2014高考数学高分突破精品教案
“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、 设
{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集
合的子集有多少个？
【易错点分析】此题由条件
A B B = 易知B A ?，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易
忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。 解析：集合A 化简得
{}3,5A =，由A B B
= 知B A ?
故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无
解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =
或1
5
。综上满足条件的a 组成的集合为110,
,35??
????
，故其子集共有328=个。 【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ?A ∩B ＝Ａ?ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，
将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．
（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()()
{}
2
2
2
,|34B x y x y r =
-+-=，
其中0r
>,若A B φ= 求r 的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A
表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B 表示以（3，4）为圆心，以r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r 的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练1】已知集合
{}2|40A x x x =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ?，
则实数a 的取值范围是 。答案：1a =或1a ≤-。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知
()
2
2
214
y x ++=,求22x y +的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x 、
y 满足
()
22
214
y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
解析：由于
()
22
214y x ++=得(x+2)2=1-4
2y ≤1，∴-3≤x ≤-1从而x 2+y 2=-3x 2
-16x-12=
+
328因此当x=-1时x 2+y 2有最小值1, 当x=-38时，x 2+y 2
有最大值3
28。故x 2+y 2
的取值范围是[1,
3
28
]
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件
()
22
214
y x ++=对x 、y 的限制，
显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x ≤-1，22y -≤≤。此外本题还可通过三角换元
转化为三角最值求解。
【练2】若动点（x,y ）在曲线22
214x y b +=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（）
（A ）()()2404424b b b b ?+<
402422b b b b ?+<
（C ）244b +（D ）2b 答案：A
【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例3、
()2112
x x
a f x ?-=+是R 上的奇函数，（1）求a 的值（2）求的反函数()1
f x - 【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析：（1）利用
()()0f x f x +-=（或()00f =）求得a=1.
（2）由1a =即
()2121x x f x -=+，设()y f x =,则()211x y y -=+由于1y ≠故121x
y y
+=-，
112
log y
y
x +-=，而
()2121x x f x -=+()211,121
x =-∈-+所以()()11
12log 11x x f x x +--=-<<
【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R 可省略）。 （2）应用
1()()f b a f a b -=?=可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和
函数值要互换。 【练3】函数()()111f x x x =-≥的反函数是（）
A 、()2221y x x x =-+<
B 、()2221y x x x =-+≥
C 、
()221y x x x =-< D 、()221y x x x =-≥
答案：B
【易错点4】求反函数与反函数值错位 例4、已知函数()121x f x x
-=
+，函数()y g x =的图像与()1
1y f x -=-的图象关于直线y x =对
称，则()y g x =的解析式为（）
A 、()32x g
x x -=
B 、()21x g x x -=+
C 、()12x g x x -=+
D 、()3
2g x x
=+ 【易错点分析】解答本题时易由
()y g x =与()11y f x -=-互为反函数，而认为()11y f x -=-的
反函数是
()1y f x =-则()y g x ==()1f x -=()()
1213211x x
x x
---=
=
+-而错选A 。 解析：由
()121x f x x -=
+得()1
12x f x x
--=+从而()()()11121211x x y f x x ----=-==+-+再求
()11y f x -=-的反函数得()21x
g x x
-=
+。正确答案：B 【知识点分类点拔】函数
()11y f x -=-与函数()1y f x =-并不互为反函数，他只是表示()
1f x -中x 用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设
()1y f x =-则()11f y x -=-，
()11x f y -=+再将x 、y 互换即得()1y f x =-的反函数为()11y f x -=+，故()1y f x =-的
反函数不是
()11y f x -=-，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
【练4】已知函数y=log 2x 的反函数是y=f -1
(x)，则函数y= f -1
(1-x)的图象是（）
答案：B
【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。
例5、 判断函数
()2lg 1()22
x f x x -=
--的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：
()()2lg 1()22
x f x f x x --=
≠+-从
而得出函数
()f x 为非奇非偶函数的错误结论。
解析：由函数的解析式知x 满足2
10
22
x x ?->??-≠±??即函数的定义域为()()1,00,1- 定义域关于原点对称，
在定义域下
()()2lg 1x f x x
-=
-易证
()()f x f x -=-即函数为奇函数。
【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 （2）函数
()f x 具有奇偶性，则()()f x f x =-或()()f x f x =--是对定义域内x 的恒等式。常
常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练5】判断下列函数的奇偶性：
①
()2244f x x x =-+-②()()
111x
f x x x
+=--③
()1sin cos 1sin cos x x
f x x x
++=
+-
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。
例6、 函数
()2221
2
11log 22x x f x x x -+??=<-> ??
?或的反函数为()1f x -，
证明()1
f x -是奇函数且在其定义域上是增函数。
【思维分析】可求()1f x -的表达式，再证明。若注意到()1f x -与()f x 具有相同的单调性和奇偶性，
只需研究原函数
()f x 的单调性和奇偶性即可。
解析：
()21
212121
21
21
2
2
2
log log log x x x x x x f x --+--+-+-===-()f x =-，故()f x 为奇函数从而()1f x -为
奇函数。又令21212121x t
x x -=
=-
++在1,2??-∞- ???和1,2??+∞ ???
上均为增函数且2log t
y =为增函数，故
()f x 在1,2??-∞- ???和1,2??
+∞ ???
