第2章三角形
2.1三角形第1课时三角形
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是() A．1 cm，2 cm，4 cm B．4 cm，6 cm，8 cm
C．5 cm，6 cm，12 cm D．2 cm，3 cm，5 cm
2．现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()
A．1B．2C．3D．4
3．如图1中，△ABE中AE边的对角为________，AD是△ACD中________的对边，CE是________的公共边．
图1 图2
4．指出图2中有几个三角形，并用字母把它们分别表示出来．
5．若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是________．
第2课时三角形的高、角平分线、中线
1．三角形的重心是三角形三条什么的交点？() A．中线B．高
C．角平分线D．边的垂直平分线
2．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是() A．三角形的中线B．三角形的角平分线
C．三角形的高D．以上答案均正确
3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的是()
4．如图3，网格中小正方形的边长都为1.在△ABC中，试画出其三边的中线(顶点与对边中点连接的线段)，然后探究三条中线位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？
图3
图4 图5
5．如图4所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，且AB＝8 cm，AC＝5 cm，则△ABE比△ACE的周长长多少？△ABE与△ACE的面积有什么关系？说明理由．
6．有一块肥沃的三角形土地，其中一边与灌渠相邻，如图5所示．政府要将这块土地按人口分给甲、乙、丙三家，若甲家有6口人，乙家有5口人，丙家有4口人，且每户所分土地都与灌渠相邻，请你帮助设计一个合理的分配方案．
答案解析
4．解：画图略．(1)三条中线交于一点；(2)在同一条中线上，三条中线的交点到边中点的距离等于它到顶点距离的一半．
5．【解析】比较两个三角形的周长即是比较两个三角形三边之和的大小关系；
而比较两个三角形的面积大小，则是比较底与高乘积的大小．
解：△ABE的周长为AB＋AE＋BE，
△ACE的周长为AC＋CE＋EA.又因为AE是△ABC的中线，
所以BE＝CE.
所以△ABE与△ACE的周长之差为(AB＋AE＋BE)－(AC＋AE＋CE)＝AB－AC ＝8－5＝3(cm)，即△ABE比△ACE的周长长3 cm.
△ABE和△ACE的面积相等，理由如下：因为AD是△ABE与△ACE的高，
所以S
△ABE ＝
1
2BE·AD，S△ACE＝
1
2CE·AD.又因为BE＝C E，所以S△ABE＝S△AC E.
6．【解析】此题要求按人口分给甲、乙、丙三家，也就是说使三家土地的面积比为6∶5∶4；与灌渠相邻，即把BC边分成(6＋5＋4)份，甲家占6份，乙
家占5份，丙家占4份．
第3课时三角形的内角和
1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是() A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
2．如图6，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为()
A．40°B．45°C．50°D．55°
3．如图7，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝128°，∠C ＝36°，则∠DAE的度数是 ()
A．10°B．12°C．15°D．18°
4．如图8，直线a∥b，则∠A的度数是(
)
图8 图9 图10 A．28°B．31°C．39°D．42°
5．如图9，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于________．
6．如图10是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角是________度．
7．一个零件的形状如图所示，按规定∠BAC＝90°，∠B＝21°，
∠C＝20°.检验工人量得∠BDC＝130°，就断定这个零件
不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？
【解析】可以先计算出合格时∠BDC的度数．由于∠BDC与∠A，∠B，∠C 不在同一个三角形内，所以无法找到它们之间的数量关系，因此需要添加辅助线．解：方法一：连接AD并延长，如图(1)所示．
第7
因为∠1＝∠3＋∠C，∠2＝∠4＋∠B，
所以∠1＋∠2＝∠3＋∠C＋∠4＋∠B＝(∠3＋∠4)＋∠C＋∠B＝∠BAC＋∠B＋∠C，
所以∠1＋∠2＝90°＋21°＋20°＝131°，即∠BDC＝131°.
由于零件中∠BDC＝130°，所以可以断定这个零件不合格．
方法二：延长CD交AB于E，如图(2)所示．
因为∠CEB＝∠C＋∠A，∠CDB＝∠CEB＋∠B，
所以∠BDC＝∠C＋∠A＋∠B＝20°＋90°＋21°＝131°.
