乘法公式的拓展及常见题型整理教学文稿

乘法公式的拓展及常见题型整理

乘法公式的拓展及常见题型整理

例题：已知b a +=4，求ab b a ++2

22。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()222a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222

121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________

⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()

()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2

=n ，则ab 等于 ⑹若

N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd

ac ，求))((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab

例2：已知a=

201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值

⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=

⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=

⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求

b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x

c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．

（四）步步为营

例题：3?(22+1)?(24+1)?(28+1)?(

162+1)

6?

)17(+?(72+1)?(74+1)?(78+1)+1 ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++

1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+

2

22222122009201020112012-++-+-ΛΛ ??? ??-2211??? ??-2311??? ??-2411…??? ??-2201011

（五）分类配方

例题：已知03410622=++-+n m n m

，求n m +的值。

⑴已知：x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值为 。 ⑵已知x 2+y 2-6x-2y+10=0，则11x y

+的值为 。 ⑶已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值为 .

⑷若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求y x 的值为 。

⑸已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值为

⑹说理:试说明不论x,y 取什么有理数,多项式x 2+y 2-2x+2y+3的值总是正数.

（六）首尾互倒

例1：已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a +=++-求：（）

例2：已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21??? ??-a a 的值；

⑴已知0132=--x x ，求①221x x +

= ②221x x -= ⑵若x 2－ 219

x ＋1=0，求4

41x x + 的值为

⑶如果12a a +=,那么221a a

+= 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______ ⑷已知

31=-x x ，则221x x +的值是 ⑸若12a a

+= 且0

1和221a a +的值为 ⑺已知31=+x x ，求①221x x += ②441x

x += ⑻已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21??? ??-a a 的值；

（七）知二求一

例题：已知3,5==+ab b a ，

求：①22b a

+ ②b a - ③22b a - ④a b b a + ⑤22b ab a +- ⑥33b a +

⑴已知2=+n m ，2-=mn

，则=--)1)(1(n m _______ ⑵若a 2+2a=1则(a+1)2=________.

⑶若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b=

⑷若x 2

+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=_________.22a b +=7，a-b=5，则ab= ⑸若22a b +=3，ab =-4，则a-b= ⑹已知:a+b=7,ab=-12,求 ①a 2+b 2= ②a 2-ab+b 2= ③(a-b)2=

⑺已知a ＋b=3，a 3＋b 3=9，则ab= ，a 2+b 2= ,a -b=

第五讲 乘法公式应用与拓展

【基础知识概述】

一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b

2 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2

(a-b)2=a 2-2ab+b 2

变形公式：（1）()2

222a b a b ab +=+-

（2）()2222a

b a b ab +=-+ （3）

()()222222a b a b a b ++-=+ （4） ()()22

4a b a b ab +--= 二、思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；

② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式。

③ 注意公式的逆用。

④ 2a ≥0。

⑤ 用公式的变形形式。

三、典型问题分析：

1、顺用公式：

例1、计算下列各题：

①

()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++

② 3(22+1)(24+1)(28+1)(

162+1)+1

2、逆用公式：

例2. ①19492-19502+19512-19522+……+20112-20122

②??? ??-2211??? ?

?-2311??? ??-2411……??

? ??-2201011

③ 1.23452+0.76552+2.469×0.7655

【变式练习】 填空题：① 26a a ++＿＿= 2__a ?? ??

?+ ②241x ++＿＿=（ 2)

6．x 2+ax+121是一个完全平方式，则a 为（ ）

A ．22

B ．－22

C ．±22

D ．0

3、配方法：

例3．已知：x 2+y 2+4x-2y+5=0，求x+y 的值。

【变式练习】

①已知x 2+y 2-6x-2y+10=0，求

11x y +的值。

②已知：x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。

③当x

= 时，代数式2x 取得最小值，这个最小值是 当x

= 时，代数式24x +取得最小值，这个最小值是 当x

= 时，代数式()234x -+取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式243x x --取得最小值，这个最小值是