上分别为增函数。故()1f x -分别在()0,+∞和(),0-∞上分别为
增函数。
【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即
1()()f b a f a b -=?=。
【练6】（1）已知
()2
x x e e f x --=
，则如下结论正确的是（）
A 、 ()f x 是奇函数且为增函数
B 、()f x 是奇函数且为减函数
C 、
()f x 是偶函数且为增函数 D 、 ()f x 是偶函数且为减函数
答案：A （2）设
()1f x -是函数()()()112
x x f x a a a -=
->的反函数，则使()1
1f x ->成立的x 的取值范围为（）A 、21(,)2a a -+∞ B 、21(,)2a a --∞ C 、21
(,)2a a a
- D 、(,)a +∞
答案：A （1a >时，()f x 单调增函数，所以()()()
()()2
1111112a f x f f x f x f a
--->?>?>=.）
【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。 例7、试判断函数
()()0,0b
f x ax a b x
=+
>>的单调性并给出证明。 【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义
12,x D x D ∈∈()()()()()1212f x f x f x f x ><中的12,x x 的任意性。以及函数的单调区间必是
函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。 解析：由于
()()f x f x -=-即函数()f x 为奇函数，因此只需判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性
即可。设
120
x x >> ，
()()()
12121212
ax x b f x f x x x x x --=- 由于
120
x x -> 故当
12,,b x x a ??∈+∞ ? ??? 时()()120f x f x ->，此时函数()f x 在,b a ??+∞ ? ???
上增函数，同理可证
函数
()f x 在0,b a ?? ? ???上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在,0b a ??- ? ?
??
为减函数，在
,b a ??-∞- ? ???为增函数。综上所述：函数()f x 在,b a ??-∞- ? ???和,b
a ??+∞ ? ???上分别为增函数，在0,
b a ?? ? ???和,0b a ??- ? ???
上分别为减函数. 【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。
（2）单调性的定义等价于如下形式：
()f x 在[],a b 上是增函数()()1212
0f x f x x x -?
>-，()f x 在
[],a b 上是减函数()()1212
0f x f x x x -?
<-，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两
点
()()()()1
1
2
2
,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（小于）零。
（3）
()()0,0b
f x ax a b x
=+
>>是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说
()f x 在,b a ??
-∞- ? ???
,b a ??+∞ ? ???上为增函数，在0,b a ?? ? ??? ,0b a ??
- ? ???
上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”， 【练7】（1）()()10x
f x ax a ax
-=+
>（1）用单调性的定义判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性。（2）设
()f x 在01x <≤的最小值为()g a ，求()y g a =的解析式。
答案：（1）函数在1,a ??+∞ ???为增函数在10,a ??
???为减函数。（2）()()()1
2101a a y g a a a ?-≥?==??<
（2）设0a
>且
()x x
e a
f x a e
=+为R 上的偶函数。（1）求a 的值（2）试判断函数在
()0,+∞上的单
调性并给出证明。 答案：（1）1a
=（2）函数在()0,+∞上为增函数（证明略）
【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。 例8、已知函数()3231f x ax x x =+-+上是减函数，求a 的取值范围。
【易错点分析】
()()()0,f x x a b '<∈是()f x 在(),a b 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程
中易误作是充要条件，如()3f x x =-在R 上递减，但()230f x x '=-≤。 解析：求函数的导数
()2361f x a x x '=+-（1）当()0
f x '<时，
()
f x 是减函数，则
()()23610f x a x x x R '=+-<∈故0
a
?
3
a <-。（2）当
3
a =-时，
()3
3
2
18331339f x x x x x ?
?=-+-+=--+ ??
?易知此时函数也在R 上是减函数。（3）当3a >-时，
在R 上存在一个区间在其上有()0f x '>，所以当3a >-时，函数()f x 不是减函数，综上，所求
a
的取值范围是
(],3-∞-。
【知识归类点拔】若函数
()f x 可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①0
)(>'x f
与
)(x f 为增函数的关系:0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在
),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。②0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系:若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，
0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。③0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系:)(x f 为增函数，一定可以推出
0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有
0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的
必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对3a =-和3a >-进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。 【练8】（1）函数
2y x bx c =++()()0,x ∈+∞是是单调函数的充要条件是（）
A 、0b ≥
B 、0b ≤
C 、0b >
D 、0b < 答案：A
（2）是否存在这样的K 值，使函数()243221
232
f x k x x kx x =-
-++在()1,2上递减，
在()2,+∞上递增？ 答案：1
2
k =
。（提示据题意结合函数的连续性知()20f '=，但()20f '=是函数在()1,2上递减，在
()2,+∞上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由()20f '=求出K 值后要检验。
） 【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。 例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+
a 1)2
+(b+b
1
)2
的最小值。
错解 :(a+a 1)2
+(b+b
1
)2=a 2+b 2
+
2
1a +21
b
+4≥2ab+
ab
2
+4≥4ab ab 1?
+4=8∴(a+
a 1)2
+(b+b
1
)2
的最小
值是8
【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2
≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=
2
1
,第二次等号成立的条件ab=
ab
1
，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
解析：原式= a 2
+b 2
+
21a +21b +4=( a 2
+b 2
)+(21a +2
1b )+4=[(a+b)2
-2ab]+ [(a 1+b 1)2
-ab 2]+4
=(1-2ab)(1+221b a )+4由ab ≤(2b a +)2
=41 得：1-2ab ≥1-21=21,且221b a ≥16，1+221
b
a ≥17
∴原式≥21317+4=225 (当且仅当a=b=21时，等号成立)∴(a+a 1)2
+(b+b 1)2
的最小值是2
25
。
【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三
相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。 【练9】甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （km/h ）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元。
（1） 把全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 答案为:（1）()()2
0s y
bv a v c v
=
+<≤（2）使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度v=
b
a
；当
b
a
＞c 时，行驶速度v=c 。 【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。 例10、是否存在实数a 使函数()2
log ax
x
a f x -=在
[]2,4上是增函数？若存在求出a 的值，若不存在，说
明理由。
【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a 的范围扩大。 解析：函数
()f x 是由()2x ax x φ=-和()log x a y φ=复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方
法（1）当a>1时，若使
()2
log ax
x
a f x -=在
[]2,4上是增函数，则()2x ax x φ=-在[]2,4上是增函
数且大于零。故有()1222420a a φ?≤???=->?