由于零件中∠BDC＝130°，所以可以断定这个零件不合格．
2.2__命题与证明__第1课时定义与命题
1．下列属于定义的是() A．两点确定一条直线B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等D．线段是直线上的两点和两点间的部分
2．下列说法正确的是() A．“作线段CD＝AB”是一个命题
B．三角形的三条中线的交点为三角形的重心
C．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题也是正确的
D．“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义
3．把“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是____________ ______________________________________，它的条件是____________，结论是_____________________________________________________________．4．命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是______________________ . 5．叙述下列概念的定义．
(1)轴对称图形；
(2)分式；
(3)两平行线间的距离．
6．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．
(1)末位数字是5的整数都能被5整除；
(2)直角三角形的两个锐角互余．
答案解析
2．B【解析】“作线段CD＝AB”没有对事情作判断，不是命题，故选项A 错误；三角形的三条中线的交点为三角形的重心；命题“若x＝1，则x2＝1”
的逆命题是若x2＝1，则x＝1是错误的，x也有可能等于－1，故选项C是错误的；同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项，故选项D错误．
3．如果两个角相等，那么这两个角的余角相等两个角相等这两个角的余角相等
4．互为补角的两个角的和为180°
【解析】因为原条件为：和为180°，结论为：这两个角互补，所以“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是：互为补角的两个角的和为180°. 5．解：(1)如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形．
(2)一个整式f除以一个非零整式g，所得的商记作f
g，把代数式
f
g叫作分式.
(3)两平行线的公垂线段的长度叫作两平行线间的距离．
6．解：(1)如果一个整数的末位数是5，那么这个数就能被5整除；
(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．
第2课时真假命题、证明、定理与逆定理1．下列命题中，是真命题的是() A．对顶角相等B．同位角相等
C．内错角相等D．同旁内角互补
【解析】对顶角相等，正确；在两条平行线被第三条直线所截的条件下，B、C、D才正确．故选A.
2．可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是() A．a＝－2 B．a＝－1
C．a＝1 D．a＝2
【解析】用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a＝－2，因为(－2)2＞1，但是a＝－2＜1，所以选项A正确；故选A.
3．下列命题中，错误的是() A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．若|x|＝5，则x＝5.
4.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是__________________ ，这个逆
命题是________(填“真”或“假”)命题．
5．下列命题中，是真命题的是() A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0
6．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．
(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
(2)如果a＞b，那么ac＞bc；
(3)两个锐角的和是钝角．
解：(1)假命题，两直线不平行时不成立，可通过画图说明；
(2)假命题，当c≤0时不成立，如3＞2，但3×0＝2×0等；
(3)假命题，如∠α＝20°，∠β＝50°，则∠α＋∠β＝70°不是钝角．
6．已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．
(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请
举出一个反例；
(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；
若是假命题，请举出一个反例．
解：(1)假命题．反例：a＝2，b＝－3，有a＞b，但a2＜b2；
(2)逆命题：若a2＞b2，则a＞b.
此命题为假命题．反例：a＝－2，b＝－1，有a2＞b2，但a＜b.
第3课时命题的证明
1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中() A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°
【解析】用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都大于60°.故选C.
2．如图11，下列推理不正确的是()
图11 图12
A．因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠C＝180°
B．因为∠1＝∠2，所以AD∥BC
C．因为AD∥BC，所以∠3＝∠4
D．因为∠A＋∠ADC＝180°，所以AB∥CD
3．用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补”．在下面证明过程中填空．已知：如图12, l1∥l2, l1、l2被l3所截．
求证：∠1＋∠2＝180°.
证明：假设____________．因为l1∥l2，
所以∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
所以________≠180°，这与平角的定义相矛盾.
所以____________不成立. 所以____________．
解：∠1＋∠2≠180°∠1＋∠3∠1＋∠2≠180°∠1＋∠2＝180°4．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
解：已知：在等腰△ABC中，∠A＝∠B.
求证：∠A<90°，∠B<90°.
证明：假设∠A≥90°，∠B≥90°.
