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中，，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意，存在，使得，则称具有性质． （Ⅰ）判断是否具有性质； （Ⅱ）若，且具有性质，求的值； （Ⅲ）若具有性质，求证：，且当时，．石景山区2014—2015学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 【12题只答一种情况得3分】三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）设.在中，由余弦定理，得2222cos CE CDDE CD DE CDE =+-⨯⨯∠ …………………2分得CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………4分 在中，由正弦定理，得 …………………6分 （Ⅱ）由题设知，所以 …………………8分 而，所以222cos cos =cos cos sin sin 333AEB πππααα∠=-+（） 11=cos 227αα-+=-+=………………11分 在中，2cos BE AEB==∠…………………13分16．（本小题共13分）（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件，依题意有 11111()224464P A =⨯⨯⨯=. …………………3分 （Ⅱ）该考生所得分数为，则的所有可能取值为. ……4分 ， ……6分1212221131333(25)C ()(1)()C ()(1)()2242448P X ==⨯-⨯+⨯-⨯=， ……8分 221122221311311111(30)+C ()(1)C ()()()=2422442432P X ==⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯（）（）（）……10分1212221111331(35)C ()(1)()C ()(1)()=2242448P X ==⨯-⨯+⨯-⨯……12分 分布列为：……………………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）, ………………2分 且………………4分（Ⅱ）证明：如图所示,取BD 中点O ，且P 是BM 中点， 所以且；取CD 的四等分点H ，使DH =3CH ， 且AQ =3QC , 所以,且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且,所以PQ //面BDC . ……………………9分 (III)如图建系,则, , , ……………………10分 设面的法向量 ,ABCDPQMOH⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CM n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=0206z x y 令,则设面的法向量 ……………………11分⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BD m 即⎩⎨⎧==-0062z y x 令, 则 ……………………12分所以二面角的大小为 …………………14分（Ⅰ）函数的定义域为. ………………1分21'()2f x a a x x=+-. ………………3分 因为是函数的极值点，所以2'(1)120f a a =+-=.…………5分 解得或.经检验，或时，是函数的极值点. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：21'()2f x a a x x=+-. 由，令(21)(1)'()0ax ax f x x+-+==，解得.……9分 当时，的变化情况如下表∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是；…………11分 当时，的变化情况如下表∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是.…13分（Ⅰ）由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222231c b a a c e b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===312c b a ， 椭圆的标准方程为：. ………………4分（Ⅱ）设联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y ，消去，得：).(0)416(16)41(2222*=-+++k x k x k ……6分 依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点， 所以， ----① ，由（*）式， -------②，可得k x x k x k x k y y 4)()2()2(212121++=+++=+---- ③ ， ………………8分 由①②③，， ………………10分 由点B 在以PQ 为直径的圆内，得为钝角或平角，即.），（），，（11222-=--=y x BQ BP 01222<+--=⋅y x . …12分 即0141441164222>-+++-k k k k ，整理得. 解得：. ………………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）具有性质. ……2分（Ⅱ）选取，Y中与垂直的元素必有形式.所以，从而……5分（III）证明：取.设满足.由得，所以、异号.因为是X中唯一的负数，所以、中之一为，另一为，故.……8分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则,异号，从而,之中恰有一个为. ……10分若，则，显然矛盾；若，则，矛盾.所以.……13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2014北京市石景山区高三（一模）数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2B．y=x+1 C．y=﹣lg|x| D．y=2x3．（5分）在的展开式中，x的系数为（）A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣204．（5分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）A．4 B．C．D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p＞0）上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A．2 B．8 C．D．46．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．7．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．28．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且=0，则||的最小值为（）A．B．3 C．D．1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是．10．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16，则数列{a n}的通项公式a n= ，设b n=log2a n，则数列{b n}的前n项和S n= ．11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为，若直线l：kx+y+3=0与圆C相切，则实数k的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．13．（5分）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．（5分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b 和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x2﹣1和函数g（x）=2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c边的长和△ABC的面积．16．（13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．19．（14分）给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．20．（13分）对于数列{a n}，把a1作为新数列{b n}的第一项，把a i或﹣a i（i=2，3，4，…，n）作为新数列{b n}的第i项，数列{b n}称为数列{a n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，﹣2，﹣3，4，5．已知数列{b n}为数列{}（n∈N*）的生成数列，S n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）写出S3的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{b n}满足S3n=（1﹣），求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N*，S n的所有可能值组成的集合为{x|x=，k∈N*，k≤2n﹣1}．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x＜1}，则A∩（∁U B）={x|0＜x＜1}．故选：A．2．【解答】A．y=x2在（0，+∞）内单调递增，是偶函数，不满足条件，故A不选；B．y=x+1在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故B不选；C．y=﹣lg|x|在（0，+∞）内单调递减，是偶函数，满足条件，故C选；D．y=2x在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故D不选，故选：C．3．【解答】的二项展开式的通项为T r+1=•=•（﹣1）r x10﹣3r，令10﹣3r=1，得r=3，故x项的系数为•（﹣1）3=﹣10，故选：B．4．【解答】Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴AC==3，∵以BC为直径的圆交AB于D，∴AC是圆的切线，∴AC2=AD•AB，∴AD==，∴BD=5﹣=．故选：D．5．【解答】∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为：y=﹣，∴由抛物线的定义得：1﹣（﹣）=3，解得：p=4．即焦点到准线的距离为4，故选：D．6．【解答】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2，∴底面的面积是=1，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，∴三棱锥的高是，∴三棱锥的体积是故选B．7．【解答】根据题意，程序框图运行的程序为，i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i=2，A=1﹣2=﹣1；i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i=4，A=1﹣=，…根据规律，总结得A值是2、、﹣1，并且以3为周期的关于i的函数∵i=2015，∴A=﹣1，i=2015＞2014，输出A：﹣1；故选：C．8．【解答】依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当PF最小时，切线长PM最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．此时|PM|==．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥010．【解答】设等比数列{a n}的公比q，则q3===8，解得q=2，∴a n=a1q n﹣1=2×2n﹣1=2n，∴b n=log2a n=log22n=n，∴b1=1，∵b n=n是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n==故答案为：2n；11．【解答】以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，根据ρ2=x2+y2，则圆C的直角坐标方程为x2+y2=4．又因为直线l：kx+y+3=0与圆C相切，则圆心（0，0）到直线kx+y+3=0的距离d==2=r，解得：．故应填：x2+y2=4；．12．【解答】满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x=，y=时，有最小值；当x=1，y=6时，有最大值6故答案为：13．【解答】甲、乙都不选时，有=60种；甲、乙两个专业选1个时，有=120种，根据分类计数原理，可得共有60+120=180种不同的填报专业志愿的方法．故答案为：180．14．【解答】作出函数f（x）=x2﹣1和函数g（x）=2lnx的图象，由图象可知，两个函数的交点坐标为（1，0），要使f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则y=kx+b，必须是两个函数在（1，0）处的公共切线，即k+b=0，解得b=﹣k，函数f′（x）=2x，即k=f′（1）=2，∴b=﹣2，即隔离直线方程为y=2x﹣2，故答案为：y=2x﹣2三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵a=2bsinA，∴sinA=2sinAsinB，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴sinB=，∵0＜B＜π，且a＜b＜c，∴B=60°；（Ⅱ）∵a=2，b=，cosB=，∴由余弦定理得：（）2=22+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3=0，解得：c=3或c=﹣1（舍），∴c=3，则S△ABC=acsinB=×2×3×=．16．【解答】（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，则，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为．…（4分）（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，…（5分）ξ可能取0，1，2，3．…（6分）则，，，．…（10分）∴ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3P…（12分）∴．…（13分）17．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为A1B的中点．因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，…（2分）所以MD∥B1C．…（3分）因为MD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．…（4分）（Ⅱ）解：作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为AB=2，，D是AC的中点．所以A（1，0，0），B（﹣1，0，0），，，…（5分）所以，，．设是平面A1BD的法向量，所以即令，则y=2，z=3，所以是平面A1BD的一个法向量．…（6分）由题意可知是平面ABD的一个法向量，…（7分）所以．…（8分）所以二面角A1﹣BD﹣A的大小为．…（9分）（Ⅲ）解：设E（1，x，0），则，设平面B1C1E的法向量，所以即令，则x 1=3，，，…（12分）又，即，解得，所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且．…（14分）18．【解答】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx（x＞0），∴，当，∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间．（Ⅱ），∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，切线的斜率，又切线过原点，，即：t2+at﹣lnt=2t2+at﹣1，∴t2﹣1+lnt=0，令g（t）=t2﹣1+lnt，，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以方程t2﹣1+lnt=0有唯一解t=1．综上，切点的横坐标为1．19．【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．∴，，∴=1，∴椭圆方程为，∴准圆方程为x2+y2=4．（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵，∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：，当l1：时，l1与准圆交于点，此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，∴由得．由△=0化简整理得，∵，∴有．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．20．【解答】（Ⅰ）由已知，，，∴，由于，∴S3可能值为．…（3分）（Ⅱ）∵，当n=1时，，当n≥2时，，∴，n∈N*，…（5分）∵{b n}是的生成数列，∴；；；∴，在以上各种组合中，当且仅当时，才成立．∴．…（8分）（Ⅲ）证明：共有2n﹣1种情形．，即，又，分子必是奇数，满足条件的奇数x共有2n﹣1个．…（10分）设数列{a n}与数列{b n}为两个生成数列，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．由于，不妨设a k＞0，b k＜0，则=，所以，只有当数列{a n}与数列{b n}的前n项完全相同时，才有S n=T n．…（12分）∴共有2n﹣1种情形，其值各不相同．∴S n可能值必恰为，共2n﹣1个．即S n所有可能值集合为．…（13分）。

