第10章 动量定理
主要内容
10.1.1 质点系动量及冲量的计算
质点的动量为
v K m =
质点系的动量为
C i i m m v v K ∑=∑=
式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中
v Ci 为第i 个刚体质心的速度。
常力的冲量
t ?=F S
力系的冲量
?∑=∑=2
1
d )(t t i i t t F S S
或
??=∑=2
1
21
d )(d )(R t t t t i t t t t F F S
10.1.2 质点系动量定理
质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即
)(d d
e i t
F K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。 （2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)
(=∑e i
F ，质点系动
量守恒，即K =常矢量。或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴
上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。 10.1.3 质心运动定理
质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。即
()())(d d d d
e i i i c m t
M t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为
)(1
Ci
e i n
i m F a
∑=∑=
式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。 10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力
定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。若流体的流量为Q ，密度为ρ。流体流经弯管时的附加动约束力为
)(12N
v v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。
基本要求
1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。
2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。
3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。 4． 会应用质心运动定理解决质点系动力学两类问题。
重点讨论
动量定理的应用
应用质点系动量定理一般可解决质点系动力学的两类问题。一类是已知质点系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质点系上外力系中的未知约束力。另一类是已知作用于在质点系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质点系的动量变化率或质心的加速度。
应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点：
1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与内力，只需将外力表示在受力图上。
2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。
当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即
0)(=∑e i F ，i C i i m v k K ∑=∑==常矢量
当外力系的主矢量在某一轴（如x 轴）上投影为零时，系统的动量在该轴上的分量为一常数，即
0)(=∑e ix F ，Cx ix i x mv v m K ==∑=常数
对于刚体系可表示为
Cix
i v
m ∑=常数
利用以上动量守恒的关系，可以确定系统的运动。
例题分析
例10-1 一水柱以速度 v 沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切，水柱的截面积为A ，密度为
，水柱离开叶片时的倾角为，不计水柱的重量。若叶片固
定不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量F x 和F y 。
解：选择叶片上的水柱为研究对象。因AB 、CD 两处截面积A 和密度 均相等，所以v 1＝
v 2＝v ，叶片仅改变水流速的方向。由动约束力的计算公式
)(12N
v v F -=''Q ρ 向x 、y 方向投影，有
()1cos 2-=-θρAv F x
得
()θρcos 12-=Av F x
或
θρsin 2Av F y =
例10－2 质量为m A 的小棱柱体A 在重力作用下沿着质量为m B 的大棱柱B 的斜面滑下，设两柱体间的接触是光滑的，其斜角均为，如图。若开始时，系统处于静止，不计水平地面的摩擦。试求此时棱柱体B 的加速度a B 。
解：由整体受力图看出，0=∑x F ，所以整个系统在 x 方向的动量守恒。 初始时系统静止，即
Bx B Ax A x v m v m K +=B B B A v m v v m --=)cos (r θ＝0
得
θcos r v m m m v B
A A
B +=
（a ）
将式（a ）求导，得
θcos r a m m m a B
A A
B +=
（b ）
式中还包含一个未知量a r 。因此，解决此问题还必须找到其他方程。由题设条件，棱柱体A 沿棱柱体B 滑下，由动能定理
W T T =-0
其中 00=T
2r 22r 2222
1)cos 2(21
2
1)(21B B B B A B B Ay Ax A v m v v v v m v m v v m T +-+=
++=θ
得
θθsin 02
1)cos 2(21r 2r 22r gs m v m v v v v m A B B B B A =-+-+ （c ） 将式（d ）代入上式并化简可得
()()θθθsin cos cos 21r 222s g m m m m m m m v A A A B A B A B =??
????-++ （d ） 将式（d ）对t 求导，且r r d d v t
s
=，再与式（a ）、式（b ）联立求解得
θθ
θsin cos sin 2g m m m a A B A B =+
于是求得
()
B
A A
B A A B m m g m m m g m a +=+=
θθ
θθθ2
2sin 22sin sin sin cos 例10－3 真空中斜向抛出一物体，在最高点时，物体炸裂成两块，一块恰好沿原轨道返回抛射点O ，另一块落地点的水平距离OB 则是未炸裂时应有水平距离OB 0的两倍，求物体炸裂后两块质量之比。
解：设炸裂后两物块的质量分别为m 1与m 2，炸裂前共同速度为v ，炸裂后的速度分别为
v 1与v 2。
在最高点时，由于0=∑x F ，所以系统在 x 方向动量守恒，即常数=x K ，于是有
()221121v m v m v m m -=+ （a ）
为求出速度v 、v 1、v 2之间的关系，则由题意设下落的水平距离02OB OB =，即
0000003B A B B B A B A =+= （b ）
由于炸裂前后，水平方向的运动为匀速运动，水平方向运动的距离正比于水平速度，即
1000::v v B A B A = （c ）
将式（b ）代入式（c ）得
3:1:1=v v
v v 31=
同理 v v =2
()v m v m v m m 21213-=+
所以解得
21m m =
例10-4 A 物重F P1，沿楔状物D 的斜面下滑，同时借绕过滑车C 的绳使重F P2的物体B 上升，如图10-7a 。斜面与水平成 角，滑轮、绳的质量和一切摩擦均略去不计。求楔状物D 作用于地板凸出部分E 的水平压力。
（a ） （b ）
解：首先应用动能定理求出系统的运动，然后用质心运动定理来求约束力。由动能定理
W T T =-12
其中
2
2P 21P 22121v g
F v g F T +=
常数=1T s F a s F W 2P 1P sin -= 于是，有
s F a s F T v g
F v g F 2P 1P 12
2P 21P sin 2121-=-+ (a) 对（a ）式两边同时取导数，其中v t
s
=d d ，整理得 g F F F a F a 2
P 1P 2
P 1
P sin +-= (b) 以整个系统包括楔块D 为研究对象，应用质心运动定理，有
x Cix i F a m ∑=∑
x F a g
P =αcos 1
(c) F P2
F P1
s
将式（b ）得入式（c ），得
()a F F F a F F a g F F F a F g F F x cos sin cos sin 2
P 1P 2P 1P 1P 2P 1P 2P 1P 1P +-=?+-?=
这是地板凸出部分对楔状物D 的约束力，凸出部分E 的水平压力的大小与它相等，方向与图示方向相反。
例10-5 匀质细杆AB 长为l ，质量为m ，端点B 放在光滑的水平面上。开始时，杆静立于铅垂位置如图示，受扰动后，杆倒下。求杆运动到与铅垂线成角φ时，杆的角速度、角加速度和地面的约束力F N 。
（a ） （b ） （c ）
解： 以杆为研究对象，从其受力图（a ）可知，0=∑x F ，即质心在x 方向的位置守恒，利用此条件，可知质心C 的速度沿铅垂方向：然后，用动能定理求杆的角速度、角加速度。
)cos 1(2
0212122?ω-=-+l
mg I mv C C (a) 利用v C 铅垂向下，图（b ）所示瞬时AB 杆的瞬心为I ，获得补充方程
ω??=
sin 2
l
v C (b) 将式（b ）代入式（a ）得
)cos 1(2
12121)sin 2(21222?ωω?-=?+?l mg ml l m )cos 1(12)1sin 3(22?ω?-=+g l (c)
于是
1
sin 3)
cos 1(1222+-=
??ωl g
)1sin 3()
cos 1(32
2
+-=??ωl g (d) 将式(c)对时间t 求一阶导数，注意到εωω?==t
t d d , d d ，化简后得 ?ω??ε?sin 12cos sin 6)1sin 3(222g l l =++
)
1sin 3(2sin 3sin 12222+-=??ω?εl l g (e)
最后，为求约束力F N ，先求质心C 的加速度a C ，现以B 为基点求 a C ，如图（c ）所示
n
CB CB B C a a a a ++=τ (f)
其中 22
,2ωετ
l a l a n
CB CB ==
将式（f ）在铅垂上投影，有
?ε?ωsin 2
cos 22l
l a C +=
将ω及ε的表达式（d ）、式（e ）代入，再用质心运动定理
N F mg ma C -=
求得
)
1sin 3(4sin 2sin 3)sin cos 2cos 2(122222N +?-+-?