因为∠C>0°，所以∠A＋∠B＋∠C>180°，
这与“三角形内角和等于180°”矛盾．
所以假设不成立，原命题成立，
即等腰三角形的底角是锐角．
2.3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1．给出下列关于等腰三角形性质的叙述：①等腰三角形两底角相等；②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；③等腰三角形是轴对称图形．其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个
2．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是() A．55°，55°B．70°，40°
C．55°，55°或70°，40°D．以上都不对
3．如图13，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若∠BAC＝70°，则∠BAD ＝________．
图13 图14
4．如图14，已知AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：作AF⊥BC于F.
因为AB＝AC(已知)，所以BF＝CF，
又因为AD＝AE(已知)，所以DF＝EF，
所以BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE(等式的性质)．
第2课时等腰三角形的判定
1．若△ABC的三边长分别为a，b，c满足(a－b)(b－c)·(c－a)＝0，那么△ABC 的形状是() A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形2．下列条件中，不能得到等边三角形的是() A．有两个内角是60°的三角形
B．有两边相等且是轴对称的三角形
C．有一个角是60°且是轴对称的三角形
D．三边都相等的三角形
3．如图15，已知∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，且BC＝10，AD＝9，则CE＝________．
图15 图16
4．如图16，AD和BC交于点O，AB∥DC，OA＝OB，试说明△OCD是等腰三角形．
解：因为AB∥CD，所以∠A＝∠D，∠B＝∠C，又因为OA＝OB，所以∠A＝∠B，所以∠C＝∠D，所以△OCD是等腰三角形．
2.4__线段的垂直平分线__
第1课时线段的垂直平分线的性质
1．如图17，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB 于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于(
)
17 图18
A．80°B．70°
C．60°D．50°
2．如图18，AC＝AD，BC＝BD，则有()
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
3．如图19，在△ABC中，AB＝5 cm，AC＝3 cm，BC的垂直
平分线分别交AB、BC于D、E，连接DC，则△ACD的周
长为
________cm.
图19 图20
4．如图20，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D 为垂足，连接EC.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC长．
答案解析
2．A【解析】因为AC＝AD，BC＝BD，所以点A，B在线段CD的垂直平分线上．所以AB垂直平分CD.故选
A.
3．8【解析】因为DE为BC的垂直平分线，所以CD＝BD，所以△ACD的周长为AC＋CD＋AD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB，
又因为AC＝3 cm，AB＝5 cm，所以△ACD的周长为3＋5＝8 (cm)．4．解：(1)因为DE垂直平分AC，所以CE＝AE，所以∠ECD＝∠A＝36°；
(2)因为AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠ACB＝72°，
所以∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，所以∠BEC＝∠B，所以BC＝EC＝5.
第2课时线段垂直平分线的作法
1．如图21，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于1
2AB的长为半径画弧，
两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为()
图21 图22
A．7B．14 C．17 D．20
2．为了推进新型农村合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P 到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如图22所示)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
解：已知：A村、B村、C村，
求作：新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等．
第2题答图
2.5__全等三角形__第1课时全等三角形1．已知图23中的两个三角形全等，则∠α的度数是(
)
图23
A．72°B．60°C．58°D．50°
2．如图24，△ABC≌△ADE，如果AB＝5 cm，BC＝7 cm，AC＝6 cm，那么DE 的长是()
A．6 cm B．5 cm C．7 cm D．无法确定
3．如图25，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是(
)
图26
A．AC＝CE B．∠BAC＝∠ECD C．∠ACB＝∠ECD D．∠B＝∠D 4．如图2－5－10，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则下列不正确的等式是()
A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD
C．BE＝DC D．AD＝DE
5．如图27，如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长是27 cm，DE＝9 cm，EF＝13 cm，∠E＝∠B，则AC＝
________cm.
图28
6．已知，如图28所示，点A、B、C、D在同一直线上，△ABF≌△DCE，AF 和DE，BF和CE是对应边．求证：AF∥DE.
1．如图29，使△ABD ≌△ABC 成立的条件是 ( )
图29 图30
A ．∠1＝∠2，BD ＝BC
B ．∠3＝∠4，BD ＝BC
C ．A
D ＝AC ，∠D ＝∠C D ．∠D ＝∠C ，BD ＝BC
2．如图30，AB ∥DC ，且AB ＝CD ，则下列结论中不一定正确的是( )
A ．△ABD ≌△CD
B B ．AD ＝BC
C ．A
D ∥BC D ．∠1＝∠2
3．两个三角形有两边和一角对应相等，则这两个三角形 ( )
A ．一定全等
B ．一定不全等
C ．可能全等，也可能不全等
D ．以上都不是
4．已知，如图31，点C 是线段AB 的中点，CE ＝CD ，∠ACD ＝∠BC E ，求证：AE ＝BD .
