一、选择题：
1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为
(A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ ［ ］
2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为：
(A)
)π21cos(2++=αωt A x (B) )π21cos(2-+=αωt A x (C)
)π23cos(2-+=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x ［ ］
3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是
(A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2
［ ］
4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 ［ ］
5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有
(A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <'
(C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >'
［ ］ 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为
)312cos(1042π+π?=-t x (SI)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为
(A) s 81 (B) s 61 (C) s 41 (D) s 31 (E) s 21
［ ］
7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为：
(A)
)21/(cos π+=t m k A x (B) )21/cos(π-=t m k A x (C)
)π21/(cos +=t k m A x (D) )21/cos(π-=t k m A x (E) t m /k A x cos =
［ ］
8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为
v 21
3030图
(A) 1 s (B) (2/3) s (C) (4/3) s (D) 2 s
［ ］
9．5501：一物体作简谐振动，振动方程为
)41cos(π+=t A x ω。在 t = T /4（T 为周期）时刻，物体的加速度为
(A)
2221ωA - (B) 2221ωA (C) 2321ωA - (D) 2321ωA
［ ］ 10．5502：一质点作简谐振动，振动方程为)cos(
φω+=t A x ，当时间t = T /2（T 为周期）时，质点的速度为
(A) φωsin A - (B) φωsin A (C) φωcos A -φωcos A ［ ］ 11．3030：两个同周期简谐振动曲线如图所示。 x 1的相位比x 2的相位
(A) 落后π/2 (B) 超前π/2 (C) 落后π
(D) 超前π ［ ］ 12．3042：一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 21，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ［ ］
13．3254：一质点作简谐振动，周期为T 。质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平
衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为 (A) T /4 (B) T /6 (C) T /8 (D) T /12
［ ］ 14．3270：一简谐振动曲线如图所示。则振动周期是
(A) 2.62 s (B) 2.40 s
(C) 2.20 s (D) 2.00 s
［
］
15．5186：已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： (A) )3232cos(2
π+π=t x (B) )3232cos(2π-π=t x (C)
)3234cos(2π+π=t x (D) )3234cos(2π-π=
t x (E) )4134cos(2π-π=t x ［ ］
16．3023：一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动。若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上，试判断下面哪种情况是正确的：
(A) 竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动
3270图
竖直放置 放在光滑斜面上
(B) (D) x (A) (C)
A/ - (B) 竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动
(C) 两种情况都可作简谐振动
(D) 两种情况都不能作简谐振动 ［ ］
17．3028：一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为
(A) E 1/4 (B) E 1/2 (C) 2E 1 (D) 4 E 1
［ ］
18．3393：当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为
(A) 4 ν (B) 2 ν (C) ν (D) 21
［ ］
19。3560：弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为
(A) kA 2 (B) 221kA (C) (1/4)kA 2 (D) 0
［ ］
20．5182：一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的
(A) 1/4 (B) 1/2 (C) 2/1 (D) 3/4 (E)
2/3
［ ］ 21．5504：一物体作简谐振动，振动方程为
)21cos(π+=t A x ω。则该物体在t = 0时
刻的动能与t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能之比为：
(A) 1:4 (B) 1:2 (C) 1:1 (D) 2:1 (E) 4:1
［ ］ 22．5505：一质点作简谐振动，其振动方程为)cos(
φω+=t A x 。在求质点的振动动能时，得出下面5个表达式： (1) )(sin 21222φωω+t A m (2)
)(cos 21222φωω+t A m
(3) )sin(212φω+t kA (4) )(cos 2122φω+t kA (5) )(sin 22222φω+πt mA T
其中m 是质点的质量，k 是弹簧的劲度系数，T 是振动的周期。这些表达式中
(A) (1)，(4)是对的 (B) (2)，(4)是对的 (C) (1)，(5)是对的
(D) (3)，(5)是对的 (E) (2)，(5)是对的
［ ］
23．3008：一长度为l 、劲度系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为l 1和l 2的两部分，且l 1 = n l 2，n 为整数. 则相应的劲度系数k 1和k 2为
(A) 11+=
n kn k ， )1(2+=n k k (B) n n k k )1(1+=，
12+=n k k (C) n n k k )1(1+=， )1(2+=n k k (D) 11+=n kn k ， 12+=n k k ［ ］
24．3562：图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (A) π23
(B) π
(C) π21
(D) 0
［ ］
二、填空题：
1．3009：一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示。若0=t 时，(1) 振子在负的最大位移处，则初相为______________；(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为__________；(3) 振子在位移为A /2处，且向负方向运动，则初相为______。
2．3390：一质点作简谐振动，速度最大值v m = 5 cm/s ，振幅A = 2 cm 。若令速度具有正最大值的那一时刻为t = 0，则振动表达式为_________________________。
3．3557：一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点。已知周期为T ，振幅为A 。(1)若t = 0时质点过x = 0处且朝x 轴正方向运动，则振动方程为 x =____________。
（2）若t = 0时质点处于
A x 21=处且向x 轴负方向运动，则振动方程为 x
=_______________。
4．3816：一质点沿x 轴以 x = 0 为平衡位置作简谐振动，频率为 0.25 Hz 。t = 0时，x = -0.37 cm 而速度等于零，则振幅是___________，振动的数值表达式为
_____________________。
5．3817：一简谐振动的表达式为)3cos(φ+=t A x ，已知 t = 0时的初位移为0.04 m ，初速度为0.09 m/s ，则振幅A =_____________ ，初相φ =________________。