解得a>1。（2）当a<1时若使()2
log ax
x
a
f x -=在
[]2,4上是增
函数，则()2
x ax x φ=-在[]2,4上是减函数且大于零。()14241640a
a φ?≥???=->?
不等式组无解。综上所述存在实数a>1使得函数
()2
log ax
x
a f x -=在
[]2,4上是增函数
【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。
【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设0a >，且1a ≠试求函数2log 43a y x x =+-的的单调区
间。 答案：当01a <
<，函数在31,2??- ???上单调递减在3,42??????上单调递增当1a >函数在31,2?
?- ??
?上单调
递增在
3,42??
????
上单调递减。 （2）若函数
()()()3log 0,1a f x x ax a a =->≠在区间1
(,0)2
-内单调递增，则a 的取值范围是（）A 、
1[,1)4 B 、3[,1)4 C 、9(,)4+∞ D 、9(1,)4
答案：B .（记()3g x x ax =
-，则()2
'3g x x a =-当1a >时，要使得()f x 是增函数，则需有()'0
g x >恒成立，所以2
13324a ??<-= ???
.矛盾.排除C 、D 当01a <<时，要使()f x 是函数，则需有()'0g x <恒
成立，所以2
13324a ??
>-= ???
.排除A ）
【易错点11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．
例11、已知1sin sin
3
x y +=
求2
sin cos y x -的最大值 【易错点分析】此题学生都能通过条件1
sin sin 3
x y +=将问题转化为关于sin x 的函数，进而利用换
元的思想令sin t x =将问题变为关于t 的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成
错解，
解析：由已知条件有1sin
sin 3y x =
-且[]1
sin sin 1,13
y x =-∈-（结合[]sin 1,1x ∈-）得2
sin 13
x -
≤≤，而
2
s i n c o s y x -=1sin 3x -2cos x -=22sin sin 3
x x =--令
2sin 13t x t ??=-≤≤ ???
则原式=222133t t t ??
---≤≤ ?
??根据二次函数配方得：当
2
3
t =-
即
2sin 3x =-
时，原式取得最大值49
。 【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
【练11】（1）设a>0，000求f(x)＝2a(sinx ＋cosx)－sinx 2cosx －2a 2
的最大值和最小值。
答案：f(x)的最小值为－2a 2
－2
2a －12，最大值为12022
22212222
()()<<-+-≥??
???
??a a a a （2）不等式x >ax ＋32
的解集是(4,b)，则a ＝________，b ＝_______。
答案：1
,368
a
b ==（提示令换元x t =原不等式变为关于t 的一元二次不等式的解集为()2,b ）
【易错点12】已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况． 例12、数列
{}n a 前n 项和n s 且111
1,3
n n a a s +==
。（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式。 【易错点分析】此题在应用n s 与n a 的关系时误认为1n n n a s s -=-对于任意n 值都成立，忽略了对n=1
的情况的验证。易得出数列
{}n a 为等比数列的错误结论。
解析：易求得
2341416,,3927a a a ===
。由1111,3n n a a s +==得()11
23
n n a s n -=≥故()111112333n n n n n a a s s a n +--=-=≥得()1423n n a a n +=≥又11a =，21
3
a =故该数列从第
二项开始为等比数列故()
()21114233n n n a n -=??
=???
≥? ???
?。
【知识点归类点拔】对于数列n a 与n s 之间有如下关系：()()
1112n
n n s n a s s n -=??=?-≥??利用两者之间的关系可以已知n s 求n a 。但注意只有在当1a 适合()12n n n a s s n -=-≥时两者才可以合并否则要写分段函数
的形式。
【练12】已知数列
{}n a 满足()()112311,2312n n a a a a a n a n -==++++-≥ 则数列{}
n a 的通项为 。
答案：（将条件右端视为数列{}n na 的前n-1项和利用公式法解答即可）()
()11!22
n n a n n =??
=?≥??
【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始） 例13、等差数列
{}n a 的首项10a >，前n 项和n s ，当l m ≠时，m l s s =。问n 为何值时n s 最大?
【易错点分析】等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，可将问题转化为求解关于n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。
解析：由题意知n s =
()()21112
22n n d d f n na d n a n -??
=+
=
+- ??
?此函数是以n 为变量的二次函
数，因为1
0a >，当l m ≠时，m l s s =故0d <即此二次函数开口向下，故由()()f l f m =得当
2l m x +=
时()f x 取得最大值，但由于n N +
∈，故若l m +为偶数，当2
l m n +=时，n s 最大。 当l m +为奇数时，当1
2l m n +±=时n s 最大。
【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数且没有常数项，反之满足形如2n
s an bn =+所对应的数列也必然是等差数列的前
n 项和。此时由
n s an b n =+知数列中的点,n s n n ??
???