图31 图32
5．如图32，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AF ＝DC .求证：BC ∥EF .
4．证明：因为点C 是线段AB 的中点，所以AC ＝BC .
在△ACE 和△BCD 中，???AC ＝BC ，
∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，
所以△ACE ≌△BCD (SAS)，所以AE ＝BD .
5．证明：因为AF ＝DC ，
所以AC ＝DF ，
又∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，
所以△ABC ≌△DEF ，
所以∠ACB ＝∠DFE ，
所以BC ∥EF .
1．如图33所示，已知AB ＝A ′B ′，∠A ＝∠A ′，若使△ABC ≌△A ′B ′C ′，还需要
( )
图2－5－35
A ．∠
B ＝∠B ′ B ．∠
C ＝∠C ′ C ．AC ＝A ′C ′
D ．以上都对
2．如图34所示，已知AB ∥DE ，CD ＝BF ，若△ABC ≌△EDF ，还需补充的条件可以是 ( )
图34 图35 图36
A ．AC ＝EF
B ．A
C ∥EF C ．∠B ＝∠E
D ．不用补充
4．如图35，AB ＝AC ，∠B ＝∠C .求证：AD ＝AE .
证明：在△ACD 和△ABE 中， ???∠A ＝∠A ，
AC ＝AB ，∠C ＝∠B ，
所以△ACD ≌△ABE (ASA)．
所以AD ＝AE .
5．如图36，点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A ＝∠F ，AB ＝FD . 求证：AE ＝FC .
证明：因为BE ∥DF ，
所以∠ABE ＝∠D .
在△ABE 和△FDC 中，???∠ABE ＝∠D ，
AB ＝FD ，
∠A ＝∠F ，
所以△ABE ≌△FDC . 所以AE ＝FC .
6．如图37，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED ≌△AFD ，还需添加一个条件________，并给予证明．
图37
6．解法一；添加条件：AE ＝AF ， 证明：在△AED 与△AFD 中，因为AE ＝AF ，∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，
所以△AED ≌△AFD (SAS)．
解法二；添加条件：∠EDA ＝∠FDA ，
证明：在△AED 和△AFD 中，因为∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，∠EDA ＝∠FDA ， 所以△AED ≌△AFD (ASA)．
第4课时 全等三角形判定方法3(AAS)
1．如图38，线段AB 、CD 相交于点O ，且O 为AB 的中点，则下列不能使△AOD ≌△BOC 的条件是 (
)
图38 图39
A ．AD ＝BC
B ．∠A ＝∠B
C ．∠
D ＝∠C D ．OC ＝OD
2．如图39，已知AD ＝BC ，∠1＝∠2，则△ACD 与△BDC 的关系是 ( )
A ．全等
B ．不全等
C ．不一定全等
D ．无法判断
3．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，AB ＝A ′B ′，∠A ＝∠A ′，若要使△ABC ≌△A ′B ′C ′，那么，还需添加条件 ( )
A ．∠C ＝∠C ′
B ．∠B ＝∠B ′
C ．AC ＝A ′C ′
D ．以上都可以
5．如图40，已知∠ABC ＝∠DCB ，BD 、CA 分别是
∠ABC 、∠DCB 的平分线，求证：AB ＝DC .
证明：因为∠ABC ＝∠DCB ，AC 平分∠BCD ，BD
分∠ABC ，所以∠ACB ＝∠DBC . 在△ABC 与△DCB 中，???∠ABC ＝∠DCB ，
BC ＝CB ，∠ACB ＝∠DBC ，
所以△ABC ≌△DCB .
所以AB ＝DC .
