《神奇的莫比乌斯带》教学设计
北师大版六年级下册54-55页。
一、教材分析：公1858年，德国数学家莫比乌斯发现：把纸条的一端旋转180度后再两头粘接起来，会有神奇的变化。因为普通纸带具有两个面(双侧曲面），一个正面一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（单侧曲面），一只蚂蚁可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带成为“莫比乌斯带”。
二、学情分析：神奇的莫比乌斯带这节活动课对老师来说是很新奇的。我以前从没接触过，对学生来说更是陌生的。通过这节课使学生了解认识莫比乌斯带；动手制作，自主探索莫比乌斯带，感受数学知识的无穷奥秘，激发学习数学的兴趣。
三、教学目标：
（一）知识与技能
使学生了解认识莫比乌斯带，动手制作莫比乌斯带。
（二）过程与方法
在莫比乌斯带的探索过程中，初步体会莫比乌斯带的特征。培养猜想，验证的数学思想方法。
（三）情感、态度与价值观
让学生在探究活动过程中，感受数学活动的乐趣，培养学生敢于动手，乐于交流，善于推理的能力，在学习过程中获得积极向上的情感体验。
四、教学重点：自主探索并制作莫比乌斯带，发现莫比乌斯带的特征。
五、教学难点：培养学生勇于猜想，验证的数学思想方法。
六、活动准备：
1、长纸条（长20-30厘米，宽约4厘米）若干，其中，一张正面“小偷应当放掉”，反面“农民应当关押”。
2、一张纸条正面写“小偷应当放掉”，反面“农民应当关押”。
3、剪刀
4、双面胶或固体胶
5、水彩笔
七、教学过程：
（一）导入
师：其实，一条普通的纸条也有神奇地方，今天这节课，老师和同学们一起来玩一个数学游戏，我们一边玩一边研究，看看这样一根普普通通的纸条，究竟有多神奇！（板书：神奇）
师：（出示一张纸条）请看我手中的这张纸条，它有几条边？几个面？（生：齐回答）四条边，两个面。
师：一个正面，一个反面。现在谁能将他变成只有两条边，两个面？指名操作
师：是不是两条边，两个面？
师：神奇吗？（生：不神奇）是啊，这没什么神奇的，神奇的在后面，谁有办法将它变成一个面和一条边？
小组合作探究（教师巡视）
【设计意图】由“这张纸条几条边，几个面”到“谁能将这张纸条变成两条边，两个面”，再到“怎样变成一个面，问题一层一层深入，一个比一个更有难度，进一步激发了学生学习数学的兴趣。有趣的问题能促使学生思考和探究，在探究过程中问题层层深入，提高了思维能力。
（二）制作莫比乌斯带
师：（看到有一部分同学做成了）同学们可以互帮助，做出来的同学，想想是怎么做的，把你的方法分享给大家。
指名回答（可以边说边演示）。
教师小结做法：一只手捏住纸条的一端，另一只手捏住纸条的另一端，把它旋转180度，变成一个纸环，再用固体胶把两端粘住。师：通过老师的演示希望对你们有帮助，刚才没完成的孩子现在完成它。
师：为什么是一条边？哪位同学说说（师边说边用手师范）沿着纸条的任意一边一直摸下去，有什么发现？
生：是一条边。
师：第二个问题，是不是一个面？我们一起动手，都来检验一下吧，我们拿起笔来（师示范）从这面起，在纸条的中间画一条线（师生操作）画好了有什么发现？生：所有的面都画上了，真是一个面。师：不是有两个面吗？怎么变成了一个面？（里面的接到外面，上面的边与下面的边连接在一起）好玩吗？举起刚做好的纸带，这叫什
么？知道吗？（板书：莫比乌斯带）
师：1858年德国的数学家莫比乌斯一次偶然的机会发现了这样一个神奇的纸圈，所以就用他的名字命名叫莫比乌斯圈或莫比乌斯带。
师：像这样没有里外之分，只有一个面，在数学上叫单侧曲面，那么普通的纸圈有里外之分就叫双侧曲面。
【设计意图】从纸条到普通纸圈再到“莫比乌斯带”，学生经历了一个从熟悉到陌生，从普通到神奇的知识形成过程，这个过程对学生来说是新鲜、有趣的，它指引着学生一步步揭开“莫比乌斯带”的神秘面纱。
（三）变化的莫比乌斯带
探究一：沿二分之一线剪
师：（展示普通纸圈）如果我沿着刚画的线剪开会怎样？
生：会变成2个同样大小的纸圈。
师：是吗？（师示范）还真是。
师：（展示一个莫比乌斯带）刚才你们不是在这个莫比乌斯带中间画了一条线吗？如果我们沿着这条线把这个纸圈剪开的话？会怎么样呢？
生1：会变成两个纸圈。
生2：会变成两个莫比乌斯带。
生3：有可能是三个纸圈。
师：要知道究竟是什么样的，应该怎么办呢？
生：动手剪一剪。
师：是啊，实践出真知！（学生动手剪）
学生汇报
生：在我剪完后，不像刚才同学说的那样是两个圈，是连在一起。
师：是一个圈还是两个圈？
生：一个圈。
师：我们都认为从中间剪开应该是两个圈，结果是一个圈，这就是莫比乌斯的神奇之处，（展示剪开后的纸圈）这个还是一条莫比乌斯带吗？现在你们验证一下，用笔画一画，说说你的发现。
生：画完之后只画了一个面，还有一个面没画上。
师：那么是莫比乌斯带吗？
生：不是
师：现在在中间又画一条线，如果再沿着这条线剪开，想想，又会是什么结果？
生1：还是一个圆。
生2：我觉得是两个圆。
师：大家做做看（学生动手操作，教师也动手操作）
汇报结果
生：是两个套着的圈。
探究二：沿三分之一线剪
师：我们继续来感受这个纸圈的神奇，好吗？请同学们再拿一张白纸条，在白纸条上画三等分线，请把中间的部分涂上你喜欢的颜色，
两面都涂再做成莫比乌斯带。
师：好，现在你们有什么想法？
生：能沿着线把这个莫比乌斯带剪开吗？
师：可以的，如果我们沿着三等分的线把这个莫比乌斯带剪开的话，需要剪几次呢？
生：两次。
师：剪完以后会是什么样呢？
生1：可能会是三个圈套在一起。
生2：会变成一个大圈。
师：真佩服你们的想象力，那究竟会怎样，还是动手做一做吧！
指名回答（剪一次，两个圈套在一起）
小结：一个大圈套着一个小圈。
师：这个大圈和小圈是莫比莫斯带吗？（生：不是）请用刚才的方法证明一下。
师：小圈就是原来长方形纸条的哪一部分？
学生汇报
【设计意图】通过让学生动手沿二分之一，三分之一线剪，使学生经历了一个从猜测到验证的过程，不仅满足了学生的好奇心，也向学生初步渗透了猜测、验证、探索等数学思想，并引导孩子们寻找生活中的“莫比乌斯带”，发挥想象看到能否创造性地用上它，这让孩子们体会到，数学来源于生活，又回到生活。
（四）学以致用
救救可怜的农民
从前，有一个小偷偷了一位很老实的农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官由他去办理。执事官不想误判此案，但是又不敢得罪县官，你们猜他怎么做？聪明的执事官想了一个办法。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。
你们知道其中的奥秘吗？动手试试吧！
学生汇报结果
