考点十二：图形的初步认识
聚焦考点☆温习理解
一、直线、射线和线段
1、直线的概念
一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。2、射线的概念
直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。
3、线段的概念
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。
4、直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
5、线段的性质
（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
6、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
二、相交线
1、相交线中的角
两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一
条公共边的两个角叫做临补角。
临补角互补，对顶角相等。
直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。
2、垂线
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD 垂直于AB”）。
垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
三、平行线
1、平行线的概念
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
2、平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定
平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。
平行线的两条判定定理：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。
4、平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
四、命题、定理、证明
1、命题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题。
2、命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
4、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、直线、射线、线段
【例1】如图，经过刨平的木析上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线. 能解释这一实际问题的数学知识是（）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】A．
【解析】经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线此操作的依据是两点确定一条直线．
故选A．
【点睛】根据公理“两点确定一条直线”，来解答即可.
【举一反三】
1.如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）
A． 2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】B.
考点典例二、平行线
【例2】（2015.山东威海，第14题，4分）如图，直线a∥b，∠1=110°，∠2=55°，则∠3的度数为．
【答案】55°
【解析】
试题分析：由a∥b，得∠3＋∠2＝∠1，所以∠3＝110°－55°＝55°．
考点：平行线的性质
【点晴】本题考查平行线的性质，属于几何初步知识．识别∠2与∠CDF 是内错角，进而根
据两直线平行，同旁内角互补、内错角相等发现它们之间的数量关系是解题关键．
【举一反三】
1.（2015·辽宁丹东）如图，∠1=∠2=40°，MN 平分∠EMB ，则∠3= °.
【答案】
110.
考点：平行线的判定与性质的应用.
2.（2015资阳）如图，已知AB ∥CD ，∠C =70°，∠F =30°，则∠A 的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C ．
【解析】
试题分析：∵AB ∥CD ，∴∠BEF =∠C =70°，∵∠BEF =∠A +∠F ，∴∠A =70°﹣30°=40°．
故选C．
考点：平行线的性质． 课时作业☆能力提升
一．选择题
1．点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC 等于
( ) A.3 B.2 C.3或5 D.2或6
【答案】D ．
第10题图
【解析】
考点：1.两点间的距离；2.数轴；3.分类思想和数形结合思想的应用．
2. (2015.河北省，第8题，3分)如图，AB//EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（）
A.120°
B.130°
C.140°
D.150°
【答案】C
【解析】
试题分析：如图，延长DC交直线AB于点M，
∵AB∥EF，CD⊥EF，
∴∠AMC=90°，
∴∠ACD=50°＋90°=140°.
故选：C
考点:平行线的性质，三角形的外角性质
3. （2015.河南省，第4题，3分）如图，直线a ，b 被直线e ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，
则∠4的度数为（ ）.
A. 55°
B. 60°
C.70°
D. 75°
【答案】
A. 考点：平行线的性质与判定.
4．（2015.重庆市A 卷，第6题，4分）如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别与直线AB,CD 相
交于点G ，H.若∠1=135°，则∠2的度数为（ ）
A. 65°
B. 55°
C. 45°
D. 35°
【答案】C.
【解析】
试题分析：根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠2=180°-∠1=180°-135°=45°.故
选：C.
考点：平行线的性质.
5. (2015.北京市，第5题，3分)如图，直线l 1，l 2，l 3交于一点，直线l 4∥l 1，若∠1=124
°，
d
c b
a
第4题
6题图
∠2=88°，则∠3的度数为( )
A.26°
B.36°
C.46°
D.56°
4
【答案】B．
【解析】
试题分析：如如图∠4=∠2=88°，因为l4∥l1，根据平行线的性质可得∠4+∠3=∠1，所以∠3=∠1-∠4=124°-88°=36°，故选B．
考点：对顶角相等；平行线的性质
6. (2015.陕西省，第4题，3分)如图，AB//CD,直线EF分别交直线AB、CD于点E、F,若∠1=46°30′，则∠2的度数为（）
A.43°30′
B.53°30′
C.133°30′
D.153°30′
【答案】C
考点：平行线的性质、补角的定义.