是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n 项和n n s ca c =-所对应的数列必为一等比数列的前n 项和。
【练13】设
{}n a 是等差数列，n s 是前n 项和，且56s s <，6
78s s s =>，则下列结论错误的是（）A 、
0d D 、6s 和7s 均为n s 的最大值。
答案：C （提示利用二次函数的知识得等差数列前n 项和关于n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答） 【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 例14、已知关于的方程2
30x
x a -+=和230x x b -+=的四个根组成首项为
3
4
的等差数列，求
a b +的值。
【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。 解析：不妨设
34
是方程2
30x
x a -+=的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程
230x x a -+=的另一根是此等差数列的第四项，
而方程2
30x x b -+=的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：
3579,,44,44故2735,1616a b ==从而a b +=318
。 【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列
{}n a ，若q p m n +=+，则q p m
n a a a a +=+；
对于等比数列
{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ?=?；若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n
项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列；若数列
{}n a 是等差数列，n S 是其前n
项的和，*
N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列等性质要熟练和灵活应用。
【练14】已知方程2
20x
x m -+=和220x x n -+=的四个根组成一个首项为
14
的等差数列，则
m n
-=（） A 、1 B 、
34 C 、12 D 、38
答案：C
【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况 例15、数列}{n a 中，11=a ，22=a ，数列}{1+?n n a a 是公比为q （0>q ）的等比数列。
（I ）求使32211
+++++>+n n n n n n a a a a a a 成立的q 的取值范围；
（II ）求数列}{n a 的前n 2项的和n S 2． 【易错点分析】对于等比数列的前n 项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列}{1+?n n
a a 是公比为q （0>q ）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数
列而找不到解题突破口。使思维受阻。 解：（I ）∵数列}{1+?n n a a 是公比为q 的等比数列，∴q a a a a n n n n 121+++=，2132q a a a a n n n n +++=，
由32211
+++++>+n n n n n n a a a a a a 得221111q q q a a q a a a a n n n n n n >+?>++++，即
012<--q q （0>q ），解得2
5
10+<
（II ）由数列}{1+?n n a a 是公比为q 的等比数列，得 q a a q a a a a n n n n n n =?=++++2121，这表明数列}{n a 的 所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q ，又11=a ，22=a ，∴当1≠q 时， n S 2n n a a a a a a 2124321++++++=- ) ()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= q q q q a q q a n n n --=--+--=1) 1(31)1(1)1(21，当1=q 时， n S 2n n a a a a a a 2124321++++++=- ) ()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= n 3)2222()1111(=+++++++++= ． 【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中 q a a n n =+2 是解题的关键，这种给出数列 的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。 【练15】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n s >（1）求q 的取值范围。 答案： ()()1,00,-+∞ 【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。 例16、已知数列{}n a 是等差数列，且11232,12a a a a =++= （1）求数列 {}n a 的通项公式（2）令()n n n b a x x R =∈求数列{}n b 前项和的公式。 【思维分析】本题根据条件确定数列 {}n a 的通项公式再由数列{}n b 的通项公式分析可知数列{}n b 是一 个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。 解析：（1）易求得2n a n = （2）由（1）得2n n b nx =令n s =232462n x x x nx ++++ （Ⅰ）则 ()23124212n n n xs x x n x nx +=+++-+ （Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得 ()231 122222n n n x s x x x x nx +-=++++- 当1x ≠()11211n n n x x s nx x x +??-??= ---???? 当1x =时()24621n s n n n =++++=+ 综上可得： 当1x ≠()1 1211n n n x x s nx x x +??-??=---???? 当1x =时()24621n s n n n =++++=+ 【知识点归类点拔】一般情况下对于数列 {}n c 有n n n c a b =其中数列{}n a 和{}n b 分别为等差数列和等 比数列，则其前n 项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。 【练16】已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++++ (),0,0n N a b +∈>>当a b =时， 求数列 {}n a 的前n 项和n s 答案：1a ≠时()()() 2122 1221n n n n a n a a a s a +++-+-+=-当1a =时()32 n n n s += . 【易错点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。 例17、求=n S ++++++321121111…n +++++ 3211． 【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。 解：由等差数列的前n 项和公式得2 ) 1(321+= ++++n n n ，∴)1 1 1(2)1(23211+-=+=++++n n n n n ，n 取1，2，3， …，就分别得到3211,211,11+++，…，∴=n S )1 11(2)4 13 1(2)3 12 1(2)2 11(2+-++-+-+-n n 1 2)111(2+= +- =n n n ． 【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求 n n 21 6314212112222++ ++++++ ，方法还是抓通项，即)2 1 1(21)2(1212 +-=+=+n n n n n n ，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：1 1++= n n a n ，求其前n 项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式 法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 【练17】求和121222-+=n S ＋141422-+＋1 61 622-+＋…＋1)2(1)2(22-+n n ． 答案：+-++-++-+=715115*********n S …+1211211+- -+n n ＝1 22++n n n ． 【易错点18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。 例18、（2004年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n . (Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2 )(2k k S S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2 k k S S =成立. 【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ) 时极易根据条件“对于一切正整数k 都有2)(2 k k S S =成立”这句话将k 取两个特殊值确定出等差数 列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立 的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。 解：（I ）当1,231== d a 时n n n n n d n n na S n +=-+=-+=2 12 12)1(232)1( 由22242)2 1(21,)(2 k k k k S S k k +=+=得 ，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以. （II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2 n n S S =中分别取k=1,2,得 ?? ????+=?+=?????==2112112 242 11)2122(2344, ,)()(d a d a a a S S S S 即 由（1）得 .1011==a a 或当,60)2(,01===d d a 或得代入时 若2 1)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立 , 若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331 ===-===n n S S S n a d a ,)(2 39S s ≠故所得 数列不符合题意.当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得 代入时 若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a ===== 若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== . 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0，即0，0，0，…；②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…， 【知识点归类点拔】事实上，“条件中使得对于一切正整数k 都有2)(2 k k S S =成立.”就等价于关于k 的方 程的解是一切正整数又转化为关于k 的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。 【练18】（1）已知数列 {}n c ,其中23n n n c =+,且数列{}1n n c pc +-为等比数列.