6．3818：两个弹簧振子的周期都是0.4 s ，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5 s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为____________。
7．3819：两质点沿水平x 轴线作相同频率和相同振幅的简谐振动，平衡位置都在坐标原点。它们总是沿相反方向经过同一个点，其位移x 的绝对值为振幅的一半，则它们之间的相位差为___________。
8．3820：将质量为 0.2 kg 的物体，系于劲度系数k = 19 N/m 的竖直悬挂的弹簧的下端。假定在弹簧不变形的位置将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为__________，振幅为____________。
9．3033：一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A =_____________；ω =________________；φ =_______________。
t = 2s 时刻质点的位移为____________，速度为__________________。 11．3046：一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动的初相为__________。振动方程为______________________________。
12．3398：一质点作简谐振动。其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期T
=___________，用余弦函数描述时初相 φ =_________________。
3033图
t 3046图
3398图
-3t (s) -3399图 3567图
13．3399：已知两简谐振动曲线如图所示，则这两个简谐振动方程（余弦形式）分别为 _____________________________和____________________________________。
14．3567：图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动。旋转矢量的长度为0.04 m ，旋转角速度ω = 4π rad/s 。此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为x
=__________________________(SI)。
15．3029：一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的______________。（设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长?l ，这一振动系统的周期为________________________。
16．3268一系统作简谐振动， 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零。在0≤t ≤T 21范围内，系统在t =________________时刻动能和势能相等。
17．3561：质量为m 物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T. 当它作振幅为A 自由简谐振动时，其振动能量E = ____________。
18．3821：一弹簧振子系统具有1.0 J 的振动能量，0.10 m 的振幅和1.0 m/s 的最大速率，则弹簧的劲度系数为___________，振子的振动频率为_________。
19．3401：两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：
)215cos(10621π+?=-t x (SI) ， )5c o s (10222t x -π?=- (SI)
它们的合振动的振辐为_____________，初相为____________。
20．3839：两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为A 1 = 0.05 m 和A 2 = 0.07 m ，它们合成为一个振幅为A = 0.09 m 的简谐振动。则这两个分振动的相位差___________rad 。
21．5314：一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为
)41cos(05.01π+=t x ω (SI)， )129cos(05.02π+=t x ω (SI)
其合成运动的运动方程为x = __________________________。
22．5315：两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm ，与第一个简谐振动的相位差为φ –φ1 = π/6。若第一个简谐振动的振幅为310cm = 17.3 cm ，则第二个简谐振动的振幅为___________________ cm ，第一、二两个简谐振动的相位差φ1 - φ2为
____________。
三、计算题：
1．3017：一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率ω = 10 rad/s 。试分别写出以下两种初始状态下的振动方程：(1) 其初始位移x 0 = 7.5 cm ，初始速度v 0 = 75.0 cm/s ；(2) 其初始位移x 0 =7.5 cm ，初始速度v 0 =-75.0 cm/s 。
2．3018：一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm 。现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉10 cm ，然 后由静止释放并开始计时。求：(1) 物体的振动方程；(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间。
3．5191：一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m 。
若t = 0时，物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动。求：(1) 振动周期T ；(2) 加速度的最大值a m ；(3) 振动方程的数值式。
4．3391：在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡。再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式。
5．3835在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放。已知物体在32 s 内完成48次振动，振幅为5 cm 。(1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？
6．3836在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m = 5 g 的小球，弹簧伸长?l = 1 cm 而平衡。经
推动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 4 cm 的振动，求：(1) 小球的振动周期；(2) 振动能量。
7．5506一物体质量m = 2 kg ，受到的作用力为F = -8x (SI)。若该物体偏离坐标原点O 的最大位移为A = 0.10 m ，则物体动能的最大值为多少？
8．5511 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F 。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。
一、选择题：
1．3001：C ；2．3002：B ；3．3007：B ；4．3396：C ；5．3552：D ；6．5178：E ；
7．5179：B ；8．5312：B ；9．5501：B ；10．5502：B ；11．3030：B ；12．3042：B ； 13．3254：D ；14．3270：B ；15．5186：C ；16．3023：C ；17．3028：D ；18．3393：B ；
19．3560：D ；20．5182：D ；21．5504：D ；22．5505：C ；23．3008：C ；24．3562：B ；
二、填空题：
1．3009： π ； - π /2； π/3
2．3390：
)212/5c o s (1022π-?=-t x 3．3557：
)212c o s (π-πT t A ； )312c o s (π+πT t A 4．3816： 0.37 cm ； )21cos(1037.02π±π?=-t x
5．3817： 0.05 m ； -0.205π（或-36.9°）
6．3818： π
7．3819： 32π±
8．3820： 1.55 Hz ； 0.103 m
9．3033： 10 cm (π/6) rad/s ； π/3
10．3041： 0； 3π cm/s
11．3046： π/4； )4/cos(10
22π+π?=-t x (SI)
12．3398： 3.43 s ； -2π/3 13．3399： )c o s (1063π+π?=-t x a (SI)；