-=-=???ω???l g m mg ma mg F C
例10-6 电动机的外壳固定在水平基础上，定子重F P1、质心为 C 1；转子重F P2、质心为C 2。由于制造、安装误差，C 2不在转轴上，其偏心距为 e 。已知转子匀角速度转动，角速度为，求基础的支座约束力。又假设电动机没有螺栓固定，且各处摩擦均不计，若整个电动机处于静止状态时，转子开始匀速转动，求电动机外壳的运动。
解：先研究电动机固定在基础上的情形，整个电动机由两部分组成，这两部分质心的运动规律均为已知。可以运用质心运动定理求外力的主矢。
以整个电动机为研究对象，定子质心C 1加速度为零。转子质心C 2的加速度为e 2
，方
向始终指向转轴。所受外力为F P1、F P2、F x 、F y 和力偶距M 。由质心运动定理
x x x F t e g
F F ma =-
∑=∑ωωsin ,
22
P 2P 1P 22
P cos ,F F F t e g
F F ma y y y --=-
∑=∑ωω 于是
F P1
F P2
F P2
F P1
t e g F F P x ωωsin 22
-
= t e g
F
F F F y ωωcos 22P 2P 1P -+=
再来研究电动机没有固定的情形。此时，电动机只受重力和地面的法向约束力，电动机在水平方向没有外力，整个系统由静止开始运动，因此，系统的质心坐标x C 应保持不变。假设开始时，转子在铅垂位置，即，0==t ω?，转子转动后，定子也要有位移。设定子的水平位移为s ，如图所示，则转子质心的位移为t e s ωsin +，此时系统的质心不变，则
()0sin 2P 1P =++t e s g
F
s g F ω 解得
t P P e
P s ωsin 2
12+-=
式中负号说明，定子的位移不是向右而是向左平移。
由此可见，当转子有偏心而又没有螺栓紧固在基础时，电动机转动起来后，机座将在光滑的水平面上作简谐运动。在铅垂方向， F y 的最小值为
22
P 2P 1P min ωe g
F F F F y -
+= 解得
g e
F F F 2P 2
P 1P +≥
ω
电动机将跳离地面。蛙式夯机的夯头架所以能自动跳起来，就是这个道理。
例10-7 今有长为AB ＝2a ，重为Q 的船，船上有重为F P 的人，设人最初是在船上 A 处，后来沿甲板向右行走， 如不计水对于船的阻力，求当人走到船上 B 处时，船向左方移动多少
解：将人与船视为一质点系。作用于该质点系上的外力有人和船的重力F P 和Q 及水对于船的约束力F N ，显然各力在 x 轴上投影的代数和等于零。此外，人与船最初都是静止的，
F P F N
Q
于是根据质心运动定理可知，人与船的质心的横坐标C x 保持不变。
当人在A 处船在AB 位置时，质心的坐标为
Q F a b Q b F g
Q g F a b g
Q
b g F x C +++=+++=P P
P P 1)()
( 当人走到B 处时，设船向左移动的距离为l ，在此情形下，人与船的质心的坐标为
Q F
l a b Q l a b F g
Q g F l a b g
Q
l a b g F x C +-++-+=+-++-+=P P
P P 2
)()2( )
()2( 由于常量==21C C x x ，于是得到
Q
F l a b Q l a b F Q F a b Q b F +-++-++++P P P P )
()2()(＝
由此求得船向左移动的距离为
Q
F F a
l +=P P
2
由以上结果看出：（1）人向前走，船向后退，改变人和船运动的力是人与船间的摩擦力，这是质点系的内力。因此，内力虽然不能直接改变质心的运动，但能改变质点系内各质点的运动。(2)船后退的距离取决于人走的距离2a 和人与船的重量比值Q
F F +P P
，比值越小则船
移动的距离也越小
例10-8 匀质曲柄OA 质量为m 1、长为r ，以匀角速度绕O 转动，带动质量为m 3的滑槽作铅垂运动，E 为滑槽质心，DE ＝b ，滑块A 的质量为m 2。当t =0时，＝0。不计摩擦，试求＝30时：(1)系统的动量；（2）O 处铅垂方向的约束力。
解：建立坐标系如图。系统质心坐标为
3
2121sin sin 2m m m t
r m t r
m x C ++?+?=ωω ()
3
2132160cot sin cos cos cos 2m m m b
t r t r m t r m t r
m y C +++?--?-?-= ωωωω
将x C 、y C 分别对t 求导，得C x
、C y ，当=30时，系统的动量为 ()()j i K 32121224
1
243m m m r m m r ++-+=
ωω 将C y 再对t 求导，得C y ，由)
(2
2d d e y C F t
y M ∑=，当=30时得 ()()r m m m g m m m F Oy 23213213324
1
ω+++++=
习题解答
10-1 设A 、B 两质点的质量分别为A m 、m B ，它们在某瞬时的速度大小分别
为v A 、 v B ，则以下问题哪一个正确
（1）当v A =v B ，且m A =m B 时，该两质点的动量必定相等。 （2）当v A =v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量也可能相等。 （3）当v A ≠v B ，且m A =m B 时，该两质点的动量有可能相等。 （4）当v A ≠v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量必定不相等。 答：（1）正确。（2）和（3）不可能相等，（4）也可能相等。满足条件B
B A A v m v m =即可。
10-2 以下说法正确吗
（1）如果外力对物体不做功，则该力便不能改变物体的动量。 （2）变力的冲量为零时，则变力F 必为零。
（3）质点系的质心位置保持不变的条件是作用于质点系的所有外力主矢恒为零及质心的初速度为零。
答：（1）×（2）×（3）√
10-3试求题10-3图中各质点系的动量。各物体均为均质体。
解：a ）AB 杆瞬时平移
?
