高中高三数学不等关系与不等式教案精选
整体设计
教学分析
本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存有着大量的不等关系，并充分理解不等关系的存有与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点实行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这个简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提升学生对不等式的理解.
三维目标
1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.
2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.
3.通过温故知新，提升学生对不等式的理解，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.
重点难点
教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.
教学难点：准确比较两个代数式的大小.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的
大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实
世界和日常生活中是大量存有的，由此产生用数学研究不等关系的强
烈愿望，自然地引入新课.
思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边
熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存有的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点实行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中
大量存有着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.
推动新课
新知探究
提出问题
1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?
2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存有着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?
3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?
4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?
活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“b”“a
教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存有着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的相关内容.
实例1：某天的天气预报报道，气温32 ℃，最低气温26 ℃.
实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA
实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.
实例4：两点之间线段最短.
实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.
实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应很多于2.5%，蛋白质的含量p应很多于2.3%.
教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已
经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的
眼光、数学的观点实行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们能够用我们
所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等
式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代
数式连结起来所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|b，a应用示例
例1(教材本节例1和例2)
活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.
点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两
种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.
变式训练
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )
A.f(x)>g(x)
B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比较下列各组数的大小(a≠b).
(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4与4a3(a-b).
活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即
a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]y，且y≠0，比较xy与1的大小.
活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，∴x-y>0.
当y0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以
需对y分类讨论.
例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采
光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，
住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.
活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后
比值的大小，采用作差法.
解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a
因为a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
所以a+mb+m>ab≥10%.
所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.
点评：一般地，设a、b为正实数，且a
变式训练
已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( )
A.a1+a8>a4+a5
B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5
D.a1+a8与a4+a5大小不确定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
课堂小结
1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到
两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.
2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易
错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的
探究.
作业
习题3—1A组3;习题3—1B组2.
设计感想
1.本节设计注重了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具
体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一
种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适合一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学
方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.
2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，能够说与其他所
有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，能够适
当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不
宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.
3.本节设计注重了学生思维水平的训练.训练学生的思维水平，提升
思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.
采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训
练教学又能够拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学
生思维批判性品质的提升.
§3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售
不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120分钟 满分：150分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ） A ．)31,(-∞ B ． )31,0()0,( -∞ C ． ),31(+∞ D ．)3 1,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( ) A ．b a b a ->+ B ．b a b a +<+ C ．b a ab +≤2 D ． 2≥+b a a b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． 8 6 64a a a a ≤ Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-> Ｂ．a ab ab >>2 Ｃ．2 ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2 ６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是（ ） Ａ．??? ??-- 92,43 Ｂ．??? ??-0,43 Ｃ．??? ??-0,21 Ｄ．??? ??-0,43 ７．若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,d c b a >>则（ ） Ａ． d b c a ->- Ｂ． c b d a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac >
第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系； 2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容； 3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程. 二、教学重点： 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点： 使用不等式（组）正确表示出不等关系. 四、教学过程： （一）导入课题 现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.