)2121c o s (1063π+π?=-t x b (SI) 14．3567：
)214c o s (04.0π-πt 15．3029： 3/4； g l /2?π
16．3268： T /8； 3T /8
17．3561： 2
22/2T mA π
18．3821： 2×102 N/m ； 1.6 Hz
5506图
5511图
19．3401： 4×10-2
m ； π21 20．3839： 1.47
21．5314： )1223cos(05.0π+
t ω (SI) 或 )121cos(05.0π-t ω (SI) 22．5315： 10；
π-21
三、计算题：
1．3017：解：振动方程：x = A cos(ωt +φ)
(1) t = 0时 x 0 =7.5 cm ＝A cos φ ；v 0 =75 cm/s=-A sin φ
解上两个方程得：A =10.6 cm----------------1分；φ = -π/4-------------------1分
∴ x =10.6×10-2cos[10t -(π/4)] (SI)------------1分
(2) t = 0时 x 0 =7.5 cm ＝A cos φ ； v 0 =-75 cm/s=-A sin φ
解上两个方程得：A =10.6 cm ，φ = π/4-------------------1分
∴ x =10.6×10-2cos[10t +(π/4)] (SI)-------------1分
2．3018：解： k = f/x =200 N/m ， 07.7/≈=m k ω rad/s----------2分
(1) 选平衡位置为原点，x 轴指向下方（如图所示）， (2) t = 0时， x 0 = 10A cos φ ，v 0 = 0 = -A ωsin φ
解以上二式得： A = 10 cm ，φ = 0-----------------------------------------2分
∴ 振动方程x = 0.1 cos(7.07t ) (SI)------------------------------------1分 (2) 物体在平衡位置上方5 cm 时，弹簧对物体的拉力：f = m (g -a ) 而： a = -ω2x = 2.5 m/s 2 ∴ f =4 (9.8－2.5) N= 29.2 N----------------------------------------------3分
(3) 设t 1时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即： 0 = A cos ω t 1或cos ω t 1
∵ 此时物体向上运动，v < 0；∴ ω t 1 = π/2， t 1= π/2ω = 0.222 s------------------------1分 再设t 2时物体在平衡位置上方5 cm 处，此时x = -5，即：-5 = A cos ω t 1，cos ω t 1 =－1/2 ∵ 0， ω t 2 = 2π/3， t 2=2 π/3ω =0.296 s-----------------------------2分
?t = t 1-t 2 = (0.296－
0.222) s ＝0.074 s-------------------------1
分
3．5191：解：(1) v m = ωA ∴ω = v m / A =1.5 s -1
∴ T = 2π/ω = 4.19 s--------------------------------------------3分
(2) a m = ω2A = v m ω = 4.5×10-2 m/s 2 ------------------------------2分 (3)
π=21φ ， x = 0.02)215.1cos(π+t (SI)-----------3分 4．3391：解：设小球的质量为m ，则弹簧的劲度系数： 0/l mg k =
选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x 处时，
根据牛顿第二定律得：220d /d )(t x m x l k mg =+-
将 0/l mg k =，代入整理后得：0//d d 022=+l gx t x ∴ 此振动为简谐振动，其角频率为-------------------3分 π===1.958.28/0l g ω------------------------2分 设振动表达式为：)cos(
φω+=t A x 由题意：t = 0时，x 0 = A=2102-?m ，v 0 = 0，
解得： φ = 0--------------------------------------------------1分
∴ )1.9cos(1022t x π?=--------------------------2分
5．3835：解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x 正方向．设物体在平衡位置时弹簧
+x )
的伸长量为?l ，则有l k mg ?=, 加拉力F 后弹簧又伸长x 0，则：0)(0=+-+?x l k mg F
解得： F = kx 0-------------------------------2分
由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x 0 则：
02020)/(x x A =+=ωv ----------2分 又由题给物体振动周期4832=T s ，可得角频率 T π=2ω, 2ωm k =
∴
444.0)/4(22=π==A T m kA F N --------------------------------------------1分 (2) 平衡位置以下1 cm 处：
)()/2(2222x A T -π=v ---------------------------2分 2
21007.121-?==
v m E K J-----------------------------------------------2分
2
222)/4(2121x T m kx E p π== = 4.44×10-4 J-------------------------1分
解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A （5 cm ），kA F =----------------2分 2224νωπ==m m k ，ν = 1.5 Hz--------------------------------------------2分
∴ F = 0.444 N-------------------------------------------------------1分
(2) 总能量：
221011.12121-?===FA kA E J-------------------2分
当x = 1 cm 时，x = A /5，E p 占总能量的1/25，E K 占24/25---------------2分
∴ 21007.1)25/24(-?==E E K J ，41044.425/-?==E E p J------------1分 6．3836：解：(1) )//(2/2/2l g m k m T ?π=π=π=ω= 0.201 s ------------------3分
(2)
22)/(2121A l mg kA E ?== = 3.92×10-3 J ----------------------------------------2
分
7．5506：解：由物体受力F = -8x 可知物体作简谐振动，且和F = -kx 比较，知 k = 8
N/m ，则：4/2==m k ω(rad/s)2 --------------------------------------------------2分 简谐振动动能最大值为：2
221A m E Km ω=
= 0.04 J----------------3分
8．5511：解：设物体的运动方程为： )c o s (φω+=t A x 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量：F ×0.05 = 0.5 J---------------------------2分
当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J ，即：5.0212=kA J ，
∴ A = 0.204 m--------------------------------------------------------------------2分
A 即振幅。
4/2==m k ω (rad/s)2 ?ω = 2 rad/s---------------------------2分
按题目所述时刻计时，初相为φ = π------------------------------------------2分
∴ 物体运动方程为： )2cos(204.0π+=t x (SI)----------------2分
大学物理-机械振动习题-含答案
t （s ） v （m.s -1） 12m v m v o 1.3题图 第三章 机械振动 一、选择题 1． 质点作简谐振动，距平衡位置2。0cm 时， 加速度a=4.0cm 2 /s ,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ C ） A:1.2s B: 2.4s C:2.2s D:4.4s 解： s T t T x a x a 2.2422,2 222,22===∴== ===ππ ω πωω 2．一个弹簧振子振幅为2 210m -?, 当0t =时振子在2 1.010m x -=?处，且向 正方向运动，则振子的振动方 程是：[ A ] A ：2 210cos()m 3 x t πω-=?-； B ：2 210cos()m 6x t π ω-=?-； C ：2 210cos()m 3 x t π ω-=?+ ； D ： 2210cos()m 6 x t π ω-=?+； 解：由旋转矢量可以得出振动的出现初相为：3 π- 3．用余弦函数描述一简 谐振动，若其速度与时间（v —t ）关系曲线 如图示，则振动的初相位为：[ A ] 1.2题图 x y o