2014年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−2x <0}，B ={x|x −1≥0}，那么A ∩∁U B =( ) A {x|0<x <1} B {x|x <0} C {x|x >2} D {x|1<x <2}2. 下列函数中，在(0, +∞)内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A y =x 2 B y =x +1 C y =−lg|x| D y =2x3. 在(x 2−1x )5的展开式中，x 的系数为（ ）A 10B −10C 20D −204. 已知Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =5，BC =4，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD 的长为（ ）A 4B 95C 125D 1655. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x 2=2py(p >0)上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ）A 2B 8C √3D 46. 已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于( )A 13 B √33 C 23 D2√337. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A −2B 12 C −1 D 28. 已知动点P(x, y)在椭圆C:x 225+y 216=1上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足|MF →|＝1且MP →⋅MF →=0，则|PM →|的最小值为（ ） A √3 B 3 C 125 D 1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知命题p:∃x ∈R ，e x <0，则¬p 是________．10. 在等比数列{a n }中，a 1=2，a 4=16，则数列{a n }的通项公式a n =________，设b n =log 2a n ，则数列{b n }的前n 项和S n =________．11. 已知圆C 的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为________，若直线l:kx +y +3=0与圆C 相切，则实数k 的值为________．12. 已知变量x ，y 满足约束条件{x −y +2≤0x ≥1x +y −7≤0，则yx的取值范围是________．13. 各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14. 若存在实常数k 和b ，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x 分别满足：f(x)≥kx +b 和g(x)≤kx +b ，则称直线l:y =kx +b 为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知函数f(x)=x 2−1和函数g(x)=2lnx ，那么函数f(x)和函数g(x)的隔离直线方程为________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a <b <c ，√3a =2bsinA ． (1)求角B 的大小；(2)若a =2，b =√7，求c 边的长和△ABC 的面积．16. 经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（1）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（2）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是√3，D是AC的中点．（1）求证：B1C // 平面A1BD；（2）求二面角A1−BD−A的大小；（3）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．18. 设函数f(x)=x2+ax−lnx(a∈R)．(1)若a=1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(0, 1]上是减函数，求实数a的取值范围；(3)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线，证明：切点的横坐标为1．19. 给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为√a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(√2, 0)，其短轴上的一个端点到F的距离为√3．（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．(I)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；(II)求证：线段MN的长为定值．20. 对于数列{a n}，把a1作为新数列{b n}的第一项，把a i或−a i(i=2, 3, 4,…,n)作为新数列{b n}的第i项，数列{b n}称为数列{a n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，−2，−3，4，5．已知数列{b n}为数列{12n}(n∈N∗)的生成数列，S n为数列{b n}的前n项和．（1）写出S3的所有可能值；（2）若生成数列{b n}满足S3n=17(1−18n)，求数列{b n}的通项公式；（3）证明：对于给定的n∈N∗，S n的所有可能值组成的集合为{x|x=2k−12n, k∈N∗, k≤2n−1}．2014年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. C3. B4. D5. D6. B7. C8. A9. ∀x∈R，e x≥010. 2n,n(n+1)211. x2+y2=4,k=±√5212. [95，6]13. 18014. y=2x−215. 解：(1)∵ √3a=2bsinA，∴ √3sinA=2sinAsinB，∵ 0<A<π，∴ sinA≠0，∴ sinB=√32，∵ 0<B<π，且a<b<c，∴ B=60∘；(2)∵ a=2，b=√7，cosB=12，∴ 由余弦定理得：(√7)2=22+c2−2×2×c×12，即c2−2c−3=0，解得：c=3或c=−1（舍），∴ c=3，则S△ABC=12acsinB=12×2×3×√32=3√32． 16. 解：（1）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ， 则P(A)=C 51C 102C 153=4591，∴ 15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591．…（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P(B)=515=13，… ξ可能取0，1，2，3． …则P(ξ=0)=C 30(1−13)3=827，P(ξ=1)=C 31×13×(1−13)2=49， P(ξ=2)=C 32×(13)2(1−13)=29，P(ξ=3)=C 33(13)3=127．…∴ ξ的分布列如下：∴ Eξ=0×827+1×49+2×29+3×127=1．…17.（1）证明：连结AB 1交A 1B 于M ，连结B 1C ，DM ，因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是正三棱柱， 所以四边形AA 1B 1B 是矩形， 所以M 为A 1B 的中点． 因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形AB 1C 的中位线，… 所以MD // B 1C ．…因为MD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ， 所以B 1C // 平面A 1BD ．…（2）解：作CO ⊥AB 于O ，所以CO ⊥平面ABB 1A 1， 所以在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，如图建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =2，AA 1=√3，D 是AC 的中点．所以A(1, 0, 0)，B(−1, 0, 0)，C(0,0,√3)，A 1(1,√3,0)，…所以D(12，0，√32)，BD→=(32,0,√32)，BA 1→=(2,√3,0)．设n →=(x,y,z)是平面A 1BD 的法向量， 所以{n →⋅BA 1→=0˙即{32x +√32z =02x +√3y =0令x =−√3，则y =2，z =3，所以n →=(−√3,2,3)是平面A 1BD 的一个法向量．… 由题意可知AA 1→=(0,√3,0)是平面ABD 的一个法向量，… 所以cos <n →，AA 1→>=√34√3=12．…所以二面角A 1−BD −A 的大小为π3．…（3）解：设E(1, x, 0)，则C 1E →=(−1,√3−x,√3)，C 1B 1→=(−1,0,−√3) 设平面B 1C 1E 的法向量n 1→=(x 1,y 1,z 1)，所以{n →⋅C 1B 1→=0˙即{−x 1+(√3−x)y 1+√3z 1=0−x 1−√3z 1=0令z 1=−√3，则x 1=3，y 1=√3−x，n 1→=√3−x−√3)，…又n 1→⋅n →=0，即−3√3√3−x−3√3=0，解得x =√33， 所以存在点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD 且AE =√33．… 18. (1)解：当a =1时，f(x)=x 2+x −lnx(x >0)， ∴ f ′(x)=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x，当x ∈(0,12)，f ′(x)<0 ， 当x ∈(12,+∞)，f ′(x)>0，∴ f(x)的单调递减区间为(0,12)，单调递增区间(12，+∞)． (2)解：f ′(x)=2x +a −1x ， ∵ f(x)在区间(0, 1]上是减函数，∴ f′(x)≤0对任意x∈(0, 1]恒成立，即2x+a−1x≤0对任意x∈(0, 1]恒成立，∴ a≤1x−2x对任意x∈(0, 1]恒成立，令g(x)=1x−2x，∴ a≤g(x)min，易知g(x)在(0, 1]上单调递减，∴ g(x)min=g(1)=−1．∴ a≤−1．(3)证明：设切点为M(t, f(t))，∵ f′(x)=2x+a−1x，∴ 切线的斜率k=2t+a−1t，又切线过原点，∴ k=f(t)t =2t+a−1t，即：t2+at−lnt=2t2+at−1，∴ t2−1+lnt=0，令g(t)=t2−1+lnt，g′(t)=2t+1t>0，∴ g(t)在(0, +∞)上单调递增，又g(1)=0，所以方程t2−1+lnt=0有唯一解t=1.综上，切点的横坐标为1．19. （1）解：∵ 椭圆C的一个焦点为F(√2, 0)，其短轴上的一个端点到F的距离为√3．∴ c=√2，a=√3，∴ b=√a2−c2=1，∴ 椭圆方程为x23+y2=1，∴ 准圆方程为x2+y2=4．（2）证明：(I)∵ 准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0, 2)，设过点P(0, 2)且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立{y=kx+2,x23+y2=1，得(1+3k2)x2+12kx+9=0．∵ 直线y=kx+2与椭圆相切，∴ △=144k2−4×9(1+3k2)=0，解得k=±1，∴ l1，l2方程为y=x+2，y=−x+2．∵ k l1⋅k l2=−1，∴ l1⊥l2．(II)①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1:x=±√3，当l 1:x =√3时，l 1与准圆交于点(√3，1)，(√3,−1)， 此时l 2为y =1（或y =−1），显然直线l 1，l 2垂直； 同理可证当l 1:x =−√3时，直线l 1，l 2垂直．②当l 1，l 2斜率存在时，设点P(x 0, y 0)，其中x 02+y 02=4． 设经过点P(x 0, y 0)与椭圆相切的直线为y =t(x −x 0)+y 0， ∴ 由{y =t(x −x 0)+y 0x 23+y 2=1得 (1+3t 2)x 2+6t(y 0−tx 0)x +3(y 0−tx 0)2−3=0．由△=0化简整理得 (3−x 02)t 2+2x 0y 0t +1−y 02=0，∵ x 02+y 02=4，∴ 有(3−x 02)t 2+2x 0y 0t +(x 02−3)=0． 设l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2， ∵ l 1，l 2与椭圆相切，∴ t 1，t 2满足上述方程(3−x 02)t 2+2x 0y 0t +(x 02−3)=0， ∴ t 1⋅t 2=−1，即l 1，l 2垂直．综合①②知：∵ l 1，l 2经过点P(x 0, y 0)，又分别交其准圆于点M ，N ，且l 1，l 2垂直． ∴ 线段MN 为准圆x 2+y 2=4的直径，|MN|=4， ∴ 线段MN 的长为定值．20. 解：（1）由已知，b 1=12，|b n |=12n(n ∈N ∗,n ≥2)，∴ b 2=±14，b 3=±18，由于12+14+18=78，12+14−18=58，12−14+18=38，12−14−18=18， ∴ S 3可能值为18，38，58，78．…（2）∵ S 3n =17(1−18n )，当n =1时，a 1+a 2+a 3=S 3=17(1−18)=18， 当n ≥2时，a 3n−2+a 3n−1+a 3n =S 3n −S 3n−3=17(1−18n)−17(1−18n−1)=18n，∴ a 3n−2+a 3n−1+a 3n =18n，n ∈N ∗，…∵ {b n }是{12n }(n ∈N ∗)的生成数列， ∴ b 3n−2=±123n−2；b 3n−1=±123n−1；b 3n =±123n；∴ b 3n−2+b 3n−1+b 3n =±123n−2±123n−1±123n =18n (±4±2±1)=18n (n ∈N ∗)， 在以上各种组合中，当且仅当b 3n−2=48n ，b 3n−1=−28n ，b 3n =−18n (n ∈N ∗)时，才成立．∴ b n={12n，n=3k−2，−12n ，n≠3k−2.(k∈N∗)．…（3）证明：S n=12±122±123±⋯±12n共有2n−1种情形．12−122−123−⋯−12n≤S n≤12+1 22+123+⋯+12n，即12n≤S n≤2n−12n，又S n=2n−1±2n−2±2n−3±⋯±12n，分子必是奇数，满足条件12n ≤x2n≤2n−12n的奇数x共有2n−1个．…设数列{a n}与数列{b n}为两个生成数列，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．由于|a k|=|b k|=12k，不妨设a k>0，b k<0，则S n−T n=(a k+a k+1+⋯+a n)−(b k+b k+1+⋯+b n)≤2×12k −2×(12k+1+12k+2+⋯+12n )=2×12k−2×(12k−12n)=12n−1>0，所以，只有当数列{a n}与数列{b n}的前n项完全相同时，才有S n=T n．…∴ S n=12±122±123±⋯±12n共有2n−1种情形，其值各不相同．∴ S n可能值必恰为12n ，32n，52n，…，2n−12n，共2n−1个．即S n所有可能值集合为{x|x=2k−12n，k∈N∗，k≤2n−1}．…。

则 z＝x+2y 的最大值
是
．
13． （5 分） 一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比， 除燃料费外其它费用为每小时 96 元．当速度为 10 海里/小时时，每小时的燃 料费是 6 元． 若匀速行驶 10 海里， 当这艘轮船的速度为 费用总和最小．
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海里/小时时，
