第一章 §1归纳与类比
一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的周长为C ＝πd 类比出球的表面积为S ＝πd 2；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③某次考试，张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，归纳出n 边形的内角和是(n －2)·180°.
A ．①②
B ．①③④
C ．①②④
D ．②④
由合情推理的概念知①②④符合题意．
2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111， 123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111， ……
A ．1 111 110
B ．1 111 111
C ．1 111 112
D ．1 111 113 利用归纳推理，由已知可推测等号右侧应有7个1.
3．三角形的面积为S ＝1
2(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半
径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )
A ．V ＝1
3abc
B ．V ＝1
3
Sh
C ．V ＝1
3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)
D ．V ＝1
3
(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)
设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝1
3
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .
4．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高
2，可推知扇形面积
公式S 扇等于( )
A ．r 2
2
B ．l 2
2
C ．lr
2
D ．不可类比
由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 5．平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值3
2
a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )
A ．4
3a B ．6
3a C ．
5
4
a D ．
64
a 将正三角形一边上的高
32a 类比到正四面体一个面上的高6
3
a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．
二、填空题
6．观察下列等式 1－12＝1
2
1－12＋13－14＝13＋14
1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……
据此规律，第n 个等式可为____________________________________________． 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n 观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是 1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n .故答案为1－12＋1
3－
14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n . 7．观察下列等式： ①cos2α＝2cos 2α－1； ②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；
③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；
④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1； ⑤cos10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.
观察每一个等式中最高次幂的系数：2,8,32,128，m ，构成一个等比数列，公比为4，故m ＝128×4＝512.
观察每一个等式中cos 2α的系数：2，－8,18，－32，p ，规律是1×2，－2×4,3×6，－4×8，故p ＝5×10＝50.
每一个式子中的系数和为1，故m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1， 代入m 和p ，可求得n ＝－400， 故m －n ＋p ＝512＋400＋50＝962. 8．设函数f (x )＝x
x ＋2
(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝
x
x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x
3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x
7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x
15x ＋16
，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力． 依题意：f 1(x )＝x
x ＋2＝
x
2－1x ＋2
，
f 2(x )＝x
3x ＋4＝
x
22－1x ＋22
，
f 3(x )＝x
7x ＋8＝
x 23－1
x ＋23
， f 4(x )＝x
15x ＋16
＝
1
24－1x ＋24
.
∴当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝
x
2n －1x ＋2n
.
三、解答题
9．已知S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1
，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，并由此归纳出S n 的表达式．
在S n 中分别令n ＝1,2,3,4，可以求得S 1，S 2，S 3，S 4的值，再进行归纳推测． S 1＝11×2＝1－12＝12
；
S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13＝23
；
S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34
；
S 4＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＝1－15＝45；
由此猜想：S n ＝n n ＋1
(n ∈N ＋)．
本题利用归纳猜想的思想求得了S n 的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中S n 的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．
10．在△ABC 中，余弦定理可叙述为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想．
如图，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α、β、γ依次表示平面PAB 与平面PBC 、平面PBC 与平面PCA 、平面PCA 与平面ABP 之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：
S 2＝S 21＋S 22＋S 2
3－2S 1S 2cos α－2S 2S 3cos β－2S 2S 1cos γ.
我们常将空间几何体与平面图形之间的性质进行类比：如四面体?三角形，长方体?矩形，圆?球．注意：线?面，平面角?空间角，面积?体积之间具有类比关系．
一、选择题
1．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<7
4
，…，则可归纳出第n －1个式
子为( )
A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<1
2n －1
B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<1
2n ＋1
C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1
n
D ．1＋122＋132＋…＋1n 2 2n ＋1 观察可得第n －1个式子中不等式的左边为数列{1 i 2]的前n 项的和，右边为分式2n －1n . 2．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N ＋)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a 2 009＋a 2 010＋a 2 011等于( ) A ．1 003 B ．1 005 C ．1 006 D ．2 011 观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半． 则a 4n －3＝n ，a 4n －1＝－n ，a 2n ＝n . 又2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1， ∴a 2 009＝503，a 2 011＝－503，a 2 010＝1 005， ∴a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝1 005. 3．数列2，5，22，11，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝3n －3 B ．a n ＝3n －1 C ．a n ＝3n ＋1 D ．a n ＝3n ＋3 因为a 1＝3×1－1，a 2＝3×2－1，a 3＝3×3－1，a 4＝3×4－1，…，所以a n ＝3n －1. 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈1 36L 2h . 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈2 75 L 2h 相当于将圆 锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227 B ．258 C ．15750 D ．355113 设圆锥的底面圆半径为r ，则L ＝2πr ，由136L 2h ≈1 3sh ，代入s ＝πr 2化简得π≈3；类比推理， 若V ≈275L 2h 时，π≈258.本题的关键是理解“若V ≈1 36L 2h ，π近似取为3”的意义，类比求解，这 是高考考查新定义型试题的一种常见模式，求解此类试题时，关键是要理解试题所列举的例子． 二、填空题 5．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC ．拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为________． S 2△ABC ＝S △OBC · S △DBC 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC · S △DBC ． 6．观察分析下表中的数据： 5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2. 三、解答题 7．把下面在平面内成立的结论类比推广到空间中，并判断类比的结论是否成立； (1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交； (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行． 平面几何与空间几何的类比中，点的类比对象是线，线的类比对象是面，面的类比对象 是体． (1)的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．由空间几何的知识易得此结论成立． (2)的类比结论为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．由空间几何的知识易得此结论不成立，如果两个平面同时垂直于第三个平面，这两个平面还可能相交． 8．观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17° 猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2. 下面证明： 左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β 2 ) ＝(sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β 2) ＝2sin α＋β2cos α－β 2＝右边． 所以原等式成立.
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