A ：6π； B ：3π； C ：2 π ； D ：23π； E ：56π 解：振动速度为：max sin()v v t ω?=-+ 0t =时，01sin 2?=，所以06π?=或0 56 π ?= 由知1.3图，0t =时，速度的大小 是在增加，由旋转矢量图知，旋转矢量在第一象限内，对应质点的运动是由正最大位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的，旋转矢量在第二象限内，对应质点的运动是由平衡位置向负最大位移运动，速度是逐渐减小的，所以只有0 6 π?=是符合条件的。 4．某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移1毫米，测得此钟每分快0。1秒，则此钟摆的摆长为（ B ） A:15cm B:30cm C:45cm D:60cm 解：单摆周期 ,2g l T π=两侧分别对T ， 和l 求导，有： cm mm T dT dl l l dl T dT 3060) 1.0(21 21,21=-?-==∴= 二、填空题 1．有一放置在水平面上的弹簧振子。振幅 A = 2.0×10－2m 周期 T = 0.50s , 3 4 6 5 2 1 x /1 2题图 x y
题图 第三章 机械振动 一、选择题 1． 质点作简谐振动，距平衡位置2。0cm 时，加速度a=4.0cm 2 /s ,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ C ） A: B: C: D: 解： s T t T x a x a 2.242 2,2 222,22===∴==== =ππ ωπ ωω 2．一个弹簧振子振幅为2210m -?,当0t =时振子在21.010m x -=?处，且向正方向运 动，则振子的振动方程是：[ A ] A ：2210cos()m 3 x t π ω-=?-； B ：2 210cos()m 6 x t π ω-=?-； C ：2210cos()m 3 x t π ω-=?+ ； D ：2210cos()m 6 x t π ω-=?+ ； 解：由旋转矢量可以得出振动的出现初相为：3 π- 3．用余弦函数描述一简谐振动，若其速度与时间（v —t ）关系曲线如图示，则振动的初相位为：[ A ] A ：6π； B ：3π； C ：2 π ； D ：23π； E ：56 π 解：振动速度为：max 0sin()v v t ω?=-+ 0t =时，01sin 2?= ，所以06π?=或056 π?= 由知图，0t =时，速度的大小是在增加，由旋转矢量图知， 旋转矢量在第一象限内，对应质点的运动是由正最大位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的，旋转矢量在第二象限内，对 应质点的运动是由平衡位置向负最大位移运动，速度是逐渐减小的，所以只有06 π ?= 是符 合条件的。 4．某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移1毫米，测得此钟每分快0。1秒，则此钟摆的摆长为（ B ） A:15cm B:30cm C:45cm D:60cm 解：单摆周期 ,2g l T π =两侧分别对T ，和l 求导，有： cm mm T dT dl l l dl T dT 3060) 1.0(21 21,21=-?-= =∴=
机械振动机械波 一、选择题 1．对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的 （A ）物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； （B ）物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； （C ）物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； （D ）物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2．质点作简谐振动，振动方程为)cos(φω+=t A x ，当时间2/T t =（T 为周期）时，质点的速度为 （A ）φωsin A v -=； （B ）φωsin A v =； （C ）φωcos A v -=； （D ）φωcos A v =。 3．一物体作简谐振动，振动方程为??? ? ? +=4cos πωt A x 。在4T t =（T 为周期）时刻，物 体的加速度为 （A ）2221ωA - ； （B ）2221 ωA ； （C ）232 1 ωA - ； （D ）2321ωA 。 4．已知两个简谐振动曲线如图所示，1x 的位相比2x 的位相 （A ）落后2π； （B ）超前2π ； （C ）落后π； （D ）超前π。 5．一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为?? ? ?? +?=-ππ312cos 10 42 t x （SI ）。从0=t 时刻 起，到质点位置在cm x 2-=处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 第题图
（A ）s 8/1； （B ）s 4/1； （C ）s 2/1； （D ）s 3/1。 6．一个质点作简谐振动，振幅为 A ，在起始时刻质点的位移为2/A ，且向x 轴的正方向运 动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 7．一个简谐振动的振动曲线如图所示。此振动的周期为 （A ）s 12； （B ）s 10； （C ）s 14； （D ）s 11。 8．一简谐振动在某一瞬时处于平衡位置，此时它的能量是 （A ）动能为零，势能最大； （B ）动能为零，机械能为零； （C ）动能最大，势能最大； （D ）动能最大，势能为零。 9．一个弹簧振子做简谐振动，已知此振子势能的最大值为1600J 。当振子处于最大位移的1/4时，此时的动能大小为 （A ）250J ； （B ）750J ； （C ）1500J ； （D ） 1000J 。 10．当质点以频率ν作简谐振动时，它的动能的变化频率为 （A ）ν； （B ）ν2 ； （C ）ν4； （D ） 2 ν。 11．一质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是 （A ）T ／4； （B ）T/2； （C ）T ； （D ）2T 。 x （A ） （B ）（C ） （D ） )s 2 1 -
大学物理单元测试 （机械振动与机械波） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 （25分） 1 一质点作周期为T 的简谐运动，质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为（ D ） (A ）T/2 （B ）T/4 (C)T/8 （D ）T/12 2 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（ E ） (A ）7/16 (B ）9/16 (C ）11/16 (D ）13/16 (E ）15/16 3 一质点作简谐运动，其振动方程为 )3 2cos( 24.0π π + =t x m, 试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到 x =-0.12 m,v <0的状态所经过的最短时间。 （C ） （A ）0.24s （B ） 3 1 （C ）3 2 （D ）2 1 4 一平面简谐波的波动方程为：)(2cos λνπx t A y - =，在ν 1 = t 时刻，4 31λ= x 与 4 2λ = x 两处质点速度之比：（ B ） （A ）1 （B ）-1 （C ）3 （D ）1/3 5 一平面简谐机械波在弹性介质中传播,下述各结论哪个正确？（ D ） (A)介质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒. (B)介质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但两者相位不相同 (C)介质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但两者数值不同. (D)介质质元在其平衡位置处弹性势能最大. 二、填空题（25分） 1 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为0.3 2 N/m ，重物的质量为0.02 kg ，则这个系统的固有频率为____0.64 Hz ____，相应的振动周期为___0.5π s______． 2 两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比 ν1：ν2 = _2:1__ __，加速度最大值之比a 1m ：a 2m = __4:1____，初始速率之比 v 10 ：v 20 = _2:1__ ___.