?
? ??++=?+?+?===∑∑32132122m m m r r m r m r
m v m K K Ci
i i ωωωω
b ）小车平移
()
212122m m v v m v m v m K K Ci
i i +=?+?===∑∑
c ）由于皮带对称，系统质心速度为零，故动量为零。
d ）履带质心的速度为v ，其动量为mv ；两个车轮的动量分别为m 1v 和
m 2v ，整个系统的动量为：
()
2121m m m v v m v m v m v m K K Ci
i i ++=?+?+?===∑∑
e ）取向上方向为正
()2121m m r r m r m K K i -=-==∑ωωω f ）v m K x 2=，v m K y 1=
10-4 题10-4图所示质量分别为m A ＝12kg, m B ＝10kg 的物块A 和B ，与一轻杆铰接，倚放在铅直墙面和水平地板上。在物块A 上作用一常力F ＝250N ，使它从静止开始向右运动，假设经过1s 后，物块A 移动了1m ，速度A
＝4.15m/s 。
一切摩擦均可忽略，试求作用在墙面和地面的冲量。
（a ）
（b ）
题10-4图
解：研究整体，画受力图，由动量定理在水平方向的投影，
s N 2.200?=-=∴=-A A x A
A x v m Ft S v m S Ft 即为墙面作用的冲量。
竖直方向投影
B
B B A y v m t g m m S ?=?+-)( 又AB 为平面运动，速度瞬心为I ，则有
34
15.4?==?B B A A v r r v m/s
∴
)
125.316.215(+=y S N s ＝s
即为作用在地面的冲量。
10-5 垂直与薄板、处于自由流动的水流，被薄板截分为两部分：一部分流量Q 1＝7L/s ，另一部分偏离一角
。忽略水重和摩擦，试确定角
和水对薄板
的压力，假设水柱速度v 1＝v 2＝v ＝28m/s ，总流量Q ＝21L/s 。
解：以水为研究对象，应用附加约束力公式
)(12N
v v F -=''Q ρ 在y 方向：
2
1
147sin 147210
sin 11122
11122===
=-=-==∴=-Q Q Q Q Q v v v Q v Q αραρ
I
I
A
G
4.0mm
3.0m m
B
v B S x
S y v A
F 题10-5图
Q
Q 2
Q 1
F N
∴
＝30
在x 方向：
N
24922222=-=-=-=-)cos (cos cos αραρρραρQ Q v v Q Qv F F Qv v Q N N
10-6 扫雪车以4.5m/s 的速度行驶在水平路上，每分钟把50吨雪扫至路旁，若雪受推后相对于铲雪刀AB 以2.5m/s 的速度离开，试求轮胎与道路间的侧向力R F 和驱动扫雪车工作时的牵引力T F 。
（a ） (b)
题10-６图
解：雪运动的速度矢量如图（b ）示，设雪为动点，车为动系
v ax ＝v e －v r sin20 v ay ＝v r cos20
设铲刀对雪的力为F ，由动量定理
∑=F t
K
d d 而
)20sin ( r e x v v m K -=
所以
N
3037)20sin 5.25.4(601050)20sin (d d d d 3=-?=-==
r e x x v v t m
t K F
牵引力 T F ＝F x ＝3037N
同理
20cos r y mv K -=
N
7.195720cos 5.260
105020cos d d d d 3-=??-=-==
r y
y v t m t K F y
x
v e
v r
20
F T
F R
∴ 道路对轮胎的侧向力为
R F ＝。
10-7 题10-7图所示水从d ＝150mm 直径的消防龙头以v B ＝10m/s 的速度流出。已知水的密度
＝1Mg/m 3，A 处的静水压力为50kPa ，求底座A 处的水平约
束力、垂直约束力和约束力偶。
（a ）
（b ） （c ）
题10-7图
解：以弯管流水为研究对象 根据流量
s /m 625.520
.015.04
π4π22
22212221=====
B
B A A B v v d d v v d v d Q 由附加约束力公式 )(12N
v v F -=''Q ρ 其中
B v d Q 2
14
π=
在x 方向投影
B x Qv F ρ-=''
N 15.17674
π2
21''-=-
=B x v d F ρ 在y 方向投影
A y Qv F ρ-=0''
F Ax
F Ay
M A
v A F ’’x
F ’’y
F Ax
F Ay
M A
F A
F B
N 02.9944
π2
''==
=A B A y v v d Qv F ρρ 再以消防栓为研究对象
N 8.15702.04
π
4π22=??==p p d F A 0=B F
00''=++=∑x B Ax x F F F F N 15.1767-=Ax F
00
''=++=∑y A Ay y F F F F N 82564.-=Ay F
0)(=∑F A m 0''=+-A x M h F Nm 6883.=A M
10-8 求题10-8图所示水柱对涡轮固定叶片的压力的水平分力。已知：水的两流量为Q (m 3/s)，密度为ρ（kg/m 3）；水冲击叶片的速度为v 1（m/s ），方向沿水平向左；水流出叶片的速度为v 2（m/s ），与水平成α角。
题10-8图
解：附加水平压力如图所示，以水柱为研究对象， 由附加约束力公式
()12N
v v Q
-=''ρF 在水平方向上投影
()12N cos v v Q F x +=αρ
10-9 如题10-9图所示，水力采煤是利用水枪在高压下喷射的强力水流采煤。已知水枪的直径为30mm ，水速为56m/s 。求给煤层的动水压力。
题10-9图
解：以水流为研究对象，应用附加动约束力公式
()12N
v v Q -=''ρF 在x 方向投影
1N Qv F ρ=-
α
α
F N x
F N v 1
v 2
v 2
kN 216.2N 584.2215565603.04
10231N ≈=????
==π
ρQv F
10-10 题10-10图所示传送带的运煤量恒为20kg/s ，胶带速度横为1.5m/s 。求胶带对煤块作用的水平总推力。
解：以煤为研究对象，应用附加动约束力公式
()12N v v Q
-=''ρF
在x 方向投影
()N 3005.120=-?=x F
10-11 题10-11图所示移动式胶带输送机，每小时输送109m 3的沙子。沙子的密度为1400kg/m 3，输送带速度为1.6m/s 。设沙子在入口处的速度为v 1，方向垂直向下，在出口处的速度为v 2，方向水平向右。如输送机不动，试问此时地面沿水平方向总的约束力有多大
解：以沙子为研究对象，应用附加动约束力公式
()12N v v Q
-=''ρF ， 在x 方向投影
()N 82.6706.13600
109
1400N =-??