对于2243x

x ---呢？

4、变形用公式：

例5. 若()()()240x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。

例6．化简：()()

22a b c d a b c d +++++-- 例7. 如果22223()()a b c a b c ++=++，请你猜想：a 、b 、c 之间的关系，并说明你的猜想。

完全平方公式变形的应用练习题

一:

1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值

2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

3．已知 2()16,4,a b ab +==求22

3

a b +与2

()a b -的值。 二： 1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a

b +的值。

2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a

b +的值。

乘法公式教学设计教案

乘法公式（1）------两数和乘以这两数的差（一）教学目标 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。 3．认识平方差及其几何背景。 4．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。 （二）教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。 （三）教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。 （四）教学过程： 教学过程 设计意图 探索引入1. 如图，边长为20厘米的大正方形中有一 个边长为8厘米的小正方形，请表示出图中 阴影部分面积： 图（1）的面积为： 图（2）的面积为： 学生探讨：从上式中你能发现一些有趣的现 1．引导学生体会根据 特例进行归纳、建立猜 想、用符号表示并给出 证明这一重要的数学 探索过程，要让学生体 会符号运算对证明猜 想的作用，同时引导学 生体会“数形结合”思 想的重要性。 2、对公式的几何解释 学生普遍感到困难，教 师可以根据两幅图的 变化过程制成动画或 操作演示。 20 8 图（1） 12 336 8 20 8 8 20 202 2= - = ? - ? 336 )8 20 )( 8 20 (= - +

（1）（2a+1）(2a-1)=2 a2-1,原因是“积的乘方”运算错误。 （2）（3a+1）(3a-1)=6a2-1，原因是“数的乘方”运算错误。 （3）（2a+1）(-2a-1)=4a2-1，原因是没有掌握平方差公式的特征。 （4）（-2a+1）(-2a-1)= - 4a2-1，原因是常见的符号错误。 （5）-（2a+1）(2a-1)= - 4a2-1，原因也是常见的符号错误。 。。。 策略：针对上述错误，进行题组训练，教师精讲学生多练，还可以每天五分钟小测验提高解题速度和准确率。

(完整版)[初一数学]乘法公式

乘法公式 一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 要注意等式的特点： （1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数； （2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方． 值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具． 例１下列各式中不能用平方差公式计算的是（）． A．（a－b）（－a－b）B．（a2－b2）（a2＋b2） C．（a＋b）（－a－b）D．（b2－a2）（－a2－b2） 解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算． 例２运用平方差公式计算： （１）（x2－y）（－y－x2）； （２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）． 解：（１）（x2－y）（－y－x2）

＝（－y ＋x2）（－y－x2） ＝(－y)2－（x2）2 ＝y2－x4； （２）（a－3）（a2＋9）（a＋3） ＝（a－3）（a＋3）（a2＋9） ＝（a2－32）（a 2＋9） ＝（a2－9）（a2＋9） ＝a4－81 ． 例３计算： （１）54.52－45.52； （２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)． 分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算． 解：（１）54.52－45.52 ＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)

乘法公式教学设计精选教案

乘法公式（1）------两数和乘以这两数的差 （一）教学目标 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。 3．认识平方差及其几何背景。 4．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。 （二）教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。（三）教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。 （四）教学过程： 教学过程设计意图 探索引入1. 如图，边长为20厘米的大正方形中有一个边长为8厘 米的小正方形，请表示出图中阴影部分面积： 图（1）的面积为： 图（2）的面积为： 学生探讨：从上式中你能发现一些有趣的现象吗？再举几 个数试试.如果是一个数和一个字母，或两个都 是字母呢？它们的情况又如何？ 2.计算下列各题: (1)(x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3)(x+5y)(x-5y) 3、观察以上算式及其计算结果，你发现了什么规律？能 不能大胆猜测得出一个一般性的结论？ 1．引导学生体会根据 特例进行归纳、建立猜 想、用符号表示并给出 证明这一重要的数学 探索过程，要让学生体 会符号运算对证明猜 想的作用，同时引导学 生体会“数形结合”思 想的重要性。 2、对公式的几何解释 学生普遍感到困难，教 师可以根据两幅图的 变化过程制成动画或 操作演示。 问题研讨 计算（a+b）（a-b） = = 探讨：（1）a+b 与a-b这两个式子有什么相同和不同？ （2）计算的结果有什么特点？ 此环节培养了学生的观察 归纳能力 知识知识归纳：平方差公式次环节可以给出几个变式： (-a+b)(-a-b) = a2- b2 20 8 图（1） 12 336 8 20 8 8 20 202 2= - = ? - ? 336 )8 20 )( 8 20 (= - +