《大学物理学》机械振动自主学习材料 一、选择题 9-1．一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时质点的位移为2 A - ，且向x 轴正方向运动， 代表此简谐运动的旋转矢量为（ ） 【旋转矢量转法判断初相位的方法必须掌握】 9-2．已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程（x 的单位为cm ，t 的单位为s ）为（ ） （A ）22 2cos()3 3x t ππ=-； （B ）2 22cos()33x t ππ=+ ； （C ）4 22cos()33x t ππ=-； （D ）4 22cos()33 x t ππ=+ 。 【考虑在1秒时间内旋转矢量转过 3 ππ+，有43 πω= 】 9-3．两个同周期简谐运动的振动曲线如图所示， 1x 的相位比2x 的相位（ ） （A ）落后 2 π ； （B ）超前 2 π ； （C ）落后π； （D ）超前π。 【显然1x 的振动曲线在2x 曲线的前面，超前了1/4周期，即超前/2π】 9-4．当质点以频率ν作简谐运动时，它的动能变化的频率为（ ） （A ）2 ν ； （B ）ν； （C ）2ν； （D ）4ν。 【考虑到动能的表达式为2 2 2 11sin () 2 2 k E m v kA t ω?= = +，出现平方项】 9-5．图中是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐振动可 叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ） （A ）32 π； （B ）2π ； （C ）π； （D ）0。 【由图可见，两个简谐振动同频率，相位相差π，所以，则合成的余弦振动的振幅应该是大减小，初相位是大的那一个】 9--1．一物体悬挂在一质量可忽略的弹簧下端，使物体略有位移， 测得其振动周期为T ，然后将弹簧分割为两半，并联地悬挂同 一物体，再使物体略有位移，测得其振动周期为'T ，则 '/T T 为（ ） ()A ()B () C ()D ) s 1 -2 -
精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。
一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单 摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π21 cos(2-+=αωt A x (C) ) π23 cos(2-+=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 (B) 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(1042π+π?=-t x (SI)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 81 (B) s 61 (C) s 41 (D) s 31 (E) s 21 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) ) 21/cos(π-=t m k A x (C) ) π21/(cos +=t k m A x (D) )21/cos(π-=t k m A x (E) t m /k A x cos = 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取 v 2 1
一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ ［ ］ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π2 1cos(2- +=αωt A x (C) ) π23cos(2- +=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x ［ ］ 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 ［ ］ 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律 用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 ［ ］ 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' ［ ］ 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(10 42 π+ π?=-t x (SI)。 从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 8 1 (B) s 6 1 (C) s 4 1 (D) s 3 1 (E) s 2 1 ［ ］ 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) )21 /cos(π-=t m k A x (C) )π21/(cos + =t k m A x (D) )21/cos(π- =t k m A x (E) t m /k A x cos = ［ ］ 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为 v v 2 1
13 机械振动解答 13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m ，周期T=1.0s ，初相?=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。 13-1 分析 弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A 、初相?、角频率ω是简谐运动方程 ()?ω+=t A x cos 的三个特征量。求运动方程就 要设法确定这三个物理量。题中除A 、?已知外， ω可通过关系式T π ω2= 确定。振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。 解 因T π ω2=，则运动方程 ()?? ? ??+=+=?π?ωt T t A t A x 2cos cos 根据题中给出的数据得 ]75.0)2cos[()100.2(12ππ+?=--t s m x 振子的速度和加速度分别为 ]75.0)2sin[()104(/112πππ+??-==---t s s m dt dx v πππ75.0)2cos[()108(/112222+??-==---t s s m dt x d a x-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示 13-2 若简谐运动方程为?? ???? +=-4)20(cos )01.0(1ππt s m x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和 初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。 13-2 分析 可采用比较法求解。 将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()?ω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量。 运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。 解 （l ）将]25.0)20cos[()10.0(1ππ+=-t s m x 与()?ω+=t A x cos 比较后可得：振幅A= 0.10 m ，角频率120-=s πω，初相π?25.0=，则周期 s T 1.0/2==ωπ，频率Hz T 10/1==ν。 （2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为 m m x 21007.7)25.040cos()10.0(-?=+=ππ )25.040sin()2(/1πππ+?-==-s m dt dx v