7.（2015凉山州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1 =（）
A．52° B．38° C．42° D．60°
【答案】A．
【解析】
试题分析：如图：
∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．
考点：平行线的性质．
8．（2015泸州）如图，AB∥CD，CB平分∠ABD．若∠C=40°，则∠D的度数为（）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵AB∥CD，∠C=40°，∴∠ABC=40°，∵CB平分∠ABD，∴∠ABD=80°，∴∠D= 100°，故选B．
考点：平行线的性质．
7.（2015.山东济南，第3题,3分）如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（）
A． 35°B． 45°C． 55°D． 70°
【答案】C
【解析】
试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，
所以∠2+∠1=90°，∵∠1=35°，∴∠2=55°，故选：C．
考点：1.余角和补角；2.垂线．
8.（2015.山东泰安，第5题）（3分）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB 的度数等于（）
A．122° B．151° C．116° D．97°
【答案】B．
考点：平行线的性质．
9.（2015.山东枣庄，第2题，3分）如图，把一块含有45°角的直角三角板两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是
A．15° B.20° C．25° D.30°
【答案】C
【解析】
试题分析：因为直尺的对边平行，∴∠BAC=∠1，所以∠2=45°-∠BAC=45°-∠1=25°．故选C．
考点：平行线的性质
10．（3分）（2015?聊城，第2题）直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2= 58°，∠3=70°，那么∠4等于（）
A. 58°
B. 70°
C. 110°
D. 116°
【答案】C
考点：平行线的判定与性质
11.如果α、β互为余角，则( )
A. α + β=180°
B. α－β=180°
C. α－β=90°
D. α + β=90°【答案】D.
【解析】
试题分析：根据互为余角的概念，如果α、β互为余角，则α + β=90°. 故选D.
考点：余角的概念.
12.如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）．
(A) ∠2； (B)∠3； (C) ∠4； (D) ∠5．
【答案】A.
【解析】
试题分析：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角，因此，∠1的同位角是∠2. 故选A.
考点：三线八角.
二．填空题
13.（2015·辽宁大连）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠C＝27°则∠E的度数为__________.
【答案】29°
考点：1.平行线的性质；2.三角形的外角性质.
14.（2014·南平）已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=
【答案】6.
【解析】
试题分析：直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
试题解析：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，
∴PB=PA=6．
考点：线段垂直平分线的性质．
15．
（2015·湖南株洲）如图，l∥m，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是。
第11题图
【答案】65°
考点：平行线的性质，三角形的外角
16.（2015.山东枣庄，第14题，4分）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据
)，则a，b相交所成的锐角是________．
如图
【答案】30°
【解析】
试题分析：因为三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，所以100°-70°=30°．
考点：三角形的内角和及其推论．
17.（2015.山东威海，第14题，4分）如图，直线a∥b，∠1=110°，∠2=55°，则∠3的度数为．
【答案】55°
考点：平行线的性质
专题08 平面几何基础（第05期） -2017年中考数学试题 一、选择题 1．（2017年贵州省毕节地区第6题）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED=（） A．55°B．125°C．135°D．140° 【答案】B. 考点：平行线的性质 2．（2017年湖北省十堰市第3题）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（） A．40°B．50°C．60°D．70° 【答案】B. 【解析】 试题分析：由AB∥DE，∠CDE=40°，
∴∠B=∠CDE=40°， 又∵FG⊥BC， ∴∠FGB=90°﹣∠B=50°， 故选：B． 考点：平行线的性质 3．（2017年湖北省十堰市第6题）下列命题错误的是（） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】C. 考点：命题与定理 4. （2017年湖北省荆州市第3题）一把直尺和一块三角板ABC(含30°、60°角)摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE=40°,那么∠BAF的大小为（） A.40° B.45° C.50° D.20° 【答案】D 【解析】 试题分析：先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF =60°﹣50°=10°，
考点：平行线的性质 5. （2017年湖北省宜昌市第3题）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“爱”字一面的相对面上的字是（） A．美B．丽C．宜D．昌 【答案】C 考点：正方体相对两个面上的文字 6. （2017年湖北省宜昌市第4题）谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站，一脚转.打一数学学习用具，谜底为（） A．量角器B．直尺 C. 三角板D．圆规 【答案】D 【解析】 试题分析：利用圆规的特点：圆规有两只脚，一铁脚固定，另一脚旋转，可判断. 故选：D． 考点：数学常识 7. （2017年湖北省宜昌市第10题）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（） A．①②B．①③ C. ②④D．③④