乘法公式经典题型及拓展

乘法公式 一、复习: (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，?x ?y ???y ?x ??x 2?y 2 ② 符号变化，??x ?y ???x ?y ????x ?2?y 2? x 2?y 2 ③ 指数变化，?x 2?y 2??x 2?y 2??x 4?y 4 ④ 系数变化，?2a ?b ??2a ?b ??4a 2?b 2 ⑤ 换式变化，?xy ??z ?m ???xy ??z ?m ?? ??xy ?2??z ?m ?2 ?x 2y 2??z ?m ??z ?m ? ?x 2y 2??z 2?zm ?zm ?m 2? ?x 2y 2?z 2?2zm ?m 2 ⑥ 增项变化，?x ?y ?z ??x ?y ?z ? ??x ?y ?2?z 2 ??x ?y ??x ?y ??z 2 ?x 2?xy ?xy ?y 2?z 2 ?x 2?2xy ?y 2?z 2 ⑦ 连用公式变化，?x ?y ??x ?y ??x 2?y 2? ??x 2?y 2??x 2?y 2? ?x 4?y 4 ⑧ 逆用公式变化，?x ?y ?z ?2??x ?y ?z ?2 ???x ?y ?z ???x ?y ?z ????x ?y ?z ???x ?y ?z ?? ?2x ??2y ?2z ? ??4xy ?4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=+1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。 〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z 2是

乘法公式提高练习试题

乘法公式提高练习2016年10月6日 一．选择题（共10小题） 1．（2011?宜宾）下列运算正确的是（） A．3a﹣2a=1 B．a2?a3=a6C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+b2 2．（2010?江门一模）下列多项式中，完全平方式是（） A．x2﹣x﹣2 B．x2﹣x+2 C．x2﹣2x﹣1 D．x2﹣2x+1 3．（2015?甘南州）下列运算中，结果正确的是（） A．x3?x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2 4．（2011?昭通）下列结论正确的是（） A．3a+2a=5a2B．C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．x6÷x2=x3 5．（2012?庆阳）下列二次三项式是完全平方式的是（） A．x2﹣8x﹣16 B．x2+8x+16 C．x2﹣4x﹣16 D．x2+4x+16 6．（2011?连云港）计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，则“□”中的数为（） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 7．（2010春?广东校级月考）请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（） A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+ab+b2 8．（2007?益阳）已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（） A．2 B．±2 C．﹣6 D．±6 9．（2015?赤峰模拟）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（） A．4 B．3 C．12 D．1 10．（2014?思明区校级模拟）如图所示，在边长为a的正方形中挖去 一个边长为b的小正方形（a＞b），再把剩余的部分剪拼成一个矩形， 通过计算图形（阴影部分的面积），验证了一个等式是（） A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 二．填空题（共15小题） 11．（2013春?江阴市校级月考）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3=22﹣12，16=52﹣32）．已知按从小到大顺序构成如下列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…．则第2013个“智慧数”是______． 12．（2013?广东模拟）如图两幅图中， 阴影部分的面积相等，则该图可验证 的一个初中数学公式为______． 13．若m2﹣5m+1=0，则=______． 14．（2011?乐山）若m为正实数，且m﹣=3，则m2﹣=______． 15．（2012?佛山）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为______．

