一元二次方程根的分布（根的限制） 姓名__________
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，在初中代数中虽有涉及，但不够系统和完整，其包含的主要数学思想是函数与方程思想.即
①若()y f x =与x 轴有交点()()00,00x f x ?=；
②若()y f x =与()y g x =有交点(0x ，0y )?()()f x g x =有解0x x =.
一元二次方程根的分布的基本类型
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.
k 为常数，则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）或根在区间上的分布主要有以下基本类型：
表一：（两根与0的大小比较）
表二：（两根与k的大小比较）
k k k
表三：（根在区间上的分布）
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧
12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()0
f m f n
（2）0a <时，()()0
f m f n >???
>??
两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：
㈠ 若()0f m =或()0f n =，则()()0f m f n < 不成立。对这种情况可求出另一根，然后根据此根在区间()n m ,内，求出参数的值.
如方程()2
220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，∵()10f =，
∴()()()2
2212mx m x x mx -++=--，另一根为
2
m
，由213m <<得223m <<.
㈡ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，由0?=求出参数的值，再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内.
如方程2
4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围.
分析：①由()()300f f -< 即()()141530m m ++<得出15
314
m -<<-
； ②由0?=即()2
164260m m -+=得出1m =-或3
2
m =
.当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =?-，故3
2
m =不满足
题意；综上分析，得出15
314
m -<<-或1m =-.
方法点拨：主要考察四个方面
①开口方向；②对称轴；③判别式；④端点值的符号.
典型例题
例1.已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求m 的取值范围.
解：由 ()()2100m f +< 即()()2110m m +-<，得1
12
m -
<<. 例2.已知方程()2
210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围.
解：()()0102200
m f ?>??-+?->???>???()2
18010m m m m ?+->?>-??>?
?330m m m ?<->+??>??
?03m <<-
3m >+.
例3.已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，
一个小于1，求实数m 的取值范围.
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ? 1
22
m -<<
. 例4.已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围.
解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f <
?()4310m +< ? 1
3
m <-.
例5．已知关于x 的二次方程2
2210x mx m +++=.
(1)若方程有两根，其中一根在区间()1,0- 内，另一根在区间()1,2 内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间()0,1内，求m 的范围
解 (1)条件说明抛物线2
()221f x x mx m =+++与x 轴的交点分别在区间()1,0-和
()1,2内，画出示意图，得
?????
???
???->-<∈-
?>+=<+=>=-<+=65,21,210
56)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2
1
65<<-
m (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
????
???<-<≥?>>1
0,0,
0)1(,0)0(m f f ???
?
?????<<--≤+≥->->?.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里01m <-<是因为对称轴x m =应在区间(0，1)内)
例6.已知函数2
()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立,求a 的取值范围.
解法一：（利用根的分布情况知识）
解：2
()320f x x ax a =++--≥，即2
()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.
①()2
410a a ?=--≤
22a ∴--≤≤-+②24(1)0
(2)0(2)02222
a a f f a a ??=-->?
≥??
?-≥?
?-≥-≤-??或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a 。 解法二：（利用在所给区间求最值） ⑴当22a -
<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥ ()5
4,3
a ∴≤?+∞a ∴不存在. ⑵当222a
-≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==--+≥，
222222-≤≤-a －2224-≤≤-∴a .
⑶当22
a
-
>，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，5a ∴≥- 54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a .
例7.若关于x 的方程2
lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，求数a 的取值范围.
解：原方程等价于22200
20863x x x x x a ?+>??+=--??
即2200 12630x x x x a <->??+++=?或……①……②
令()f x =2
x +12x +6a +3
① 若抛物线y =()f x 与x 轴相切，有△=144－4(6
即a =
112，将a =112代入式②有x =－6不满足式①，② 若抛物线y =()f x 与x 轴相交，注意到其对称
轴为x =－6
故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的等价是
(20)0(0)0
f f -≥??
62a -≤<-.