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题） 专题35：平面几何基础 一、选择题 1. （2012北京市4分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM 等于【】 A．38?B．104?C．142?D．144? 【答案】C。 【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。 【分析】由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。 由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。 ∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选C。 2. （2012重庆市4分）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF=100°，则∠ABD 的度数为【】 A．60°B．50°C．40°D．30° 【答案】B。 【考点】平行线的性质，角平分线的定义。 【分析】∵EF∥AB，∠CEF=100°，∴∠ABC=∠CEF=100°。 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=1 2 ∠ABC= 1 2 ×100°=50°。故选B。 3. （2012山西省2分）如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于【】
A ． 35° B ． 40° C ． 45° D ． 50° 【答案】B 。 【考点】平行线的性质，平角定义。 【分析】∵∠CEF =140°，∴∠FED =180°﹣∠CEF =180°﹣140°=40°。 ∵直线AB ∥CD ，∴∠A =∠FED =40°。故选B 。 4. （2012海南省3分）一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是【 】 A ．3cm B ．4cm C ．7cm D ．11cm 【答案】C 。 【考点】三角形的构成条件。 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，此三角形的第三边的长应在7－3=4cm 和7＋3=10cm 之间。要此之间的选项只有7cm 。故选C 。 5. （2012海南省3分）小明同学把一个含有450 角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n ，上，测得0120α∠=，则β∠的度数是【 】 A ．450 B ．550 C ．650 D ．750 【答案】D 。 【考点】平行线的性质，平角定义，对顶角的性质，三角形内角和定理。 【分析】∵m n ∥，∴∠ABn =0120α∠=。∴∠ABC =600 。 又∵∠ACB =β∠，∠A =450， ∴根据三角形内角和定理，得β∠=1800－600－450=750。故选D 。 6. （2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】 A ． 5 B ． 6 C ． 11 D ． 16 【答案】C 。 【考点】三角形三边关系。 【分析】设此三角形第三边的长为x ，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4＜x ＜10+4，即6＜x ＜14，四个选项中只有11符合条件。故选C 。
圆的综合大题 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； （3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP． （1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由； （2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．
3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P． （1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）与是否相等？请你说明理由； （3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考） 4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F． （I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小； （II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．
5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF． （1）求证：∠ACD＝∠F； （2）若tan∠F＝ ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长． 6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
数学精品复习资料 安徽省中考数学试题分类解析汇编（12专题） 专题8：平面几何基础 一、选择题 1. （2001安徽省4分）如图，长方体中，与棱AA′平行的面是▲ 。 【答案】面BC′和面CD′。 【考点】认识立体图形。 【分析】在长方体中，面与棱之间的关系有平行和垂直两种，且与棱平行的面有两个：面BC′和面CD′。 2. （2001安徽省4分）如图所示，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是 ▲ 度。 【答案】60。 【考点】角的计算，平角的定义。 【分析】因为在截取之前的角是平角180°，截完弯折后左右两边重合，所组成的新角是120°，所以缺口角等于180°﹣120°=60°。 3. （2002安徽省4分）如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE．若∠DOE＝60°，则∠AOC 的度数是▲ ．