乘法公式教学设计教案

乘法公式教学设计教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

乘法公式（1）------两数和乘以这两数的差（一）教学目标 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。 3．认识平方差及其几何背景。 4．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。 （二）教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。 （三）教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。 （四）教学过程： 教学过程设 计意图 探索引入1. 如图，边长为20厘米的大正方形中有一个边长为8厘米的小正方 形，请表示出图中阴影部分面积： 图（1）的面积为： 图（2）的面积为： 学生探讨：从上式中你能发现一些有趣的现象吗？再举几个数试试.如 果是一个数和一个字母，或两个都是字母呢它们的情况又 如何 2.计算下列各题: (1)(x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3)(x+5y)(x-5y) 3、观察以上算式及其计算结果，你发现了什么规律能不能大胆猜测得 1．引导 学生体 会根据 特例进 行归 纳、建 立猜 想、用 符号表 示并给 出证明 这一重 要的数 学探索 过程， 要让学 生体会 符号运 算对证 明猜想 20 8 图（1） 12 336 8 20 8 8 20 202 2= - = ? - ? 336 )8 20 )( 8 20 (= - +

（五）、错解： （1）（2a+1）(2a-1)=2 a2-1,原因是“积的乘方”运算错误。 （2）（3a+1）(3a-1)=6a2-1，原因是“数的乘方”运算错误。 （3）（2a+1）(-2a-1)=4a2-1，原因是没有掌握平方差公式的特征。 （4）（-2a+1）(-2a-1)= - 4a2-1，原因是常见的符号错误。 （5）-（2a+1）(2a-1)= - 4a2-1，原因也是常见的符号错误。 。。。 策略：针对上述错误，进行题组训练，教师精讲学生多练，还可以每天五分钟小测验提高解题速度和准确率。

最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)

八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版) ?、基本公式 1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 2 例：计算 1999 -2000 X 1998 2 2 2 2. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) 例：运用公式简便计算 3. 完全平方公式 a+b(或a-b)、ab 、a 2 +b 2 这三者任意知道两项就可以求出第三项 (a+b)2 、(a-b) 2 、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ① a 2 b 2 = (a b)2 - 2ab a 2 b 2 = (a-b) 2+2ab 2 2 2 2 ② (a-b) =(a+b) -4ab (a+b) =(a-b) +4ab (2) 完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合 2 2 2 2 (a+b) + (a-b) =2 (a+b) 例1 ?已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。 2 例 2.已知 a ? b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。 例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。 2 2 例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值. 例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值. 例6.已知a +丄=5,求(1) a 2 +W , (2) (a —丄)2 的值. a a a (1) 完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项 2 2 2 =a -2ab+b (1) 1032 (2) 1982

1 1 例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。 x x 2

乘法公式(基础)知识讲解

乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查

乘法公式教学设计(完整版)

2018年初中教师“大练兵、大比武”学科教学技能竞赛 《乘法公式》教学设计 教学目标 1．经历探索完全平方公式的变形过程，进一步发展符号感和推理能力。 2．在灵活应用公式的过程中激发学生的学习兴趣，培养探究精神。 重点：灵活运用完全平方公式解题。 难点：完全平方公式的变形拓展。 教学过程 一、复习乘法公式中的完全平方公式 完全平方公式 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a ?b)2=a 2?2ab+b 2 文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． 口诀：首平方，加上尾平方，2倍乘积在中央，符号看前方。 符号表示：（ +?）2= 2+2 ?+2?（建模思想，多题归一思想） 注：其中的 、?可以代表单独的一个数或字母或一个单项式或多项式。 二、完全平方公式的变形 ① (a+b)2=a 2+2ab+b 2 ② a 2+b 2=(a+b)2?2ab ③ (a ?b)2=a 2?2ab+b 2 ④ a 2+b 2=(a ?b)2+2ab ⑤ (a+b)2=(a ?b)2+4ab ⑥ 2 )(2 22b a b a ab --+= ⑦ 2 )(2 22b a b a ab --+=