Байду номын сангаас
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． （13 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＜b＜c， a＝2bsinA． （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 a＝2，b＝ ，求 c 边的长和△ABC 的面积．
16． （13 分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图 都受到不同程度的污损，可见部分如图． （Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数； （Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩 形的高； （Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在 抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
A．{x|0＜x＜1}
（a＞0，b＞0）的渐近线方程是 y＝±2x，
C．
D． 对称的函数是（ ） ） ） ）
5． （5 分）下列函数中周期为 π 且图象关于直线 x＝ A．y＝2sin（ + C．y＝2sin（2x+ ） ）
B．y＝2sin（2x﹣ D．y＝2sin（ ﹣
6． （5 分）正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为（
14． （5 分）若存在实常数 k 和 b，使得函数 f（x）和 g（x）对其定义域上的任 意实数 x 分别满足：f（x）≥kx+b 和 g（x）≤kx+b，则称直线 l：y＝kx+b 为 f（x）和 g（x）的“隔离直线” ．已知函数 f（x）＝x2﹣1 和函数 g（x）＝2lnx， 那么函数 f（x）和函数 g（x）的隔离直线方程为 ．

2014年石景山区高三统一测试数学（文科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么UAB =（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =-D ．2x y =3．直线:40l x +-=与圆22:+=4C x y 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4．双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的渐近线方程是2y x =±，则其离心率为（ ）A ．5B ．2C D5．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ） A ．2sin()23x y π=+B ．2sin(2)6y x π=-C ．2sin(2)6y x π=+D ．2sin()23x y π=-6．正三棱柱的左视图如右图所示，则该正三棱柱的侧面积为（7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（ ）8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）A B ．3C ．125D ．1A ．4B ．12 CD ．24A ．2-B ．12C ．1-D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 是虚数单位，计算41ii+=+_________. 10．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，，则数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________． 11．已知命题p :0x x e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________．12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+的最大值是_________. 13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小. 14．若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域内的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________.分数频率组距0.0440.0280.0120.00810090807060500三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，32sin a b A =．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若2a =，7b =，求c 边的长和△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．（Ⅰ）求分数在[5060)，的频率及全班人数； （Ⅱ）求分数在[8090)，之间的频数，并计算频率分布直方图中[8090)，间矩形的高； （Ⅲ）若要从分数在[80100)，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90100)，之间的概率．17.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥A BCDE -，1AB BC AC BE ====，2CD =，CD ⊥平面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面ADE ⊥平面ACD ； （Ⅲ）求四棱锥A BCDE -的体积．18．（本小题满分13分）已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[1]e ，上没有零点，求实数a 的取值范围． CDBAF E19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F 的（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，. （ⅰ）当点P 为“准圆”与y求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.20．（本小题满分13分）对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n =，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （Ⅰ）写出3S 的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列{}n b 满足的通项公式为1312(1312nn n n k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，，求n S .2014年石景山区高三统一测试高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，第二空3分． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：2sinb A =，2sin sin A B A =， ………………2分因为0A π<<，所以sin 0A ≠， 所以sin B =， ………………4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． ………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=， ………………8分解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3． ………………10分11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=． ………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）分数在[5060)，的频率为0.008100.08⨯=， ………………2分 由茎叶图知：分数在[5060)，之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=. ………………4分（Ⅱ）分数在[8090)，之间的频数为25223-=； 频率分布直方图中[8090)，间的矩形的高为3100.01225÷=.……………7分 （Ⅲ）将[8090)，之间的3个分数编号为123a a a ，，, [90100)，之间的2个分数编号为12b b ，， ………………8分 在[80100)，之间的试卷中任取两份的基本事件为： 1213111223()()()()()a a a a a b a b a a ，，，，，，，，，，2122313212()()()()()a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，共10个， ………………10分 其中，至少有一个在[90100)，之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在[90100)，之间的概率是70.710=. ……………13分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）取AC 中点G ，连结FG ，BG ，F G ，分别是AD ，AC 的中点， FG ∴∥CD ，且112FG DC ==. BE ∥CD ， ………………2分FG ∴与BE 平行且相等. ∴四边形BEFG 为平行四边形，EF ∴∥BG . ………………3分CDBAFEGH又EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC .EF ∴∥平面ABC . ………………4分（Ⅱ）ABC ∆为等边三角形，G 为AC 的中点，BG AC ∴⊥. ………………5分又DC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC .DC BG ∴⊥， ………………6分又ACDC C =，BG ∴⊥平面ADC . ………………7分EF ∥BG ，EF ∴⊥平面ADC ， ………………8分 EF ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ADC . ………………10分（Ⅲ）取BC 中点H ,连结AH .AB BC AC ==, AH BC ∴⊥.DC ⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC DC AH ∴⊥，又BCDC C =，∴AH ⊥平面BCDE ，AH ∴是四棱锥A BCDE -的高，且AH =………………12分11(12)1332BCDE V S AH +⨯=⋅=⨯=梯形………………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0)+∞，. ………………1分 22()2a f x x x '=-2222x a x-=2()()x a x a x +-=. ………………2分()f x 在1x =处取得极值，(1)0f '∴=，解得1a =或1a =－（舍）. ………………3分当1a =时，()01x ∈，，()0f x '<；()1x ∈+∞，，()0f x '>， 所以a 的值为1. ………………4分 （Ⅱ）令()0f x '=，解得x a =或x a =-（舍）. ………………5分当x 在(0)+∞，内变化时，()()f x f x '，的变化情况如下：由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，. ……………8分 （Ⅲ）要使()f x 在[1]e ，上没有零点，只需在[1]e ，上min ()0f x >或max ()0f x <， 又(1)10f =>，只须在区间[1]e ，上min ()0f x >. （ⅰ）当a e ≥时，()f x 在区间[1]e ，上单调递减， 22min ()()20f x f e e a ==->，解得 02a <<与a e ≥矛盾. ………………10分 （ⅱ） 当1a e <<时，()f x 在区间[1)a ，上单调递减，在区间(]a e ，上单调递增， 2min ()()(12ln )0f x f a a a ==->，解得0a <<，所以1a <<………………12分（ⅲ）当01a <≤时，()f x 在区间[1]e ，上单调递增，min ()(1)0f x f =>，满足题意. 综上，a的取值范围为0a <<. ………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=， ………………2分 准圆方程为224x y +=. ………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………6分 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. ………………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥. ………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x =当1l ：x =1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直. ………………10分②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. ………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝，所以线段MN 的长为定值. ………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(2)2n n b n n *=∈≥N ，， ∴231148b b =±=±，， 由于11171115111311112488248824882488++=+-=-+=--=，，，， ∴3S 可能值为13578888，，，． ………………5分（Ⅱ）∵1312(1312n n nn k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨⎪-≠+⎪⎩N)，，，，. ∴3()n k k *=∈N 时， 12345632313111111111()()()222222222n k k kS --=--+--++-- 14322531363111111111()()()222222222k k k --=+++-+++-+++ 32333333111111[1()][1()][1()]222222*********k k k ---=----- 38111111[1()]()[1()]7824872k k =---=-. 11[1()]72n n S ∴=-. 31()n k k =+∈N 时，1n n n S S a -=+111111[1()][15()]72272n n n -=-+=+ ； 32()n k k =+∈N 时，11n n n S S a ++=-1111111[1()][13()]72272n n n ++=-+=+ ； *11(1)3()7215(1)31()7213(1)3 2.()72n n n n n k k S n k k n k k ⎧-=∈⎪⎪⎪∴=+=+∈⎨⎪⎪+=+∈⎪⎩N N N ，，，，， ………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】。