∴当1631
62
a -
≤<-时原方程有唯一解. 另法：原方程等价于2
x +20x =8x －6a －3(x <－20或x >0)……③
问题转化为：求实数a 的取值范围，使直线y =8x －6a －3与抛物线，y =2x +20 x (x <－20或x >0)有且只有一个公共点.
巩固练习
1.若方程0122
=--x ax 在)1,0(∈x 内恰有一解,则a 的取值范围是 B A.1-a C. 11<<-a D. 10<≤a
2．已知函数1)3()(2
+-+=x m mx x f 的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧， 则实数m 的取值区间是 A.]1,0( B. (0,1) C. )1,(-∞ D.]1,(-∞ D 3.函数4)2(2)2(2
--+-=x a x a y 的值恒小于0,则a 的取值范围是 C A.)2,(-∞ B. )2,(--∞ C. (]2,2- D. )2,2(-
4.设)0()(2
>++=a a x x x f ,若)1(,0)(-- B.负数 C.非负数 D.正负不能确定 5.二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示， 记2M a b c a b =-+++，2N a b c a b =+++-， 则M 与N 的大小关系是_________________ .M N < 6.方程0422 =+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是 .52, 2?? ???? 74 2 2 220x x a a ++--≥对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围 .21a a ≥≤-或 8 已知二次函数22 ()42(2)21f x x p x p p =----+,若在区间[]1,1-内至少存在一个实 数c ,使()0f c >则实数p 的取值范围是________________ . (－3，2 3） 解 只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0 即－3＜p ＜ 23或－21＜p ＜1∴p ∈(－3, 2 3 ) 9.已知函数2 ()3f x x ax =++，若()f x 在区间[]1,4上为单调函数，则a 的范围 是 ；a ≤－8或a ≥－2. 变式为：已知函数2 ()3f x x ax =++ ①若()y f x =在区间[]1,4有最大值10，则a 的值为 ；a ＝－ 4 9. ②若()0f x =在区间[]1,4内有两个不相等的实根，则a 的范围为 ； －4≤a ＜－23. ③若()0f x =在区间[]1,4有解，则a 的范围为 ；－ 4 19 ≤a ≤－23. ④若()y f x =在区间[]1,4内存在0x ，使0()0f x >，则a 的范围为 ；a ＞－4 19 . ⑤若()y f x =在区间[]1,4上恒为正数，则a 的范围为 ；a ＞－23. ⑥设}{ ()0A x f x =≤，[]1,4B =， 若,A B A B A ≠= ，则a 的范围为 ；?-? . ⑦设}{ ()0 A x f x =≤，[]1,4 B =， 若B A ?，则a 的范围为 .（－∞，－ 4 19 ]. 10. 对于关于x 的方程2 (21)420x m x m +-+-=，求满足下列条件的m 的取值范围： （1）两个正根； . 5,2??-∞- ??? （2）有两个负根； . 3,22?? ??? （3）两个根都小于1-； . ? （4）两个根都大于 12； . 5,2? ?-∞- ?? ? （5）一个根大于2，一个根小于2 ； . (),3-∞- （6）两个根都在()0,2内； . ? （7）两个根有且仅有一个在()0,2内 ； . ()(),32,-∞-+∞ （8）一个根在()2,0-内，另一个根在()1,3； . ? （9）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； . ? （10）一个根小于2，一个根大于4. . 7 5,22??-- ??? 11.若关于x 的方程4(3)20x x m m +-?+=有两个不相同的实根，则m 的取值范围 . 0 提示：令2x =t 转化为关于t 的一元二次方程有两个不同的正实根。 12．已知函数2 2 ()(21)2f x x a x a =--+-与x 轴的非负半轴至少有一个交点，求a 的取值范围． 解法一：由题知关于x 的方程2 2 (21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根， 设根为12,x x 则120x x ≤或12120 00 x x x x ?≥?? >??+>? ，得94a ≤≤． 解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020 f a >??--? ->???≥?? ，得94a ≤≤． 13．方程2 3 2 x x k - =在(1,1)-上有实根，求k 的取值范围． 解法一：（1）方程02 32 =--k x x 在（- 1，1）上有两实根， 则()()01091.10162112f k f b a ?≥?? >?? ?-≤≤-?->? ?-<- （2）方程02 32 =--k x x 在（- 1，1）上有一实根， 则()()011<-?f f 或()()???>=-0101f f 或()()???>-=0 101f f 得25 21<≤-k . 综上,?? ? ???- ∈25,169k ． 解法二： 对称轴()1,143-∈=x 为已知，∴ 只需()???>-≥?0 10f 即)25 ,169[-∈k 解法三：最宜采用函数思想，即求)11(23)(2 <<-- =x x x x f 的值域.)2 5 ,169[-∈k . 选做题 1．已知二次函数)0,,(1)(2 >∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为 1x 和2x .（1）如果4221<< （2）如果21 解：设1)1()()(2 +-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x . （1）由0>a 及4221<< ?><0 )4(0)2(g g ，即???>-+<-+034160 124b a b a ， 即??? ???? <+?--<-?+, 043224,043233a a b a a b 两式相加得12x ； （2）由a a b x x 4 )1()(22 21--=-, 可得1)1(122+-=+b a . 又01 21>= a x x ，∴21,x x 同号. ∴ 21 )1(120 22 12b a x x , 即???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或???????+-=+>>-1 )1(120)0(0 )2(2b a g g 解之得41< b 或4 7 >b . 2 二次函数2 ()f x px qx r =++中实数p q r 、、满足 021p q r m m m ++=++,其中0m >,求证(1) ( )01 m pf m <+;(2)方程()0f x =在()0,1内恒有解. 