【设计意图】以学生喜欢的故事入手，符合儿童的年龄特点和心理特征，唤起学生的兴趣，能够更加积极主动的参与学习，课堂气氛活跃。
（五）生活中的应用
师：一个看似简单的小纸圈竟如此神奇，它可不光好玩有趣，还被应用到生活的方方面面，让我们跟随莫比乌斯带一起走进生活中去吧，欣赏图片（课件出示）
（1）过山车
（2）莫比乌斯爬梯
（3）工厂传送带
（4）莫比乌斯茶具
（5）2007特奥会会标“眼神”
（6）三叶扭结
（六）说收获与遗憾
师：这节课即将结束，上了今天这节课你有什么收获与遗憾？
生1：我知道了什么是莫比乌斯带。
生2：莫比乌斯带只有一条边、一个面。
生3：不能多剪几次。……
师：好了，同学们，大家通过今天这节课的学习，是不是对莫比乌斯带还有很多疑问呢？还有很多没有解答的问题，有的问题老师也不怎么清楚，数学家们也在继续探索。我告诉大家，数学中有一门专门研究莫比乌斯带的学问叫拓扑学（板书：拓扑学）。希望同学们能在课下继续探讨有关莫比乌斯带的问题，可能有一天你们会有新的创造发明呢！
【设计意图】回顾本节课的内容，有效的激发学生的学生兴趣和求知欲望。
（七）作业
研究沿着一个莫比乌斯带的四分之一、五分之一线剪，将研究的结果写成数学小论文，班级交流。
【设计意图】通过学生动手剪和记录数学日记的操作性的活动，使学生在获得结论的同时，体验到学习数学的乐趣，体验到成功的喜悦，从而加深对数学问题的感性认识，提高学生们的动手实践能力。
（八）板书设计
神奇的莫比乌斯带
二分之一剪
拓扑学一个面一条边单侧曲面
三分之一剪两个面四条边
双侧曲面
两个面两条边
教学反思
《数学课程标准》指出：“成功的教学所需要的是激发探究兴趣，学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣。”本是数学课，学生带着学习数学、研究数学的心理期待走进课堂，出乎意料的是，教师却给学生表演魔术。学生疑窦丛生兴趣盎然。课始伊，趣已生。
课从普普通通的纸条开始，就把学生的注意力引入到一种神奇而未知的数学世界。在做纸圈时先做一个普通的纸圈，然后将一端翻转180度，再用胶水粘牢，问：“是不是一条边一个面呢？”教师不仅创设了让每个学生剪一剪、画一画、拧一拧这种活动情境，而且还让学生在动手之前先动脑猜想，再小心地验证。而学生正是在想一想的过程中，在这种人际互动中自然而然地体验到数学美在思想。
模仿学习是小学生学习方法之一，它就是从大同小异、小同大异、仿作，由临摹到创新的训练方式,可以培养学生的理解力和鉴赏力。但有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿，模仿仅仅是手段，模仿的目的是为了创造。从模仿到创造，要有一个过程，这个过程也就是学生的发展过程。在这节课，从变魔术引入到学生自己创造这一环节，让每个学生自主地玩，这就把模仿到创造落到了实处。在这个过程中，每个学生在教师的启发下充分地体验到数学美在创造。
数学来源于生活。又应用于生活，与生活实际紧密联系，讲用途可以使学生看到生活中处处有数学。这节课，教师把前几个环节学生探索学习到的知识返回到了显示，又一次激起了学生情绪兴奋之浪花，使学生在兴奋之时能真切地体验到数学就在自己身边，数学是有用的。教师还让学生大胆想象，显示生活中哪些地方还可以应用莫比乌斯带的原理。教师应用图声并茂的动态课件，让学生体验数学之美。
一次成功的数学活动，应该能使学生感受数学的美。这种美，一方面是因为
它承接了学生原有的认知经验，学生感觉到数学很简单、很日常、很好玩，有信心，有兴趣去学习。另一方面学生通过多感官的活动，探究这些亲切有趣的现象背后的原理，建立一定的数学模型，培养一定的数学能力。由此体会到数学的真正美！
神奇的莫比乌斯环（数学游戏课） 活动目标： 1、在动手操作中学会制作莫比乌斯环。 2、通过操作、思考发现并验证莫比乌斯环的特点。 3、在游戏中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣和学习数学的热情。 活动重难点： 制作莫比乌斯环、认识莫比乌斯环的特点 活动准备： 长方形纸条，剪刀，胶棒、水彩笔、莫比乌斯环若干 活动过程： 一、创设情境，引出学习需求、激发兴趣 喜欢听故事吗？ （课件）古时候有一个小偷偷了一个农民的东西，被送到县衙，县官发现小偷是自己的儿子。就在一张纸条的正面写了：小偷应当放掉；在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执法官让他去办。执法官不想冤枉农民，又不敢擅自修改县官的命令。怎么办呢？他想到了一个好主意。他没有更改字条上的任何一个字，而是用这个长方形的纸条做了一个纸环，接着大声念道--------“应当关押小偷应当放掉农民”小偷最终受到了惩罚。 你知道这是怎么回事儿吗？ 二、经历探究的过程，认识“莫比乌斯环”特点 （一）猜想---实践---得到结论 1．纸条 （1）同学们桌子上就有这样的纸条，我们来观察一下，几条边？几个面？
（2）现在我们一起用红笔在它的上面这样画一条线留下一个痕迹，要想在另一面也画一条线留个痕迹，必须先做个什么动作？对，我们得翻一下才能做到。这一面我们用绿色画线留痕迹。 2.普通纸环 用这样的纸条可以做成不同的纸环，我们一起来看看。 （1）拿出这样的纸环，认识吗？它有几条边？几个面呢？ （2）执法官做的是不是这样的纸环呢？ 3.莫比乌斯环 （1）制作中提出假想 用纸条还可以做成这样的纸环呢，想不想做一个？老师带着做。你发现了什么？你有什么想法？光猜想不行，我们要实践验证验证。 （2）实践中得出特点 2人一起验证。小组的同学展示。 猜猜它有几条边？ 2人一起验证。小组的同学展示。 （3）判断 执法官做的是不是这样的一个纸环呢？ （二）了解“莫比乌斯环”的由来 （课件）德国人莫比乌斯--------------------他感到非常惊讶！ 如果你是他，你会继续做些什么呢？莫比乌斯带着好奇进行了继续的研究，发现了这种纸环的更多奥秘。人们为了表彰他就用他的名字为这种纸环命名了。 三、了解莫比乌斯环的应用 1.猜测
神奇的莫比乌斯圈教学设计 教学目标： 1、知识与能力：学生认识莫比乌斯圈，并且会制作莫比乌斯圈，了解莫比乌斯圈的特点。 2、过程与方法：通过莫比乌斯圈的二分之一剪，三分之一剪，引导学生学会“猜想，验证，探究”的数学方法，逐步在思想认识上建立数学的逻辑性和严谨性，并且从中感受莫比乌斯圈的神奇变化。 3、情感态度与价值观：让学生在猜想与现实差距中，培养探究精神，激发学生学习数学的兴趣，感受数学的神奇魅力。并且通过莫比乌斯圈的在实际生活中的应有，建立“数学来源于生活，服务于生活”的思想。 教学重点：莫比乌斯圈的制作 教学难点：理解莫比乌斯圈的特征 教法选择：教师示范与学生实验操作相结合 学法指导：学生动手操作验证自己的想法学生独立思考和合作探究 教学准备：长方形纸条，剪刀，胶水，水彩笔 教学过程： 一、导入 师：同学们都喜欢观看魔术吗？那么今天老师在这里给大家表演一个魔术，同学们可要睁大眼睛，仔细观察，不要错过每一个细节。 师：拿出事先准备好的纸圈，沿着三分之一线剪一圈，一个完整的