提问： 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于). 2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述） 引入知识点： 1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者a >b ，或者a =b ”，等价于“a 不小于b ，即若a >b 或a =b 之中有一个正确，则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. （1）如果a b -是正数，那么a b >；如果a b -等于零，那么a b =；如果a b -是负数，那么a b <.反之也成立，就是（a b ->0?a >b ；a b -=0?a =b ；a b -<0?a 人教a版必修5学案：3.1不等关系与不等式(含答案)
第三章 不等式 §3.1 不等关系与不等式 材拓展 1．不等式的基本性质 对于任意的实数a ，b ，有以下事实： a>b ?a －b>0； a ＝ b ?a －b ＝0； ab>0，m>0，要比较a ＋m b ＋m 与a b 的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b (b ＋m )＝m (b －a )b (b ＋m ) . ∵m>0，a>b>0，∴b －a<0， ∴m (b －a )b (b ＋m )<0，∴a ＋m b ＋m b ，b>c ?a>c. (2)a>b ，c>d ?a ＋c>b ＋d. (3)a>b ，c>0?ac>bc. (4)a>b ，c<0?ac 不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左 边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质： 如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 高一数学必修5不等式与不等关系主要知识点 1.不等关系 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a 3.一元二次不等式恒成立情况小结： 2 0ax bx c ++>（0a ≠）恒成立?00a >???+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域； y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域． （2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线． 5.基本不等式： (1).如果R b a ∈,，那么ab b a 22 2≥+． (2). ≤2 a b +(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”） 不等关系与不等式 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系； 2．会用差值法比较两实数的大小； 3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 【要点梳理】 要点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>?+>； 0,00a b a b <>?>； 0,00a b ab < ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab >?>； ②0b a b a -,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立. 要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.要点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1) 对称性：a>b b (2)传递性：a>b, b>c a>c ? (3) 可加性：a b a c b c >?+>+ (c ∈R) (4) 可乘性：a>b ，?? ????>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有： (1)可加法则：,.a b c d a c b d >>?+>+ (2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>??>? (3)可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈?>> (4) 可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>?>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 要点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0b a b a ->?>； ②0b a b a -?>； ②1b a a b b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0； 最后下结论. 要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程. 不等关系与不等式（第一课时） 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。 设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。 学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。 设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。 师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若……。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。 师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式： 不等式与不等关系 考纲要求 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析 1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点． 2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、 低档． 3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程 基础梳理 一、实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0? ；a －b ＝0? ； a －b ＜0? . 二、不等式的基本性质 1.对称性a >b ? 2.传递性a >b ，b >c ? 3.可加性a >b ? 4.可乘性 a >b c >0? ， ? ?? a > b c <0? 5.同向可加性 ? ?? a > b c > d ? 6.同向同正可乘性 ? ?? a > b >0 c > d >0? 7.可乘方性a >b >0? (n ∈N ，n ≥2) 8.可开方性a >b >0? (n ∈N ，n ≥2) 两条常用性质 ① a ＞b ，ab ＞0?1a ＜1 b ② 若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m a ＋m ； 双基自测 1．若x ＋y >0，a <0，ay >0，x －y 的值为 ( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不确定 2．(教材习题改编)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2 学案29：不等关系与不等式 知识梳理： 一．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0?a >b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a b ?ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ?ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)． [试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3 2. 12－1 ________3＋1(填“>”或“<”)． 四.方法：1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b ；(2)a <0b >0,0 (1)真分数的性质：b a b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b 0)． [练一练]若00，则 b ＋ c a ＋c 与a ＋c b ＋c 的大小关系为________． 1.已知a 1，a 21212 ) A ．M a 6 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（ ） Ａ． -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ? ??Ａ． a - c > b - d Ｂ． a 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120 分钟 满分：150 分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40 分） 1．函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 3 2 2．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（ ） 1 1 1 1 A ． (-∞, ) B ． (-∞,0) (0, ) C ． ( ,+∞) D ． (0, ) 3 3 3 3 3．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( ) A ． a + b > a - b B ． a + b < a + b C ． 2 ab ≤ a + b D ． b a + ≥ 2 a b 4．已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． a 4 ≤ a 6 a a ５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（ ） Ａ． a > ab > ab 2 Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2 Ｄ． ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? ７．若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知 a > b , c > d , 则（ ） b > Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bd d c 课题：3．1 不等关系与不等式(1)说课稿 教材：人教A版必修（5） 各位评委、各位老师:大家好！ 我叫。。。。。,来自.。。。。今天我说课的内容是《不等关系与不等式》（第一课时）。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程和教学评价五个方面逐一加以分析和说明。 一、教材分析 1、教材所处地位、作用 不等式与方程、函数、三角等内容有着密切的联系.在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章的起始课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性,在具体情境中感受并由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,并且为进一步学习后面的内容起了良好的铺垫作用. 2、教学目标 根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标： 知识与技能：使学生感受现实世界中存在大量的不等关系；理解不等式（组）的实际背景；掌握作差比较法。 过程与方法：经历从实际情景的不等关系中抽象出不等式模型的过程,学会从实际问题分析问题、解决问题的方法 情感态度与价值观：则是让学生感受数学源于生活，用于生活，并培养严谨的思维习惯. 3、重点与难点 根据上述教学目标，我认为本节课的重点应该是： 教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值，并初步掌握作差比较法。 而考虑到学生实际应用能力上的欠缺，那么用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，就成为本节课的一个难点，并且在两式作差变形上的灵活度学生也难以把握，所以作差比较法的应用则是另一个难点。 二、学情分析 教学应走在发展的前面，教学创造着最近发展区，我认为对学生现有发展水平的充分了解对我们的教学至关重要。所以我对学生的学情作了如下分析 第一，初中已学简单的不等式；第二，会比较两数的大小；第三，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力、数学建模能力和合情推理能力． 三、教法与学法 根据《新课标》中“坚持启发式，反对注入式”的教学要求，及基于本节课不等式的教学要着眼于与实际问题的联系. 在教学中我将建立“教师引导、自主探究、合作学习”的教学模式,在引导学生经历观察、思考、探究的过程中，重视让学生从问题中尝试、提炼、总结、运用，从而培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力.而且在鼓励学生主动参与的同时，也不忽视教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推理。 为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了以下六个环节，层层深入，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。 四、教学过程 1、创设情景，引出问题 神七宇宙飞船发射升空，（观看视频小短片） 设计意图：这样通过精彩回放，吸引学生，拉近老师与学生之间的距离，充分调动学生的学习积极性。 第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 第二章数列 第三章不等式 不等式与不等关系 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之 间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1 x x --? 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1 x x --?≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所 一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解 考点/易错点1 比较两个实数的法则 设a，b∈R，则 （1）a－b＞0?a＞b； （2）a－b＝0?a＝b； （3）a－b＜0?a＜b. 考点 考点(1)倒数性质 ①a >b ，ab >0?1a <1 b . ②a >b >0,0 ∴－2xy (x －y )>0， ∴(x 2 ＋y 2 )(x －y )>(x 2 －y 2 )(x ＋y )． (2)根据同底数幂的运算法则． aabb abba ＝a a －b ·b b －a ＝(a b )a －b ， 当a >b >0时，a b >1，a －b >0， 则(a b )a －b >1，于是a a b b >a b b a . 当b >a >0时，01，于是a a b b >a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b >a b b a . 【点评】比较大小的常用方法： (1)作差法 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配 方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都 为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究 思路，其实质就是利用特殊值判断． 【例题2】 【题干】对于实数a 、b 、c ，判断下列命题的真假． (1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2； (3)若a ab >b 2； (4)若a 1 b . 