=x F 10-12 一火箭铅直向上发射，当它达到飞行的最大高度时，炸成三个等质量的碎片，经观测，其中一块碎片铅直落至地面，历时t 1，另两块碎片则历时t 2落至地面。求发生爆炸的最大高度H 。
（a ）
（b ）
题10-12图
v
v
x
y
30
m 3 m 2
m 1
v m 1
m 3
m 2
F N x
F x
F y
v 1
v 2
F N y
解：在高空爆炸时，动量守恒，由于m 1＝m 2＝m 3，可得v 1＝v 2＝v 3＝v ，各速度间的夹角为120
。
m 1点：
2
112
1gt vt H +
= （1） m 3点：
2
222
130sin gt t v H +
-= （2） 两式相等 2
2
22112
12121gt t v gt vt +-=+
解得
1
221222)
(t t t t g v +-=
将v 代入（1）式得
1
2122122221
t t t t t gt H +-=
10-13 题10-13图所示质量为100kg 的车在光滑的直线轨道上以1m/s 的速度匀速运动。今有一质量为50kg 的人从高处跳到车上，其速度为2m/s ，与水平面成60角，如图示。随后此人又从车上向后跳下，他跳离车子后相对车子
的速度为1m/s ，方向与水平成30
角，求人跳离车子后的车速。
题10-13图
解：对于人和小车构成的系统，F x ＝0，
初始跳入时
2160cos 1Mv mv k x +=
(1)
设人从车上跳离后车速为u ，则人相对地面的绝对速度为
r e v v v += 在x 方向投影得
30cos r v u v -=
所以
v 1
v 2
v r
u
Mu u v m K x ++'-=)30cos (1
2 (2) 由
012=-x x K K
代入(1)、(2)得：
211
6030Mv mv Mu u v m +=+-'- cos )cos ( 解得
m/s
291150
23
15011002125030601
21.cos cos =?
?+?+?+=
+'++=
M m v m Mv mv u 10-14 在题10-14图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度
绕定轴O 转动。
重为P F 的滑杆I 借助于右端弹簧的推压而始终顶在凸轮上，当凸轮转动时，滑杆作往复运动。设凸轮为一均质圆盘，重为Q ，半径为r ，偏心距为e 。求在任一瞬时，机座螺钉总的附加动反力的主矢。
（a ）
（b ）
题10-14图
解：以整个系统为研究对象，凸轮质心的加速度为e
2
，方向始终指向转
轴，滑杆I 加速度与凸轮质心加速度的水平方向分量相等，即e 2
cos t ；系统
所受外力为F P 、Q 、F N x 、F N y 和力偶矩M 如图（b ），由质心运动定理
t
e g Q Q F F F ma t
e g
Q F t e g Q t e g F F F ma P y y y P P x x x ωωωωωωωωsin ,cos cos cos ,2
N 2
22N -=--∑=∑+-=--=∑=∑
又 F N y ＝F ″N y ＋F ″Ry （F ″Ry 为附加动反力）
0N
=--''Q F F P y e
r O M
F N y
F N x
t
I
F P
Q
t
e g
Q F F t e g
Q F P x y ωωωωcos sin 2
N 2
N
+-=''-='
'∴
10-15 重物M 1和M 2各重F P1和F P2，分别系在两条绳子上，如图示。此两绳又分别绕在半径为r 1和r 2的塔轮上。已知F P1 r 1> F P2 r 2，重物受重力作用而运动，且塔轮重为Q ，对转轴的回转半径为，中心在转轴上。求轴承O 的反力。
（a ） （b ）
题10-15图
解：以整体研究，画出受力图及运动分析图如图（b ），分别写出系统中各部分动量矩
03
020102222222032121111022
00121L L L L r m r v m L r m r v m L g
Q I L ++======
=ωωωρω 由动量矩定理 22p 11p 0
d d r F r F t
L -=
22p 11p 222211221r F r F r m r m g Q -=???
? ??++ερ (1)
由质心运动定理
y
y Ox x
x ma F F ma F =∑==∑0
εε221121r g
F
r g F F Q F F P P Oy P P -=
-++ (2)
F P1
F P2
M 1
M 2
v 2
v 1
F P 2
F P 1
ε
O r 1 Q
r 2
F Ox F Oy
联立(1)、(2)可解得
2
2
221122
221121)(r F r F Q r F r F Q F
F F
P P P P P P y ++--++=ρ 10-16 均质圆盘，质量为m ，半径为r ，可绕通过边缘O 点且垂直于盘面
的水平轴转动。设圆盘从最高位置无初速地开始绕轴O 转动，试求当圆盘中心和轴的连线经过水平面的瞬时，轴承O 的总约束力的大小。
（a ）
（b ）
题10-16图
解：研究圆盘，画受力图及质心C 的加速度图如图（b ）所示。由刚体绕
定轴转动的微分方程
r
g mr mr mr I mgr
I 3223
2122200=
∴=+=
=εε 由动能定理
g r a g r a r
g mgr mr mgr I n C C 3
43
2344
32
1
2
22
220=
===∴=
∴=∴
=''ωεωωωτ
由质心运动定理
mg
F F F mg mg mg F F mg ma mg F F ma Oy Ox OR Oy Oy
C Ox Ox
n
C 3
173
1
323
4
2
2=+=∴=-=∴-==
∴=''τ
C
r O C O
F Ox
F Oy a n C
a
C
mg
一、填空题（每题2分） 1、质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所做的元功和。 2、在势力场中，物体受到的力称为有势力或保守力。 3、在势力场中，势能相等的点构成了等势能面。 4、质点系当中每个质点上作用的主动力、约束力和惯性力，在形式上组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。 5、平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心得合力，其大小等于刚体质量和加速度的乘积。 6、铅垂悬挂的质量--弹簧系统，其质量为m，弹簧刚度系数为k，若坐标原点分别取在弹簧静伸长处和未伸长处，则质点的运动微分方程可分别写成_和_。、 8、质点系动量对时间的导数等于质点系的外力的矢量和。 9、如质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒为零，且开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。 二、判断题 1.平动刚体各点的动量对一轴的动量矩之和可以用质心对该轴的动量矩表示。（对） 2.质点系对于任意动点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点的矩的矢量和。（错） 3.质点系的内力不能改变质点系的动量与动量矩。（对） 4.刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。（对） 5.机械能守恒定理是，当质点系不受外力作用时，则动能与势能之和等于零。（错） 6.系统内力所做功之代数和总为零。（错） 7.如果某质点系的动能很大，则该质点系的动量也很大。（错） 8.在使用动静法时，凡是运动着的质点都应加上惯性力。（错） 9.平移刚体惯性力系可简化为一个合力，该合力一定作用在刚体的质心上。（对） 10.具有垂直于转轴的质量对称面的转动刚体，其惯性力系可简化为一个通过转轴的力和一个力偶，其中力偶的矩等于对转轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积，转向与角加速度相反。（对） 三、选择题 1、两个质量相同的质点，初速度相同，任意瞬时的切向加速度大小也相同，各沿不同的光滑曲线运动，则（ A ） A. 任意瞬时两质点的动能相同 B. 任意瞬时两质点受力相同 C. 任意瞬时两质点的动量相同 D. 在同一时间内，两质点所受外力冲量相同
第8章 动量定理及其应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一 端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C = ωml 2 5 ，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2()60cos ([2121?+?+?-+?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]42)[(2 12121m m l l m m v m m +++- +=ωω（解图（c ） ）。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B ω ωωml ml l m p p p BC AB 29 42=+=+= 方向同v B 。 习题8-1解图 (a) (b) (c) 习题8-1图 v (a) (b) (c) C 习题8－2解图
