※高等数学上册期末复习
一.填空题
1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim
30 2
3
2.曲线x
xe y -=的拐点是 )2,2(2
-e
3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x
x f x )
(lim 0
)0(f ' 4.曲线x x y +-=
22cos 1在)2
1,2(π
π+处的切线方程为 1y x =+ 5.曲线1
22
-=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y
6.设)(u f 可导,)]([sin 2x e f y =,则=dy dx e e f e f x
x x ?'?)()]([2sin
#7.=?dx e x 4
0 )1(22+e
8.若3)(0-='x f ,则=--+→h
h x f h x f h )
3()(lim 000
12-
9.若
dx x p ?
+∞
1
收敛,则p 的范围是 1-
#10.=+++∞
→1
)1
232(
lim x x x x e 11.设
?+=c x F dx x f )()(,则?=dx x f )2(
c x F +)2(2
1
#12.设)(x f 的一个原函数是x x ln ,则?=dx x xf )( c x x x ++ln 2
42
2
13.设???≤>=0
,0,)(2x x x x x f ,则?-=11)(dx x f 61
-
#14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12+=x y
15.已知函数?????=≠=0
,0
,sin )(x a x x x x f ,则当→x ∞时,函数)(x f 是无穷小;当
=a 1时,函数)(x f 在0=x 处连续,否则0=x 为函数的第 (一)类间断点。
16.已知
?+=c x F dx x f )()(,则?
=-dx x f x
)(arcsin 112
c x F +)(arcsin
17.当0→x 时,1)1(3
12-+ax 与x cos 1-是等价无穷小,则=a
2
3 #18.?
?
???=≠=?0,0,sin )(3
03x a x x dt
t t x f x 是连续函数,则=a 1 19.)(x f 在]1,0[上连续,且1)]([,0)1(1
2
==?
dx x f f ,则
='?1
)()(dx x f x xf 2
1
- 提示:=
'?1
0)()(dx x f x xf ??
-=1
1021
))(()()()()(x xf d x f x xf x df x xf
???'--='+-=1
1
210
)()()()]()()[(dx x f x xf dx x f dx x f x x f x f ,移项便得。
#20.dx xe x x
x ?=Φ02
)(,则=Φ)1( )1(2
1
-e ,=Φ')1( e
21.x dx x df 1)(2=,则=')(x f x
21
提示:222
21)(12)(x
x f x x x f ='?=
?' 22.曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线平行于直线13+=x y ,则=')2(f 3
#23.设x x f arctan )(=,则,00>x =-+→x x f x x f x )()(lim
000
)
1(21
00x x + 24.33
ln
2-+=x
x y 的水平渐近线是 3-=y 25.函数x
x y =的导数为 )1(ln +x x x
26.
=?
+∞
-dx xe x 0
2
2
1 #27.=++?-dx x
x
x x )1sin (2
21
1 1 28.广义积分
=?
+∞
dx x 1
31 2
1
29.x )x (f =的积分曲线中过)2
1
,1(-的那条曲线的方程 ______12x 2- #30.设s 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积,则=s )1(4
1
2+e
31.
?
='dx x f )2(
c x f +)2(2
1
32.曲线)1ln(x e y -=的全部渐近线为 e
x x y 1,0,1=
== #33.曲线2x y =与x y =2所围图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积
π10
3 34.点)1,1,0(到平面0222=+-+z y x 的距离为
3
5 35.设向量k j i b k j i a ????????λ+-=+-=24,2,则当=λ 10-时,b a ?
?⊥;当=λ b a ??//,2。
本题不作要求36.空间曲线???+==++)(31
2
22222y x z z y x 在xoy 平面上的投影曲线方程为 ?????==
+0
4122z y x 37.设3),(,2,5π===b a b a ????,则=-b a ?
?32 192
38.设向量}5,4,3{},2,1,2{-=-=b a ??,则a ?在b ?
上的投影为 22
39.已知向量k j i m a ????
-+=5和向量k n j i b ????++=3共线,则=m =n ,15 5
1-
40.设平行四边形二边为向量}3,1,2{},1,3,1{-=-=b a ??
,则其面积为 103
41.设点142),5,0,4(=B A A ?,向量B A ?的方向余弦为14
1
cos ,143cos ==βα, 14
2
cos -
=γ,则B 点坐标为 )1,2,10( 本题不作要求42.曲线?
??==+012
2322z y x 绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为
12233222=++y z x
43.设,3,2==b a ??