北京市石景山区2014届高三一模理科数学试卷（带解析）1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =ð（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x > D ．{}|12x x <<【答案】A【解析】因为集合),1[).20(∞+== B A 所以),1,(-∞=B C U ).1,0(=B C A U I 选C. 考点：集合的运算2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =- D ．2xy =【答案】C【解析】2y x =在(0)+∞，内单调递增，并且是偶函数，所以不选A. 1y x =+在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选B. lg ||y x =-在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数,所以选C,. 2xy =在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选D.考点：函数奇偶性与单调性3．在251()x x -的展开式中，x 的系数为（ ） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20- 【答案】B【解析】因为,)1()(31051)5(251r r r r r r r x C x x C T ---+-=-=所以令,1310=-r 得.3=r 因此x 的系数为.10)1(335-=-C 考点：二项式展开式通项公式4．已知Rt △ABC 中，o9054C AB BC ∠===，，，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD的长为（ ）A ．4B ．95C ．125D ．165【答案】D【解析】由题意得：.3=AC 又由切割线定理得：.59,53,22=⨯=⋅=AD AD AB AD AC 因此.516595=-=-=AD AB BD 考点：切割线定理5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．8 C．4 【答案】D【解析】由抛物线定义得：.4,321==+p p所以焦点到准线的距离为.4=p考点：抛物线定义6．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）A． B． C． D．【解析】如图为所求几何体：底边等腰三角形的底长为2，底边上的高为1，底面面积为.11221=⨯⨯几何体的高为正三角形的高3，所以几何体的体积为.331331=⨯⨯考点：三视图7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．2-B ．12 C ．1- D ．2【答案】C【解析】第一次循环，,21,1==A i 第二次循环，,1,2-==A i 第三次循环，,2,3==A i 第四次循环，,21,4==A i L ，因此当267132015+⨯==i 时，.1-=A 考点：循环体流程图8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）A ．3 C ．125 D ．1【解析】由题意得.31)35(1)(),0,3(22222=--=--≥-=c a MF PF PM F 所以.3m i n =PM考点：圆的切线长，椭圆定义9．已知命题p :0xx e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________． 【答案】.0,≥∈∀x e R x【解析】因为命题p :.,q x ∃的否定为“.,q x ⌝∀”，所以p ⌝是.0,≥∈∀xe R x 考点：存在性命题的否定 10．在等比数列}{na 中，14=2=16a a ，，则数列}{na 的通项公式=na _____________，设2log n nb a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．【答案】2n，(1)2n n +【解析】由题意得公比.222,2,81143n n n a q a a q =⋅====-因此.2)1(,+==n n S n b n n考点：等比数列通项公式，等差数列前n 项和11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．【答案】22+=4x y，k =【解析】由222=+=y x ρ得.422=+y x 因为直线:30l kx y ++=与圆C 相切，所以21|3|2=+k ，解得.25±=k考点：直线与圆相切12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x y 的取值范围是_________. 【答案】[95，6]【解析】可行域表示为三角形))29,25(),6.1(),31((C B A ABC ∆及其内部, x y表示为原点与可行域内的点连线的斜率, 所以取值范围是],,[OA OB k k 而,59,6==OC OB k k 因此取值范围是[59，6]考点：线性规划求范围13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 【答案】180【解析】分三类情况讨论，一是选甲不选乙，有,3325A C 二是选乙不选甲，有,3325A C 三是既不选甲也不选乙,有,3335A C 所以共有+3325A C +3325A C .1803335=A C考点：排列组合14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________. 【答案】22y x =-【解析】由题意得函数()f x 和函数()g x 的隔离直线为它们在交点)0,1(处的公切线.因为,)1(2)1(k g f ='=='所以切线过程为).1(2-=x y考点：利用导数求切线方程15．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =．（1）求角B 的大小； （2）若2a =，b =c 边的长和△ABC 的面积.【答案】（1）60B =，（2）3，.233【解析】试题分析：（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理解决.2sin b A =，由正弦定2sin sin A B A =，从而有sin B =，又因为大角对大边，而a b c <<，因此角B 为锐角，60B =.（2）已知一角两边，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯解得3c =或1c =-（舍），再由三角形面积公式得11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=.试题解析：解：（12sin b A =，2sin sin A B A =， 2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin B =， 4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． 6分 （2）因为2a =，b =所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3. 10分11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=． 13分考点：正余弦定理16．经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下： 罗非鱼的汞含量（ppm ）《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（1）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率； （2）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 【答案】（1）4591，（2）.1=ξE【解析】试题分析：（1）古典概型求概率问题，需正确计数.从这15条鱼中，随机抽出3条，共有315C 种基本事件; 3条中恰有1条汞含量超标事件就是从5条汞含量超标中选出1条，且从10条汞含量不超标中选出2条，即包含21015C C 种基本事件,因此所求概率为1251031545()91C C P A C ==.（2）从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，可以看作3次独立重复试验，每次选出汞含量超标的概率按以此15条鱼的样本数据来估计，即为51()153P B ==，因此.1313),31,3(~=⨯=ξξE B试题解析：解：（1）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1235567889 1355671251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591. 4分（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， 5分ξ可能取0，1，2，3 6分则30318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．10分12分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 13分考点：古典概型求概率，概率分布，数学期望 17．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2D 是AC 的中点．（1）求证：1B C ∥平面1A BD ；（2）求二面角1A BD A --的大小；（3）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在，求出AE 的A1A1B1CCDB长；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析，（2）3π，（3）AE =. 【解析】试题分析：（1）线面平行判定定理，关键找线线平行.利用三角形中位线性质找平行，取1A B的中点M ，则MD 是三角形1AB C 的中位线，即MD ∥1B C ．应用定理证明时，需写出定理所需条件.（2）利用空间向量求二面角的大小，关键求出平面的法向量.平面ABD 的一个法向量为 1AA ,而平面1A BD 的法向量则需列方程组解出.根据向量的数量积求出两向量夹角，再根据向量夹角与二面角的大小关系，求出结果.一般根据图像判定所求二面角是锐角还是钝角.（3）存在性问题，从假定存在出发，利用面面垂直列等量关系.在（2）中已求出平面1A BD 的法向量，因此只需用E 点坐标表示平面1A BD 的法向量即可.解题结果需注意E 点在线段上这一限制条件. 试题解析：（1）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，，因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以四边形11AA B B 是矩形，所以M 为1A B 的中点．因为D 是AC 的中点， 所以MD 是三角形1AB C 的中位线， 2分所以MD ∥1B C ． 3分MA1A1B1CBCD因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1B C ∥平面1A BD ． 4分（2）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为2AB =，1AA D 是AC 的中点．所以(100)A ，，，(100)B -，，，(00C，1(10)A ， 5分所以1(02D，3(02BD =，，1(20)BA =．设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量，所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即30220x z x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，令x =2y =，3z =，所以(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量． 6分 由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量， 7分x所以121cos 2n AA <>==，． 8分所以二面角1A BD A --的大小为3π． 9分（3）设(10)E x，，，则1(1CE x =-，11(10C B ，=-设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=，所以111100n C E n C B ，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111)00x x y x ，，⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩令1z =13x =，1y =，1(3n =， 12分又10n n⋅=，即0--=，解得x =， 所以存在点E ，使得平面11B CE ⊥平面1A BD 且AE =． 14分考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角18．设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R . （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （3）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明:切点的横坐标为1.【答案】（1）减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，，（2）1-≤a ，（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调性，有四个步骤.一是求出定义域：0>x ，二是求导数xx x x f )1)(12()(+-='，三是分析导数符号变化情况：11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，.（2）已知函数单调性研究参数范围问题，通常转化为恒成立问题. 因为函数()f x 在区间(01]，上是减函数，所以0)(≤'x f 对任意(01]x ∈，恒成立.而恒成立问题又利用变量分离法解决,即xx a 21-≤对任意(01]x ∈，恒成立. 因此.)21(m i n x x a -≤（3）求切点问题，从设切点(())M t f t ，出发，利用切点处导数等于切线斜率列等量关系：21ln 0t t -+=.解这类方程，仍需利用导数分析其单调性，利用零点存在定理解决.试题解析：解: （1）1a =时,2()ln (0)f x x ax x x =+->， 1(21)(1)()21x x f x x x x -+'∴=+-＝， 1分 11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，()f x 的减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，. 3分（2）1()2f x x a x '=+-()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x +-≤对任意(01]x ∈，恒成立， 5分 12a xx ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立， 令1()2g x x x =-，min ()a g x ∴≤， 7分易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-.1a ∴≤-. 8分（3）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x '=+-，切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点()f t k t =， ()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t =+-+-=+-∴-+=，即：，存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根. 11分再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()1'20t t t ϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解.综上，切点的横坐标为1. 13分 考点：利用导数求函数性质19．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程，并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）2213x y +=,224x y +=,（2）（ⅰ）22y x y x =+=-+，，（ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，利用待定系数法，列两个独立方程就可解出.,b a 因为短轴上的一个端点到F 的距离为a ，所以.3=a 而,2=c 所以.1=b 再根据“准圆”定义，写出“准圆”方程.（2）（ⅰ）直线与椭圆相切问题，通常利用判别式为零求切线方程，利用点斜式设直线方程，与椭圆方程联立消y 得关于x 的一元二次方程，由判别式为零得斜率1k =±,即证得两直线垂直.（ⅱ）本题是（ⅰ）的一般化，首先对斜率是否存在进行讨论，探讨得斜率不存在时有两直线垂直，即将问题转化为研究直线是否垂直问题，具体就是研究121k k =-是否成立.研究思路和方法同（ⅰ），由于点P 坐标在变化，所以由判别式为零得关于点P坐标的一个等式：2220000(3)210x t x y t y -++-=，即222000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，而这等式对两条切线都适用，所以12l l ，的斜率为方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=两根，因此121k k =-.当12l l ，垂直时，线段MN 为准圆224x y +=的直径，为定值4.试题解析：解：（1）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=， 2分准圆方程为224x y +=. 3分 （2）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+，所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， 6分 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. 7分121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥. 