·250· 第11章 动量矩定理 11.1 主要内容 11.1.1 质点系动量矩计算 质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩，即 ∑∑==?==n i n i i i i i O O m m 1 1 )(i v r v M L 质点系对于某轴，例如对z 轴的动量矩为 ∑==n i i i z z m M L 1) (v 刚体对转动轴z 轴的动量矩为 ωz z I L = 质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩，即 i i n i i C m v r L ?'=∑=1 i r '为第i 个质点对质心的矢径。 质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。 C v r L L m C C O ?+= 当刚体作平面运动时，又可表示为 d mv L L C ±=C O 其中d 为点至v C 的垂直距离，当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值，反之取负值， 11.1.2 质点系的动量矩定理 （1）对固定点的动量矩定理 质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即 ) (e O O dt d M L = 在直角坐标系上的投影式为
·251· ?? ?? ? ? ??? ∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F （2）质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。即 (e )C C M L =dt d 或 (e ) C Cr M L =dt d 式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。 (3) 动量矩守恒定律 在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质点系对O 点的动量矩为一常矢量，即 () 0=e O M ，常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质点系对该轴的动量矩为一常数，例如 0 )()(=∑e x M F ，L x =常数 11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程 若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ，则刚体绕固定轴z 的微分方程为 z z M t I =22d d ? 或 z z M I =ε 在工程中，常将转动惯量表示为 2z z m I ρ= z ρ称为回转半径。 11.1.4 刚体平面运动微分方程 当刚体作平面运动时，联合应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，可得到刚体平面运动微分方程 ??? ? ???===∑∑C c y c x c M I F y m F x m ?
第一类拉格朗日方程
设由n 个质点组成的系统受m 个完整双侧约束作用，约束方程为： 上式两端进行等时变分运算得到： 12(,)0(123) k n f t k m ×××==×××r r r ，，，，，，，10(123) n k i i i f k m d =?×==??r r L ，，，，其中k k k k i i i i f f f f x y z ????=++????i j k r 引入拉格朗日乘子并求和得到： (12)k k m l =L ，，，11(δ)m n k k i k i f l ==?×???i r r 11()δ0n m k k i i k i f l ==?=×=???r r 1 ()0 n i i i i i m d =-×=?F r r &&系统的动力学普遍方程为：
11()δ0 n m k i i i k i i k i f m l ==?--×=???F r r r &&两方程相减得到： 在3n 个质点坐标中，独立坐标有3n-m 个。上式表明，对于m 个不独立的坐标的变分，可以选取适当的，使得变分前的系数为零。 k l 而考虑到独立坐标虚位移的独立性和任意性，此时独立坐标变分前的系数也应等于零，于是有： 10(1,2,...,) m k i i i k k i f m i n l =?--==??F r r &&——带拉格朗日乘子的质点系动力学方程 第一类拉格朗日方程 与质点系统的达朗贝尔原理相对比，含拉格朗日乘子项对应于m 个约束作用于系统内各质点上的约束力。1()m k k k f l =?-??i r n 个矢量方程，对应3n 个代数方程。方程中含有3n+m 个未知量，包括3n 个坐标变量与m 个拉格朗日乘子变量，需与m 个约束方程联立求解。
·125· 第11章 动量矩定理 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。 (×) 2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。(√) 3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。 (√) 4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。 (√) 5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。 (×) 6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。 (×) 7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d n O O i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。 (√) 8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 221 3 ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。 (×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d ()d n P P i i t ==∑L M F 的形式，而 不需附加任何条件。 (×) 10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。 (×) A B l O ω r 图11.23 二、填空题 1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。 2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。 3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。 4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。 5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数
习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ220 2sin 3 2d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω23 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -=
y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： ) (11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
y 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|22m x t C =?== )(1624|2 2m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω2 11ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
1 质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 （ ） 2 刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。 （ ） 3 刚体对某轴的回转半径等于其质心到该轴的距离。( ) 4 如果作用于质点系上的所有外力对固定点O 的主矩不为零，那么，质点系的动量矩一定不守恒。( ) 5 如果质点系所受的力对某点（或轴）的矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。( ) 6 图中所示已知两个均质圆柱，半径均为R ，质量分别为2m 和3m ，重物的质量为1m 。重物向下运动的速度为V ，圆柱C 在斜面上只滚不滑，圆柱O 与绳子之间无引对滑动，则系统 对O 轴的动量矩为vR m R m vR m H o 12 232 ++=ω。( ) 7 图中已知均质圆轮的半径为R ，质量为m ，在水平面上作纯滚动，质心速度为C v ，则轮子对速度瞬心I 的动量矩为R mv H c I =。( ) 1 已知刚体质心C 到相互平行的z z 、'轴的距离分别为b a 、，刚体的质量为m ，对z 轴的转动惯量为z J ，则' z J 的计算公式为__________________。