纸圈变成了两个纸圈相套的形式。(学生很惊讶，都在小声的议论) 师：同学们，想学习这个魔术吗？那么我们从最简单的形式开始。二、探究新知： 教学一：认识“莫比乌斯圈” （一）循序渐进，引出问题 1、观察：请大家拿出课前准备好的长方形纸条，摸一摸，看一看，它有几条边？几个面？ （四条边，两个面） 2、思考：你能把它变成两条边，两个面吗？（问题难不倒学生，脸上得意洋洋的表情，学生很快就得到了答案） 3、操作：学生动手操作，将长方形纸条，首尾相接，做成了圆形纸圈 4、验证：动手摸一摸，感受一下两条边和两个面 5、再思考：你能把它的边和面变得更少一些吗?把它变成一条边和一个面吗？ （大部分学生开始困惑，觉得难以完成，教师在这里让学生先自行思考，然后同桌之间相互讨论，交流想法） （二）制作莫比乌斯圈 1、介绍做法：将纸条，一端不变，另一端拧180°，然后将两端粘贴。 2、操作：思考，讨论结束，同学们开始动手尝试制作“一条边，一个面”的纸圈吧。
神奇的莫比乌斯带 一．教学目标 1. 引导学生在对比探究中认识“莫比乌斯带”，并会制作“莫比乌斯带”。 2. 组织学生动手操作，验证交流，体验“猜想—验证—探究”的数学思想方法。 3. 让学生经历猜想与现实的冲突，感受“莫比乌斯带”的神奇变化，培养探究精神。 二．教学准备 剪刀，水彩笔，长方形纸条 三．教学过程 1.魔术引入 出示图片——刘谦——用纸条将两个环形针连到一起。 活动一：认识“莫比乌斯带”。 一、制作圆形纸带。 1.观察：一张普通长方形纸片，它有几条边？几个面？ 2.思考：你能把它变成两条边，两个面吗？ 3.操作：学生动手，取长方形纸条，制作成圆形纸圈。 4.验证：用手摸一摸，感受两条边，两个面。 5.再思考：你能把它的边和面变更少一些，把它变成一条边，一个面吗？ 二、制作“莫比乌斯带”。 1.操作：学生动手，尝试制作“一条边，一个面”的纸圈。 2.介绍做法，强调：一头不变，另一头扭转180度，两头粘贴。 3.验证： ⑴质疑：这个纸圈真的只有一条边，一个面吗？怎么验证“一条边，一个面”？ ⑵教师指导验证方法，学生动手验证。 ⑶交流验证结果：真的只有一条边，一个面。 ⑷动态展示，加深认识。 ⑸感受：用手摸一摸它的面，感受一下，只有一条边，一个面。 4.小结： ⑴介绍：这个“怪圈”是德国数学家莫比乌斯在1858年研究时发现的，所以人们把它叫做“莫比乌斯带”。 ⑵出示课题：“莫比乌斯带”。
活动二：研究“莫比乌斯带”。 一、剪“莫比乌斯带”（二分之一） 1.猜一猜：如果沿着“莫比乌斯带”的中间剪下去，剪的结果会怎样？ ①一分为二成两个圈。②断开成两段。 2.剪一剪：学生动手，沿着“莫比乌斯带”中间剪。验证猜测。 3.交流：沿着纸带中间剪下去，会变成一个两倍长的圈。 4.揭密：为什么没有一分为二变成两个圈？而是变成一个两倍长的圈？ 5.质疑：这个大圈还是“莫比乌斯带”吗？学生动手验证。 二、剪“莫比乌斯带”（三分之一） 1.猜一猜：如果我们沿着三等分线剪，剪的结果又会是怎样呢？ ①变成一个大圈。②两个套在一起的圈。 2.剪一剪：取长方形纸片,再做一个“莫比乌斯带”,学生动手，验证猜测。 3.交流：发现变成一个大圈套着一个小圈。 4.揭密：和你的猜测一样吗？为什么会变成一个大圈套着一个小圈？ 活动三：介绍“莫比乌斯带”在生活中的应用。 1.交流“莫比乌斯带”的理念在生活中的应用。 2.延伸：后来科学家们通过对莫比乌斯带的深入研究，就慢慢形成了一门新的学说——拓扑几何学。 活动四：自由剪“莫比乌斯带”。 如果不是旋转180度，而是更多的度数，或者沿四分之一，五分之一的宽度剪开“莫比乌斯带”，又会有什么新的发现呢？大家不妨同桌先猜猜，再动手试试，最后验证你们的猜测！ 活动五：课堂小结。 这节课你学到了什么？有什么感受？上了这节课对你今后的学习有什么帮助？ 四．板书设计 神奇的莫比乌斯带 4条边，2个面二分之一一个大圈 2条边，2个面三分之一一个大圈，一个小圈 1条边，1个面四分之一…
莫比乌斯圈(M?bius strip, M?bius band)是一种单侧、不可定向的曲面。因A.F.莫比乌斯(August Ferdinand M?bius, 1790-1868)发现而得名。将一个长方形纸条ABCD的一端AB 固定，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合在一起，得到的曲面就是莫比乌斯圈。 莫比乌斯环图册 有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？ 对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈。莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将两端粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。 圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。”麦比乌斯圈就这样被发现了。 弄好一个圈，沾好，绕一圈后可以发现，另一个面的入口被堵住了，原理就是这样。
神奇的莫比乌斯圈 一、引入课题：两个剪纸游戏 1、游戏一：你能把一张纸剪成两张吗 找一张旧报纸，用剪刀把报纸剪出一张5厘米宽的纸条，把纸条的一头翻个面，然后和另一头粘在一起，形成一个扭曲的纸圈。沿着5厘米宽的纸圈的中心线把纸圈剪开，你能剪出两个纸圈吗 剪完一圈，你会发现纸圈还是一个，不过比原纸圈长了一倍。这种扭曲的纸圈有一个奇妙的特点，它只有一个面，也就是没有正反面，这种纸圈在拓扑学上叫莫比乌斯圈。 如果我们再剪一次，会发生什么事情呢现在这个纸环已经是不是单侧曲面了，所以剪开以后应该至少出现两个环。问题是，那会是怎么样的两个环呢结果是两个和刚才一样的纸环，不过这两个纸环是套在一起的。 2、游戏二：换个地方剪，你能剪出和上面一样的纸圈吗 还是按上面说过的方法做一个摩比乌斯圈，用剪刀从靠纸边上三分之一的地方剪开。从头剪到尾，一直保持离纸边相同的距离。 这样剪的结果会是一个比原纸圈长一倍的纸圈和一个与原纸圈同样大的纸圈套在一起，真是有意思极了，这一点你恐怕没有想到吧。 二、莫比乌斯圈 1、简介 公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯圈”。