求常数p 答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p 的方程，再说明p 值对任意自然数n 都成立） 【易错点19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 例19、已知双曲线2 24x y -=，直线()1y k x =-，讨论直线与双曲线公共点的个数 【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x 或y 的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。 解析：联立方程组()2214 y k x x y ?=-??-=??消去y 得到()22221240k x k x k -+--=（1）当210k -=时， 即1k =±，方程为关于x 的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。 （2）当()2 2 104430 k k ?-≠???=-=??时即233k =±，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当()2 2 104430 k k ?-≠???=->??时，方程组有两个交点此时232333k -<<且1k ≠±。（4）当()2 2 104430 k k ?-≠???=-或23k < 综上知当1k =±或233k =± 时直线与双曲线只有一个交点，当23333 k -<<且1k ≠±。时直线与双曲线有两个交点，当33k > 或3 3 k <- （1） （2） 【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。 【练19】（1）已知椭圆1c 的方程为2 214 x y +=，双曲线2c 的左右焦点分别为1c 的左右顶点，而2c 的 左右顶点分别是1c 的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线:2l y kx =+与椭圆1c 及双曲线2 c 恒有两个不同的交点，且与2c 的两个交点A 和B 满足6lOA OB ?< ，其中O 为原点，求k 的取值范围。答案：（1）2213x y -=（2）133113131,,,,115322315???????? ---- ? ? ? ? ? ? ? ????????? （2）已知双曲线C ： ，过点P （1，1）作直线l, 使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 ____条。答案：4条（可知k l 存在时，令l: y-1=k(x-1)代入14 2 2 =-y x 中整理有(4-k 2 )x 2 +2k(k-1)x- (1-k 2 )-4=0,∴ 当4-k 2 =0即k=±2时，有一个公共点；当k ≠±2时，由Δ=0有2 5 =k ，有一个切点另：当k l 不存在时，x=1也和曲线C 有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线） 【易错点20】易遗忘关于sin θ和cos θ齐次式的处理方法。 例20、已知2tan =θ ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 【思维分析】将式子转化为正切如利用22 1sin cos αα=+可将（2）式分子分母除去sin θ即可。 解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=- + = ++θθθ θθθθ θθθ； (2) θ +θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222 2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 3 24122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θ θ+θθ -θθ=. 【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。2 222(1sin cos sec tan αααα=+=-tan cot αα= 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用． 【练20】．已知)3 2sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622π αππ ααααα +∈=-+求的值. 答案：65313- 02tan tan 62=-+αα，)223 tan 1tan 2 sin 231tan ααπαα -??+= ?+??） 【易错点21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n 项与数列的前n 项和混淆导致错误解答。 例21、如果能将一张厚度为0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为8 410?米) 【易错点分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n 项,易误理解为是比等比数列的前n 项和。 解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列n a ，则数列n a 是以3 1a =0.0510?米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a 51=0.05310-3 3250 =5.6331010 ,而地球和月球间的距离为4310 8 <5.6331010故可建一 座桥。 【知识点归类点拔】 以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及到等差或者等比数列的前n 项和或第n 项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来。 【练21】从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划， 本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 5 1 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4 1 . (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入 （1）a n =800+8003(1－51)+…+8003(1－51)n －1=∑ =n k 1 8003(1－51)k －1=40003［1－(54)n ］ b n =400+4003(1+41)+…+4003(1+41)k －1=∑ =n k 1 4003(45)k －1=16003［(45 )n －1］ （2）至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入 【易错点22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。 例21、下列命题正确的是（） A 、α、β都是第二象限角，若sin sin α β>，则tan tan αβ>B 、α、β都是第三象限角，若 cos cos αβ>，则sin sin αβ>C 、α、β都是第四象限角，若sin sin αβ >，则tan tan αβ >D 、α、β都是第一象限角，若cos cos αβ>，则sin sin αβ >。 【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：（1）将象限角简单理解为锐角或钝角或270到360度之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识而使思维受阻。 解析：A 、由三角函数易知此时角α的正切线的数量比角β的正切线的数量要小即tan tan αβ 理可知sin sin α β 的正切线的数量要大即 tan tan αβ>。正确。D 、同理可知应为sin sin α β<。 【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面有着一定的优越性。例如利用三角函数线易知0,,sin tan 2παααα?? ∈<< ??? ，sin cos 1αα+≥等。 【练22】已知sin sin αβ >，那么下列命题正确的是（） A 、 若αβ、都是第一象限角，则cos cos αβ> B 、若αβ、都是第二象限角，则tan tan αβ> B 、 若αβ 、都是第三象限角，则cos cos α β>D 、若αβ 、都是第四象限角，则tan tan α β > 答案：D 【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将ω和φ求错。 例23．要得到函数 sin 23y x π? ?=- ?? ?的图象，只需将函数1sin 2y x =的图象（） A 、 先将每个x 值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向右平移3 π 个单位。 B 、 先将每个x 值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向左平移3 π 个单位。 C 、 先把每个x 值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向左平移个6 π 单位。 D 、 先把每个x 值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向右平移6π 个单位。 【易错点分析】1sin 2y x =变换成sin 2y x =是把每个x 值缩小到原来的1 4 倍，有的同学误认为是扩 大到原来的倍，这样就误选A 或C ，再把 sin 2y x =平移到sin 23y x π? ?=- ?? ?有的同学平移方向错了， 有的同学平移的单位误认为是 3 π 。 解析：由 1sin 2y x =变形为sin 23y x π? ?=- ?? ?常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将 1sin 2y x =的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1 4倍得到函数2sin 2y x =的图象， 再将函数 2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移 6π单位。即得函数sin 23y x π? ?=- ?? ?。 或者先进行相位变换，即将 1sin 2y x =的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移23 π 个单位，得到 函数 121 sin sin 2323y x x π π????=- =- ? ????? 的图象，再将其横坐标变为原来的4倍即得即得函数 sin 23y x π? ?=- ?? ?的图象。 【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由 sin y x =得到 ()sin y A wx φ=+的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由sin y x =横坐标不变，纵坐标变 为原来的A 倍得到 sin y A x =， 再进行周期变换即由 sin y A x =纵坐标不变，横坐标变为原来的1 ω 倍，得到 sin y A wx =，再进行相位变换即由sin y A wx =横坐标向左（右）平移 φω 个单位，即 得 ()sin sin y A x A x φωωφω? ?=+=+ ?? ?，另种就是先进行了振幅变换后，再进行相位变换即由 sin y A x =向左（右）平移φ 个单位，即得到函数 ()sin y A x φ=+的图象，再将其横坐标变为 原来的 1 ω 倍即得 ()sin y A wx φ=+。不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹 的变量x 来说的。 【练23】要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的 A 、 横坐标缩短为原来的 12倍（纵坐标不变），再向左平移π个单位长度。B 、横坐标缩短为原来的1 2 倍 （纵坐标不变），再向左平移π个单位长度。C 、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π个单位长度。