A ．2)(b a m z z ++='J J ； B ．)(2 2b a m z z -+=' J J ； Ｃ．)(2 2b a m z z --=' J J 。 2 两匀质圆盘A 、B ，质量相等，半径相同，放在光滑水平面上，分别受到F 和' F 的作用，由静止开始运动，若' F F =，则任一瞬间两圆盘的动量相比较是_____________________。 Ａ．B A p p >； Ｂ．B A p p <； Ｃ．B A p p =。 3 在一重W 的车轮的轮轴上绕有软绳，绳的一端作用一水平力P ，已知车轮的半径为R ，轮轴的半径为r ，车轮及轮轴对中心O 的回转半径为ρ，以及车轮与地面间的滑动摩擦系数为f ，绳重和滚阻皆不计。当车轮沿地面作平动时，力P 的值为_________________。 Ａ．ρ/fWR P =； Ｂ．r fWR P /=； Ｃ．r fW P /ρ=；④ fW P =。
第2章 平面汇交力系与平面力偶系 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．力在两同向平行轴上投影一定相等，两平行相等的力在同一轴上的投影一定相等。 ( √ ) 2．用解析法求平面汇交力系的合力时，若选取不同的直角坐标轴，其所得的合力一定相同。 ( √ ) 3．在平面汇交力系的平衡方程中，两个投影轴一定要互相垂直。 ( × ) 4．在保持力偶矩大小、转向不变的条件下，可将如图2.18(a)所示D 处平面力偶M 移到如图2.18(b)所示E 处，而不改变整个结构的受力状态。 ( × ) (a) M 图2.18 5．如图2.19所示四连杆机构在力偶12M M =的作用下系统能保持平衡。 ( × ) 6．如图2.20所示皮带传动，若仅是包角α发生变化，而其他条件均保持不变时，使带轮转动的力矩不会改变。 ( √ ) 2 图2.19 图2.20 二、填空题 1．平面汇交力系的平衡的充要条件是平面汇交力系的合力等于零，利用它们可以求解 2个未知的约束反力。 2．三个力汇交于一点，但不共面，这三个力 不能 相互平衡。 3．如图2.21所示，杆AB 自重不计，在五个力作用下处于平衡状态。则作用于点B 的四个力的合力R F =F ，方向沿 与F 的方向相反 。 4．如图2.22所示结构中，力P 对点O 的矩为 θsin 2 1 PL 。 5．平面汇交力系中作力多边形的矢量规则为：各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的某一方向首尾相接，而合力矢量沿力多边形封闭边的方向，由第一个分力的起点指向最后一个分力的终点。
A B 1F 4F 3F 2F F 图2.21 图2.22 6．在直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小相等，但在非直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小不相等。 三、选择题 1．如图2.23所示的各图为平面汇交力系所作的力多边形，下面说法正确的是( C )。 (A) 图(a)和图(b)是平衡力系 (B) 图(b)和图(c)是平衡力系 (C) 图(a)和图(c)是平衡力系 (D) 图(c)和图(d)是平衡力系 2F 1F 3F (a) 2F 1F 3F (b) 1F 2 F 3F 4 F (c) 1F 2F 3F 4 F (d) 图2.23 2. 关于某一个力、分力与投影下面说法正确的是( B )。 (A) 力在某坐标轴上的投影与力在该轴上的分力都是矢量，且大小相等，方向一致 (B) 力在某坐标轴上的投影为代数量，而力在该轴上的分力是矢量，两者完全不同 (C) 力在某坐标轴上的投影为矢量，而力在该轴上的分力是代数量，两者完全不同 (D) 对一般坐标系，力在某坐标轴上投影的量值与力在该轴上的分力大小相等 3．如图2.24所示，四个力作用在一物体的四点A 、B 、C 、D 上，设1P 与2P ，3P 与4P 大小相等、方向相反，且作用线互相平行，该四个力所作的力多边形闭合，那么( C )。 (A) 力多边形闭合，物体一定平衡 (B) 虽然力多边形闭合，但作用在物体上的力系并非平面汇交力系，无法判定物体是否平衡 (C) 作用在该物体上的四个力构成平面力偶系，物体平衡由 0=∑ i M 来判定 (D) 上述说法均无依据 4．力偶对物体的作用效应，取决于( D )。 (A)力偶矩的大小 (B) 力偶的转向 (C) 力偶的作用平面 (D) 力偶矩的大小，力偶的转向和力偶的作用平面 5．一个不平衡的平面汇交力系，若满足 0x F =∑ 的条件，则其合力的方位应是( A )。 (A) 与x 轴垂直 (B) 与x 轴平行 (C) 与y 轴正向的夹角为锐角 (D) 与y 轴正向的夹角为钝角 图2.24
理论力学10题 1点作曲线运动时，“匀变速运动”指的是（B ）。 A. r a ＝常矢量； B. r a ＝常量； C. a ＝常矢量； D. a ＝常量。 2两个点沿同一圆周运动，则（ D ）。 A. 加速度较大的点，其切向加速度分量一定较大； B. 加速度较大的点，其法向加速度分量一定较大； C. 若两点的加速度矢在某瞬时相等，则该瞬时两点的速度大小必相等； D. 若两点的加速度矢在某段时间内相等，则这两点的速度在这段时间内必相等。 3刚体绕定轴转动，（ C ）。 A. 当转角0?>时，角速度ω为正； B. 当角速度0ω>时，角加速度ε为正； C. 当ω与ε同号时为加速转动，当ω与ε异号时为减速转动； D. 当0ε>时为加速转动，当0ε<时为减速转动。 4两曲柄摇杆机构分别如题4图(a)、(b)所示。取套筒A 为动点，则动点A 的速度平行四边形（ B ）。 题4图 A. 图(a)、(b)所示的都正确； B. 图(a)所示的正确，图(b)所示的不正确； C. 图(a)所示的不正确，图(b)所示的正确； D. 图(a)、(b)所示的都不正确。 5在题5图所示偏心轮摇杆机构中，ω、ε为已知，要求摇杆的角加速度1ε，应取（ C ）。
题5图 A. 杆上的M 为动点，轮为动系； B. 轮上的M 为动点，杆为动系； C. 轮心C 为动点，杆为动系； D. 轮心C 为动点，轮为动系。 6在题6图所示，直角曲杆以匀角速度 绕O 轴转动，套在其上的小环M 沿固定直杆滑动。取M 为动点，直角曲杆为动系，则M 的（ B ）。 题6图 A. e v 垂直于CD ，k a 垂直于CD ； B. e v 垂直于OM ，k a 垂直于CD ； C. e v 垂直于OM ，k a 垂直于OM ； D. e v 垂直于CD ，k a 垂直于OM 。 7细绳跨过滑轮（不计滑轮和绳的重量），如题7图所示，一端系一砝码，一猴沿绳的另一端从静止开始以等速v 向上爬，猴与砝码等重。则砝码的速度（ B ）。
理论力学动力学知识点总结 质点动力学的基本方程 知识总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量; 作用于质点的力与其加速度成比例; 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为 ，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题: . 已知质点的运动，求作用于质点的力; (1) (2). 已知作用于质点的力，求质点的运动。 求解第一类问题，需先求得质点的加速度;求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类 的综合问题称为混合问题。 动量定理 知识点总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量; 作用于质点的力与其加速度成比例;
作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为 ，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题: (1). 已知质点的运动，求作用于质点的力; (2). 已知作用于质点的力，求质点的运动。 1 求解第一类问题，需先求得质点的加速度;求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 常见问题 问题一在动力学中质心意义重大。质点系动量，它只取决于质点系质量及质心速度。 问题二质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。 动量矩定理 知识点总结 1.动量矩。 质点对点 O 的动量矩是矢量 。 质点系对点 O 的动量矩是矢量 若 z 轴通过点 O ，则质点系对于 z 轴的动量矩为