8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则1l：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直. 10分②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. 12分综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值. 14分 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 20．对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n =，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（1）写出3S 的所有可能值；（2）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，．【答案】（1）13578888，，，（2）132213 2.2nn n n k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）列举出数列{}n b 所有可能情况，共11224C C =种，分别计算和值为13578888，，，，本题目的初步感观生成数列{}n b （2）已知和项解析式，则可利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项. 当2n ≥时，3231318n n n nb b b --++=，而323133231311111(421)()22288n n n n n n n nb b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立．所以132213 2.2nn nn k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），（3）本题实际是对（1）的推广.证明的实质是确定集合nS 的个数及其表示形式.首先集合n S 的个数最多有12n -种情形，而每一种的值都不一样，所以个数为12n -种情形，这是本题的难点，利用同一法证明. 确定集合n S 的表示形式，关键在于说明分子为奇数.由12322212n n n n n S ---±±±±=得分子必是奇数，奇数个数由范围12122n n n n S -≤≤确定.试题解析：解：（1）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ，∴231148b b =±=±，， 由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，， ∴3S 可能值为13578888，，，． 3分（2）∵311(1)78n n S =-，当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=，当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=，3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ， 5分∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列， ∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n n b =±；∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，在以上各种组合中，当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立．∴132213 2.2nn n n k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），． 8分（3）2311112222n n S =±±±±共有12n -种情形．23231111111122222222n n n S ----≤≤++++，即12122n n nnS -≤≤，又12322212n n n n n S ---±±±±=，分子必是奇数，满足条件121222n nn n x -≤≤的奇数x 共有12n -个． 10分 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项．由于1||||2k k k a b ==，不妨设00k k a b ><，， 则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++12111122()2222k k k n ++≤⨯-⨯+++1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>，所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．12分∴2311112222n n S =±±±±共有12n -种情形，其值各不相同．∴n S 可能值必恰为135212222n n n n n -，，，，，共12n -个． 即n S 所有可能值集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，． 13分注：若有其它解法，请酌情给分】考点：已知和项求通项，数列综合。

2014年北京石景山中考一模数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．23-的相反数是（）．A ．32-B ．32C ．23-D ．232．清明小长假本市150家景区接待游客约5245000人，数字5245000用科学记数法表示为（）． A ．35.24510⨯B ．65.24510⨯ C ．70.524510⨯D ．3524510⨯3．正五边形的每个内角等于（）．A ．72︒B ．108︒C ．54︒D ．36︒4．为了解居民用水情况，晓娜在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：则这10户家庭的月用水量的平均数和众数分别是（）． A ．7.8，9B ．7.8，3C ．4.5，9 D ．4.5，35．将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式，结果为（）． A ．22(2)1y x =--B ．22(4)32y x =-+ C ．22(2)9y x =-- D ．22(4)33y x =--6．如图，ABC △内接于⊙O ，BA BC =，25ACB ∠=︒，AD 为⊙O 的直径，则DAC ∠的度数是（）．A ．25︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒7．转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图所示，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针对准红色区域的概率是（）． A ．12 B ．13C ．14D ．168．如图，边长为1的正方形ABCD 中有两个动点P 、Q ，点P 从点B 出发沿BD 作匀速运动，到达点D 后停止；同时点Q 从点B 出发，沿折线BC CD →作匀速运动，P 、Q 两个点的速度都为每秒1个单位，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为x 秒，月用水量（吨）5 6 78 9 10 户数 1 1 2 231第6题图第7题图红 黄 蓝 红 蓝蓝 O DC B Ay O x 1 2 y O x 12 yO x 1 2 y O x 1 2 A ． B ． C ．D ．两点之间的距离为y ，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）．二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：316=ax ax -__________________．10．如图，AB CD ∥，AC 与BD 相交于点O ，3AB =，若:1:3B O B D =，则CD等于________________．11．如图所示，小明同学在距离某建筑物6米的点A 处测得条幅两端B 点、C 点的仰角分别为60︒和30︒，则条幅的高度BC 为米（结果可以保留根号）．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y x =，作1(1,0)A 关于y x =的对称点1B ，将点1B 向右水平平移2个单位得到点2A ；再作2A 关于y x =的对称点2B ，将点2B 向右水平平移2个单位得到点3A ；……．请继续操作并探究：点3A 的坐标是，点2014B 的坐标是．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：011253tan302014--+︒-（）．14．解方程：33155x x x-+=--．第8题图QPCDA B ABDC6米第11题图OCD BA第10题图xyA B O15．如图，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点C 在DE 上． 求证：（1）ABD ACE ≅△△； （2）BDA ADC ∠=∠．16．已知：32x y =，求代数式4923x y x y -+的值．17．如图，一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与函数2my x=（0x >）的图象交于点(1,)A a ． （1）求k 和m 的值； （2）将函数2my x=（0x >）的图象沿A 轴向下平移3个单位后交x 轴于点C ．若点D 是平移后函数图象上一点，且BCD △的面积是3，直接写出点D 的坐标．18．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．ECBADCB AD （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD 中，2AB =，60A C ∠=∠=︒，DB AB ⊥于点B ，45DBC ∠=︒，求BC的长．20．为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、管乐、篮球、健美操、油画．为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全校三个年级中各调查一个班级，根据相关数据，绘制如下统计图．（1）请根据以上信息，直接补全条形统计图和扇形统计图；（2）若初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？三个班级参加选修课的 初二(5)班参加各类选修课的人数统计图 人数分布统计图人数音乐史管乐篮球健美操油画课程 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1（3）若该校共有学生540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？21．如图，⊙O 是ABC △的外接圆，AB AC =，连结CO 并延长交⊙O 的切线AP 于点P ． （1）求证：APC BCP ∠=∠；（2）若3sin 5APC ∠=，4BC =，求AP 的长．22．实验操作（1）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △的顶点的横、纵坐标都是整数，若将ABC △以点()1,1P -为旋转中心，按顺时针方向旋转90︒得到DEF △，请在坐标系中画出点P 及DEF △； （2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为60︒）中有一个等边ABC △，它的顶点A 、B 、C 都落在格点上，若将ABC △以点P 为旋转中心，按顺时针方向旋转60︒得到A B C '''△，请在菱形网格图中画出A B C '''△．其中，点A 旋转到点A '所经过的路线长为________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．已知关于x 的方程22(1)10mx m x m +-+-=有两个实数根，且m 为非负整数．BPCO A∠°P CA CB 图1 图2 xy–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345C B A O（1）求m 的值；（2）将抛物线1C ：22(1)1y mx m x m =+-+-向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点(2,)A b 和点(4,21)B b +，求抛物线2C 的表达式； （3）将抛物线2C 绕点(1,)n n +旋转180︒得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线112y x =+有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围．24．在矩形ABCD 中，12AD =，8AB =，点F 是AD 边上一点，过点F 作AFE DFC ∠=∠，交射线AB 于点E ，交射线CB 于点G ． （1）若82FG =，则CFG ∠=_________︒；（2）当以F 、G 、C 为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB 的长；（3）过点E 作EH CF ∥交射线CB 于点H ，请探究：当GB 为何值时，以F 、H 、E 、C 为顶点的四边形是平行四边形．25．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S ah =． 例如：三点坐标分别为(1,2)A ，(3,1)B -，(2,2)C -，则“水平底”5a =，“铅垂高”4h =，“矩面DABC备用图G EDAB CF积”20S ah ==．（1）已知点(1,2)A ，(3,1)B -，(0,)P t ．①若A 、B 、P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标； ②直接写出A 、B 、P 三点的“矩面积”的最小值． （2）已知点(4,0)E ，(0,2)F ，(,4)M m m ，16(,)N n n，其中0m >，0n >． ①若E 、F 、M 三点的“矩面积”为8，求m 的取值范围；②直接写出E 、F 、N 三点的“矩面积”的最小值及对应n 的取值范围．2014年北京石景山中考一模数学试卷答案一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）题号1 2 3 45 6 7 8答案 D B B A C C B A二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．(4)(4)ax x x +-； 10．6； 11．43； 12．(3,2)，(2013,2014)．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：011253tan302014--+︒-（） 3=235313-+⨯- =336-．14．解：方程两边同乘以(5)x -，得，3(5)3x x -+-=-．解得，52x =． 经检验：52x =是原分式方程的解．所以52x =是原方程的解．15．证明：（1）∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠． ∴BAD CAE ∠=∠． 在ABD △和ACE △中，∵AB ACBAD EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABD ACE ≅△△． （2）∵ABD ACE ≅△△，∴ADB AEC ∠=∠，AD AE =．∴ADC AEC ∠=∠．∴BDA ADC ∠=∠．16．解：由已知得：23x y =， ∴原式6933y yy y-=+12=-．17．解：（1）根据题意，将点(2,0)B -代入12y kx =+， ∴022k =-+．∴1k =．∴(1,3)A ．将其代入2my x=，可得：3m = （2）3(,2)5或(3,2)-．18．解：（1）设该公司购进甲型显示器x 台，则购进乙型显示器(50)x -台．依题意可列不等式：10002000(50x)7700x +-≤； 解得：23x ≥，∴该公司至少购进甲型显示器23台． （2）依题意可列不等式：50x x -≤， 解得：25x ≤， ∵23x ≥，∴x 为23，24，25． 答：购买方案有：①甲型显示器23台，乙型显示器27台；②甲型显示器24台，乙型显示器26台； ③甲型显示器25台，乙型显示器25台．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：过点D 作DE BC ⊥于点． ∵DB AB ⊥，2AB =，60A ∠=︒， ∴tan 6023BD AB =⨯︒=． ∵45DBC ∠=︒，DE BC ⊥， ∴sin 45=6BE DE BD ==⨯︒ ∵60C A ∠=∠=︒，90DEC ∠=︒， ∴2tan60DECE ==︒．∴26BC =+．20．解：（1）条形统计图补充数据：6（图略）． 扇形统计图补充数据：20．（2）81804830⨯=（人）． （3）()84(6630)3030302015++⨯÷++=．454014415⨯=（人）． 21．（1）证明：连结AO 并延长交BC 于D ，交弧BC 于E ．