2、发现 数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。 有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。 莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。”莫比乌斯圈就这样被发现了。 3、相关结论 做几个简单的实验，就会发现“莫比乌斯圈”有许多让我们感到惊奇而有趣的结果。 实验一： 如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“莫比乌斯圈”，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。 实验二：
《莫比乌斯带》教学设计 一、教学内容： 人教版义务教育教科书四年级上册70页《神奇的莫比乌斯带》 二、活动目标： 1、在动手操作中学会将长方形纸条制成一个神奇的莫比乌斯圈。 2、在莫比乌斯圈魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野。 3、进一步激发学生学习数学的兴趣，让学生获得学习成功的体验。 三、活动准备： 每位学生若干张长方形纸条，剪刀，固体胶（胶带纸）、水彩笔（蜡笔） 四、活动过程： 活动一：探究什么是莫比乌斯带 活动任务 让学生在认真观察的基础上自己探究，建立对莫比乌斯带的认识。活动内容 问题提出 什么样的带子是莫比乌斯带？ 设计方案 此活动中，分两步进行探究：
第一步：让学生观察并猜测:把带子直接首尾相连，然后想要一次连续不断地摸到带子的两个面是不可能的。但如果先捏着带子的一端，将另一端扭转180°，再首尾粘贴起来，就能连续不断地摸到带子的两个面了。 第三步：让学生了解有关莫比乌斯带知识。 结论验证 通过认真观察，使学生知道先捏着带子的一端，将另一端扭转180°，再首尾粘贴起来的带子就是莫比乌斯带。让学生初步体验莫比乌斯带的神奇之处，并初步培养学生的空间观念。 知识链接 公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”。 活动二：探究沿莫比乌斯带的中间剪开会是什么样 活动任务 让学生结合具体活动，在不断辨析的过程中，继续深入了解和认识莫比乌斯带；让学生初步感受莫比乌斯带的神奇，并初步培养学生的空间想象力。 活动内容
《神奇的莫比乌斯圈》说课稿 一、说教材 【设计理念及意图】 新一轮课程改革的一个重要特征是以学生的学习方式作为一个突破口。在灵活多样的学习方式中，新课程提倡和凸显“自主、合作、探究”学习，使学生在玩中学、做中学、思中学、合作中学，亲身经历将实际问题抽象为数学模型，并进行解释与应用的过程。使学生更好地理解数学、运用数学，获得学习中的乐趣与全面和谐的发展，从而使“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维课程目标得以实现。 【教学内容及分析】 我执教 一、说教材 【设计理念及意图】 新一轮课程改革的一个重要特征是以学生的学习方式作为一个突破口。在灵活多样的学习方式中，新课程提倡和凸显“自主、合作、探究”学习，使学生在玩中学、做中学、思中学、合作中学，亲身经历将实际问题抽象为数学模型，并进行解释与应用的过程。使学生更
好地理解数学、运用数学，获得学习中的乐趣与全面和谐的发展，从而使“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维课程目标得以实现。 【教学内容及分析】 我执教的内容是人教版小学数学四年级上册第四单元数学游戏《神奇的莫比乌斯带》。《莫比乌斯圈》属于《拓扑学》的内容，这个内容对教师来说，不是个好组织的内容，却是一个激发兴趣、激励学生学数学用数学、拓宽数学视野的好题材，也是数学活动课中的典型题材。然而教参中对于这部分知识的教学要求却只有一句话“要求学生理解并学会自己制作莫比乌斯带，体会它的神奇。”因此，我制定了如下教学目标： 二、说教学目标及重难点 （一）教学目标 1．在动手做中学会将长方形纸条制成一个神奇的莫比乌斯纸圈； 2．在其“魔术般的变化”中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学习数学的热情； 3．初步领会“观察、猜测、想象、验证”的学习方法。教学重点：学生经历动手操作，主动思考，合作交流的“做数学”的过程，并从中发现“莫比乌斯带”的奇异性质。
《神奇的纸环》活动方案 活动目标： 1、经历探索莫比乌斯圈神奇特征的过程，了解莫比乌斯圈的特征，学会制作简单的莫比乌斯圈。 2、初步体验和感知“认真观察——大胆猜想——动手实践”的综合实践活动的探究方法，并学会运用方法进一步开展探究活动。 活动准备： 每位学生4张长方形纸条，剪刀，固体胶（胶带纸）、水彩笔（蜡笔）、直尺。发给学生一个普通纸环，一个莫比乌斯纸环。 活动过程： 一、创设情境，导入主题 智力大挑战 请注意，现在是挑战大家智力的时候，老师这里有一道智力难题。同学们的桌面上都放着一个纸环，假如：这纸环的里面和外面都涂上了一圈蜂蜜，一只饥饿的蚂蚁发现了，它想吃到两面所有的蜜，谁能帮助它走出一条路线，前提条件是不能越过纸环的边缘爬到另一面，也不能打洞穿过。大家动手试一试，可以用彩笔代替蚂蚁爬行的轨迹。 二、观察发现，激发兴趣 你们想知道老师是怎么做到大家没做到的事吗？其实老师对这个环动了一个小小的手脚。 观察认识莫比乌斯环 大家现在手上都有两个环，一个白色，一个粉色。请大家仔细观察一下，看看这两个环有什么不同。 简介莫比乌斯环 刚才帮助老师让蚂蚁完成心愿的环就是这个粉色环，它有一个好听的名字叫——莫比乌斯环，因为是由德国数学家莫比乌斯发现而得名。（出示视频）师解说：这种环最大的一个特点就是它只有一个面一条边，从起点出发，经过所有面，最后又回到原点。这也就是蚂蚁在这个环里能吃到所有蜜的原因。 我发现大部分同学眼睛都看直了，说明它的神奇确实吸引了你，不要着急，今天我们就一起走进这《神奇的纸环》世界。（出示课题《神奇的纸环》） 三、动手实践，探究奥秘 1、制作环。 那个莫比乌斯环看起来神奇，其实它做起来很简单。 （出示制作过程图片）师解说，两手捏住纸环，一端不动，将另一端扭转180度，反面朝上，再上下对接，用固体胶粘帖起来（提示：粘贴处胶水要涂抹均匀）。 会做了吗？有同学点头了，有的还皱着眉头，没关系，你跟着老师再来尝试一下。 全体同学学着做一做。 2：探究一条线的莫比乌斯环 同学们真是心灵手巧，纸环做得又快又好。但光会做还不够，我们还要进一步来探究，如果再让你拿出一条绿色纸条，沿着纸条在中间画上一条横线，做成莫比乌斯环，然后沿着这条画好的线，把纸环剪开来？会有什么结果发生呢？谁敢来猜一猜？