且b a ??//,则=?b a ?? =?±b a ??,6 0?
44.设?-+??
?
??>=<+=022dx )1x (f ,0
x ,x 0x ,00
x ,1x )x (f = 56
#45.='-=?)x (,dt )t x (sin )x (x
0φφ sin x
二.选择题
1.设2005)1(lim
=-+∞→β
βα
n n n n ,则βα,的值为( ) C 20051,
2004.-A 20052004,20051.-B 20051,20052004.-C 2005
1,20052004.-D #2.设?????≤<-<<=0
1,1
0,1cos )(2x x x x
x x f ,在0=x 处( ) A .A 连续,不可导 .B 连续,可导 .C 可导,导数不连续 .D 为间断点 3.曲线x y sin 2
+=
π
在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为( ) B
2
.
πA 4
.
πB 0.C 1.D
4.设)(x f 在]1,0[上连续,)1,0(内可导,0)1(,1)0(==f f ,则至少存在一点)1,0(∈ξ,有 A ()(),F x xf x Rolle =设利用定理
ξ
ξξ)
()(.f f A -
=' .B ξ
ξξ)
()(f f =
' .C ξ
ξξ)
()(f f '-
= .D ξ
ξξ)
()(f f '=
#5.若032<-b a ,则0)(23=+++=c bx ax x x f ( ) B
.A 无实根 .B 有唯一实根 .C 三个单实根 .D 重根
#6.函数)(x f 在0x x =处取得极大值,则( ) D
0)(.0='x f A 0)(.0<''x f B .C 0)(0='x f 0)(,0<''x f .D 0)(0='x f 或不存在
7.设)(x f 的导函数为x sin ,则)(x f 的一个原函数为( ) D
x A sin 1.+ x x B sin .+ x C cos 1.+ x x D sin .-
#8.设t t f cos )(ln =,则='?
dt t f t f t )
()
(( ) A c t t t A +-sin cos . c t t t B +-cos sin . c t t t C ++)sin (cos . c t t D +sin .
9.设)(x f 连续,?
=
2
2)()(x dt t f x F ,则=')(x F ( ) C
)(.4x f A )(.42x f x B )(2.4x xf C )(2.2x xf D
10.下列广义积分收敛的是( ) C
dx x x A e
?
+∞
ln . dx x x B e ?+∞ln 1
. dx x x C e ?+∞2)(ln 1. dx x
x D e ?+∞ln 1.
#11
=+?
+∞
-0
x
x e e dx
( ) C
2
.
πA π.B 4
.
πC .D 发散
12.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是( ) C
12.2
++x x A )1cos(.x B + )
1(.
22
x x C - )1ln(.x C + 13.求由曲线x y ln =,直线)0(ln ,ln ,0>>===a b b y a y x 所围图形的面积为( )C
b a A -. 22.a b B - a b C -. a b D +.
#14.若c e dx e x f x
x
+=-
-
?11
)(,则=)(x f ( ) B
x A 1.- 21.x B x C 1. 21.x
D -
15.点)1,2,3(-M 关于坐标原点的对称点是( ) A
)1,2,3.(--A )1,2,3.(---B )1,2,3.(--C )1,2,3.(-D 16.向量b a ???与向量a ?
的位置关系是( ) C
.A 共面 .B 平行 .C 垂直 .D 斜交
17.设平面方程为0=++D Cz Ax ,其中D C A ,,均不为零,则平面( ) B
.A 平行于x 轴 .B 平行于y 轴 .C 经过x 轴 .D 经过y 轴
18.设直线方程为?
?
?=+=+++00
221111D y B D z C y B x A 且0,,,,,221111≠D B D C B A ,则直线( )C
.A 过原点 .B 平行于x 轴 .C 垂直于y 轴 .D 平行于z 轴
19.直线
3
7423z
y x =-+=-+和平面3224=--z y x 的位置关系为( ) C .A 斜交 .B 垂直 .C 平行 .D 直线在平面上
20.已知1)()
()(lim
2
-=--→a x a f x f a
x ,则在a x =处 (B )
A .)(x f 导数存在且0)(≠'a f
B .)(x f 取极大值
C .)(x f 取极小值
D .)(x f 导数不存在
三.计算题
#1.)1sin cos ln (lim 220x x x x x +→ 2
1
- # 2.4
1
cos 0ln lim
x tdt t x
x ?→ 8
1-
3.)11(lim 2
2
--
+∞
→x x x 0 4. x
x x 1
)(cos lim +→ 2
1-
e
#5. 2
tan
)1(lim 1
x
x x π-→
π
2
6. 求x
x x x x ln 1
lim 0-+→=1
解:一)原式1lim lim 1ln )
ln 1(lim 0ln 000====++=+++
→→→e e x x x x x x x x x x x , 二)原式0,ln ~1,0ln lim ,ln 1
lim ln 0ln 0→-∴=-=++
→→x x x e x x x
x e x x x x x x Θ 1=。
7.设)(x f 为连续函数,计算?