∵AP 切⊙O 于点A ，∴EA PA ⊥． ∵AB AC =，ECBAD∴AE BC ⊥， ∴BC AP ∥， ∴APC BCP ∠=∠．（2）解：∵AE BC ⊥，∴122CD BC ==．∵3sin 5AO APC PO ∠==， ∴设3OA k =，5OP k =，则3OC OA k ==．∵BC AP ∥，∴PAO CDO ∽△△，∴PA POCD CO =， ∴523PA kk=， ∴103PA =．22．解：（1）画出点P ，画出DEF △（2）°A'C'B'PCA CBA 旋转到点A '所经过的路线长为43l π=．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵方程22(1)10mx m x m +-+-=有两个实数根， ∴0m ≠且0∆≥，则有24(1)-4(1)0m m m --≥且0m ≠ ∴1m ≤且0m ≠又∵m 为非负整数，xy –5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345P F E DC B A O BPCO AE DEG D A B C F ∴1m =．（2）抛物线1C ：2y x =平移后，得到抛物线2C ：2()y x a b =-+，∵抛物线2C 过点(2,)A b ，2(2)b a b =-+，可得2a =，同理：221(4)b a b +=-+，可得3b =，∴2C ：()223y x =-+或2(47)y x x =-+．（3）将抛物线2C ：2(2)3y x =-+绕点(1,)n n +旋转180︒后得到的抛物线3C 顶点为(2,23)n n -，当2x n =时，12112y n n =⨯+=+， 由题意，231n n ->+， 即：4n >．24．解：（1）90︒；（2）正确画图；∵四边形ABCD 是矩形，∴90D ∠=︒．∵FGC △是等边三角形，∴60GFC ∠=︒．∵DFC AFE ∠=∠，∴60DFC ∠=︒．∵8DC =，∴163sin 603DC FC ==︒． ∵FGC △是等边三角形，∴1633GC FC ==． ∵12BC AD ==，∴163123GB =-． （3）过点F 作FK BC ⊥于点K ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，AD BC ∥，∴DFC KCF ∠=∠，AFG KGF ∠=∠．∵DFC AFG ∠=∠∴KCF KGF ∠=∠∴FG FC =∴GK CK =∵四边形FHEC 是平行四边形∴FG EG =∵FGK EGB ∠=∠，90FKG EBG ∠=∠=︒，∴FGK EGB ≅△△∴1243BG GK KC ====．25．解：（1）由题意：4a =．①当2t >时，1h t =-，则4(1)12t -=，可得4t =，故点P 的坐标为(0,4)；当1t <时，2h t =-，则4(2)12t -=，可得1t =-，故点P 的坐标为(0,1)-．②A 、B 、P 三点的“矩面积”的最小值为4．（2）①∵E 、F 、M 三点的“矩面积”的最小值为8，∴04042m m ≤≤⎧⎨≤≤⎩． ∴102m ≤≤． ∵0m >， ∴102m <≤． ②E 、F 、N 三点的“矩面积”的最小值为16，n 的取值范围为48n ≤≤．2014年北京石景山中考一模数学试卷部分解析一、选择题1. 【答案】 D F E【解析】23-的相反数是23，故选D ．2. 【答案】B【解析】5245000用科学记数法表示应为65.24510⨯，故选B ．3. 【答案】B【解析】正五边形的内角和为360︒，每个内角等于3601801085︒︒-=︒，或者正五边形的内角和为(52)180540-⨯︒=︒，每个内角等于540=1085︒︒，故选B ．4. 【答案】A【解析】这组数据中的平均数是7.8，众数是9，故选A ．5. 【答案】C【解析】二次函数22222812(44)92(2)9y x x x x x =--=-+-=--，故选C ．6. 【答案】C【解析】∵BA BC =，∴25BCA BAC ∠=∠=︒，∵AD 为的直径，∴90ABD ∠=︒，25D C BAC ∠=∠=∠=︒，65DAB ∠=︒，40DAC ∠=︒，故选C ．7. 【答案】B 【解析】六个全等的区域红色占了两个，指针对准红色区域的概率是21=63，故选B ．8. 【答案】A【解析】当01x ≤≤时，2222(x)(x x)2222y x =+-=-，是单调递增的一次函数； 当12x <≤时，22222(1)(21)(22)2222y x x x x x =-+--+=--+． 故选A ．二、填空题9. 【答案】(4)(4)ax x x +- 【解析】分解因式：3216(16)(4)(4)ax ax ax x ax x x -=-=+-．故答案为：(4)(4)ax x x +-．10. 【答案】6【解析】∵AB CD ∥，∴=AB OB CD OD ，∵13BO BD =，12BO OD =，3AB =，6CD =． 故答案为：6．11. 【答案】43 【解析】依题可知，63BD =，6233CD ==，43BC BD CD =-=． 故答案为：43．12. 【答案】(3,2)，(2013,2014)【解析】依题可知，关于y x =对称，点的横纵坐标相互交换．∴1(0,1)B ，2(2,1)A ，2(1,2)B ，3(3,2)A ，3(2,3)B …… 依规律可知，(-1,)n B n n ，2014(2013,2014)B ．故答案为：(3,2)，(2013,2014)．。

石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}2230M x x x =∈+-≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么MN =（ ）A ．{101}-，，B ．{321}---，，C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（ ） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i -- 3．已知向量(1)x =，a ，(4)x =，b ，则“2x =”是“a ∥b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2， 则输出的x 的值为（ ） A ．3 B ．126 C ．127D ．1286． 在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P恰好落在正方形与曲线y =(阴影部分)的概率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．457．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．6488．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）OCy =ABA ．B ．C ．D ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ+⎧⎨=⎩，，=(θ为参数)，则圆C 的直角坐标方程为_______________，圆心C 到直线:10l x y ++=的距离为______．10．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若=6a ，4c =，1cos =3B ，则b =______． 11． 若x ，y 满足约束条件1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，则z x y =+的最大值为 ．12．如图，已知在ABC ∆中，o 90B ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切 于点D ，2AD =，1AE =，则AB 的长为 ，CD 的长为 ．13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o 150，则||PF =______．14．已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线PC 与BD 所成的角的度数为 ，当三棱锥的体积取得最大值时， 四棱锥P ABCD -的高PA 的长为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 21f x x x x =++． （Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．16．（本小题满分13分）A DCBE．OA 1ABDCPE北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X 为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X 的分布列及数学期望．17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，o 90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ?若存在，求出AF 的长；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）A PEDC已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1{|2}2M x x =≤≤，且MP ≠∅，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）过点(20)，，且椭圆的离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且MP PN =，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合，对于数列中. （Ⅰ）若50项数列{}n a 满足5019ii a==-∑，5021(1)107ii a =-=∑，则数列{}n a 中有多少项取值为零？(121nin i aa a a n *==+++∈∑N ，)（Ⅱ）若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足11i i i b b a ---=（）． （ⅰ）若首项10b =，末项1n b n =-，求证数列{}n b 是等差数列；（ⅱ）若首项10b =，末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值和最小值．石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 2cos 2+1x x =+ …………2分 2sin 2+16x π=+（）， ……………4分222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z， 36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………6分所以函数)(x f 的单调递增区间为[]36k k ππππ-+，()k ∈Z ． ……………7分（Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363x πππ-≤+≤， ……………9分sin(2)16x π≤+≤， 12sin 2+136x π≤+≤（）， ……………11分 所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f 取得最小值1．………13分则 3335C 9()1C 10P A =-=． 故在选出的3名学生中至少有名体质为优秀的概率为910．……9分（ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为123，，．123235C C 3(1)C 10P X ⋅===， 213235C C 6(2)C 10P X ⋅===，3335C 1(3)C 10P X ===． …………12分所以，随机变量X 的分布列为:36191231010105EX =⨯+⨯+⨯=． ……………13分 17．（本小题共14分） （Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. ……………1分 取AD 的中点G ，连结GC ，因为底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，o90ABC ∠=，且1AB BC ==，所以四边形ABCG 为正方形，所以CG AD ⊥，且1=2CG AD ， 所以o=90ACD ∠，即AC CD ⊥. ……………3分 又PAAC A =，所以CD ⊥平面PAC . ……………4分（Ⅱ）解：如图，以A 为坐标原点，AB AD AP ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系xyz A -．………5分则(000)A ，，，(110)C ，，，(011)E ，，，(002)P ，，，所以(002)AP =，，，(110)AC =，，，(011)AE =，，． 因为PA ⊥平面ABCD ，所以(002)AP =，，为平面ACD 的一个法向量． ……6分 设平面EAC 的法向量为1()n x y z =，，，由10n AC ⋅=，10n AE ⋅=得00x yy z +=⎧⎨+=⎩，，令1x =，则1y =-，1z =，所以1(111)n =-，，是平面EAC 的一个法向量． ………8分所以1cos 3n AP <>==0，因为二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --．………9分 APEB DCG（Ⅲ）解：假设在线段AB 上存在点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ． 设(00)F a ，，，则(110)CF a =--，，，(112)CP =--，，． 设平面PCF 的法向量为2()n x y z =，，，由20n CF ⋅=，20n CP ⋅=得(1)020a x y x y z --=⎧⎨--+=⎩，，令1x =，则1y a =-，2az =，所以2(11)2an a =-，，是平面PCF 的一个法向量．…12分因为AE ∥平面PCF ，所以20AE n ⋅=，即(1)02aa -+=， ……………13分解得23a =，所以在线段AB 上存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ，且2=3AF ．……14分 18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =，()2xf x e '=-，得(0)1f '=-，………2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分（Ⅱ）()xf x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()-∞+∞，，无单调递减区间；………5分 当0a >时，(ln )x a ∈-∞，时，()0f x '<，(ln )x a ∈+∞，时，()0f x '>， 此时()f x 的单调递增区间为(ln )a +∞，，单调递减区间为(ln )a -∞，.……7分 （Ⅲ）由题意知(0)0f '=得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值. ………8分因为MP ≠∅，所以()f x mx <在1[2]2，上有解，即1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立，…9分即1[2]2x ∃∈，使x e x m x ->成立， …………10分 所以min ()x e xm x->. 令()1x e g x x =-，2(1)()x x e g x x -'=，所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增， 则min ()(1)1g x g e ==-， ……………12分 所以(1)m e ∈-∞，+. ……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点(20)，在椭圆C 上，所以22401a b+=， 所以24a =， …………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以12c a =，即22214a b a -= ， …………2分 解得23b =， ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）设0(1)P y -，，033()22y ∈-，， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11()M x y ，，22()N x y ，， 由2203412(1)x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩，，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， ………7分所以2012288+34ky k x x k +=-+， ……………8分因为MP PN =，即P 为MN 中点，所以12=12x x +-，即20288=234ky k k +--+. 