第二章 振动与波习题答案 12、一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅2 10 0.2-?=A 米，周期50.0=T 秒，当0 =t 时 (1) 物体在正方向的端点； (2) 物体在负方向的端点； (3) 物体在平衡位置，向负方向运动； (4) 物体在平衡位置，向正方向运动。 求以上各种情况的谐振动方程。 【解】：π=π = ω45 .02 )m () t 4cos(02.0x ?+π=， )s /m ()2 t 4cos(08.0v π+?+ππ= (1) 01)cos(=?=?，， )m () t 4cos(02.0x π= (2) π=?-=?，1)cos(， )m () t 4cos(02.0x π+π= (3) 2 1)2cos(π=?-=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π+π= (4) 21)2cos(π-=?=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π-π= 13、已知一个谐振动的振幅02.0=A 米，园频率πω 4=弧度／秒， 初相2/π=?。 (1) 写出谐振动方程； (2) 以位移为纵坐标，时间为横坐标，画出谐振动曲线。 【解】：)m () 2 t 4cos(02.0x π+π= ， )(2 12T 秒=ωπ= 15、图中两条曲线表示两个谐振动 (1) 它们哪些物理量相同，哪些物理量不同? (2) 写出它们的振动方程。
【解】：振幅相同，频率和初相不同。 虚线： )2 t 2 1cos(03.0x 1π-π= 米 实线： t cos 03.0x 2π= 米 16、一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程为 t 3cos 4x 1= 厘米 )3 2t 3cos(2x 2π+= 厘米 试用旋转矢量法求出合振动方程。 【解】：)cm () 6 t 3cos(32x π+= 17、设某一时刻的横波波形曲线如图所示，波动以1米／秒的速度沿水平箭头方向传播。 (1) 试分别用箭头表明图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 各质点在该时刻的运动方向； (2) 画出经过1秒后的波形曲线。 【解】： 18、波源作谐振动，其振动方程为(m ))240(1043t cos y π-?=，它所形成的波以30m/s 的速度沿一直线传播。
机械振动 机械波 练习题 1（3003） 轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2的物体，于是弹簧又伸长了?x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为 （A ） g m x m T 122?π=． （B ） g m x m T 212?π=． （C ） g m x m T 2121?π= ． （D ） g m m x m T )(2212+π=?． 2（5186） 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为： （A ）222cos()33x t ππ=+． （B ） 22 2cos()33x t ππ=-． （C ）422cos()33x t ππ=+． （D ）422cos()33x t ππ=-． （E ） 41 2cos()34 x t ππ=-． 3（3028） 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为 （A ） E 1/4． （B ） E 1/2． （C ） 2E 1． （D ） 4 E 1 ． 4（3562） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个 简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 （A ） 3 2π． （B ） π． （C ） 1 2 π． （D ） 0． 5（3066） 机械波的表达式为y = 0.03cos6π（t + 0.01x ）（SI ） ，则 （A ） 其振幅为3 m ． （B ） 其周期为s 3 1． （C ） 其波速为10 m/s ． （D ） 波沿x 轴正向传播． 6（5204） 一平面余弦波在t = 0时刻的波形曲线如图所示，则O 点的振动初相φ 为： （A ） 0． （B ） 12 π． （C ） π． （D ） 32 π（或12π-）． x y O u
教学目标 1.掌握简谐振动的定义、表达方式、简谐振动的合成方法；了解自由、阻尼、强 迫等各类简谐振动的特点和规律。 2.掌握振动和波的关系、波的相干条件、叠加原理、驻波的形成条件、驻波的振 幅、相位和能量的空间分布，半波损失。 3.学会建立波动方程。 教学难点 多自由体系的小振动 第十一章 机械振动 振动是指物体或系统在其平衡位置附近的往复运动。(例子：物体位置、电流强度、电压、电场强度、磁场强度等)。 物体或系统质点数是无穷的，自由度数也是无穷的，因此存在空间分布和时间分布，需要用偏微分方程描述 (如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或未知函数与几个变量有关，而且未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。例如弦包含很多的质点，不能用质点力学的定律研究，但是可以将其细分成若干个极小的小段，每小段可以抽象成一个质点，用微分的方法研究质点的位移，其是这点所在的位置和时间变量的函数，根据张力，就可以建立起弦振动的偏微分方程) 。 一、简谐振动(单自由度体系无阻尼自由小振动) 虽然多质点的振动要用偏微分方程描述，但是我们可以简化或只考虑细分成的每一小段，那么就成为单质点单自由度(只需一个坐标变量)的振动。 2222 22222,,0 cos():0i i t F k k F kx a x m m m d x d x a x a x dt dt x A t Ae e i ，令特征方程特征根：?ωωωωω?λωλω =-= =-==-=∴+==+=+==±A (振幅)、?(初相位)都是积分常数，k 为倔强系数。 在微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶。 形如 ()()dx P t x Q x dt +=的方程为线性方程，其特点是它关于未知函数x 及其导数dx dt 都是一次的。若()0Q x =，则()0dx P t x dt +=称为齐次的线性方程。 二阶常系数齐次线性微分方程的解法： ()() 1 2 121212121,212cos sin t t t t x c e c e x c c t e i x e c t c t λλλαλλλλλαβββ≠=+==+=±=+ 由cos()sin()x A t v A t ω?ωω?=+?=-+ 按周期定义， ()()cos()cos sin()sin A t A t T A t A t T ω?ω?ωω?ωω?+=++???? -+=-++???? ，同时满足以上两方程的T 的 最小值应为 2p w 1,2T n w pn ==，w 称为圆频率或角频率。不像A 、