D 、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π个单位长度。 答案：C 【易错点24】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。 例24、已知()0,α π∈，7 sin cos 13 αα+= 求tan α的值。 【易错点分析】本题可依据条件7 sin cos 13 α α+= ，利用sin cos 12sin cos αααα-=±-可解得sin cos αα-的值，再通过解方程组的方法即可解得sin α、cos α的值。但在解题过程中易忽视 sin cos 0αα<这个隐含条件来确定角α范围，主观认为sin cos αα-的值可正可负从而造成增解。 解析：据已知7sin cos 13αα+=（1）有120 2sin cos 0169 αα=-<，又由于()0,απ∈，故有 sin 0,cos 0αα><，从而sin cos 0αα->即17 sin cos 12sin cos 13 αααα-=-=（2） 联立（1）（2）可得125sin ,cos 1313αα==，可得12 tan 5 α=。 【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在 ()0,π区 间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若0,2πα ??∈ ??? 则必有sin cos 1αα+>,故必有,2παπ?? ∈ ???。 【练24】已知()1 sin cos ,0,5 θθθπ+=∈，则cot θ的值是 。 答案：34 - 【易错点25】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。 例25、若510sin ,sin 510 α β= =，且α、β均为锐角，求αβ +的值。 【易错点分析】本题在解答过程中，若求αβ +的正弦，这时由于正弦函数在 ()0,π区间内不单调故满 足条件的角有两个，两个是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难，但若求αβ +的余弦就不易 出错，这是因为余弦函数在 ()0,π内单调，满足条件的角唯一。 解析：由510sin ,sin 510αβ= =且α、β均为锐角知解析： 由510 sin ,sin 510 αβ= =且α、 β均为锐角知25310 cos ,cos 510 α β= =,则()253105102 cos 5105102 αβ+= ?-?= 由α、β均为锐角即()0,α βπ+∈故αβ+π= 【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小，一定要转化为确定该角的某个三角函数值，再根据此三 角函数值确定角这是求角的必然步骤，在这里要注意两点一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称 同时要注意尽量用已知角表示待求角，这就需要一定的角的变换技巧如：()()2α αβαβ=++-等。 绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （ ） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（ ） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为 （A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） 绝密★启封前 机密★使用完毕前 2０１3年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理)（北京卷) 本试卷共5页，１50分，考试时长1２0分钟,考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共4０分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共４0分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{}101A =-， ，,{}|11B x x =-<≤，则A B = Ａ.{}0 B.{}10-， ? C.{}01，?Ｄ.{}101-，， （2)在复平面内,复数()2 2i -对应的点位于（ ) A.第一象限?Ｂ．第二象限?C ．第三象限 D.第四象限 （3)“π?=”是“曲线()sin 2y x ?=+过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件?? ?B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件? D.既不充分也不必要条件 （4)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．1? B ． 23??C.1321 D.610987 （５）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称,则()f x = A ．1e x +????B.1e x - Ｃ.1e x -+? D.1e x -- (6)若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为 A ．2y x =± ?? B.y = C ．1 2 y x =± D ．y = (７)直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 ? ?B ．2 Ｃ．8 3 ? [最新修正版]2014高考数学全套知识点（通用版） 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 50 15392522∈-- 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ []如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_。 []（答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--21 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-21 210 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ 2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷（理科） 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A={x|x2-4x-5＜0}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B=（） A. {1，2，3，4} B. {2，3} C. {3，4} D. {4，5} 2.若复数z的共轭复数为（3-i）i，则=（） A. 1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i 3.已知{a n}为等比数列，S n为其前n项和，若S6=-7S3，a2+a4=10，则a1=（） A. 3 B. -1 C. 2 D. -2 4.若x，y满足，若z=2x-3y有最小值为-7，则z的最大值是（） A. 7 B. 14 C. 18 D. 20 5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤 四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．问该粮仓的高是多少？已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的外接球的表面积是（） A. 平方丈 B. 平方丈 C. 平方丈 D. 平方丈 6.如图所示的程序框图，若输入的a的值为15，则输出的结果是 （） A. 84 B. 120 C. 162 D. 210 7.已知f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x＜1时，f（x）=，若f（）=-，则f（1）+f（） =（） A. B. C. D. 8.设x=-是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点，则f（x）的极大值为（） A. 2 B. 1 C. D. 9.已知函数f（x）=（1-2sin2x）sin（）-2sin x cosxcos（-θ）（）在[-]上单调递 增，且f（）≤m，则实数m的取值范围为（） A. [，+∞） B. [，+∞） C. [1，+∞） D. [，+∞） 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AA1，CC1，BC的中点，则直线B1G与平面B1EDF 所成角的正弦值为（） A. B. C. D. 11.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，且l与x轴的交点为P，过P的直线与C交于A，B 两点，以AB为直径的圆过点F，则|AB|=（） A. 4 B. 4 C. 3 D. 6 12.在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，BE=1，点M是平面ABC上的任意一点，则 （2）的最小值为（） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.在的展开式中，常数项为______（用数字表示） 14.已知α满足tan（α+）=-3-2，则tan2α=______ 15.数列{a n}满足+=，a1=1，a8=，b n=a n a n+1，则数列{b n}的前n项和为______． 16.已知双曲线=1的离心率为e，若点（2，）与点（e，2）都在双曲线上，则该双曲线的渐 近线方程为______ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知7c=2a，cos C=- （Ⅰ）求sin B的值； （Ⅱ）若D为AB中点，且△ABC的面积为，求CD的长度 18.齐齐哈尔医学院大一学生甲、乙、丙三人为了了解昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系， 他们到气象局与校卫生所抄录了1至6月份每月15号的昼夜温差值与因患感冒而就珍的人数，得到如下表格： 2014年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．（5分）（2014?北京）已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（2014?北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A．y＝B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2﹣x D．y＝log0.5（x+1） 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） A．在直线y＝2x上B．在直线y＝﹣2x上 C．在直线y＝x﹣1上D．在直线y＝x+1上 4．（5分）（2014?北京）当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） A．7B．42C．210D．840 5．（5分）（2014?北京）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列” 的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 6．（5分）（2014?北京）若x，y满足，且z＝y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（） A．2B．﹣2C．D．﹣ 7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3 C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2＝． 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||＝1，＝（2，1），且+＝（λ∈R），则|λ|＝． 11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2＝1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为． 