所以003(0)4MN k y y =≠， ……………9分 因为直线l MN ⊥， 所以043l y k =-，所以直线l 的方程为004(1)3yy y x -=-+， 即041()34y y x =-+ ，显然直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………11分②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-， 此时直线l 为x 轴，也过点1(0)4-，. ……………13分 综上所述直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………14分 20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 中项为110-，，分别有x y z ，，项．由题意知5094107x y z x y z y ++=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，，，解得11z =．所以数列{}n a 中有11项取值为零． ……3分 （Ⅱ）（ⅰ）{11}i a ∈-，且11i i i b b a ---=，得到121(23)i i b a a a i n -=+++=，，，，若1(121)i a i n ==-，，，，则满足1n b n =-．此时11i i b b --=，数列{}n b 是等差数列；若121n a a a -，，，中有*(0)p p p >∈，N 个1-，则121n b n p n =--≠-不满足题意； 所以数列{}n b 是等差数列． ……………7分 （ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以121(23)i i b a a a i n -=+++=，，，，根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++=．而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a -，，，中有12n -个1和12n -个1-． 12112121()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=+++++++121(1)(2)n n a n a a -=-+-++要求n S 的最大值，则只需121n a a a -，，，前12n -项取1，后12n -项取1-， 所以2max (1)()(2)(4)14n n S n n -=-+-++=（n 为正奇数）．要求n S 的最小值，则只需121n a a a -，，，前12n -项取1-，后12n -项取1， 则2min (1)()(2)(4)14n n S n n -=------=-（n 为正奇数）． …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2230M x x x =∈+-≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么M N =（ ） A ．{101}-，， B ．{321}---，， C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（ ） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i -- 3．已知向量(1)x =，a ，(4)x =，b ，则“2x =”是“a ∥b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（ ） A ．3 B ．126 C ．127 D ．1286． 在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P恰好落在正方形与曲线y =成的区域内(阴影部分)的概率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．457．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．6488．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．OCy =AB9．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ+⎧⎨=⎩，，=(θ为参数)，则圆C 的直角坐标方程为_______________，圆心C 到直线:10l x y ++=的距离为______． 10．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若=6a ，4c =，1cos =3B ，则b =______．11． 若x ，y 满足约束条件1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，则z x y =+的最大值为 ．12．如图，已知在ABC ∆中，o90B ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切 于点D ，2AD =，1AE =，则AB 的长为 ，CD 的长为 ．13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o150，则||PF =______． 14． 已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线PC 与BD 所成的角的度数为 ，当三棱锥的体积取得最大值时， 四棱锥P ABCD -的高PA 的长为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 21f x x x x =++． （Ⅰ）求函数的单调递增区间；A DCBE．OA 1ABDCPE（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．16．（本小题满分13分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X 为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X 的分布列及数学期望．17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，o 90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ?若存在，求出AF 的长；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1{|2}2M x x =≤≤，且M P ≠∅，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）过点(20)，，且椭圆的离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且MP PN =，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合，对于数列中. （Ⅰ）若50项数列{}n a 满足5019ii a==-∑，5021(1)107i i a =-=∑，则数列{}n a 中有多少项取值为零？(121nin i aa a a n *==+++∈∑N ，)（Ⅱ）若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足11i i i b b a ---=（）． （ⅰ）若首项10b =，末项1n b n =-，求证数列{}n b 是等差数列；（ⅱ）若首项10b =，末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值和最小值．石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 2cos 2+1x x =+ …………2分 2sin 2+16x π=+（）， ……………4分222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ……………6分所以函数)(x f 的单调递增区间为[]36k k ππππ-+，()k ∈Z ． ……………7分（Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363x πππ-≤+≤， ……………9分sin(2)126x π-≤+≤，12sin 2+136x π≤+≤（）， ……………11分所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f取得最小值1．……………13分则 3335C 9()1C 10P A =-=．故在选出的3名学生中至少有名体质为优秀的概率为910． …………9分 （ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为123，，． 123235C C 3(1)C 10P X ⋅===， 213235C C 6(2)C 10P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===．……………12分 所以，随机变量X 的分布列为:36191231010105EX =⨯+⨯+⨯=． ……………13分 17．（本小题共14分） （Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥. ……………1分 取AD 的中点G ，连结GC ，因为底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，o90ABC ∠=，且1AB BC ==， 所以四边形ABCG 为正方形， 所以CG AD ⊥，且1=2CG AD ， 所以o=90ACD ∠，即AC CD ⊥. ……………3分 又PAAC A =，所以CD ⊥平面PAC . ……………4分（Ⅱ）解：如图，以A 为坐标原点，AB AD AP ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系xyz A -． ……………5分则(000)A ，，，(110)C ，，，(011)E ，，，(002)P ，，， 所以(002)AP =，，，(110)AC =，，，(011)AE =，，． 因为PA ⊥平面ABCD ，所以(002)AP =，，为平面ACD 的一个法向量．A PEBDCG设平面EAC 的法向量为1()n x y z =，，，由10n AC ⋅=，10n AE ⋅=得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，，令1x =，则1y =-，1z =，所以1(111)n =-，，是平面EAC 的一个法向量． ……………8分所以1cos 3n AP <>==0，因为二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --……………9分 （Ⅲ）解：假设在线段AB 上存在点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ． 设(00)F a ，，，则(110)CF a =--，，，(112)CP =--，，． 设平面PCF 的法向量为2()n x y z =，，，由20n CF ⋅=，20n CP ⋅=得(1)020a x y x y z --=⎧⎨--+=⎩，，令1x =，则1y a =-，2a z =， 所以2(11)2an a =-，，是平面PCF 的一个法向量．……………12分因为AE ∥平面PCF ， 所以20AE n ⋅=，即(1)02aa -+=， ……………13分 解得23a =， 所以在线段AB 上存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ，且2=3AF ． ……………14分 18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2xf x e x =-，(0)1f =，()2x f x e '=-，得(0)1f '=-， ……………2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分（Ⅱ）()xf x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()-∞+∞，，无单调递减区间； ……………5分当0a >时，(ln )x a ∈-∞，时，()0f x '<，(ln )x a ∈+∞，时，()0f x '>， 此时()f x 的单调递增区间为(ln )a +∞，，单调递减区间为(ln )a -∞，.……………7分（Ⅲ）由题意知(0)0f '=得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值.……………8分因为MP ≠∅，所以()f x mx <在1[2]2，上有解，即1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立， ……………9分即1[2]2x ∃∈，使x e x m x ->成立， …………10分 所以min ()x e xm x->. 令()1x e g x x =-，2(1)()xx e g x x -'=， 所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增， 则min ()(1)1g x g e ==-， ……………12分所以(1)m e ∈-∞，+. ……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点(20)，在椭圆C 上， 所以22401a b+=， 所以24a =， ……………1分因为椭圆C 的离心率为12， 所以12c a =，即22214a b a -= ， ……………2分 解得23b =， ……………4分 所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）设0(1)P y -，，033()22y ∈-，， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11()M x y ，，22()N x y ，，由2203412(1)x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩，，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， ……………7分 所以2012288+34ky k x x k +=-+， ……………8分 因为MP PN =，即P 为MN 中点， 所以12=12x x +-，即20288=234ky k k +--+.所以003(0)4MN k y y =≠， ……………9分 因为直线l MN ⊥，所以043l y k =-， 所以直线l 的方程为004(1)3y y y x -=-+， 即041()34y y x =-+ ， 显然直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………11分 ②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-，此时直线l 为x 轴，也过点1(0)4-，. ……………13分 综上所述直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………14分 20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 中项为110-，，分别有x y z ，，项． 由题意知5094107x y z x y z y ++=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，，，解得11z =．所以数列{}n a 中有11项取值为零． ……………3分 （Ⅱ）（ⅰ）{11}i a ∈-，且11i i i b b a ---=，得到121(23)i i b a a a i n -=+++=，，，，若1(121)i a i n ==-，，，，则满足1n b n =-． 此时11i i b b --=，数列{}n b 是等差数列； 若121n a a a -，，，中有*(0)p p p >∈，N 个1-，则121n b n p n =--≠-不满足题意；所以数列{}n b 是等差数列． ……………7分 （ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=， 所以121(23)i i b a a a i n -=+++=，，，，根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++=．而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a -，，，中有12n -个1和12n -个1-． 12112121()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=+++++++ 121(1)(2)n n a n a a -=-+-++ 要求n S 的最大值，则只需121n a a a -，，，前12n -项取1，后12n -项取1-， 所以2max (1)()(2)(4)14n n S n n -=-+-++=（n 为正奇数）． 要求n S 的最小值，则只需121n a a a -，，，前12n -项取1-，后12n -项取1， 则2min (1)()(2)(4)14n n S n n -=------=-（n 为正奇数）． …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2014北京各区高考数学一模试题及答案解析2014年北京市各县区的高考一模对于测验高三考生的复习成果和接下来的高考志愿填报具有非常重要的参考价值。