证明 (1)])1 ()1([)1( 2r m m q m m p p m m pf ++++=+ 22 222 (2)(1)[][][](1)1(1)2(1)(2) pm q r pm p m m m pm pm p m m m m m m m m +-+=++=-=++++++ )2()1(1 2 2 ++-=m m pm ,由于()f x 是二次函数，故0p ≠,又0m >,∴()01 m pf m <+ (2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1 +m m )＜0 若r >0,则f (0)>0,又f ( 1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1 +m m )内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m r m p -+2)+r =m r m p -+2>0, 又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1 +m m ,1)内有解 ②当p ＜0时同理可证 3．设函数2 ()(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两根12,x x 满足1210x x a <<<. （Ⅰ）若()10,x x ∈，求证：1()x f x x <<； （Ⅱ）设函数()f x 的对称轴为0x x =，求证：1 02 x x < . 证明：∵12,x x 是方程f (x )-x =0的两根， ∴f(x)-x=a(x-x 1)(x-x 2)，即f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)+x. （Ⅰ）当x ∈(0, x 1)时，x -x 1<0, x -x 2<0, a >0，所以f (x )>x . 其次f (x )-x 1=(x -x 1)[a (x -x 2)+1]=a (x -x 1)[x -x 2+a 1 ]<0， ∴f (x ) （Ⅱ）f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x =ax 2+[1-a (x 1+x 2)]x +ax 1x 2, ∴x 0= a x x a x x a 21 221)(2121-+=-+, ∴012121222210 a x a x x x ，所以.2 10x x < 4.设函数2()2(1)f x x bx c c b =++<<，(1)0f =且方程()10f x +=有实根. （1）证明：31c -<≤-; （2）证明：0b ≥； （3）若0x 是方程()10f x +=的一个实根，判断0(4)f x -的正负，并加以证明. 证明：(1)1 (1)210,,2 c f b c b +=++=∴=- 11 1, 1.3.23 c c b c c +<<∴<-<∴-<<- ∵方程f(x)+1=0，即x 2+2bx+c+1=0有实根∴Δ=4b 2-4(c+1)≥0， 即(c+1)2-4(c+1)≥0.∴c ≤-1或c ≥3. ∴-3 （2）由（1）知c≤-1,∴c+1≤0, 1 0. 2 c b + =-≥ （3）f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1). ∵x 0是方程f(x)+1=0的根，∴f(x )+1=0,f(x )=-1<0, ∴(x 0-c)( x -1)<0,c <1, 即c-4 ∴f(x 0-4)=(x -4-c)(x -4-1)>0. 故f(x -4)为正值. 一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以. . 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ， ， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以， 所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得 安徽省合肥市2017-2018学年高一数学入学考试试题 一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.-1是1的（） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．立方根 2.下列各式的运算正确的是（） A ． 3 a a a = B．23 2 a a a += C．22 (2)2 a a -=- D．326 () a a = 3.已知// a b，一块含30o角的直角三角板如图所示放置，245 ∠=o，则1 ∠=（）A．0 100 B．135o C．155o D．165o 4.据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达6.8亿元，将6.8亿用科学记数法表示为（） A．9 0.6810 ? B．7 6810 ? C. 8 6.810 ? D．9 6.810 ? 5.积极行动起来，共建节约型社会！某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下： 节水量（单位： 吨） 0.5 1 1.5 2 家庭数（户） 2 3 4 1 请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（） A． 240吨 B． 360吨 C. 180吨 D．200吨 6.如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是（） A． 5个 B．6个 C. 7个 D．8个 7.2015年某县GDP 总量为1000亿元，计划到2017年全县GDP 总量实现1210亿元的目标，如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP 总量的年平均增长率为（ ） A ．1.21% B ．8% C. 10% D ．12.1% 8.已知ABC ?的三边长分别为4,4,6，在ABC ?所在平面内画一条直线，将ABC ?分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画几条（ ） A ． 3 B ．4 C. 5 D ．6 9.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则正比例函数()y b c x =+与反比例函数a b c y x -+=在同一坐标系中的大致图像是（ ） A ． B ． C. D ． 10.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=o ，点M 是AD 边的中点，连接MC ， 将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N ，则线段EC 的长为（ ） A 71 B 7151 D 51 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 11.函数1y x =+x 的取值范围为 ． 12.分解因式：22288x xy y -+-= ． 一元二次方程根的情况练习题（含答案） 一．选择题 1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根 3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（） C．