【答案】30°。 【考点】角平分线的定义，对顶角的性质 【分析】∵AB、CD相交于点O，∠DOE=60°，OB平分∠DOE， ∴∠BOD=1 2 ∠DOE= 1 2 ×60°=30°。 又∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD=30°。 4. （2003安徽省4分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有【】 A：1个 B：2个 C：3个 D：4个 【答案】C。 【考点】平行线的性质，余角和补角，对顶角的性质，直角三角形两锐角的关系。 【分析】∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD。 设∠ABC的对顶角为∠1（如图），则∠ABC=∠1。 又∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°。 ∴∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCD=∠CAB+∠1=90°。 ∴与∠CAB互余的角为∠ABC，∠BCD，∠1。故选C。 5. （2005安徽省课标4分）下列图中能够说明的是【】 A．B．C． D． 【答案】D。 【考点】对顶角的性质，圆周角定理，直角三角形的内角，三角形的外角性质。 【分析】根据对顶角、圆周角、直角三角形的内角、三角形的外角性质等分析作出判断：
如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ；
【2013版中考12年】上海市2002-2013年中考数学试题分类解析 专 题8 平面几何基础和向量 选择题 1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【 】 （A ）正多边形都是轴对称图形； （B ）正多边形一个内角的大小与边数成正比例； （C ）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少； （D ）边数大于3的正多边形的对角线长相等． 【答案】A ，C 。 【考点】正多边形和圆，命题与定理。 故选A ，C 。 2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算32a a - 的结果是【 】 A ．a B ．a C ．a - D ．a - 【答案】B 。 【考点】向量的计算。 【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：32=a a a - 。故选B 。 3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD 中，如果 AB a = ，AD b = ，那么a b + 等于【 】 A ．BD B ．AC C ．DB D ．CA 【答案】B 。
【考点】向量的几何意义。 【分析】根据向量的意义，=a b AC + 。故选B 。 4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【 】 A ．正六边形 B ．正五边形 C ．正四边形 C ．正三边形 【答案】C 。 【考点】多边形内角与外角。 【分析】正n 边形的内角和可以表示成0 2180n -?（），则它的内角是等于 2180n n -?（），n 边形的中心角等于0 360n ，根据中心角等于内角就可以得到一个关于n 的方程：00 2180360n n n -?= （），解这个方程得n =4，即这个多边形是正四边形。故选C 。 5.（上海市2009年4分）如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是【 】 A ．AD BC DF CE = B ． BC DF CE AD = C ．C D BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 【答案】A 。 【考点】平行线分线段成比例。 【分析】已知AB CD EF ∥∥，根据平行线分线段成比例定理，得 AD BC DF CE =。故选A 。 6.（2012上海市4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【 】 A ． 等腰梯形 B ． 平行四边形 C ． 正五边形 D ． 等腰三角形 【答案】B 。 【考点】中心对称图形。
地区：浙江省金华市年份：2011 分值：12.0 难度：难 如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长； （2）当DE＝8时，求线段EF的长； （3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由. 地区：浙江省湖州市年份：2011 分值：14.0 难度：难 如图1．已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M 是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． (1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）； (2)当△APD是等腰三角形时，求m的值； (3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）
地区：山东省济宁市年份：2011 分值：10.0 难度：难 如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C 的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx ＋3. (1)设点P的纵坐标为p，写出p随K变化的函数关系式. (2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明; (3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值;若不存在，请说明理由. 地区：湖南省邵阳市年份：2011 分值：10.0 难度：难 如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（，0），点C（0,3） 点B是x轴上一点（位于点A右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C. （1）求角ACB的度数； （2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A，B两点，求抛物线的解析式； （3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由.