单元一简谐振动 1）试题总分为100分，光学部分40%左右，热学部分40%左右，近代物理基础部分20%左右。 2）以下内容不作考试要求 光学部分： 第16章几何光学基础； 第17章第2节分波面干涉中菲涅耳双面镜实验和洛埃镜实验；第5节光波的空间相干性和时间相干性； 第18章第2节中振幅矢量法推导光强公式；第3节中多缝夫琅和费衍射的光强分布； 第4节中光栅的色散、分辨本领；第7节全息照相及第8节光学信息处理； 第19章第4节至第8节 热学部分： 第20章第8节速度分布律玻尔兹曼分布律；第10节范德瓦尔斯方程；第11节气体的输运现象及其宏观规律；20.9在考试范围内（平均自由程） 第21章第2节中固体的热容；第4节理想气体的绝热过程中，绝热过程的功的计算； 节流过程； 第22章第3节两种表述一致性证明、第7节不可逆过程中的熵增熵增加原理；第8节热力学第二定律的统计意义 近代物理基础： 第24章3.3节；第25章第3节至第6节；第26章至第28章 一、选择、填空题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？【C】 (A)物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； (B)物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； (C)物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； (D)物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2. 一沿X轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，振动方程用余弦函数表示，如果该振子的初相为，则t=0时，质点的位置在：【D】 (A)过处，向负方向运动；(B)过处，向正方向运动；
(C) 过处，向负方向运动；(D) 过处，向正方向运动。 3. 将单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止释放任其振动，从放手开始计时，若用余弦函数表示运动方程，则该单摆的初相为：【B】 (A)θ；(B)0；(C)π/2；(D)-θ 4. 图(a)、(b)、(c)为三个不同的谐振动系统，组成各系统的各弹簧的倔强系数及重物质量如图所示， (a)、(b)、(c)三个振动系统的ω(ω为固有圆频率)值之比为：【B】 (A) 2：1：1；(B) 1：2：4；(C) 4：2：1；(D) 1：1：2 5. 一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上如图，试判断下面哪种情况是正确的：【C】 (A)竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动； (B)竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动； (C)两种情况都可作简谐振动； (D)两种情况都不能作简谐振动。 6. 一谐振子作振幅为A的谐振动，它的动能与势能相等时，它的相位和坐标分别为：【C】 7. 如果外力按简谐振动的规律变化，但不等于振子的固有频率。那么，关于受迫振动，下列说法正确的是：【B】 (A)在稳定状态下，受迫振动的频率等于固有频率； (B)在稳定状态下，受迫振动的频率等于外力的频率； (C)在稳定状态下，受迫振动的振幅与固有频率无关； (D)在稳定状态下，外力所作的功大于阻尼损耗的功。 8. 关于共振，下列说法正确的是：【A】 (A)当振子为无阻尼自由振子时，共振的速度振幅为无限大； (B)当振子为无阻尼自由振子时，共振的速度振幅很大，但不会无限大；
大学物理振动和波动 知识点总结 1．简谐振动的基本特征 （1）简谐振动的运动学方程: cos()x A t ??=+ （2）简谐振动的动力学特征: F kx =-r r 或 2220d x x d t ?+= （3）能量特征： 222111222 k p E E E mv kx KA =+= +=， k p E E = （4）旋转矢量表示: 做逆时针匀速转动的旋转矢量A r 在x 轴上的投影点的运动可用来 表示简谐振动。 旋转矢量的长度A r 等于振动的振幅,旋转矢量的角速度等于谐振动的角频率,旋转矢量在0t =时刻与坐标轴x 的夹角为谐振动的初相。 2．描述简谐振动的三个基本量 （1）简谐振动的相位：t ω?+，它决定了t 时刻简谐振动的状态；其中：00arctan(/)v x ?ω=- （2）简谐振动的振幅：A ，它取决于振动的能量。其中：A = （3）简谐振动的角频率：ω，它取决于振动系统本身的性质。 3．简谐振动的合成 (1)两个同方向同频率简谐振动的合成: 合振动的振幅：A = 合振幅最大： 212,0,1,2....k k ??π-==；合振幅最小：21(21),0,1,2....k k ??π-=+= （2）不同频率同方向简谐振动的合成：当两个分振动的频率都很大，而两个频率差很小时，产生拍现象，拍频为21ννν?=-；合振动不再是谐振动，其振动方程为 21 21 0(2cos 2)cos 222x A t t ννννππ-+= （3）相互垂直的两个简谐振动的合成：若两个分振动的频率相同，则合成运动的轨迹一般为椭圆；若两个分振动的频率为简单的整数比，则合成运动的轨迹为李萨如图形。 （4）与振动的合成相对应，有振动的分解。 4．阻尼振动与受迫振动、共振：
13 机械振动解答 13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0 ×10 -2 m，周期T=1.0s ，初相=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。 13-1 分析弹簧振子的振动是简谐运动。振幅 A 、初相、角频率是简谐运动方程 x A cos t 的三个特征量。求运动方程就 要设法确定这三个物理量。题中除A、已知外， 可通过关系式2 T 确定。振子运动的速度 和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。 解因2 T ，则运动方程 x A c os t A cos 2 T t t 根据题中给出的数据得 x ( 2.0 10 2 m s 1 t ) cos[( 2 ) 0.75 ] 振子的速度和加速度分别为 v dx / dt (4 10 2 m s 1 s 1 t ) sin[( 2 ) 0.75 ] a d 2 x dt2 2 2 m s 1 s 1 t / (8 10 ) cos[( 2) 0.75 x-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示 13-2 若简谐运动方程为x(0 .01m) cos (20 s ) ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和 1 t 1 t 4 初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。 13-2 分析可采用比较法求解。将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x A cos t 作比较，即可求得各特征量。运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。 1 t 解（l ）将x (0.10m) c os[( 20 s ) 0 .25 ] 与x A cos t 比较后可得：振幅A= 0.10 m，角频率 1 20 s ，初相0.25 ，则周期T 2 / 0 .1s ，频率1/ T 10 H z 。 （2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为 2 x ( 0. 10m) c os(40 0.25 ) 7.07 10 m