只有一个实数根D．没有实数根 8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根 9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（） A．有一个实数根B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根 13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（） 一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 任丘一中 2017 级高一新生入学考试 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题；试卷满分100 分，考试时间90分钟；考生一律在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效 一、选择题：( 本大题共12 小题，每小题 3 分，共36 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项 .) 1.﹣的倒数的绝对值是（） A. ﹣ 2017 B. C. 2017 D. 2. 下列计算中，结果是a 6 的是（） A. a 2 +a 4 B.a 2 ?a 3 C.a 12 ÷a 2 D.（ a 2 ） 3 3.如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（） A. B. C. D. 4.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有 0.000000076 克，将数0.000000076 用科学记数法表示为( ) A. 7.6 × 10﹣9 B. 7.6× 10﹣8 C. 7.6 × 10 9 D. 7.6× 108 5.已知点P（ a+1 ，﹣+1）关于原点的对称点在第四象限，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是 A．B． C．D． 6.在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次 数分别为10 次、 50 次、 100次， 200次，其中实验相对科学的是（） A. 甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组 7．如图，从①∠ 1= ∠2 ②∠ C= ∠ D③∠ A= ∠ F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（） A. 0 B.1 C. 2 D.3 8.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A 、 B，若 OA=2 ，∠ P=60 °，则劣弧 的长为（） 高一数学试题第 1 页（共4页）第7题图 一元二次方程根的分布教学设计 大庆一中高中部孙庆夺 一、教学分析 （一）教学内容分析 本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。从而提升学生对数学知识的应用能力。通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。 （二）教学对象分析 高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识， 已经具有用数学知识解决实际问题的能力。学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。 （三）教学环境分析 由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术， 使传统的教学方式得到补充。在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。 （四）教学手段 采用多媒体网络教学。《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。 （五）教学方式 自主式探究，学案式导学。自主探究，学案导学的教学方式，能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位，培养学生的数学应用意识、合作精神，这与《新课标》的要求是吻合的。 二、教学目标 １.知识与能力 加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重新审视一元二次方程． ２.过程与方法 体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式 法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. -1是1的（） A. 倒数 B. 相反数 C. 绝对值 D. 立方根 【答案】B 故选B. 2. 下列各式的运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.，故原题计算错误； B. 和a不是同类项，不能合并，故原题计算错误； C.=，故原题计算错误； D. ，故原题计算正确； 故选：D. 3. 已知，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图,过P作PQ∥a， ∵a∥b， ∴PQ∥b， ∴∠BPQ=∠2=， ∵∠APB=， ∴∠APQ=， ∴∠3=?∠APQ=， ∴∠1=， 故选：D. 4. 据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达6.8亿元，将6.8亿用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】6.8亿= 元。 故选C. 5. 积极行动起来，共建节约型社会！某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下： 请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（） A. 240吨 B. 360吨 C. 180吨 D. 200吨 【答案】A 【解析】根据10户家庭一个月的节水情况可得,平均每户节水： (0.5×2+1×3+1.5×4+2×1)÷(2+3+4+1)=1.2(吨) ∴200户家庭这个月节约用水的总量是：200×1.2=240(吨) 故选A 6. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是（） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行1个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行2个小正方体，其余位置没有小正方体。即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+2=5个。 故选A. 7. 