中考数学压轴题(几何综合题） 1、如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A 出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值； （2）当a＝1 2 时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米， ∴EC＝(4－2a ) 厘米． ∵△ECF∽△BCA．∴EC CF CB AC = ∴422 64 a - =．∴ 1 2 a=． （2）由题意，AE＝1 2 t厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米． ∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴EG AE CD AC =， 1 2 34 t EG =．∴EG＝ 3 8 t． ∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF． 当0≤t＜3时，3 3 8 t t =-， 24 11 t=． 当3＜t≤6时，3 3 8 t t=-， 24 5 t=． 综上 24 11 t=或 24 5 （3）由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，可得：△AEG∽△ACD AG＝5 2 t厘米，EG＝ 3 2 t，DF＝3－t厘米，DG＝5－ 5 2 t（厘米）． G D B A C F E （第27题） D B A C 备用图 图1
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最
专题08 平面几何基础 一、选择题 1. （2017浙江衢州第5题）如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（） A．30° B．40° C．60° D．70° 2. （2017浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（） A．①B．②C．③D．④ 3. （2017浙江宁波第7题）已知直线m n ∥，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置 (30 ∠°，则2 = ABC= ∠°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若120 ∠的度数为( ) A.20° B.30° C.45° D.50° 4. （2017甘肃庆阳第6题）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（）
A．115°B．120°C．135°D．145° ，点E在AB上，点F在CD上，如果 5. （2017广西贵港第15题）如图，AB CD ∠的度数为． ∠∠=∠= ，那么BEF CFE EFB ABF :3:4,40 6. （2017贵州安顺第5题）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（） A．100°B．110°C．120°D．130° 7.（2017湖南怀化第5题）如图，直线a b ∠°，则2 ∥，150 = ∠的度数是( ) A.130° B.50° C.40° D.150° 8.（2017江苏盐城第12题）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °． 9.（2017贵州黔东南州第2题）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）
平面几何知识要点（一） 【线段、角、直线】 1.过两点有且只有一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。 垂直平分线，简称“中垂线”。 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线（中垂线）。 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的
集合。 中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。 垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。 .三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶 点的距离相等。 角 1.同角或等角的余角相等。
2.同角或等角的补角相等。 3.对顶角相等。 角的平分线性质 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。 【平行线】 平行线性质1：两直线平行，同位角相等。 平行线性质2：两直线平行，内错角相等。
平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。 平行线判定1：同位角相等，两直线平行。 平行线判定2：内错角相等，两直线平行。 平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 成比例。
如图8，在ABC Rt ?中，?=∠90CAB ，3=AC ，4=AB ，点P 是边AB 上任意一点，过点P 作AB PQ ⊥交BC 于点E ，截取AP PQ =，联结AQ ，线段AQ 交BC 于点D ，设x AP =，y DQ =．【2013徐汇】 （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域； （4分） （2）如图9，联结CQ ，当CDQ ?和ADB ?相似时，求x 的值； （5分） （3）当以点C 为圆心，CQ 为半径的⊙C 和以点B 为圆心，BQ 为半径的⊙B 相交的另一 个交点在边AB 上时，求AP 的长． （5分） 【2013奉贤】如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ． （1）若 ，求∠F 的度数； （2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （图8） C A B D E P Q C A B D E P Q （图9） （备用图） C A B BE ED =⌒ ⌒
第25题 （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 【2013长宁】△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =?90. ，∠BAC =?30. ，BC=6，∠ FDE =?90，DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //； （3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 【2013嘉定】已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC . （1）如图8，求证：AB ∥OC ； （2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =； 图① 图②
【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是（）． B.6 C. D.4 A． 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心， AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE =. 22故选A． 【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E为圆心，EB′为半径的定圆，当点D到圆上的最小距离为点D到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如B D DE B E '' ≤-，当且仅当点E、B′、D三点共线时，等号成立. 【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连结BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆上.取AB中点O，当D、H、O三点共线时，DH的值最小，此时DH＝OD－OH，问
题得解. 【解析】由△ABE≌△DCF，得∠ABE＝∠DCF，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF＝∠DAG，∠ABE＝∠DAG，所以∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆弧上.取AB中点O，OD交⊙O于点H，此时DH最小，∵OH＝1 AB=，OD＝，∴DH的最 1 2 小值为OD－OH 1. 【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H在以AB为直径的圆上，点D在圆外，DH的最小值为DO－OH.当然此题也可利用DH OD OH ≤-的基本模型解决. 【针对训练】 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴，y轴上，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（）. B．1．3 A 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）. B. C. D.4 A．3 3. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的运点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）.