神奇的莫比乌斯圈教后感 今天上了一节活动课《神奇的莫比乌斯圈》，说实话，对于莫比乌斯圈，之前我也是一无所知的，还是一次无意在网上看到了，觉得很有趣，挺神奇的，于是决定就作为研究课来上上看。 关于莫比乌斯圈的知识，单纯从操作上来讲，学生肯定会从愉悦、新奇、兴奋的情境中顺利接受的，但是如果专门学做各种各样的奇异的纸圈，而不渗透这种神奇的道理，那也是没什么大意义的。因此本节课我主要是让学生先猜想，再操作，最后验证，在操作中研讨，在研讨中进行分析，试图理清变幻的思路。这些变幻的道理对五年级的学生来说是比较困难的。说实话，当初我自己在操作研究的时候也不是那么一帆风顺的，反复琢磨，剪了好几次，说出来不怕大家笑话，当时正逢女儿在家，我就现炒现卖，跟女儿用纸条做游戏，由于不熟练也没有深入研究，导致错误连出。错误一：把莫比乌斯圈说成乌比莫斯圈（说得还挺顺）；错误二：将莫比乌斯圈沿着二等分线剪开得到了一大圈，当时我跟女儿验证的时候是用手指走了一圈，发现还是回到了起点，就草草得出结论：大圈还是莫比乌斯圈。其实不是，而是个双侧面。之后女儿还把这次有趣的游戏写到日记里了。我真是汗颜，这不是误人子弟吗？（虽然是自己的孩子）。这是一次失败的教育，我真真切切地感到，教师要给人一滴水，自己必须要有一桶水。做什么事都不能抱着做做看的心理，而应该做到心中有数，这样才不至于出洋相。当时我是全然不觉，后来我又一次操作的时候才发现了以上的错误。因此今天教学中，我先在投影上演示，用笔在圈的面上走一圈，学生操作的时候我也强调了用这种方法来验证，不过也有些学生还是怕麻烦，还是用手指在圈上走，走了几次，也得不出结论。 课堂上我有意设计一个个小难关，刺激学生的大脑神经，让学生在思维火花的碰撞中展开联想，让联想在操作中实现验证，找出想象的差错。一个小难关一个小浪花，一浪高过一浪，学生兴趣盎然。课后，讲台上剩下的纸条马上就一抢而光，看来他们还没尽兴呢。 但在整个学习过程中学生对变换理由的解释显然难以理解，有的是解释不清楚。从课堂反应来看，在老师的启发下自己能够感悟理由的也有一部分人，但不多，在老师的解释下仍有很多同学不知其所以然。例如对问题三“为什么只要剪一次，结果是一个大圈，一个小圈”的理解，说实话，这个问题成人理解起来也不会那么容易的。不过话说回来，其实本堂课我的教学目的主要是让学生感受
神奇的莫比乌斯带 这学期有幸承担学校人文讲坛的任务，原来任四年级数学老师的时候，搜集了许多有关“莫比乌斯带”的资料，趁着这个阴雨不断的十一长假重新作了整理和修缮。不过很可惜很多图片都没有办法上转。 讲稿： 神奇的莫比乌斯带 同学们一定听过这样一个讲不完的故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有个和尚在讲故事，讲的什么？…… 我们在记录这个故事的时候，可以像我这样用“……”来表示故事讲不完，再可爱一点儿，同学们认识了循环小数，在循环节的首尾各点一点儿表示无限循环下去，我们可以效仿这样来表示：?从前有座山，山上有座庙，庙里有个和尚在讲故事，讲的什么?？但如果我把四句话分别写在一张纸条的正反两面，我们还有办法让这个故事讲不完吗？答案是可以！ 我们只要将纸条做一个翻转，然后再粘贴，就能够实现故事无限循环下去。那么大家所看到的这个纸圈在数学的历史上历经多年终于被德国的天文学家莫比乌斯发现了，公元1858年，莫比乌斯把这条带子介绍给大家，于是这个纸圈便被命名为——莫比乌斯带。今天中午，我就跟大家一起来看看这条带子的与众不同。 一、莫比乌斯带的发现 首先让我们一起来重温莫比乌斯带的发现。 数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形
的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？ 对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。 有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。 一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈。 莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将两端粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。 圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。莫比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。”麦比乌斯带就这样被发现了。
莫比乌斯带 莫比乌斯带（德语：M?biusband），又译梅比斯环或麦比乌斯带，是一种拓扑学结构，它只有一个面（表面），和一个边界。它是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁（Johhan Benedict Listing）在1858年独立发现的。这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像，他们相互对称。如果把纸带顺时针旋转再粘贴，就会形成一个右手性的莫比乌斯带，反之亦类似。 莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果从中间剪开一个莫比乌斯带，不会得到两个窄的带子，而是会形成一个把纸带的端头扭转了两次再结合的环（并不是梅比斯环），再把刚刚做出那个把纸带的端头扭转了两次再结合的环从中间剪开，则变成两个环。如果你把带子的宽度分为三分，并沿着分割线剪开的话，会得到两个环，一个是窄一些的莫比乌斯带，另一个则是一个旋转了两次再结合的环。另外一个有趣的特性是将纸带旋转多次再粘贴末端而产生的。比如旋转三个半圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。剪开带子之后再进行旋转，然后重新粘贴则会变成数个Paradromic。 莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。 几何学与拓扑学结构 用Matlab描绘的莫比乌斯带 一个利用参数方程式创造出立体莫比乌斯带的方法：