⑧ 4 )()(2 2b a b a ab --+= 在完全平方公式的多种变形中，a+b ，a ?b ，ab ，a 2+b 2四者中，知二求二。 三、灵活应用完全平方公式求代数式的值 1.已知x －y ＝6，x y ＝－8. (1)求x 2＋y 2的值；(2)求（x ＋y ）2的值 2.已知,21=+x x 求221x x +的值 3.应用完全平方公式解题 (1)982 (2)20162－2016×4030＋20152. 四、终极挑战 1. 已知0136422=+++-b b a a ，求a-b 的值. 2. 已知三角形的三边满足022*******=---++bc ac ab c b a ，判断此三角形的形状？ 思考：无论x 、y 为何值时，多项式 106222++-+y x y x 值恒为非负数. 五、课堂小结 本节课我们学习了灵活运用完全平方公式解题，体会到数学中的建模思想，多题归一思想，构造的数学思想。 六、作业 ① 已知,21=+x x 求441x x +的值 ② 若022222=++-+b a b a ，求20182017b a +的值 板书设计 一、复习.完全平方公式 二、灵活应用公式解题 三、数学思想：建模思想，多题归一思想，构造思想

乘法公式应用

乘法公式的几何背景 1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为． 题第2 2、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是．的小正方形，图②是将图①中的阴影的正方形中有一个边长是b 3、如图，图①是边长为a 部分剪拼成的一个等腰梯形，比较图① 和图②阴影部分的面积，可验证的是． 第4题图 、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是．4，的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩ab5、如图：边长为个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面 积，同时说明可下的图形可以分割成4

以验证哪一个乘法公式的几何意义．型是长为B是三种不同型号的卡片，其中CA型是边长为a 的正方形，、如图61，A、B、的正方形．的长方形，C是边长是b、宽为b a ）．请根2B张型和1张C型卡片拼出了一个新的图形（如图A7、小杰同学用1张型、2 式熟所悉的公是．你一写关面形个据这图的积系出个2b2a18、图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形． （1）你认为图1的长方形面积等于； （2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1： 方法2： （3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系；

（4）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）． 9、如图，ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC，交两组对边于E、F、G、H，则四边形PEDG，四边形PHBF都是正方形，四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形，设正方形PEDG的边长是a，正方形PHBF的边长是b．请动手实践并得出结论：（1）请你动手测量一些线段的长后，计算正方形PEDG与正方形PHBF的面积之和以及矩形PEAH与矩形PGCF的面积之和．（2）你能根据（1）的2222=2ab？P ab与2的大小 吗？（3）当点在什么位置时，有a+ba结果判断+b 平方差公式1.5． 一、点击公式 ????????????=. ==，，b??a?ba?a?a?bbb?aba?????????????=. =，=，ab??aa?ba??b?a?bbb?a二、公式运用

乘法公式的拓展及常见题型整理

乘法公式的拓展及常见题型整理 例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---222 2)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++2 2 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+- ，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2 =m ，(a —b)2 =n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-2 2)32()32(， 则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2 =7,(a-b)2 =3, 求值: (1)a 2 +b 2 (2)ab 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1 x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422 +-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值 是 ． （四）步步为营 例题：3?(22 +1)?(24 +1)?(28 +1)?(162+1) 6?)17(+?(72+1)?(74+1)?(78+1)+1 ()( )()()()224 4 8 8 a b a b a b a b a b -+ +++ 1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+