-→x a a x dt t f a x x )(lim 2
)(2
a f a 8.?
dx x )sin(ln c x x x
+-)]cos(ln )[sin(ln 2
9.
dx x ?
+π
2cos 1 22 10.dx x a x a 220
2-?
4
16
a π 11.设x
x y cos )
(sin =,求y ' ()]sin cos sin ln sin [)
(sin 2cos x
x
x x x x
+-
#12.设0cos 2
0ln 0=+??x y
t
tdt dt e ,求dy dx x x 2cos 2-
13.设)(x f '在]1,0[上连续,求积分
dx x x f x x f ]sin )(cos cos )(cos [22
2
?-'-π
π
提示:原式??-
-+=
22
22
)(cos sin cos )(cos π
ππ
πx xdf xdx x f
??-
-
-
-+=22
22
22
cos )(cos )(cos sin cos )(cos π
ππ
ππ
πxdx x f x xf xdx x f )0(2f =
14.
dx x x x ?+--84132 c x x x +-++-2
2arctan 2584ln 232
15.设??
?-=-=)
1()(3t
e f y t f x π,其中f 可导,且0)0(≠'f ,求0=t dx dy
3
#16.dx x x ?
-2
3
2)
1(arcsin c x x x x +-+-?22
1ln 1arcsin
17.
dx x x ?
-π
42sin sin
提示:原式1cos sin cos sin 0
22===??
dx x x dx x x π
π
18.
dx x ?
-2
2)1(1 发散 19.dx e x
?-2ln 01 )4
1(2π- 20.?-12x x dx
c x +1arccos 21.xdx x 4
22
3cos )4(+?-π
π π23 22.dx x x ?3ln 21ln (3)2x c + 23.dx e x x 2
2ln 03-?? 11ln 242
-+ #24.?
+)
1(2x x e e dx arctan x x
e e c ---+ 25.dx 2x 12x 1?-+ 26.设x 1)e (
f x
+=',求)x (f ln x x c =+ 27.dx cosx x 35?
3331
sin cos 3
x x x c =++
28.
dx x 1x
arcsinx
2
2
?
-arcsin ln x c =-+
29.
?
--+1x 1x dx 33
2
21[(1)(1)]3
x x c =++-+
#30.?
+)x 1(x dx
10
101ln ln 110
x x c =-++ #31.已知)(x f 的一个原函数为lnx )sinx 1(+,求?'dx )x (f x
cos ln 1sin (1sin )ln x x x x x x =++-+
32.dx x 1x
1xln
?
+-211ln (1)21x x x c x
-=+-++ #33.dx x
)
1x (ln ?
+1)x c =+- #34.dx e e e x x x ?
+20
cos sin sin π 2π= 35.dx x
a x a ?-+0221
4π= 本题不作要求36.已知)x (?为连续函数,令
?
?
??
?=≠+-=??0x ,00x ,)x 1(ln dt
]du )u ()1t [()x (f 2x 0
t 02
?试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可微性。 连续,可微
#37.设)(x f 在]1,0[上可导,且满足?=21
dx )x (xf 2)1(f ,证必存在一点)1,0(∈ξ,使
ξ
ξξ)
(f )(f -
='。提示:利用积分中值定理和R o l l e 定理
#38.设)(x f 在]1,0[上连续,单调减且取正值,证:对于满足10<<<βα的任何βα,有
??>β
α
ααβdx )x (f dx )x (f 0
。
00
()()()()()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx αββαβ
αβα
βα
β
βαββαββα-=+-=+-?
???????提示:
39.设)(x f 在),0[+∞上连续,单调不减且0)0(f ≥,试证:
?????=>=?0x 0,0
x dt,)t (f t x 1)x (F x 0
n 在),0[+∞上连续且单调不减。(0>n ) 40.dx )e 1(x ln 11x
?-+ 13
=
1
111
221
111
(ln(1)[ln(1)]ln(1)x t
t x x t e dt x e x dx x e dx x dx =------=
-+=-++=-++?