这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带，所处位置为x-y面，中心为（0，0，0）。参数u在v从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。如果用圆柱坐标系（r,θ,z）表示的话，一个无边界的莫比乌斯带可以表示为： 从拓扑学上来讲，莫比乌斯带可以定义为矩阵[0,1]×[0,1]，边由在 0 ≤x≤1的时候（x,0）~（1-x,1）决定，如右图所示。 莫比乌斯带是一个二维的紧致流形（即一个有边界的面），可以嵌入到三维或更高维的流形中。它是一个不可定向的的标准范例，可以看作R P2 # R P2。同时也是数学上描绘纤维丛的例子之一。特别地，它是一个有一纤维单位区间，I= [0,1]的圆S1上的非平凡丛。仅从莫比乌斯带的边缘看去给出S1上一个非平凡的两个）的从。 点（或Z 2 有关的物体 和莫比乌斯带非常近似的一个几何学物体叫做克莱因瓶。一个克莱因瓶可以用粘贴两个莫比乌斯带的方法制作出来。但是如果物体不进行自我交叉，这个步骤在三维空间内是不可能完成的。 另外一个相近的结构是实射影平面。如果在实射影平面上有一个洞的话，从左侧看就会形成一个莫比乌斯带。或者把莫比乌斯带的边界进行有限定义，就会形成一个真投影屏面。更形象地说法是重建莫比乌斯带的边缘形成一个普通的环。有一种普遍的误解认为如果不进行平面的自我交叉就无法在三维空间内形成一个有普通环边缘的莫比乌斯带。事实上是可能的，方法是这样的：定义C为xy 面上的单位圆，现在连接C上面的对拓点，比如θ和θ+ π。当θ在0到π/2之间运动的时候，在xy面上方做这条线的反余切，其他情况则在面下做反余切。
“神奇的莫比乌斯带”教学案例 遵义县第五小学粟明珊教学目标： 1、让学生认识“莫比乌斯带”，学会将长方形纸条制成莫比乌斯带。 2、引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯带”的特征，培养学生大 胆猜测、勇于探究的求索精神。 3、在莫比乌斯带魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学情感。 设计理念： 新一轮课程改革的一个重要特征是以学生的学习方式作为一个突破口。在灵活多样的学习方式中，新课程提倡和凸显“自主、合作、探究”学习，使学生在玩中学、做中学、思中学、合作中学，亲身经历将实际问题抽象为数学模型，并进行解释与应用的过程。使学生更好地理解数学、运用数学，获得学习中的乐趣与全面和谐的发展，从而使“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维课程目标得以实现。 教学片段 片段一：创设情景，引出课题——三张纸条 师：课前老师给同学们发了三张长方形的纸条，今天我们就用这些纸条来学习新知识。 这个年龄段的学生对身边的事物有强烈的好奇心和求知欲，学生纷纷猜想今天我们究竟要学习什么知识？ 片段二：认识莫比乌斯带 师：请同学们取出1号纸条，认真观察：这是一张普通的长方形纸条，它有几条边几个面？（引导学生观察） 生A：4条边两个面。 生B：我还能把它变成两条边两个面。 师：怎么变，你变给老师和同学们看看。 生A上台演示。 学生动手操作：粘——可以首尾相接围成一个圈。 生C：既然能变成两条边两个面，那么能不能变成一条边一个面呢？
师：你们看看，动一动脑筋看能不能呢？小组讨论，并拿另一张纸条试试看，做成功的同学一会儿上台演示给大家看。 生D、E演示失败。 师：看来这个问题把大家难住了，再让大家试试，看看谁最聪明。 生F演示成功，洋溢着兴奋喜悦。 师：看看老师是怎样做的（边演示边口述)：先做成一个普通的纸圈，然后将一端翻转180°，再用胶带粘牢。这样就完成了只有一个面一条边的纸圈。 请同学们按照老师演示的方法做一个这样的纸圈。（小组合作，互相帮助）师：你们知道这样的一个纸圈叫什么名字吗？（板书课题：神奇的莫比乌斯带）它是德国数学家莫比乌斯在1858年在偶然间发现的，所以就以他的名字命名叫“莫比乌斯带”，也有人叫它“莫比乌斯圈”，还有人管他叫“怪圈”。 片段三：动手操作：剪——研究莫比乌斯带 师：莫比乌斯带到底有多神奇呢？下面我们就用“剪”的办法来研究。 老师先拿出平常的纸圈，问：如果沿着纸带的中间剪下去，会变成什么样呢？ 请一名同学动手剪，学生观察验证。请同学们认真观察他是怎么剪的？（变成2个分开的纸圈） 师：现在，老师拿出莫比乌斯带，我们也用剪刀沿中线剪开这个莫比乌斯纸圈，同学们猜一猜会变成什么样子？（启发学生想象力）请同学们自己动手验证一下。（1/2剪莫比乌斯带） 生G：（惊奇地）变成了一个更大的圈。 师：你们说神奇吗？大家还想不想继续研究？请同学们拿出3号纸条，再做成一个莫比乌斯带。如果我们要沿着三等分线剪，猜一猜：要剪几次？剪的结果会是怎样呢？小组轻声交流一下。 学生动手操作，同桌合作帮助。 验证结果：一个大圈套着一个小圈。（1/3剪莫比乌斯带） 师：这个小圈和大圈是莫比乌斯带吗？请用刚才的方法证明一下。 片段四：生活中应用——莫比乌斯带不仅好玩有趣，而且还被应用到生活的方方面面。请欣赏图片（课件展示）。 生A: 原来我们座的过山车的跑道就是采用的就是莫比乌斯原理。 生B：我还知道中国科技馆的标志性的物体，也是由莫比乌斯带演变而成的。
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
《神奇的“莫比乌斯带”》教学设计和反思 葛洲坝实验小学游丽华 【教材分析】 公元1858年，德国数学家莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。因为普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯带”。这节课是北师大版数学教材六年级下册“数学好玩”中的一节课，旨在通过了解神奇的莫比乌斯带，让学生感受到数学的好玩，数学也是可以玩中去学习的。 【活动目标】 1、方形纸条制成一个神奇的莫比乌斯圈，在动手操作中了解莫比乌斯带的特征。 2、经历动手操作，主动思考，合作交流的“做数学”的过程，探索莫比乌斯带的神奇特征。 3、敢于大胆猜想，能够提出自己的见解；通过猜测到验证这种数学活动，感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学习数学的热情。 活动重点：目标2 活动难点：利用所学数学知识解决问题的能力。 教法：启发式教学法、探究式教学法、问题教学法。