2015年某县总量为1000亿元，计划到2017年全县总量实现1210亿元的目标，如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年总量的年平均增长率为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设该县这两年GDP总量的平均增长率为x，根据题意， 得：1000=1210， 解得：=?2.1(舍),=0.1=10%， 即该县这两年GDP总量的平均增长率为10%， 故选：C. 8. 已知的三边长分别为4,4,6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画几条（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01 分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0 一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0 也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+ p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2+ β3=0，求证：p=0,q<0 22、已知方程(x －1)(x －2)=m 2(m 为已知实数，且m ≠0)，不解方程证明： (1)这个方程有两个不相等的实数根； 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n 四川省新津中学2017-2018学年高一数学下学期入学考试试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设{1,2,3,4,5}U =，{1,2,5}A =，{2,3,4}B =，则U B C A =（ ） A ．? B ．{2} C ．{3,4} D ．{1,3,4,5} 2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．3y x = B ．1y x = C ．3log y x = D ．1()2 x y = 3. 若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜ ＞0；④｜｜=±1 ，其中正确的有（ ） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 4.已知α是第一象限角，那么2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第一或第三象限角 C.第二象限角 D ．第一或第二象限角 5.已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C.b c a >> D ．c b a >> 6.当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a =与log a y x =的图象是（ ） A ． B ． C. D ． 7. 在ABC △中，点E 满足3BE EC =，且AE mAB nAC =+，则m n -=（ ） A.12 B.12- C.13- D.13 一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为． 评卷人得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根． 一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读，再填空解题： (1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2 =-2，则x 1 +x 2 =4，x 1 ·x 2 =-12； (2)方程2x2-7x+3=0的根是：x 1= 1 2 , x 2 =3，则x 1 +x 2 = 7 2 ，x 1 ·x 2 = 3 2 ； (3)方程3x2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = ， x 1·x 2 = ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0且a、b、c为常数）的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。 解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -，x1·x2= 2 3 -。 能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数） 的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下： 根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c 为常数）的两根为： a ac b b x 2 4 2 1 - + - =， a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商． 一元二次方程的实根分布问题 问题1. 试讨论方程02 =++c bx x 的根的情况。 （1） 根的个数：b 、c 满足什么条件时，方程有两个不等的实根？相等实根？无实根？ （2） 根的大小：b 、c 满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？一正根、一负根？ 一根为0？ （3） 根的范围：b 、c 满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1？一根小于1，一根 大于1？ 说明 对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的研究，主要分为四个方面（A ）有没有实数根；（B ）有实数根时，两根相等还是不等；（C ）根的正负；（D ）根的分布范围。 利用根的判别式，可以解决（A ），（B ），结合运用韦达定理，可以解决（C ）。而要解决（D ），需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。 思路1 （方程思想）设c bx x x f ++=2)( （1） 方程0)(=x f 有两个大于1的实根的充要条件是： ?? ???->+-<≥-??????>-->+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （2） 方程0)(=x f 有两个小于1的实根的充要条件是： ?? ???->+->≥-??????>--<+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （3） 方程0)(=x f 有一根大于1，一根小于1的充要条件是.1,0)(-<+ 遵义航天高级中学2018级高一数学入学考试 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（本题共12小题，每题3分，共36分。） 1．函数y=的自变量x的取值范围为（） A．x≤0 B．x≤1 C．x≥0 D．x≥1 2．如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（） A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥3．