整式乘法公式专项练习题

《乘法公式》练习题（一） 一、填空题 1.(a +b )(a －b )=_____, 2.(x －1)(x +1)=_____, (2a +b )(2a －b )=_____, (31x －y )(3 1x +y )=_____. 3.(x +4)(－x +4)=_____, (x +3y )(_____)=9y 2－x 2, (－m －n )(_____)=m 2－n 2 4.98×102=(_____)(_____)=( )2－( )2=_____. 5.－(2x 2+3y )(3y －2x 2)=_____. 6.(a －b )(a +b )(a 2+b 2)=_____. 7.(_____－4b )(_____+4b )=9a 2－16b 2, (_____－2x )(_____－2x )=4x 2－25y 2 8.(xy －z )(z +xy )=_____, (65x －0.7y )(65x +0.7y )=_____. 9.(41x +y 2)(_____)=y 4－16 1x 2 10.观察下列各式： (x －1)(x +1)=x 2－1 (x －1)(x 2+x +1)=x 3－1 (x －1)(x 3+x 2+x +1)=x 4－1 根据前面各式的规律可得 (x －1)(x n +x n －1+…+x +1)=_____. 二、选择题 11.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x +y )(－x －y ) B.(2x +3y )(2x －3z ) C.(－a －b )(a －b ) D.(m －n )(n －m ) 12.下列计算正确的是( ) A.(2x +3)(2x －3)=2x 2－9 B.(x +4)(x －4)=x 2－4 C.(5+x )(x －6)=x 2－30 D.(－1+4b )(－1－4b )=1－16b 2 13.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a －b )(－b +a ) B.(xy +z )(xy －z ) C.(－2a －b )(2a +b ) D.(0.5x －y )(－y －0.5x ) 14.(4x 2－5y )需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( ) A.－4x 2－5y B.－4x 2+5y C.(4x 2－5y )2 D.(4x +5y )2 15.a 4+(1－a )(1+a )(1+a 2)的计算结果是( ) A.－1 B.1 C.2a 4－1 D.1－2a 4 16.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( ) A.(x +5y )(－x +5y ) B.(－x －5y )(－x +5y ) C.(x －y )(x +25y ) D.(x －5y )(5y －x )

乘法公式定理(题型扩展)

乘法公式的复习 一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 ②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 ③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 ④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 ⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)] =(xy)2-(z+m)2 =x2y2-(z+m)(z+m) =x2y2-(z2+zm+zm+m2) =x2y2-z2-2zm-m2 ⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z) =(x-y)2-z2 =(x-y)(x-y)-z2 =x2-xy-xy+y2-z2 =x2-2xy+y2-z2 ⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2) =(x2-y2)(x2+y2)

=x 4-y 4 ⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2 =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。

乘法公式的复习讲义基础

乘法公式专题 教学目标： 1、会进行简单的整式乘法运算 2、能推导乘法公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2 －b 2 ， 3、（a ±b ）2 ＝a 2 ±2ab ＋b 2 ，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算. 课前热身：1、 21ab 2c ·（－0.5ab 2）·（－2bc 2）＝ 2、－3a 2（ab 2 ＋3 1b －1）＝ 3、二次三项式2 9x kx -+是一个完全平方式，则k 的值是 4、如图，从边长为（a+1）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a ﹣1）cm 的正方形（a ＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ） A ． 2cm 2 B ． 2acm 2 C ． 4acm 2 D ． （a 2﹣1）cm 2 5 、( 3 a + b) ( 3a －b) = _______________________6、(2x 2－3) (－2x 2－3) = ______________________ 7、________)2)(4)(2(2=++-a a a 8、______)2(2 =+-b a 9、294)3)(3(b b m b m -=-+，则m = 10、a 2＋6a ＋ ＝（a ＋ ）2 知识回顾重要的乘法公式： (1).平方差公式：（a+b ）（a-b ）= （2).完全平方公式：(a+b)2 = 、(a-b)2 = （3）.多项式的完全平方：(a+b+c)2 = 、 （4）两个一次二项式相乘： （x+a ）（x+b ）= . 典型例题 题型一：平方差公式的应用： 例1.(1) (3x ＋2 )( 3x －2 ) ； (2) (b+2a)(2a-b). (3) (－x+2y)(－x －2y)． 练习 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ): （1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b －a) ； （3）(－a+b)(a －b)； （4）(x 2－y)(x+y 2)； 5）(－a －b)(a －b)；（6）(c 2 －d 2 )(d 2 +c 2 ). 例2.计算(2x-1)2(1+2x)2-（2x+3）2(2x-3)2 例3.计算(x 2-x+2)(x 2 -x-2）