【解析】(1)因未知c 的正负或是否为零，无法确定ac 与bc 的大小，所以是假命题． (2)因为c 2≥0，所以只有c ≠0时才能正确．c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题． (3)a ab ；a b 2，命题是真命题． 1 不等关系与不等式 知识回顾 一、不等式性质： 1.a ＞b ? b ＜a .(反身性) 2.a ＞b ，b ＞c =>a ＞c .(传递性) 3.a ＞b ? a+c ＞b+c.(平移性) 4.a ＞b ，c ＞0 => ac ＞bc ； a ＞ b ， c ＜0 => ac ＜bc .(伸缩性) 5.a ＞b ≥0 => ，n ∈N ，且n ≥2.(乘方性) 6.a ＞b ≥0 => a ＞nb ，n ∈N ，且n ≥2.(开方性) 7.a ＞b ，c ＞d => a+c ＞b+d.(叠加性) 8.a ＞b ≥0，c ＞d ≥0 => ac ＞bd .(叠乘性) 二、如果a －b 是正数，则a >b ；如果a >b ，则a －b 为正数； 如果a －b 是负数，则a ?->=?-=,求证: b m b a m a +> + 2.若0x y <<，试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小； 2 3.已知1260a <<，1536b <<，求12a b -及 a b 的取值范围； 1.若0a b <<，则下列结论不正确的是 .A 22a b < .B 2ab b < .C 2b a a b +> .D a b a b -=- 2.设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b - >- ”成立的 .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不 必要条件 3.下列不等式：()1 232()x x x R +≥∈， () 2553223 (,)a b a b a b a b R +≥+∈， () 322 2(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为 .A 0 .B 1 .C 2 .D 3 4.已知,,a b c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 .A ab ac > .B c b a ()-<0 .C cb ab 22< .D 0)(<-c a ac 5.若, a b c R a b ∈>、、，则下列不等式成立的是 . A b a 11< .B 22b a > . C 1 1 2 2 +> +c b c a .D ||||c b c a > 6.若0a >，0b >，则不等式1b a x -< <等价于 .A 10x b - <<或10x a << .B 11x a b -<< .C 1x a <-或1x b > .D 1x b <-或1x a > 7.若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于 A ．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x ≤< D ．{}|21x x -≤-< 8．若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题：()1ad bc >；() 20a b d c +<； ()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-中能成立的个数是 .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 不等关系与不等式（第一课时） 、教学任务分析1感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、禾U用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我 们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关 系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生 思路，进一步总结作差法中变形结果的形式：①化成非负或非正式子的和②因式相乘（除）, 强调变形中配方法、因式分解的方法。并引导学生总结作差法步骤并板书。 设计意图：让学生动手练习具体题目，掌握作差法比较代数式大小的方法和步骤，特别 注意变形的结果及用到的方法。 6、课堂小结：学生反思学到了什么知识、方法？ 2019-2020学年高中数学第三章不等式 3.1 不等关系与不等式 （1）说课稿新人教A版必修5 一、教材分析 1、教材所处地位、作用 不等式与方程、函数、三角等内容有着密切的联系.在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章的起始课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性,在具体情境中感受并由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,并且为进一步学习后面的内容起了良好的铺垫作用. 2、教学目标 （1）知识目标：通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,会用不等式（组）表示不等关系；掌握不等式的基本性质，会利用作差法比较两数（式）大小。（2）.过程与方法：根据具体问题，让学生经历从不等关系实际情境中抽象出不等式模型的过程。感知不等关系和不等式之间的内在联系，并通过具体的操作归纳、总结已达到理解的目的。让学生在获得数学基础知识的基础上，了解它们产生的背景、应用、使学生学会数学思考问题，解决问题。 （3）情感、态度与价值观：让学生感受数学来源于生活，初步体会数学形成过程，逐步培养学生学习数学的良好品质。 二、教学重点与难点 教学重点:用不等式（组）表示实际问题的不等关系,并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.并会利用作差法比较两数（式）大小. 教学难点: 用不等式（组）正确表示出不等关系以及作差法比较大小变形方法的掌握。 三、教授类型：新授课教具：多媒体 四、学情分析 教学应走在发展的前面，教学创造着最近发展区，我认为对学生现有发展水平的充分了解对我们的教学至关重要。所以我对学生的学情作了如下分析 第一，初中已学简单的不等式；第二，会比较两数的大小；第三，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力、数学建模能力和合情推理能力． 五、教法与学法 为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了以下六个环节，层层深入，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。 六、教学过程 1、创设情景，引出问题 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.例如大小、长短、轻重、高矮,又如在数学上两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等等。 设计意图：让学生感受不等关系无处不在，认识学习不等式的重要性，引入课题：不等关系与不等式 你能例举生活中的一些不等关系吗? 并给学生一定的时间和空间，大胆发言，说说身边的不等关系，从而进一步体验不等关系普遍存在，激发学生的学习兴趣，而正值学生情绪高涨，我将及时给出问题： 在数学中我们如何表示不等关系? 从而引入下一环节，也就是本节课的重点、难点：用不等式（组）表示不等关系，为了突破难点，下面我将通过由浅入深的过程引导学生分析、探究。 首先将引入时展示的简单不等关系用不等式表示，再是让学生尝试将自己列举的一些不等关不等关系与不等式经典教案
高二数学必修5不等式与不等关系主要知识点
知识讲解_不等关系与不等式
不等关系与不等式-教学设计
导学案不等式与不等关系
学案29：不等关系与不等式
不等关系与基本不等式同步练习题
不等关系与不等式说课
5第五讲 不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本
不等式与不等关系
不等关系与不等式的复习 教案
不等关系与不等式
不等关系与不等式——教学设计
2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式(1)说课稿 新人教A版必修5.doc
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