第5课时 全等三角形判定方法4(SSS)
1．如图41，点D ，E 在线段BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BE ＝CD ，要判定△ABD ≌△ACE ，较为快捷的方法是 ( )
图41 图42
A ．SSS
B ．SAS
C ．ASA
D ．AAS
2．如图42所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE ＝CE ，则由“SSS ”可以判定
( )
A ．△ABD ≌△ACD
B ．△BDE ≌△CDE
C ．△ABE ≌△ACE
D ．以上都不对
3．如图43，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF ，求证：AC ∥DF .
图43 图44
4．如图44所示，AB ＝AE ，BC ＝ED ，CF ＝FD ，AC ＝AD .求证：∠BAF ＝∠EAF .
3．证明：因为BE ＝CF ，所以BE ＋EC ＝CF ＋EC ，所以BC ＝EF .
在△ABC 和△DEF 中，???AB ＝DE ，
AC ＝DF ，BC ＝EF ，
所以△ABC ≌△DEF (SSS)， 所以∠ACB ＝∠F ，所以AC ∥DF .
4．【解析】 先证明△ABC ≌△AED ，再证明△ACF ≌△ADF ，即可得∠BAF ＝∠EAF . 证明：在△ABC 和△AED 中，???AB ＝AE ，
BC ＝ED ，AC ＝AD ，
所以△ABC ≌△AED (SSS)，所以∠BAC ＝∠EAD (全等三角形对应角相等)．
在△ACF 和△ADF 中，???AC ＝AD ，
CF ＝FD ，AF ＝AF ，
所以△ACF ≌△ADF (SSS)，所以∠CAF ＝∠DAF (全等三角形对应角相等)， 所以∠BAC ＋∠CAF ＝∠EAD ＋∠DAF ，所以∠BAF ＝∠EAF . 2.6__用尺规作三角形__
1．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是 ( )
A ．作一个角等于已知角
B ．作已知直线的垂线
C ．作一条线段等于已知线段
D ．作角的平分线
2．已知∠A 和线段AB ，要求作一个唯一的△ABC ，还需给出一个条件是________________．本题答案不唯一，如：已知AC 或∠B 等 3．已知：△ABC (如图45所示)．
求作：△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′≌ABC .
图45
解： 如图所示．
(1)作线段B ′C ′＝BC ；(2)分别以点B ′，C ′为圆心，BA ，CA 的长为半径画弧，两弧交于点A ′；(3)连接A ′B ′，A ′C ′，则△A ′B ′C ′就是所求作的三角形．
第2章质量评估试卷
[时间：90分钟分值：120分]
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．如图1，线段AD把△ABC分成面积相等的两部分，则线段AD是()
图1
A．△ABC的角平分线B．△ABC的中线
C．△ABC的高D．以上都不对
2．在下列长度的四根木棒中，能与长为4 cm，9 cm的两根木棒钉成一个三角形的是() A．4 cm B．5 cm C．9 cm D．13 cm
3．如图2，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边AD，DC，CB，AB上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在()
图2
A．A，C两点之间B．E，G两点之间
C．B，F两点之间D．G，H两点之间
4．有下列说法：
①只有两个三角形才能完全重合；
②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个正方形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．其中正确的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图3，△ABC≌△DEF，点A与点D对应，点C与点F对应，则图中相等的线段有()
图3 图4
A．1组B．2组C．3组D．4组
6．如图4，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，BE＝DF，其中全等三角形的对数是
() A．3 B．4 C．5 D．6
7．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是() A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＋∠B＝2∠C
C．∠A∶∠∶B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝1
2∠B＝
1
2∠C
8．如图5，AB＝CD，AD＝BC，则下列结论不正确的是()
图5 图6
A．AB∥CD B．AD∥BC
C．∠A＝∠C D．BD平分∠ABC
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．“同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”这个命题的条件是__________________________，结论是________，这个命题是________命题．10．如图6所示，CD⊥AB，CE⊥BC，AF⊥BF，则△ABC的边BC上的高是线段________．
11．如图7所示，点E，D分别在线段AB，AC上，BD，CE相交于点O，AD＝AE，要使△ABD≌△ACE，需还添加一个条件是____________(只写一个即可)．
图7 图8 图9
12．如图8所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________________．
13．如图9所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，若∠B＝70°，则∠D ＝________．
14．如图10所示，在△ABC中，CD＝DE，AC＝AE，∠DEB＝110°，则∠C＝________．
图10 图12 图11
15．如图11所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，AB表示一棵塔松，A′B′表示一棵小杨树，同一时刻两棵树的影长相等，已知塔松高6米，则小杨树高________米．
16．在△ABC中，BC＝5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是________cm.