1.一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动．当 重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时．则其振动方程为： ［ ］ (A) 1 )2 x A =+π (B) )21/cos(π-=t m k A x (C) 1 )2 x A =+ π (D) )21/cos(π-=t k m A x (E) t m /k A x cos = 2. 一质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是 (A) T /4． (B) 2/T ． (C) T ． (D) 2 T ． (E) 4T ． ［ ］ 3.一质点作简谐振动，已知振动频率为f ，则振动动能的变化频率是 ［ ］ (A) 4f . (B) 2 f . (C) f . (D) 2/f . (E) f /4 3.一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示．当振子处在位移为零、速度为ω-A 、加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应于曲线上的________点． 4. 在两个相同的弹簧下各悬一物体，两物体的质量比为4∶1，则二者作简谐振 动的周期之比为_______________________． 5.如图所示，质量为m 的物体由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在水平光滑导轨上作微小振动，则系统的振动频率为 (A) m k k 212+π=ν． (B) m k k 2 121+π=ν． (C) 2 12 121k mk k k +π= ν (D) )(212121k k m k k +π=ν． ［ ］ 6．分振动方程分别为)25.050cos(31ππ+=t x 和)75.050cos(42ππ+=t x (SI 制)则它们的合 振 动表达 式为 （ A ） )25.050cos(2ππ+=t x ．（ B ） ) 50cos(5t x π=．（ C ） -
习题六 6-1 一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。 [解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖 直向下为正方AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 向，建立坐标 系 rad/s 07.74200m 1.0N/m 20010 30602=== ==?=-m k A k ω设振动方程为 ()φ+=t x 07.7cos 0=t 时 1.0=x φcos 1.01.0= 0=φ 故振动方程为 ()m 07.7cos 1.0t x = (2)设此时弹簧对物体作用力为F ，
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 则 ()()x x k x k F +=?=0 其中 m 2.020040 0===k mg x
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 因而 有 ()N 3005.02.0200=-?=F (3)设第一次越过平衡位置时刻为1 t ，则 ()107.7cos 1.00t = 07.5.01π=t 第一次运动到上方5cm 处时刻为2 t ，则 ()207.7cos 1.005.0t =- ()07.7322?=πt 故所需最短时间为： s 074.012=-=?t t t
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 6-2 一质点在x 轴上 作谐振动，选取该质点向 右运动通过点 A 时作为 计时起点(t ＝0)，经过2s 后质点第一次经过点B ， 再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。 [解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知 42 1=T s
振动与波动题库 一、选择题（每题3分） 1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A) ）（3 cos 12.0π π-=t x （B ） ） （3cos 12.0π π+=t x （C ） ）（3 2cos 12.0π π-=t x （D ） ）（3 2cos 12.0π π+=t x 3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的 四倍，则它的总能量变为 （ ） （A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（ ） (A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝ 6、一平面简谐波，波速为μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻 的波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为 （ ） (A) y=2×10－2 cos (πt/2－π/2) (m) (B) y=2×10－2 cos (πt + π) (m) (C) y=2×10－2 cos(πt/2+π/2) (m) (D) y=2×10－2 cos (πt －3π/2) (m) 7、一平面简谐波，沿X 轴负方向 传播。x=0处的质点的振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波的初位相为（ ） （A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /2 8、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。设小球的运动可看作筒谐振动，则该振动的周期为（ ）
第八章 振动与波动 本章提要 1. 简谐振动 · 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程 ()cos x A t ω?=+ 其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+?）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位? 称为初相位。 · 简谐振动速度方程 d ()d sin x v A t t ωω?= =-+ · 简谐振动加速度方程 2 2 2d ()d cos x a A t t ωω?= =-+ · 简谐振动可用旋转矢量法表示。 2. 简谐振动的能量 · 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为 2 12k E mv = · 弹簧的势能为 2 12p E kx = · 振子总能量为 P 2 2 2 22 211()+() 22 1=2 sin cos k E E E m A t kA t kA ωω?ω?=+=++ 3. 阻尼振动 · 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻
尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。 · 阻尼振动的动力学方程为 2 2 2d d 20d d x x x t t β ω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γ β= 。 （1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。 （2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。 （3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。 4. 受迫振动 · 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为 2 2 P 2d d 2d d cos x x F x t t t m β ωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。 · 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。 5. 简谐振动的合成与分解 （1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t 两个振动的位移分别为 111()cos x A t ω?=+ 222()cos x A t ω?=+ 合振动方程可表示为 ()cos x A t ω?=+ 其中，A 和? 分别为合振动的振幅与初相位 A = 11221122 sin sin tan cos cos A A A A ?????+= +