???原
#41.设dt e )x (f 2
2
x 1t ?-=,求?1
0dx )x (x f 。11
(1)4
e -=-
42.dt x t t ?-10 11
32
112
3x t x x t x
?->????-≤?? 43.)
(,b a dx x b a 22220
20
2
b a x a b x ?->???-??
44.设)(x f 在),(+∞-∞上连续,且对)()()(,,y f x f y x f y x +=+?,求
dx x f x ?
-+1
1
2)()1(
()f x 提示:为奇函数
#45.dx e x
I x ?--+=4
4
21sin π
π
2222222
2244
sin sin sin (11)sin (),()1111sin 1sin sin ()()sin 121sin 2x x x x x
x x x x e x e x
f x f x e e e e x x x f x f x x e xdx π
π-------+-=-===++++=-=-=+==
?提示:原
46.3
1sin lim
60
02
=
??
→x x t x e x tdt
te
47.设向量}2,1,2{},3,2,1{},1,3,2{=-=-=c b a ???,向量r ?满足b r a r ????⊥⊥,,且14Pr =r j c
?? 求向量r ?
。 {14,10,2}
48.1)求过z 轴和点)2,1,3(--的平面方程, 03=+y x 2)求过三点)0,6,0(),4,3,2(),0,3,2(R Q P --的平面方程。 012623=-++z y x 49.求过点)3,2,1(),1,1,2(Q P --且垂直于平面06532=+-+z y x 的平面方程。
01639=-+-z y x
50.求过点)2,1,3(-A 且通过直线1
2354:
z
y x L =+=-的平面方程。0592298=---z y x 51.求与平面0522=+++z y x 平行且与三坐标所构成的四面体体积为1的平面方程。
032223=-++z y x
52.求过点)0,4,2(M 且与直线??
?=--=-+0
230
12:z y z x L 平行的直线方程。
1
3422z
y x =-=-- 53.求点)0,2,1(-A 在平面012=+-+z y x 上的投影。 )3
2
,32,35(- 54.求过直线??
?=+-=++0
405:z x z y x L 且与平面01284=+--z y x 成4π
角的平面方程。
012720=-++z y x
本题不作要求55.若动点到坐标原点的距离等于它到平面4=z 的距离,该动点轨迹表示何种曲面? 1682
2
=++z y x 旋转曲面
四.列表讨论函数x
e x y -?=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。
#五.设??
???><≤≤=ππ
orx x x x x f 0,00,sin 21)(,求?=Φx dt t f x 0
)()(在),(+∞-∞内的表达式。
??
???>≤≤--<==Φ?ππx x x x dt t f x x ,10),1(cos 2
1
0,0)()(0
六.设)(x f 在),(+∞-∞内连续,证明)()()()(0a f x f dt t f t x dx
d x
-='-?。 七..设20,,0,2:;0,2,,2:2
22
1<<=======a a x y x y D y x a x x y D 1.试求1D 绕x 轴旋转得旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转得旋转体体积2V ; 2.问当a 为何值时+1V 2V 得最大值?并求该最值。
)32(5451a V -=π,42a V π=,1=a ,+1(V π5
129)max 2=V
八.已知x x x f 2
2
tan 2cos )(sin +=',求)(x f 。
提示:u
u
u u f x x x x f -+-='?-+-='121)(sin 1sin sin 21)(sin 222
2
,
c x x x f +--=1ln )(2
九.设c y =与2
2x x y -=相交于第一象限(如图)。 1.求使得两个阴影区域面积相等的常数c ;
2.在1的情况下,求区域I 绕x 轴旋转的旋转体体积。
提示:III II III I II I s s s s ++=?=,
20
2
03
1)2(b b c dx x x cdx b
b
-=?-=??,又22b b c -=, 43,23==?c b ,23,212432
12
==???
???
-==
x x x x y y , π240
41
=
V 。 #十.设?-=π
0cos )()(xdx x f x x f ,证:πππ
22
)(2
0+=
?dx x f 。
提示:设
A xdx x f =?