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，第n 个单项式是（） A．a n B．﹣a n C．（﹣1）n+1a n D．（﹣1）n a n 4．计算x2?x3结果是（） A．2x5 B．x5 C．x6 D．x8 5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，6，7 D. 5，11，12 6．如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数2﹣的点P应落在（） A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上 7．在下列各题中，结论正确的是（） A．若a＞0，b＜0，则＞0 B．若a＞b，则a﹣b＞0 C．若 a＜0，b＜0，则ab＜0 D．若a＞b，a＜0，则＜0 8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C， 连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（） A．27° B．32° C．36°D．54° 9．已知实数x、y满足+|y+3|=0，则x+y的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4 10．下列运算正确的是（） A= B3a = C． 2 22 1111b a a b a b b a + ???? +÷-= ? ?- ???? D．()() 96 3 a a a -÷=- 11．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（） A．20 B．27 C．35 D．40 12．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE=．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（） A． B． C． D． 二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分。） 13．已知点P（a，b）在反比例函数y=的图象上，则ab= ． 14．定义新运算：a※ b=a2+b，例如3※ 2=32+2=11，已知4※ x=20，则x= ． 15．计算×﹣的结果是． 初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=a ac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式 ① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是： b 2－4a c ≥0. ② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是： b 2－4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2－4q 是整数的平方数. 3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么 ① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)； ② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=a c (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0?x 1=0 ， a+b+c=0?x 1=1 ， a －b+c=0?x 1=－1. 二、例题 例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1. 求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. （1990年泉州市初二数学双基赛题） 证明 （用反证法） 设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0. 即?? ???++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b 由①得b ≥ 41，b+1 ≥4 5代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0， 即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0. —高一下期入学考试数学试卷 一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分.） 1．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，A ∩(C U B )＝{9}，则A ＝ A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9} 2．直线03=-+a y x 的倾斜角为 A . 30° B . 60° C . 120° D . 150° 3.一个用斜二侧画法画出的三角形是斜边为2a 的等腰直角三角形，则原三角形的面积是 A ． 2 12 a B. 2a C. 22a D. 222a 4.若直线210ax y a ++-=与直线2340x y +-=垂直，则a 的值为 A.3 B.-3 C. 43 D.43 - 5．下列图象中表示函数图象的是 A B C D 6．某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A ． 203 B ．43 C ．6 D ．4 7.已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则 x y 的值为 A.1 B.4 C.1或4 D. 1 4 或4 8. 圆心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于 A ．11∶8 B ．3∶8 C ．8∶3 D ．13∶8 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 11．已知,x y 满足2 2 (1)16x y -+=，则2 2 x y +的最小值为 A.3 B.5 C.9 D.25 12.设方程10lg()x x =-的两个根分别为12x x 、，则 A ．021一元二次方程及根的定义
安徽省合肥市高一数学入学考试试题
一元二次方程根的情况试题练习题
一元二次方程根的分布情况归纳总结
高中高一入学考试数学试卷试题.docx
一元二次方程根的分布教学设计
一元二次方程求根公式
2017-2018学年高一入学考试数学试卷
一元二次方程根的差别式
一元二次方程的根的判别式练习题
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
高一数学下学期入学考试试题
一元二次方程根与系数关系附答案
一元二次方程根的两个特性及简单运用
一元二次方程的实根分布问题
【新】高一数学入学摸底考试试题
一元二次方程的根
高一数学下学期开学考试试题
相关主题
文本预览