２016－２0１7学年度???学校2月月考卷 1.(2016北京市)如图所示,用量角器度量∠AOＢ，可以读出∠ＡＯB的度数为（ )Ａ.45° B.55° C.125° D．1３5° ２．（2016四川省凉山州）如图,AB∥CD,直线EF分别交AＢ、CD于Ｅ、F两点,∠BEF 的平分线交ＣＤ于点G，若∠ＥＦG=52°,则∠EGF等于（) Ａ.26°Ｂ.６4°Ｃ.52° D.128° ３．(２016四川省成都市）如图,l1∥l2，∠1=56°,则∠２的度数为( ） A．３4°Ｂ.56° C．124° D．14６° 4.（２016四川省资阳市)如图是一个正方体纸盒的外表面展开图,则这个正方体是( ) A． B.C． D. 5．(2０1６山东省临沂市)如图，直线AＢ∥ＣD,∠A＝40°，∠D=45°,则∠1的度数是( ）
A.80° B．８５° C．90° D.9５° 6．（２０16江苏省宿迁市)如图，已知直线a、b被直线c所截.若a∥b,∠1=120°，则∠2的度数为（ ) Ａ．5０° B．60°Ｃ.12０°Ｄ．130° 7.（2０16湖北省黄冈市)如图,直线ａ∥ｂ，∠１=55°,则∠2=(） A．35°B．45° C.55°Ｄ．65° ８．（2０16湖南省邵阳市)如图所示，直线AＢ、ＣＤ被直线EF所截,若AB∥CD,∠1=１00°,则∠2的大小是（) A.10° B.50°Ｃ．80° D.１０0° 9.（２01６甘肃省白银市）如图，ＡB∥CD，DE⊥CE,∠1＝34°,则∠ＤCE的度数为( ) A.３4° B.５４° C.66°Ｄ．56° 1０．(２01６福建省福州市）如图，直线a,b被直线c所截，∠１与∠2的位置关系是( )
初中数学平面几何建系专题 一.创设问题情境，引入新课 1．一位居民打电话给供电部门：“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯。 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”。 3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自己的座位。 分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置的。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 二、新课讲授 1、由学生回答以下问题： (1)引入：影院对观众席所有的座位都按“几排几号”编号，以便确定每 个座位在影院中的位置，观众根据入场券上的“排数”和“号数”准确入座。 （2）根据下面这个教室的平面图你能确定某同学的坐位吗？对于下面这个根据教师平面 图写的通知，你明白它的意思吗？“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论：（1,5），（2，4），（4，2），（3，3）,(5,6）。” 学生通过合作交流后得到共识:规定了两个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考: (1)怎样确定教室里坐位的位置 ?