学法：经历动手操作，主动思考的“做数学”的过程，并从中发现“莫比乌斯带”的神奇特征。 【活动准备】 (1)课件 (2)长纸条三条(长20-30厘米，宽约4厘米，事先画好二等分线和三等分线)； (3)剪刀 (4)双面胶（胶水） (5)水彩笔 【活动过程】 一、创设情境 （课件出示故事《聪明的执事官》），这位聪明的执事官是用什么方法让小偷得到惩罚呢？这张小小的纸条里到底隐藏着什么奥秘大家想知道吗？这节课我们就研究这张小小的纸条，学完这节课大家就会明白了。 设计意图： 课前以儿童喜爱的故事情境导入，符合儿童的年龄特点和心理特征，唤起了学生的学习兴趣。学生对故事中的问题很感兴趣，能够积极主动地参与学习，课堂气氛活跃。 二、认识莫比乌斯带 1、出示一张纸条 请同学们拿出准备好的1号长方形纸条，看看这张纸条它有几个
莫比乌斯带 公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”。 拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸圈。 莫比乌斯圈 新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了，得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。 莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。 比如在普通空间无法实现的"手套易位"问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。 在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。 应用 “莫比乌斯带”在生活和生产中已经有了一些用途。例如，用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状，这样皮带可以磨损的面积就变大了。如果把录音机的磁带
关于上《神奇的莫比乌斯圈》一课的几点思考 教材分析 《神奇的莫比乌斯圈》是人教版四年级上册第77页的一节活动课。这节课对于大部分老师来说是新奇的。初见课题，老师可能都会惊讶：数学有这样一节课？接着你会满脸疑惑地问：“这是一节什么课？什么是莫比乌斯圈呢？本节课的目的、意义又何在？”说句实话，它作为一节活动课，不列为考试内容，容易被老师忽视；上这样一节课要让学生准备太多的学具：有三张纸条、彩笔、剪刀、双面胶，准备工作太繁琐而被老师跳过；同时教材上本节课的内容很少，教学参考书对它只字未提，无任何教学建议，更无任何现成的教学资料，有些老师也许自己都不太懂而直接不上。但是这个内容确实是一个激发学生学习兴趣，开阔学生视野，拓宽学生知识面的好题材。我决定上这节课，既是给自己一个学习的机会，也是给自己一个锻炼的机会。在阅读大量资料，观摩了许多名师关于这一课的课堂教学后，我以“动手做数学，做中学数学”的思路来进行设计，以问题为载体，由易到难步步推进，层层深入，让学生在操作中进行研讨，在研讨中进行分析，在分析中进行验证。接下来说一说我在设计本节课时的几点思考: 1、如何体现数学活动课的特点？ 数学活动课具有实践性、综合性、思考性、数学性。教学中，我设计了“做莫比乌斯圈——沿莫比乌斯圈2分之一，3分之一处剪——欣赏用途”四个活动，为学生提供了大量的观察、猜测、思考、操作、验证的时间和空间，让学生经历猜想、验证、质疑、探索全过程，突出数学活动课的趣味性、自主性、探索性。 2、如何提高数学课的趣味性？ 诱发、培养学生学习兴趣是活动课教学目标之一。因此活动课教师要创设情境激发学生的情感，最大限度地调动学生积极性，让学生在轻松、愉悦的氛围中学习数学。所以，上课一开始，我从变魔术引入，把学生注意力带到一种神奇的数学世界，激起学生学习兴趣。在课堂中我还经常用一些激情而富有感染力的语言引起学生的关注如：多神奇的莫比乌斯圈啊！你还想见证它的神奇吗？我告诉你莫比乌斯圈的神奇才刚刚开始；它不光神奇、好玩还非常有用…等等，引起学
数学游戏《神奇的莫比乌斯带》 一、教学内容：人教版四年级上册70页《神奇的莫比乌斯带》 二、活动目标： 1、在动手操作中学会将长方形纸条制成一个神奇的莫比乌斯圈。 2、通过观察、猜测、验证莫比乌斯圈魔术般的变化，感受数学的无穷魅力，拓展数学视野。 3、进一步激发学生学习数学的兴趣，让学生获得学习成功的体验。 三、活动准备： 每位学生若干张长方形纸条，剪刀，固体胶（胶带纸）、水彩笔（蜡笔） 四、活动过程： 谈话导入：今天老师给大家带来一节数学游戏课，同学们只有做到这几点（课件出示要求）才能在这节课里学的开心玩的快乐。同学们，你们准备好了吗？（同学们的声音真洪亮，老师讲个故事作为奖励。） 活动一：听一听古代故事： 1、师：老师给同学们带来了一个故事请同学们仔细听。从前，有一个小偷，偷了一位很老实的农民的东西，并被当场
抓获，人们将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的亲侄子。于是他动了私心,为了掩人耳目他在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，在纸的反面写上：农民应当关押。县官将纸条交给执行官，由他去办理。 问：他这样做合理吗？ 接着讲：执行官他要秉公办事，但又不能更改县官的命令。聪明的执行官想了一个巧妙的办法，救下了农民，关押了小偷。 2、同学们想知道他用了一个什么巧妙的办法吗？学完这节课之后，我们就能知道了。 3、出示课题。这节课我们就一起来学习、探究《神奇的莫比乌斯带》。（课件显示） 那么看了这个课题你们有什么想法吗？······ 师：同学们想知道的还真不少，要想知道这些问题还得从这张小小的纸条说起． 活动二：做一做，认识莫比乌斯带。 1．每个同学拿出一张长方形纸条。 看，这是张普通的纸条，但也是一张神奇的纸条呢。先说说它有几条边，几个面？（摸一摸，指一指） 2．同学们能迅速将它变为两条边两个面吗？ 3．学生自己活动。同学们拿出①号纸条试着做一做。4．学生汇报。
神奇的莫比乌斯环（数学游戏课）活动目标： 1、在动手操作中学会制作莫比乌斯环。 2、通过操作、思考发现并验证莫比乌斯环的特点。 3、在游戏中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣和学习数学的热情。 活动重难点： 制作莫比乌斯环、认识莫比乌斯环的特点 活动准备： 长方形纸条，剪刀，胶棒、水彩笔、莫比乌斯环若干 活动过程： 一、创设情境，引出学习需求、激发兴趣 喜欢听故事吗？ （课件）古时候有一个小偷偷了一个农民的东西，被送到县衙，县官发现小偷是自己的儿子。就在一张纸条的正面写了：小偷应当放掉；在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执法官让他去办。执法官不想冤枉农民，又不敢擅自修改县官的命令。怎么办呢？他想到了一个好主意。他没有更改字条上的任何一个字，而是用这个长方形的纸条做了一个纸环，接着大声念道“应当关押小偷应当放掉农民”小偷最终受到了惩罚。 你知道这是怎么回事儿吗？ 二、经历探究的过程，认识“莫比乌斯环”特点 （一）猜想--- 实践--- 得到结论 1．纸条 （1）同学们桌子上就有这样的纸条，我们来观察一下，几条边？几个面？ 2）现在我们一起用红笔在它的上面这样画一条线留下一个痕迹，要想在另一面也画一