乘法公式教学设计教案

乘法公式教学设计教案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

乘法公式（1）------两数和乘以这两数的差 （一）教学目标 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。 3．认识平方差及其几何背景。 4．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。 （二）教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。 （三）教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。 （四）教学过程： 教学过程设计意图 探索引入1. 如图，边长为20厘米的大正方形中有一个边 长为8厘米的小正方形，请表示出图中阴影部 分面积： 图（1）的面积为： 图（2）的面积为： 学生探讨：从上式中你能发现一些有趣的现象 吗再举几个数试试.如果是一个数和 一个字母，或两个都是字母呢它们 的情况又如何 2.计算下列各题: (1)(x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3)(x+5y)(x-5y) 1．引导学生体会根据 特例进行归纳、建立 猜想、用符号表示并 给出证明这一重要的 数学探索过程，要让 学生体会符号运算对 证明猜想的作用，同 时引导学生体会“数形 结合”思想的重要性。 2、对公式的几何解释 学生普遍感到困难， 教师可以根据两幅图 的变化过程制成动画 或操作演示。 20 8 图（1） 12 336 8 20 8 8 20 202 2= - = ? - ? 336 )8 20 )( 8 20 (= - +

（五）、错解： （1）（2a+1）(2a-1)=2 a2-1,原因是“积的乘方”运算错误。 （2）（3a+1）(3a-1)=6a2-1，原因是“数的乘方”运算错误。 （3）（2a+1）(-2a-1)=4a2-1，原因是没有掌握平方差公式的特征。 （4）（-2a+1）(-2a-1)= - 4a2-1，原因是常见的符号错误。 （5）-（2a+1）(2a-1)= - 4a2-1，原因也是常见的符号错误。 。。。 策略：针对上述错误，进行题组训练，教师精讲学生多练，还可以每天五分钟小测验提高解题速度和准确率。

数学乘法公式的拓展与常见题型

乘法公式的拓展及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．基本考点 例1：已知：32 a b += ，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 例2：化简与计算 221999922011（）；（）()()()()222x 3y 3m n 42x+32x 3-+----；（）；（）；（）。 练习： 1、（a+b －1）（a －b+1）= 。 2．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．－6 D ．－5 3、已知 2()16,4,a b ab +==求22 3a b +与2()a b -的值. 4、试说明不论x,y 取何值，代数式22 6415x y x y ++-+的值总是正数。 5、(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2= 。 6、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。 7、2 200720092008?-（运用乘法公式）

乘法公式教学设计 教案

13.3 乘法公式（1）------两数和乘以这两数的差 （一）教学目标 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。 3．认识平方差及其几何背景。 4．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。 （二）教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。 （三）教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。 （四）教学过程：

图（1）的面积为： 图（2）的面积为： 学生探讨：从上式中你能发现一些有趣的现 象吗？再举几个数试试.如果是 一个数和一个字母，或两个都是 字母呢？它们的情况又如何？ 2.计算下列各题: (1)(x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3)(x+5y)(x-5y) 3、观察以上算式及其计算结果，你发现了什 么规律？能不能大胆猜测得出一个一般 性的结论？ 问题研计算（a+b）（a-b） = = 此环节培养了学生 的观察归纳能力 336 8 20 8 8 20 202 2= - = ? - ? 336 )8 20 )( 8 20 (= - +

（1）（2a+1）(2a-1)=2 a2-1,原因是“积的乘方”运算错误。（2）（3a+1）(3a-1)=6a2-1，原因是“数的乘方”运算错误。（3）（2a+1）(-2a-1)=4a2-1，原因是没有掌握平方差公式的特征。（4）（-2a+1）(-2a-1)= - 4a2-1，原因是常见的符号错误。

（5）-（2a+1）(2a-1)= - 4a2-1，原因也是常见的符号错误。 。。。 策略：针对上述错误，进行题组训练，教师精讲学生多练，还可以每天五分钟小测验提高解题速度和准确率。

乘法公式公式的应用(能力提高试题)