三、解答题(共72分)
17．(10分)如图13所示，请在图中作出△ABC的中线CD，角平分线BE，高AF.
图13
18．(12分)如图14所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝70°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．
图14 19．(12分)如图15，已知AD∥BC，AD＝BC，AE＝CF，点E，F在直线AC上，试说明DE∥BF.
图15 20．(12分)如图16，在△ABC中，线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q两点，且BP＝PQ＝QC.试证明△APQ为等边三角形．
图16
21．(13分)如图17，点B，C在∠SAF的两边上．且AB＝AC.
(1)请按下列语句用尺规画出图形(不写作法，保留作图痕迹)．
①AN⊥BC，垂足为N；
②∠SBC的平分线交AN延长线于M；
③连接CM.
(2)该图中有________对全等三角形．
图17
22．(13分)如图18，在△ABC中，AC＝BC，AC⊥BC，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F，图中BF与哪条线段相等？并说明理由．
图18
答案解析
1．B【解析】如图所示，过点A作AE⊥BC于E，则S△ABD＝1
2BD·AE.S△ACD
＝1
2CD·AE.由题意知S△ABD＝S△ACD，所以
1
2BD·AE＝
1
2CD·AE，所以BD＝
CD，即线段AD是△ABC的中线．
第1题答图
2．C 3.B 4.A
5．D【解析】图中相等的线段有：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，AF＝DC，共4组．6．A
7．C【解析】在△ABC中，有∠A＋∠B＝∠C＝180°，
当∠A＝∠B＝∠C时，∠A＝∠B＝∠C＝1
3×180°＝60°，此时△ABC为等
边三角形；
当∠A＋∠B＝2∠C时，∠C＝1
3×180°＝60°，∠A＋∠B＝120°；此时
△ABC不一定是直角三角形；
当∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3时，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，此时△ABC是直角三角形；
当∠A＝1
2∠B＝
1
2∠C时，∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°，此时△ABC为锐角
三角形．
8．D【解析】由AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，可得△ABD≌△CDB，所以∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD.由∠ABD＝∠CDB可得AB∥CD.由∠ADB＝∠CBD可得AD∥BC.所以选项A，B，C都正确，不能推出∠ABD＝∠CBD，故选D.
9．同一平面内，若a⊥b，c⊥b a∥c真10．AF
11．AB＝AC等【解析】本题是开放性题目．在△ABD和△ACE中，已知AD ＝AE，∠A＝∠A，要使△ABD≌△ACE，若利用SAS可添加AB＝AC；若利用AAS可添加∠B＝∠C；若利用ASA可添加∠ADB＝∠AEC.
12．AB＝CD；AB∥CD【解析】因为点O为AC，BD的中点，所以AO＝CO，BO＝DO.在△AOB和△COD中，AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO，所以△AOB≌△COD(SAS)，所以AB＝CD，∠A＝∠C，由∠A＝∠C可推出AB∥CD.
13．70°【解析】连接AC.由AB∥CD，可知∠BAC＝∠DCA，在△ABC和△CDA中，AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，所以△ABC≌△CDA(SAS)，所以∠B＝∠D，由∠B＝∠70°可得∠D＝70°. 14．70°【解析】由∠AED＋∠DEB＝180°，∠DEB＝110°，可得∠AED ＝70°.在△ACD和△AED中，AC＝AE，CD＝ED，AD＝AD，所以△ACD≌△AED(SSS)，所以∠C＝∠AED＝70°.
15．6【解析】由AC∥A′C′，可知∠ACB＝∠A′C′B′.在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，BC＝B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，所以△ABC≌△A′B′C′(ASA)，所以AB＝A′B′＝6米．
16．5【解析】由已知可得PD＝BD，PE＝EC(等角对等边)，而△PDE的周长为PD＋PE＋DE＝BD＋CE＋DE＝BC＝5 (cm)．
17．解：如图所示．
18．解：因为AD是△ABC的高，所以∠ADB＝90°，