π
cos )(,2-=A
十一.设直线b ax y +=与直线1,0==x x 及0=y 所围成的梯形面积为A ,求b a ,,使这块面积绕x 轴旋转所得体积最小。)0,0(≥≥b a
提示:b a dx b ax A b ab a dx b ax V +=+=++=+=??2
)(),3()(102
21
02
ππ,
A b a ==,0时,体积最小
#十二.求抛物线12+-=x y 在)1,0(内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线12
+-=x y 所
围图形的面积最小。
提示:切线)1,0(),0,21
(),(2)1(222
++--=+--x B x
x A x X x x Y , 3
30)()1(2)1(2110222=?='?+--+=?x x s dx x x x s ,
所求切线为3
4
332+-=x y 十三.求通过直线
3
1
22+=
+=z y x 与平面15=++z y x 的交点,且与平面 05432=++-z y x 垂直相交的直线方程。 4
7
3424+=
-+=+z y x 十四.证明011302
=+--?x x dx
x 在区间)1,0(内有唯一的实根。
提示:令0)1()0(113)(02
?+--=?F F x dx
x x F x ,再证唯一性。
本题不作要求 十五.设)(x f 可导,且dt t x f t x F f n n x
n )()(,0)0(0
1-=
=?
-,证:
)0(21
)(lim
20f n
x x F n x '=→
010
11()()()()n n n
n x t u
x x n n
n
x F x t
f x t dt f u du f u du n n -=-=-=-=???提示:
十六.设)x (f ,0x ≥满足
?
+=)
x 1(x 0
2,x dx )x (f 求)2(f 。2x (1x)
f (x)dx x ,+=?
提示:对求导
十七.证:)x (f ,dx )x (xf 21dx )x (f x 2a 0
2
a
03
??=连续,0>a ,并求dx )x (sin x 2
203?π
。
2
2
3
2
222
0011()()()122x t a
a a x f x dx x f x dx t f t dt
===?
??所求值为
十八.求dt e )t 2()x (f 2
x 0
t ?
--=
的最大、小值。21,1e -+最小值为最大值为
十九.已知,5)2(f ,3)2(f ,1)0(f ='==求
?''1
dx )2x (f x 。2=
二十.已知
,2dx x sinx 0
π
=?
∞
+求dx x x sin 022
?∞+。2
π=
21
x
提示:用分部积分,先将
凑入微分 二十一.设dt e )x (f 2
2
x 1
t ?
-=,求?1
dx )x (x f 。41同题
二十二.0,x dt,t 1lnt )x (f x
1
>+=
?
求)x 1
(f )x (f +。21(ln )2
x = 二十三.1)设)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,且1)x (f 0,0)0(f ≤'≤=,证:
dx )x (f )dx )x (f (1
310
2??≥。
()1f x ≤提示:可利用已知条件知
2)设],[)(b a C x f ∈,证:dx x f a b dx x f b
a
b
a
)()())((
22
??
-≤。
提示:
2
2()(())()()(,)
'()0
x
x
a
a
F x f t dt x a f t dt
x a b F x =--∈??设
#3)设],[)(b a C x f ∈,且0)(>x f ,证:2)()
(1
)(a b dx x f dx x f b
a
b a -≥??? 2
1
()()()'()()
x
x
a a
F x f t dt dt x a F x f t =--???
提示:设
4) 设],[)(b a C x f ∈,且严格单调增加,证:??
<+b
a
b
a
dx x xf dx x f b a )(2)()
(。
()2()()()'()x
x
a
a
F x tf t dt a x f t dt F x =-+???提示:设
5) 设)(x f 在],[b a 上可导,且0)(,)(=≤'a f M x f ,证:
2
)(2
)(a b M dx x f b
a
-≤
?。 [,],()()'()()(,)
()'()()b
b
a
a
x a b f x f a f x a a x f x dx f x a dx ξξξ∈-=-∈=-=
?
?提示:有微分中值定理:
二十四. 设)(x f 在],0[π上连续,在),0(π内可导,且
0sin )(cos )(0
==??
π
π
xdx x f xdx x f ,证明:?一个),0(πξ∈,使得0)(='ξf 。
证:在),0(π内0sin >x ,由
0sin )(0
=?
π
xdx x f 可知,)(x f 在),0(π内不能恒正或负,
由于)(x f 的连续性可知)(x f 在),0(π内必有零点。若能证明零点有两个以上,则可由罗尔定理可得证。
反证:若),0(0π∈x 是)(x f 的唯一零点,则当0x x ≠,
)()sin(0x f x x -就恒正或负,于是0)()sin(00
≠-?
dx x f x x π
,
而
dx x f x x x x dx x f x x )()sin cos cos (sin )()sin(00
000
-=-??
π
π
0)(cos sin )(sin cos 0
00=-=??π
πdx x xf x dx x xf x ,矛盾,
所以)(x f 在),0(π内至少有两个零点,由罗尔定理便得证。