一、是非题（正确用√，错误用×，填入括号内。每小题2分，共20分） 1．二力平衡公理中的两个力作用在同一物体上；作用力和反作用力分别作用在两个物体上。（） 2．力偶无合力，也不能用一个力来平衡。（） 3．某平面力系向点1简化时，主矢F′R=0，主矩M1≠0，如将该力系向另一点2简化，则F′R=0，M2= M1。（） 4．可以将点D的力P平移至点E，然后再求约束反力。（） 5．平面内运动的点，若已知其速度分量为v x =f1（t）、v y=f2（t），则此点的加速度可完全确定。（） 6．如果知道定轴转动刚体上某点的法向加速度，就可以刚体转动的角速度的大小和转向。（） 7．半径为R的圆盘以匀角速度ω绕中心轴z转动。在圆盘边缘有一点M，以匀速v沿切线朝转动的反方向运动（如图示），若v=Rω，则点M的绝对速度和绝对加速度均等于零。（）
8．图示定轴转动刚体上A、B两点，它们之间的速度也满足公式：v B=v A+v BA，式中v BA表示B点相对于A点作圆周运动的速度，其大小为v BA =AB×ω（ω为定轴转动刚体的角速度，AB是两点之间的距离），方向与AB连线垂直。这是因为刚体的定轴转动可以看作平面运动的特例。（） 9．质点系的动量在一段时间内的变化量，等于作用于质点系的的外力在该段时间内的冲量的矢量和。（） 10．只要惯性力系的主矢在x、y方向的投影为零，则绕z轴转动的刚体就不会在轴承处引起附加动约束力。（） 二、选择题（请将答案的序号填入划线内。每空格2分，共10分） 1.力的可传性原理适用于。 (a) 刚体 (b) 变形体 (c) 刚体和变形体 2.某一平面平行力系各力的大小、方向和作用线的位置如图所示。此力系的简化 结果与简化中心的位置。 (a) 无关 (b) 有关 3.点作圆周运动，弧坐标的原点在O点，顺时针方向为弧坐标的正方向，运动方 程s=πRt2/2，s的单位是（cm），t的单位是（s）。轨迹图形和直角坐标的关系如图表示。当点第一次到达y坐标值最大的位置时，点的加速度在x轴和y轴的投影分别为：。
第10章 动量定理 主要内容 10.1.1 质点系动量及冲量的计算 质点的动量为 v K m = 质点系的动量为 C i i m m v v K ∑=∑= 式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中 v Ci 为第i 个刚体质心的速度。 常力的冲量 t ?=F S 力系的冲量 ?∑=∑=2 1 d )(t t i i t t F S S 或 ??=∑=2 1 21 d )(d )(R t t t t i t t t t F F S 10.1.2 质点系动量定理 质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即 )(d d e i t F K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。 （2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0) (=∑e i F ，质点系动 量守恒，即K =常矢量。或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴 上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。 10.1.3 质心运动定理 质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。即 ()())(d d d d e i i i c m t M t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为 )(1 Ci e i n i m F a ∑=∑= 式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。 10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力 定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。若流体的流量为Q ，密度为ρ。流体流经弯管时的附加动约束力为
)(12N v v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。 基本要求 1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。 2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。 3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。 4． 会应用质心运动定理解决质点系动力学两类问题。 重点讨论 动量定理的应用 应用质点系动量定理一般可解决质点系动力学的两类问题。一类是已知质点系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质点系上外力系中的未知约束力。另一类是已知作用于在质点系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质点系的动量变化率或质心的加速度。 应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点： 1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与内力，只需将外力表示在受力图上。 2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。 当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即 0)(=∑e i F ，i C i i m v k K ∑=∑==常矢量 当外力系的主矢量在某一轴（如x 轴）上投影为零时，系统的动量在该轴上的分量为一常数，即 0)(=∑e ix F ，Cx ix i x mv v m K ==∑=常数 对于刚体系可表示为 Cix i v m ∑=常数 利用以上动量守恒的关系，可以确定系统的运动。 例题分析 例10-1 一水柱以速度 v 沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切，水柱的截面积为A ，密度为 ，水柱离开叶片时的倾角为，不计水柱的重量。若叶片固 定不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量F x 和F y 。
第十一章 动量矩定理 11-1 某质点对于某定点O的动量矩矢量表达式为 式中t为时间，为沿固定直角坐标轴的单位矢量。求此质点上作用力对O点的力矩。 11-2 某质点系对空间任一固定点的动量矩都完全相同，且不等于零。这种运动情况可能吗? 11-3 试计算如图所示物体对其转轴的动量矩。 11.4 如图所示传动系统中为轮Ⅰ、轮Ⅱ的转动惯量，轮Ⅰ的角加速度为 对吗?
11-5 如图所示，在铅垂面内，杆OA 可绕O 轴自由转动，均质圆盘可绕其质心轴A 自由转动。如OA 水平时系统为静止，问自由释放后圆盘作什么运动? 11-6 质量为m 的均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图所示。设开始时，圆盘静止，图中 2R r 。试说明各圆盘将如何运动。 11-7 一半径为R 的均质圆轮在水平面上只滚动而不滑动。如不计滚动摩阻，试问在下列两种情况下，轮心的加速度是否相等?接触面的摩擦力是否相同? (1)在轮上作用一顺时针转向的力偶，力偶矩为M ；
(2)在轮心作用一水平向右的力，R M F 。11-8 细绳跨过不计轴承摩擦的不计质量的滑轮，两猴质量相同，初始静止在无重绳上，离地面高度相同。（1）若两猴同时开始向上爬，且相对绳的速度大小可以相同也可以不相同，问站在地面看，两猴的速度如何？在任一瞬时，两猴离地面的高度如何？（2）若两猴同时开始一个向上爬，另一个向下爬，且相对绳的速度大小可以相同也可以不相同，问站在地面看，两猴的速度如何？在任一瞬时，两猴离地面的高度如何？ 11-9 如图所示，均质杆、均质圆盘质量均为m ，杆长为2R ，圆盘半径为R ，两者铰接于点A ，系统放在光滑水平面上，初始静止。现受一矩为M 的力偶作用，则下列哪些说法正确： A.如M 作用于圆盘上，则盘绕A 转动，杆不动； B.如M 作用于杆上，则杆绕A 转动，盘不动； C.如M 作用于杆上，则盘为平移； D.不论M 作用于哪个物体上，系统运动都一样。
湖南工程学院试卷用纸 至 学年第 学期 （装 订 线 内 不 准 答 题） 命题教师 审核 课程名称 理 论 力 学 考试 _ __（A 、B 卷） 适用专业班级 考试形式 （开、闭） 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 计分 一、填空题：（每小题6分，共30分） 1. 图示杆OA 长l =1m ，重力P =100N 作用在杆的中点，现在A 端作用一力偶M 。问：OA 杆能否保持平衡？ 答： 。若能平衡，则力偶矩的大小应为 。 第1题图 第2题图 2. 如图示平面机构，其连杆为半圆形ABM 。已知：O 1A =O 2B =R ，O 1 O 2= AB ， O 1A 以匀角速度ω转动，则M 点的速度v M = ，加速度a M = 。 3.“全约束力与法线之间的夹角，即为摩擦角。”这样的说法是否正确？若不正确，应怎样改正。 答： 。4. 飞轮作加速转动，轮缘上一点M 的运动规律为S =0.1t 3（S 的单位为m ，t 的单位s ）, 飞轮的半径为R =50cm 。当点M 的速度达到v =30m/s 时，该点的切向加速度t a = ，法向加速度n a = 。 姓名 学号 共 2 页 1 页5. 虚位移和虚位移原理的概念是：虚位移即某瞬时，质点在 条件下，可能实现的 位移。虚位移原理即对于具有理想约束的质点系，使质点系平衡的充要条件是作用于质点系的 在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。即 0=?∑i i r F δ 二、起重架如图，已知重物重为P =2kN ，试求绳索BC 的拉力和AB 杆的受力。（14分） 三、半圆凸轮的半径为R ，以匀速度 向右移动，杆AB 能在滑槽中上下平动，杆的端 点A 始终与凸轮接触，ο60=θ。求图示位置时从动杆AB 的速度和加速度。（14分） 0v ρ B O A 0 v ρ θ