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种． 14．（5分）（2014?北京）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0） 若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝f（）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为． 2014高考数学必考知识点：立体几何 考试内容 平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理． 平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 考试要求 （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离． （3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理． （4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理． （5）会用反证法证明简单的问题． （6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念． （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图． （9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式． 9（B）．直线、平面、简单几何体 考试内容： 平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线． 直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理． 两个平面的位置关系． 空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积． 直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离． 直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影． 平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 考试要求： （1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理． （3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘． 黑龙江省高考数学一模试卷（理科）A卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共10题；共20分) 1. （2分）(2017·鹰潭模拟) 已知（ +i）?z=﹣i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 2. （2分）(2017·南海模拟) 已知A={x∈N|﹣1＜x＜2}，B={x∈R|x2+5x﹣14＜0}，则A∩B=（） A . {x|﹣1＜x＜2} B . {0，1} C . {x|﹣7＜x＜2} D . {0，1，2，3，4} 3. （2分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（） A . 若m∥α，n∥α，则m∥n B . 若m⊥α，α⊥β，则m∥β C . 若m⊥α，α⊥β，则m⊥β D . 若m⊥α，m∥β，则α⊥β 4. （2分） (2017高一下·池州期末) 如图，在圆心角为90°的扇形中以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC 与∠BOC都不小于30°的概率是（） A . B . C . D . 5. （2分）(2017·渝中模拟) 下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的y的值为3，那么应输入x=（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 6 6. （2分）(2017·宿州模拟) 向量，满足| |=1，| |=2，?（+ ）=0，则 在方向上的投影为（） B . - C . 0 D . - 8. （2分） (2016高三上·吉安期中) 已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（） A . [ ，5] B . [0，5] C . [0，5） D . [ ，5） 9. （2分） f（x）=sin（2x+）的图像按平移后得到g（x）图像，g（x）为偶函数，当||最小时，=（） A . B . C . D . 10. （2分） (2016高二下·大庆期末) 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0， ]时，f（x）=cosx，则f（）的值为（） A . ﹣ 绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I 卷 ) 数 学(理科 ) 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 2x 3 0 } ， － ≤＜＝，则A B = B={ x | 2 x 2 A .[-2,-1] B .[-1,2 ） C .[-1,1] D .[1,2） (1 i )3 2. (1 i ) 2 = A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i 3.设函数 f ( x) ， g( x) 的定义域都为 R ，且 f ( x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论正确的 是 A . f (x) g( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C .f (x) | g( x) 是奇函数 D .|f ( x) g ( x) 是奇函数 | | 4.已知 F 是双曲线 C ： x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率 A . 1 B . 3 C . 5 D . 7 8 8 8 8 6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边 为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0, ]上的图像大致为 2014年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 2 y= 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） （ （ 4．（5分）（2014?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） 1＞ 6．（5分）（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为 作出可行域如图， （﹣ （﹣ ﹣ 7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx ， = 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2=﹣1． ） 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ． =．由于向量，|，且+（ = ，满足||=1=+=（ 故答案为： 11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为y=±2x． ﹣具有相同渐近线的双曲线方程可设为 ， ﹣， 故答案为：， 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种． 2018年黑龙江省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）i（2+3i）=（） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7} 3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（） A．B．C． D． 4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为 （） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（） A．4 B． C． D．2 8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（） A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3D．i=i+4 9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（） A．B．C．D． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π 11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（） A．1﹣B．2﹣C．D．﹣1 12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（） 2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 数学试题卷（文史类） 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. （1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022 =--x x }，则A B= （A ）? （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2- （2） 131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则 （A ）p 是q 的充分必要条件 （B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -= ，则a b = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 （5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ）()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + （D ） ()12 n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得 到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 （A ） 1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）1 3 2014年北京高考数学（理科）试题 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?（θ为参数）的对称中心（ ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥?? -+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ） .2A .2B - 1.2C 1 .2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数2 11i i +?? = ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则 λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2 214 y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(?ω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2 ,6[π π上具有单调性，且 ?? ? ??