本人特将一模试题进行整理汇总，以下是2014年北京各城区高考一模试题及答案汇总，供考生参考！2014北京海淀区高考数学一模试题及答案解析数 学 （理科） 2014.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A AB ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是A B C D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种。

2014-2015学年北京市石景山区高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{﹣1，2}D．{﹣1，1，2}2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）=lnx B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=x3D．3．（5分）点（1，2）与圆，的位置关系是（）A．点在圆内B．点在圆外C．点在圆上D．与θ的值有关4．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）以q为公比的等比数列{a n}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“q＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．2 B．C．3 D．28．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g （f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若复数Z1=1+i，Z2=3﹣i，则=．10．（5分）{a n}为等差数列，a1=1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则a2015=．11．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则=．12．（5分）若抛物线y=ax2的焦点与双曲线﹣x2=1的焦点重合，则a的值为．13．（5分）A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有种（用数字作答）．14．（5分）设A为非空实数集，若∀x，y∈A，都有x+y，x﹣y，xy∈A，则称A 为封闭集．①集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}为封闭集；②集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A．其中正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥DA，CE=，∠ADC=；E 为AD边上一点，DE=1，EA=2，∠BEC=（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．16．（13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答．（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．17．（14分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M 是AD的中点，P是BM的中点．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC；（Ⅱ）若点Q在线段AC上，且满足AQ=3QC，求证：PQ∥平面BCD；（Ⅲ）若∠BDC=60°，求二面角C﹣BM﹣D的大小．18．（13分）已知函数f（x）=lnx+ax﹣a2x2（a∈R）．（I）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（II）求函数f（x）的单调区间．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．20．（13分）对于数集X={﹣1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={|=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意∈Y，存在∈Y，使得•=0，则称X具有性质P．（Ⅰ）判断{﹣1，1，2}是否具有性质P；（Ⅱ）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（Ⅲ）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1．2014-2015学年北京市石景山区高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{﹣1，2}D．{﹣1，1，2}【解答】解：根据交集的定义A∩B={x|x∈A，且x∈B}，∵A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={1，2}．故选：B．2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）=lnx B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=x3D．【解答】解：由于f（x）在（0，+∞）上是减函数，对于A，y=lnx在（0，+∞）上是增函数，故A不满足；对于B，函数在（﹣∞，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数，故B不满足；对于C，函数在R上是增函数，故C不满足；对于D，函数在（﹣1，+∞），（﹣∞，﹣1）上均为减函数，则在（0，+∞）上是减函数，故D满足．故选：D．3．（5分）点（1，2）与圆，的位置关系是（）A．点在圆内B．点在圆外C．点在圆上D．与θ的值有关【解答】解：该参数方程是以（﹣1，0）为圆心，3为半径的圆．点（1，2）到点（﹣1，0）的距离为：d=＜3所以：点（1，2）在圆的内部．故选：A．4．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前100 0/第一圈100﹣20 1 是第二圈100﹣20﹣21 2 是…第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0 6 是则输出的结果为7．故选：D．5．（5分）以q为公比的等比数列{a n}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“q＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在等比数列中，若a1＜a3，则a1＜a1q2，∵a1＞0，∴q2＞1，即q＞1或q＜﹣1．若q＞1，则a1q2＞a1，即a1＜a3成立，∴“a1＜a3”是“q＞1”成立的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，故不成立，故选：B．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．2 B．C．3 D．2【解答】解：几何体的直观图如图：AB=2，BD=2，C到BD的中点的距离为：2，∴BC=CD==．AC==3，AD=2，显然AC最长．长为3．故选：C．8．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g （f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若复数Z1=1+i，Z2=3﹣i，则=1﹣2i．【解答】解：∵Z1=1+i，Z2=3﹣i，则=，故答案为：1﹣2i．10．（5分）{a n}为等差数列，a1=1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则a2015= 4029．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a1=1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，∴（a1+d）2=a1（a1+4d），解得：d=2，∴a2015=a1+2014d=1+2014×2=4029，故答案为：4029．11．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则=1．【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，＜＞=60°，=180°﹣60°=120°∵=，∴=（+）•=•+•=2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1故答案为：1．12．（5分）若抛物线y=ax2的焦点与双曲线﹣x2=1的焦点重合，则a的值为．【解答】解：双曲线﹣x2=1的a=，b=1，c==2，则焦点为（0，±2），抛物线y=ax2即为x2=y的焦点为（0，），由题意可得，=±2，解得，a=．故答案为：．13．（5分）A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有10种（用数字作答）．【解答】解：根据题意，要求从A地到B地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则有C53=10种不同的走法，故答案为：10．14．（5分）设A为非空实数集，若∀x，y∈A，都有x+y，x﹣y，xy∈A，则称A 为封闭集．①集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}为封闭集；②集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A．其中正确结论的序号是②④．【解答】解：若x=﹣2，y=﹣1，则x+y=﹣3∉A；故集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}为封闭集不正确，即①不正确；若x，y∈A，则x=2k1，k1∈Z，y=2k2，k2∈Z；故x+y=2（k1+k2）∈A；x﹣y=2（k1﹣k2）∈A，xy=4k1k2∈A；故②正确；反例A1={n|n=3k，k∈Z}，A2={n|n=2k，k∈Z}；但A1∪A2不是封闭集；故③不正确；若A为封闭集，则取x=y得，x﹣y=0∈A；故④正确；故答案为：②④．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥DA，CE=，∠ADC=；E 为AD边上一点，DE=1，EA=2，∠BEC=（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）设∠C ED=α．在△CED中，由余弦定理，得CE2=CD2+DE2﹣2CD×DE×cos∠CDE，…（2分）得CD2+CD﹣6=0，解得CD=2（CD=﹣3舍去）．…（4分）在△CED中，由正弦定理，得sin∠CED=．…（6分）（Ⅱ）由题设知α∈（0，），所以cos，…（8分）而∠AEB=，所以cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=﹣cosα+sinα=﹣=．…（11分）在Rt△EAB中，BE==4．…（13分）16．（13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答．（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．【解答】（本小题共13分）（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件A，依题意有P（A）==．…（3分）（Ⅱ）该考生所得分数为X，则X的所有可能取值为20，25，30，35，40．…（4分）P（X=20）==，…（6分）P（X=25）=+=，…（8分）P（X=30）=（）2×（）2+C（）（1﹣）××=…（10分）p（X=35）=C（）×（1﹣）×（）2+×，…（12分）P（X=40）=，X分布列为：…（13分）17．（14分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M 是AD的中点，P是BM的中点．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC；（Ⅱ）若点Q在线段AC上，且满足AQ=3QC，求证：PQ∥平面BCD；（Ⅲ）若∠BDC=60°，求二面角C﹣BM﹣D的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AD⊥BC，∵BC⊥CD且AD∩CD=D，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD；（Ⅱ）证明：如图所示，取BD中点O，且P是BM中点，∴PO∥MD且PO=MD；取CD的四等分点H，使DH=3CH，且AQ=3QC，∴PO∥QH且PO=QH，∴四边形OPQH为平行四边形，∴PQ∥OH，且OH⊂平面BCD，∴PQ∥平面BDC；（III）解：如图以C为坐标原点，以CD、CB分别为x、y轴建系，则C（0，0，0），B（0，，0），M（，0，1），D（，0，0），∴=（0，，0），=（，0，1），=（，﹣，0），=（0，0，1），设平面CBM的法向量=（x，y，z），由，得，令x=1，则=（1，0，﹣）；设平面BMD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（，1，0），∴cos＜，＞===，所以二面角C﹣BM﹣D的大小为．18．（13分）已知函数f（x）=lnx+ax﹣a2x2（a∈R）．（I）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（II）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx+ax﹣a2x2其定义域为（0，+∞），所以∵x=1是函数y=f（x）的极值点∴f′（1）=0∴1+a﹣2a2=0∴或a=1经检验，或a=1时，x=1是函数y=f（x）的极值点（II）若，∴函数的单调递增区间为（0，+∞）若a≠0，令，∴当a＞0时，函数在区间，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间，f′（x）＜0，函数为减函数∴函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为当a＜0时，函数在区间，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间，f′（x）＜0，函数为减函数∴函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得，椭圆的标准方程为：．…（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0 …（6分）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0，﹣﹣﹣﹣①，由方程的根与系数关系可得，x1+x2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②，可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k﹣﹣﹣﹣③，…（8分）由①②③，，…（10分）由点B在以PQ为直径的圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．=（﹣2，﹣1），=（x2，y2﹣1）∴=﹣2x2﹣y2+1＜0．…（12分）即，整理可得，20k2﹣4k﹣3＜0解得：k．…（14分）20．（13分）对于数集X={﹣1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={|=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意∈Y，存在∈Y，使得•=0，则称X具有性质P．（Ⅰ）判断{﹣1，1，2}是否具有性质P；（Ⅱ）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（Ⅲ）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1．【解答】解：（Ⅰ）{﹣1，1，2}具有性质P．（Ⅱ）选取=（x，2），Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b）．所以x=2b，从而x=4；（III）证明：取=（x1，x1）∈Y，．设=（s，t）∈∈Y满足•=0．由（s+t）x1=0得s+t=0，所以s、t异号．因为﹣1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为﹣1，另一为1，故1∈X．假设x k=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n．选取=（x1，x n），并设=（p，q）满足•=0，即px1+qx n=0，则p，q异号，从而p，q之中恰有一个为﹣1．若p=﹣1，则x1=qx n，显然矛盾；若q=﹣1，则x n=px1＜p≤x n，矛盾．=1．所以x。