（2）排数和列数先后顺序对位置有影响吗？（2，4）和（4，2）在同一位置。 （3）假设我们约定“列数在前，排数在后”，你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。 让学生讨论、交流后得到以下共识： （1）可用排数和列数两个不同的数来确定位置。 （2）排数和列数先后顺序对位置有影响。（2，4）和（4，2）表示不同的位置，若约定“列数在前排数在后”则（2，4）表示第2列第4排，而（4，2）则表示第4列第2排。因而这一对数是有顺序的。（3）让学生到黑板贴出的表格上指出讨论同学的位置。 2、有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示 不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数 对，叫做有序数对,记作（a,b） 利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 3、常见的确定平面上的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。（以后学习） 巩固练习：1、教材65页练习 2．如图，马所处的位置为（2，3）. （1）你能表示出象的位置吗？ （2）写出马的下一步可以到达的位置。
页眉内容 中考数学复习--几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点： ⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基 本图形． ⑵ 掌握常规的证题方法和思路． ⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数 学思想方法伯数形结合、分类讨论等）． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点． （1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长． 解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径， ∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角， ∴∠C ＝∠BED ． 故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ． 点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径， 即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ． 故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线． （2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ． 又 BD ＝CD ＝21 BC ＝6， 根据BE AB BD BC ?=?，2(214)612x x ?+=?． 化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）．
几何最值 一、选择题 1．（2020·泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ） A ． 2 ＋1 B ． 2 ＋1 2 C ．2 2 ＋1 D ．2 2 —1 2 {答案} B {解析}本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，所以点C 在以点B 为圆心、1长为半径的圆上，在x 轴上取OA ′=OA=2，当A ′、B 、C 三点共线时，A ′C 最大，则A ′C=2 2 ＋1，所以OM 的最大值为 2 ＋1 2 ，因此本题选B ． 2．（2020·无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1 2， 有下列结论： ①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似； ③四边形PCDQ 面积的最大值为31316； ④四边形PCDQ 周长的最小值为3＋37 2. 其中，正确结论的序号为（ ） A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③ {答案} D {解析}设AQ ＝x ，则BP ＝5 2 —x ①如图1，当点P 与B 重合时，此时QD 为最大，过点Q 作QE ⊥AC ，∵AQ ＝52，∴AE ＝54，QE ＝53 4，∴DE ＝ 34，∴此时QD ＝212，即0≤QD ≤212；而33 2≤CP ≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误 ②若△AQD ∽△BCP ，则AD BP ＝AQ BC ，代入得2x 2—5x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3 2，∴都存在，∴②正确； ③如图2，过点D 作DE ⊥AB ，过点P 作PF ⊥BC ，S 四边形PCDQ =S △ABC —S △AQD —S △BPC ＝ 34×32－12?x ?34－1 2 ×3 × D Q P C B A
平面几何基础专题 一、选择题： 1. （xx?浙江省衢州市,2,2 分）如图，直线a，b 被直线c 所截，那么∠1的同位角是（） A．∠2B．∠3C．∠4 D．∠5 【分析】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解答即可． 【解答】解：由同位角的定义可知， ∠1的同位角是∠4， 故选：C． 【点评】此题考查同位角问题，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解． 2.（xx?广东省广州市,5,3 分）如图，直线AD，BE 被直线BF 和AC 所截，则 ∠1的同位角和∠5的内错角分别是（） A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠4 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之
间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可． 【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，故 选：B． 【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 3．（xx?广东省深圳市,8,3 分）如图，直线a，b 被c，d 所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（） A．∠1=∠2B．∠3=∠4 C．∠2+∠4=180°D．∠1+∠4=180° 【分析】依据两直线平行，同位角相等，即可得到正确结论． 【解答】解：∵直线a，b 被c，d 所截，且a∥b， ∴∠3=∠4， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 4．（xx?广东省,8,3 分）如图，AB∥CD，则∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的大小是（） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】依据三角形内角和定理，可得∠D=40°，再根据平行线的性质，即可得到 ∠B=∠D=40°． 【解答】解： ∵∠DEC=100°，∠C=40°， ∴∠D=40°， 又∵A B∥CD， ∴∠B=∠D=40°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线性质的应用，运用两直线平行，内错角相等是解题的关键．
几何综合题 1.已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H． （1）如图1，若 ①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB=2，求AC和AH的长； （2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明． 答案： （1）①75 B ∠=?，45 ACB ∠=?； ②作DE⊥AC交AC于点E. Rt△ADE中，由30 DAC ∠=?，AD=2可得DE=1，AE3 =. Rt△CDE中，由45 ACD ∠=?，DE=1，可得EC=1. ∴AC31 =+. Rt△ACH中，由30 DAC ∠=?，可得AH33 + =； （2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC 证明：延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH. BAC ∠ 60 BAC ∠=?
易证△ACH ≌△AFH . ∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =. ∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. 2.正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图1，当045α?<
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡 不归、阿波罗尼斯圆等） 一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。 余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。 例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上