平方差公式专项练习题 A卷：基础题 一、选择题 1．平方差公式（）（a－b）2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式D．以上都可以 2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（）（） B．（－）（a－b） C．（1 3）（b－1 3 a） D．（a2－b）（b2） 3．下列计算中，错误的有（） ①（34）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2）=4a2－b2； ③（3－x）（3）2－9；④（－）·（）=－（x－y）（）=－x2－y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x2－y2=30，且x－－5，则的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2）（－2x－y）． 6．（－3x2+2y2）（）=9x4－4y4． 7．（－1）（a－1）=（）2－（）2．

8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是． 三、计算题 9．利用平方差公式计算：202 3×2113 ． 10．计算：（2）（a 2 +4）（a 4 +16）（a －2）． B 卷：提高题 一、七彩题 1．（多题－思路题）计算： （1）（2+1）（22 +1）（24 +1）…（22 1）+1（n 是正整数）； （2）（3+1）（32 +1）（34 +1）…（32008 +1）－ 4016 32 ． 2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082 ．

（1）一变：利用平方差公式计算：22007 200720082006 -?． （2）二变：利用平方差公式计算：2 2007200820061 ?+． 二、知识交叉题 3．（科内交叉题）解方程：x （2）+（21）（2x －1）=5（x 2 +3）．

乘法公式优秀教案

《平方差公式》新授课 一.教材分析 1.内容、地位和作用 本节课的主要内容是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用.它是在学生已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和创造性应用；是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的第一种归纳、总结；是从一般到特殊的认识过程的范例.它应用十分广泛，通过乘法公式的学习，可以丰富教学内容，开拓学生视野，更是今后学习因式分解、分式运算及其它代数式变形的重要基础. 2.教学重点与难点 (1)教学重点：对平方差公式的发现及探究；对平方差公式结构特征的认识. (2)教学难点：灵活运用平方差公式进行整式乘法计算. 二.教学目标分析 1.知识与技能 (1)会推导平方差公式，了解公式的几何意义，理解平方差公式中字母的含义； (2)能运用平方差公式进行计算. 2.过程与方法 (1)经历探索平方差公式的过程，感悟由特殊到一般再到特殊的研究方法，发展学生归纳总结的能力； (2)在验证平方差公式的过程中，引导学生感知数形结合及数学化归思想. 3.情感、态度与价值观 (1)通过设置丰富的问题情境，鼓励学生积极探索和交流； (2)通过开放式的教学方法，培养学生的数学思维能力和自主学习习惯. 三.教学过程分析 【复习引入】 复习多项式与多项式乘法法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn. 设计意图：通过复习多项式的乘法法则，既是对前面所学知识的回顾，也是为接下来引导学生开展对平方差公式的探究作好铺垫. 【公式探究】 1.对特例的探究 请同学们运用多项式与多项式的乘法法则解决一个实际问题： （投影）边长为a的正方形，一边长增加1米，另一边减少1米，所得新长方形的面积与原来的正方形面积是否相同？ 师生活动：教师引导，学生思考，将新的长方形面积用代数式表示，并运用多项式的乘法法则进行计算. 设计意图：通过一个与生活实际相关联的问题，有效激发学生的探究兴趣.同时，问题中所列的代数式为引出平方差公式做好铺垫，让学生能自然而然过渡到新知的学习. 2．一般性结论的探究 问题1：如果正方形的边长再发生变化，你们还能提出类似问题吗？ 师生活动：学生独立思考后用规范的数学语言表达，教师倾听不同思维层次的多个学生的回答，纠正表达中不准确的地方，让学生对这个问题达成共识. 设计意图：教师根据学生的回答及时了解学生对旧知识的掌握情况，并在学生原有的基础上进行自主建构，符合学生的认知规律. 问题2 继续写下去，你能发现怎样的结论呢？请将你的发现用字母表示出来. 学生活动：因为有了前面学习的经验，学生有能力进行自主探究，在这个环节，给学生充分的时间和机会独立思考，让学生展开自主探究. 教师活动：在学生充分探究的基础上，与学生一起总结出探究的结论：“我发现：