-=??? ??=??? ??6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. (一)必考容与要求 1. 集合 (1) 集合的含义与表示 ① 了解集合的含义、元素与集合的属于关系。 ② 能用自然语言、图形语言、几何语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。 (2) 集合间的基本关系 ① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 ② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。 (3) 集合的基本运算 ① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会要求给定及子集的补集。 ③能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系与运算。 2. 函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数。幂函数) (1) 函数 ① 了解构成函数的要素，会简单求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。 ② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数。 ③ 了解简单的分段函数，并能简单应用。 ④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义：结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。 ⑤ 会运用函数图象理解和研究函数的性质。 (2) 指数函数 ① 了解指数函数模型的实际背景。 ② 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的含义，掌握幂的运算。 ③ 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。 ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型。 (3) 对数函数 ① 理解对数函数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。 ② 理解对函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点。 ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型。 ④ 了解指数函数与对数函数互为反函数(a﹥0，且a≠1) (4) 幂函数 ① 了解幂函数的概念。 ② 结合函数的图像，了解它们的变化情况。 (5) 函数与方程 ①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 ③ 根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。 (6) 函数模型及其应用 2017年省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数等于（） A. B. C. D. 2. 设集合，．若，则 A. B. C. D. 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯（） A.盏 B.盏 C.盏 D.盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 5. 设，满足约束条件，则的最小值是（） A. B. C. D. 6. 安排名志愿者完成项工作，每人至少完成项，每项工作由人完成，则不同的安排方式共有（） A.种 B.种 C.种 D.种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成 绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 8. 执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的 A. B. C. D. 9. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则 的离心率为（） A. B. C. D. 10. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线 与所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 11. 若是函数的极值点，则的极小值为（） A. B. C. D. 12. 已知是边长为的等边三角形，为平面一点，则的 最小值是 A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1） 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|230}A x x x =--≥,{|22}B x x =-<≤,则A B = ( ) A .[2,1]-- B .[1,2)- C .[1,1]- D .[1,2) 2. 3 2 (1i)(1i)+=- ( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()|f x ()g x 是奇函数 C .()f x |()|g x 是奇函数 D .|()()|f x g x 是奇函数 4.已知F 为双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A .18 B .38 C . 58 D . 78 6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ,则 ()y f x =在[0,π]的图象大致为 ( ) A . B . C . D . 7.执行如图的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3.则输出的M = ( ) A . 203 B . 72 C .165 D .158 8.设π(0,)2α∈,π(0,)2 β∈,且1sin tan cos β αβ+=,则 ( ) A .π32αβ-= B .π 32αβ+= C .π22αβ-= D .π 22αβ+= 9.不等式组1, 24x y x y +??-?≥≤的解集记为D ,有下面四个命题： 1p ：(,)x y D ?∈,22x y +-≥； 2p ：(,)x y D ?∈,22x y +≥； 3p ：(,)x y D ?∈,23x y +≤； 4p ：(,)x y D ?∈,21x y +-≤. 其中的真命题是 ( ) A .2p ,3p B .1p ,2p C .1p ,4p D .1p ,3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个 交点,若4FP FQ =,则||QF = ( ) A .72 B .3 C .52 D .2 11.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 ( ) A .(2,)+∞ B .(1,)+∞ C .(,2)-∞- D .(,1)-∞- 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A .B .6 C .D .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 (用数字填写答案). 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,2a =,且(2)(sin b A +- sin )()sin B c b C =-,则ABC △面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=； （Ⅱ）是否存在λ,使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 姓名________________ 准考证号_____________ -------------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 2014年北京市高考数学（理科）试题及答案 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ) .{0}A .{0,1} B .{0,2} C .{0,1,2} D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?（θ为参数）的对称中心（ ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥??-+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ） .2A .2B - 1.2C 1.2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数211i i +??= ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2 214 y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________. 黑龙江省2018年高考文科数学试题及答案 （Word 版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．()i 23i += A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+ 2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3 B ．{}5 C ．{}3,5 D ．{}1,2,3,4,5,7 3．函数()2 e e x x f x x --=的图像大致为 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3 6．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>3 A ．2y x = B ．3y x = C ．2 y = D ．3y = 7．在ABC △中，5 cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29D ．25 8．为计算11111 123499100 S =-+-++-L ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入 A ． 1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i = + 9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ． 2 B C D 10．若()cos sin f x x x = -在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是 A ． π4 B ． π2 C ． 3π4 D ．π 11．已知1 F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=?，则C 的离心率 为 A ．1B ．2C D 1- 12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则 (1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=L A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________． 14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-?? -+??-? ≥≥≤ 则z x y =+的最大值为__________． 15．已知5π1 tan()45 α- =，则tan α=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30?，若SAB △的面积为8，则 该圆锥的体积为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考2014年高考全国2卷文科数学试题(含解析)
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