第9章动量矩定理及其应用 9— 1计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以 3的角速度绕 0轴转动，质量为 m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时 小球以相对于圆盘的速度 v r 运动到0M = s 处(图a );求小球对 0点的动量矩。 2. 图示质量为 m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为 A ,质心为 C ,且AC = e ；轮子半 b )o ( 1)当轮子只滚不滑 (2)当轮子又滚又滑时，若 V A 、3已知，求轮 V A 、 R R 径为R ,对轮心A 的转动惯量为 时，若V A 已知，求轮子的动量和对 J A ； C 、A 、B 三点在同一铅垂线上(图 B 点的动量矩； 习题9 — 1图 （2） p 二 mv C =m （v A 亠： 2） 2 L B =mv c （R 亠e ）亠J c . =m （V A 亠?:、e ）（ R 亠 e ）亠（J A —me ） . = m （ R 亠e ）v A 亠（J A 亠 meR ）■. 9 — 2图示系统中，已知鼓轮以 3的角速度绕0轴转动， 其大、小半径分别为 R 、r ，对0轴的转动惯量为 J O ;物块 A 、B 的质量分别为 m A 和m s ;试求系统对 0轴的动量矩。 解： 2 2 L 0 = （J 0 ■ m A R - m s r ）■ ■ 习题9— 2图 9 — 3图示匀质细杆0A 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。若此结构在图示位 置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链 O 处的约束力。不计铰链摩擦。 解:令 m = m °A = 50 kg ，贝V m Ec = 2m 质心D 位置：（设I = 1 m ） 5 5 d = OD = —l = — m 6 6 刚体作定轴转动，初瞬时 3 =0 1 ■— ■ 2 mg l 2 J O =mg 2 1 2 2 2m （2l ）亠2 ml 3 ml 12 习题20-3图 即 3ml 2 ?. -5 mgl 2 5 g 6l = 8.17 rad/? t 5 a ° 二—l 6 由质心运动定理: t 3m a D 25 g 36 =3mg -F °y F °y 二 3mg 25 11 -3m ——g = — mg =449 36 12 （f ） n ? =o ， a D T ， F ox =o
动量矩定理 12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为： t b y t a x ωω2sin cos == 式中a 、b 和ω为常量。求质点对原点O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 t b t y v t a t x v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-== 质点对点O 的动量矩为 t a t b m t b t a m x mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0??+?-?-=?+?-=+=y x v v t mab ωω3cos 2= 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。 解：（1）当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。 轮子角速度 R v A =ω 质心C 的速度 )(e R R v C B v A C += =ω 轮子的动量 A C mv R e R mv p += =（方向水平向右） 对B 点动量矩 ω?=B B J L 由于 222)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故 [] R v e R m me J L A A B 22)( ++-= （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。 e v v v v A CA A C ω+=+= 轮子动量 )(e v m mv p A C ω+== （方向向右） 对B 点动量矩 ) ( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωωωω 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 F mg ma C -=θsin （1） J C α = Fr （2） 因轮子只滚不滑，所以有 a C =αr （3）
— 1 — 第8章 动量定理及其 应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一 端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C = ωml 2 5，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2 ()60cos ([2 121?+?+?- +?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]4 2)[(2 12 121m m l l m m v m m +++- +=ω ω（解图（c ））。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 习题8-1解图 (a) (b) (c) 习题8-1图 v (a) (b) (c) C 习题8－2解图
— 2 — 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B ω ωωml ml l m p p p BC AB 2 942 =+=+= 方向同v B 。 8－3 两均质杆AC 和BC 的质量分别为m 1和m 2，在C 点用铰链连接，两杆立于铅垂平面内，如图所示。设地面光滑，两杆在图示位置无初速倒向地面。问：当m 1= m 2和m 1= 2m 2时，点C 的运动轨迹是否相同。 解：根据受力分析知：∑=0x F ，故系统的质心在水平方向运动守恒。 当m 1= m 2时，系统关于y 轴对称，质心位于y 轴上，且沿y 轴作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹亦为铅垂直线。 当m 1= 2m 2时，质心位于y 轴左侧，且作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹必为曲线。 故两种情况下，点C 的运动轨迹不相同。 8－4 图示水泵的固定外壳D 和基础E 的质量为m 1，曲柄OA =d ，质量为m 2，滑道B 和活塞C 的质量为m 3。若曲柄OA 以角速度ω作匀角速转动，试求水泵在唧水时给地面的动压力（曲柄可视为匀质杆）。 解：以整个水泵为研究对象，受力如图（a ）： 解法1：用动量定理求解 瞬时t ，系统动量 p = p 2+p 3 ω2 2222d m v m p C ? ==，方向如图 ?ωs i n 3333 d m v m p C ==，方向如图 由质系动量应理： ∑==y y y F F t p d d (1) ∑= =x x x F F t p d d (2) ?ω?ωs i n s i n 23232d m d m p p p y y y +?=+= ? ωc o s 2 232d m p p p x x x ? =+= x x x F F F == ∑ g m m m F F F )(321++-==∑y y y 代入（1）、（2），并注意到t ω?=得： g m m m F t d m t d m t y )(s i n s i n 2d d 32132++-=??? ??+?ωωωω x F t d m t =?? ? ???ωωc o s 2d d 2 得t ωd m m g m m m F 2 y ωcos 2 2)(3 2321++++= （3） t m d F 2 x ωωs i n 2 2- = （4） 习题8－4图 习题8－3解图 p (a)