条线留个痕迹，必须先做个什么动作？对，我们得翻一下才能做到。这一面我们用绿色画线留痕迹。 2. 普通纸环 用这样的纸条可以做成不同的纸环，我们一起来看看。 （1）拿出这样的纸环，认识吗？它有几条边？几个面呢？ （2）执法官做的是不是这样的纸环呢？ 3. 莫比乌斯环 （1）制作中提出假想 用纸条还可以做成这样的纸环呢，想不想做一个？老师带着做。你发现了什么？你有什么想法？光猜想不行，我们要实践验证验证。 （2）实践中得出特点 2 人一起验证。小组的同学展示。 猜猜它有几条边？ 2 人一起验证。小组的同学展示。 （3）判断 执法官做的是不是这样的一个纸环呢？ （二）了解“莫比乌斯环”的由来 （课件）德国人莫比乌斯--------------- 他感到非常惊讶！ 如果你是他，你会继续做些什么呢？莫比乌斯带着好奇进行了继续的研究，发现了这种纸环的更多奥秘。人们为了表彰他就用他的名字为这种纸环命名了。 三、了解莫比乌斯环的应用
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀 教学案例评选 姓名车丹 学校名称吉林省长春市南关区西五小学联系地址吉林省长春市南关区 通顺胡同5号 全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 教案设计
题目 一、教案背景 1.面向学生：□小学 2.学科：数学 3.课时：1课时 4.学生课前准备： 剪刀、胶带、彩笔、三张长方形纸条 二、教学课题（结合三维目标写） 教养方面： 让学生认识“莫比乌斯带”，学会将长方形纸条制成莫比乌斯带。 教育方面： 引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯带”的特征，培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。 发展方面： 在莫比乌斯带魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学情感。 三、教材分析 《神奇的莫比乌斯带》是人教实验教材四年级上册新增的一节数学活动课。莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现的一个副产品。莫比乌斯带已被作为“了解并欣赏有趣的图形”之一写进了新的数学课程。 本课的教学目的是让学生通过数学活动，感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学习数学的热情。 四、教学方法 方法： 提问题—做纸圈—剪纸圈—画纸圈—证明纸圈 形式： 学生自主探索、合作交流 五、教学过程（要详细） （一）引入 课前同学们准备了三张长方形的纸条，今天我们就用这些纸条来学习新知识。 （二）认识莫比乌斯带 1、请同学们取出1号纸条，认真观察：这是一张普通的长方形纸条，它有几条边几个面？（引导学生观察） 2、你能把它变成两条边两个面吗？ 学生动手操作：可以首尾相接围成一个圈。 请学生上前演示，用手摸摸看两个面、两条边。 3、请同学们取出2号纸条，你能把它变成一条边一个面吗？请同学们试一试。（引导学生动手
莫比乌斯圈 一张纸有几个面？两个！一张纸可不可以有一个面？这个问题有人曾提出：先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部涂成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，肯定要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈呢？ 在几百年前就提出了。许多科学家曾经研究过，但都没有成功。 有一位名字叫莫比乌斯的德国数学家也对这个问题产生了浓厚的兴趣，但是他研究了很久也是毫无结果。有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气和清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个圈。 一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条”，他不由自主地蹲下去观察。叶子弯曲着耷拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈”就是他梦寐以求的那种圆圈。 莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈。 圆圈做成后，莫比乌斯捉了一只甲虫，放在上面让它爬。结果，甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈的所有部分。莫比乌斯圈就这样被发现了。人们为了纪念他，将这个纸带命名为莫比乌斯圈。莫比乌斯圈是一种单侧、不可定向的曲面。 数学中有一个重要分支叫拓扑学，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，莫比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。 如果在一张纸条正中间画一条线，做成“莫比乌斯圈”，再沿线用剪刀剪开，把这个纸圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。在纸条上划两条线，把纸条三等分，再做成“莫比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，纸带不是一分为二，而是一大一小的相扣环。我们把两条麦比乌斯圈沿着它们唯一的边粘合起来，就得到了一个克莱因瓶。但是我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破一点。 莫比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用莫比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。甚至垃圾回收标志也是由莫比乌斯圈变化而来的。莫比乌斯圈原理在我们的生活中有很多的应用，与我们的生活处处相关。