下载文档原格式
四、微分及其应用 （一）微分概念 1 ．微分的定义
设函数 y = f ( x ）在某区间 I 内有定义，00,x I x x I ∈+∆∈。若函数的增量
其中 A 是不依赖x ∆的常数，则称 y = f ( x ）在点 x 0可微分，A x ∆叫做 y = f ( x ）在点 x 0相应于自变量增
量x ∆的微分，记作 dy ，即
函数 y = f （x ）劝在点 x 的微分称为函数 y = f ( x ）的微分，记作 dy 或 df ( x)。 2 ．函数可微分的充分必要条件
函数y = f （x ）在点 x 0 可微分的充分必要条件是 f ( x ）在点 x 0 可导，且当 f ( x ) 在点 x o 可导时，其微分一定是
函数的微分是
通常把x ∆称为自变量的微分，记作 dx ，即
于是函数的微分可写成
而导数可写成
即导数等于函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商。
（二）基本微分公式与微分法则 1 ．基本微分公式
2 ．函数和、差、积、商的微分法则
设函数 u = u ( x ）、v ＝ v ( x ）均可微，则
3 ．复合函数的微分法则
设 ()y f u =、()u x ϕ=均可微，则 [()]y f x ϕ=也可微，且
（三）微分的应用
由微分的定义可知，当0()0f x '≠且||x ∆很小时，有
于是可得几个工程上常用的近似公式（假定||x ∆比较小） :
（四）例题 【 例 1-2 -29 】
［解］
【例1-2-30 】
［解］
【例1-2 -31 】计算sin30°30`的近似值。
【解】把sin30°30`化为弧度，得
【例1-2 - 32 】计算 1.05的近似值。
五、中值定理与导数的应用
（一）中值定理
1 ．若函数f ( x ）在闭区间[ a ，b]上连续，在开区间（a , b ）内可导，且f ( a ) = f ( b ) ，则至少有一点ξ∈（a， b ) ，使得f ' (ξ）＝0。
2 ．拉格朗日中值定理
若函数f ( x ）在闭区间［a ，b］上连续，在开区间（a , b ）内可导，则至少有一点ξ∈（a，b )，使得下式成立
（二）求未定式的值的方法―罗必塔法则
1 ．未定式0
与
∞
∞
的情形
关于要0
的情形：
设（ 1 )当x →a （或x→∞）时， f （x）→0 且 F ( x ) →0 ,
( 2 ) 在点a 的某去心邻域内（或当｜X｜> N 时）, f ' ( x ）及F ' ( x ）都存在且F ' （x）≠0 ,
则
若仍属0
型，且f ' ( x ）、 F ' （x）满足上述三个条件，则可继续运用罗必塔法则，即
对于∞
∞
型，也有相应的罗必塔法则，这里不再赘述。
2 ．其他形式的未定式的情形
其他尚有0 ·∞、∞-∞、00、1∞、∞0型的未定式，它们均可通过变形化成0
或
∞
∞
的情形。如0 ·∞型可变形成
1
∞
或
1
∞
，∞-
∞型通过通分，00、1∞、∞0通过取对数变形。
（三）函数性态的判别
1 ．函数单调性的判定
利用一阶导数的符号判定，如表1-2-1 所示。
2 ．函数极值的判定
利用一阶导数判定，如表1-2-2 所示。
利用二阶导数判定，如表1-2-3 所示。
3 ．曲线凹、凸及其拐点的判定
利用二阶导数的符号判定曲线的凹、凸，如表1-2- 4 所示。
连续曲线y = f ( x ）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果 f " （x0）=0,而f " ( x ）在x0的左右两侧邻近异号，则点（x0，f ( x o ) ）就是一个拐点。
4 ．曲线的渐近线
若lim()
x
f x
→∞
=y0，则曲线y = f ( x ）有水平渐近线y = y0 ;
若
lim()
x x
f x
→
=∞,则曲线y ＝f ( x ) 有铅直渐近线x = x 0；
（四）最大值最小值问题
设 f ( x ）在闭区间[ a , b] 上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求f （x）在[ a ，b]上的最大值与最小值的一般方法：
设 f ( x ）在（a , b ）内的驻点及不可导点为x1，… , x n，则比较
的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。
