大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
极限与连续
一. 数列函数: 1. 类型:
(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:
(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0
()(),
x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y =
(6)参式(数一,二): ()
()x x t y y t =??=?
(7)变限积分函数: ()(,)x
a
F x f x t dt =
?
(8)级数和函数(数一,三): 0
(),n
n n S x a x
x ∞
==∈Ω∑
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).
3. 反函数与直接函数: 1
1()()()y f x x f y y f x --=?=?=
二. 极限性质:
1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞
(含x →±∞); *0
lim ()x x f x →(含0x x ±
→)
2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):
3. 未定型:
000,,1,,0,0,0∞
∞∞-∞?∞∞∞
4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:
11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n
n
n n
a b c a b c ++→, ()00!
n
a a n >→
1(0)x x
→→∞, 0lim 1x
x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0
lim ln 0n
x x x +
→=, 0,
x
x e x →-∞
?→?+∞→+∞
? 四. 必备公式:
1. 等价无穷小: 当()0u x →时,
sin ()()u x u x :; tan ()()u x u x :; 2
11cos ()()2
u x u x -:; ()
1()u x e
u x -:; ln(1())()u x u x +:; (1())1()u x u x αα+-:;
arcsin ()()u x u x :; arctan ()()u x u x : 2. 泰勒公式:
(1)2
211()2!x
e x x o x =++
+; (2)22
1ln(1)()2x x x o x +=-+;
(3)34
1sin ()3!
x x x o x =-+;
(4)245
11cos 1()2!4!
x x x o x =-++;
(5)22(1)(1)1()2!
x x x o x α
ααα-+=+++.
五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞?∞∞); (2)变量代换(如:1
t x
=) 1. 抓大弃小(
)∞∞
, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α?) (注:1
sin
1,x x
≤→∞) 3. 1∞
处理(其它如:0
0,∞)
4. 左右极限(包括x →±∞):
(1)1(0)x x
→; (2)()x
e x →∞; 1
(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x
5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)
6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(
00最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x
→-)
(2)幂指型处理: ()
()ln ()
()
v x v x u x u x e
=(如: 111111
1(1)x x x x x
e
e e e
-++-=-)
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞
=(?分段函数)
六. 非常手段 1. 收敛准则:
(1)()lim ()n x a f n f x →+∞
=?
(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →
(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >
2. 导数定义(洛必达?): 00lim
'()x f
f x x
→=V V V
3. 积分和: 10112lim [()()()]()n n
f f f f x dx n n n n
→∞+++=?L ,
4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞
→+∞
+-=
5. 级数和(数一三):
(1)1
n n a ∞
=∑收敛lim 0n n a →∞
?=, (如2!
lim n n n n n →∞) (2)121lim()n n n n a a a a ∞
→∞=+++=∑L ,
(3){}n a 与
11
()n
n n a
a ∞
-=-∑同敛散
七. 常见应用:
1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n
f x kx x →: (1)(1)
()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====?L ()()!!
n n n
a a f x x x x n n α=
+: (2)
()x
x
n f t dt kt dt ?
?
:
2. 渐近线(含斜):
(1)()
lim
,lim[()]x x f x a b f x ax x
→∞→∞==-()f x ax b α?++:
(2)()f x ax b α=++,(1
0x
→)
3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质
1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ?<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)
2. 介值定理: (附: 达布定理)
(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ?=(根的个数); (2)()0(
())'0x
a
f x f x dx =?=?
.
第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)
一. 基本概念:
1. 差商与导数: '()f x =0
()()
lim
x f x x f x x
→+-V V V ; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--
(1)0
()(0)'(0)lim
x f x f f x →-= (注:0()
lim (x f x A f x
→=连续)(0)0,'(0)f f A ?==)
(2)左右导: ''
00(),()f x f x -+;
(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导)
2. 微分与导数: ()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+?=V V V V (1)可微?可导; (2)比较,f df ?与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:
1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )
2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'
dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):
1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0
()()
lim
h f x h f x h h
→+--
(注: 0
()(),
x x F x f x x x a ≠?=?=?, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):
(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()x
a
F x f t dt =?
, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b b
a
a
a
f x t dt f x t dt f t dt ???)
(3)010
2(),()x x f x y x x f x
≥?,求''
00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)
3. 隐式((,)0f x y =)导: 22
,dy d y dx dx (1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.
4. 参式导(数一,二): ()()
x x t y y t =??=?, 求:
22,dy d y
dx dx 5. 高阶导()
()n f x 公式:
()
()
ax n n ax
e a e =; ()1
1!
()()n n n b n a bx a bx +=--; ()
(sin )
sin()2
n n ax a ax n π
=+
?; ()(cos )cos()2
n n ax a ax n π
=+
?
()()1(1)2(2)
()'"n n n n n n uv u v C u
v C u v --=+++L 注: ()
(0)n f
与泰勒展式: 2012()n
n f x a a x a x a x =+++++L L ()(0)
!
n n f a n ?=
四. 各类应用:
1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)
2. 物理: (相对)变化率-速度;
3. 曲率(数一二):
ρ=
曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)
4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =):
(1) '()0()f x f x ≥?Z ; '()0()f x f x ≤?];
(2)分段函数的单调性
(3)'()0f x >?零点唯一; "()0f x >?驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:
(1)表格('()f x 变号); (由0
002'()'()''()
lim
0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x
→→→≠≠≠?=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =)
注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);
(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)
(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥
*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤?=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值
六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ?表格; (0"()0f x =)
2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=?== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ?()()x
a
F x f t dt =
?
(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=?= (3)()
'()()()'()0()()
f x f
g f g F x g x ξξξξ-=?= (4)'()()()0f f ξλξξ+=?()()()x dx
F x e f x λ?=;
3. ()
()0()n f
f x ξ=?有1n +个零点(1)()n f x -?有2个零点
4. 特例: 证明()
()n f
a ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)
5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)
6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ?∈,[,]a b ξ?∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理
1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ??ξ?ξ)
2. 估计: '()f f x ξ=V V
九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011
()()'()()"()()"'()()2!3!
f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+
-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计
十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学
一. 基本概念: 1. 原函数()F x :
(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+?
注(1)()()x
a
F x f t dt =?
(连续不一定可导);
(2)
()()()()x
x a
a
x t f t dt f t dt f x -???
? (()f x 连续)
2. 不定积分性质:
(1)(())'()f x dx f x =?; (())()d f x dx f x dx =?
(2)
'()()f x dx f x c =+?; ()()df x f x c =+?
二. 不定积分常规方法
1. 熟悉基本积分公式
2. 基本方法: 拆(线性性)
1
2
1
2(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+???
3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(2
2
1sin cos x x =+)
如: 211(),,ln ,
2dx dx d ax b xdx dx d x a x =
+==2=
(1ln )(ln )x dx d x x =+=
4. 变量代换:
(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,
,x t t t t x
====
(2)作用与引伸(化简):
x t =
5. 分部积分(巧用):
(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()x
a
x x f t dt ?
);
(2)“反对幂三指”: ,
ln ,n ax n
x e dx x xdx ??
(3)特别:
()xf x dx ? (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)
6. 特例: (1)
11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++?; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ??
快速法; (3)()()n v x dx u x ? 三. 定积分:
1. 概念性质:
(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)
*2
(0)8
a a π
>=
?
; *()02
b
a
a b
x dx +-
=? (3)附:
()()b
a
f x dx M b a ≤-?
,
()()()b
b
a
a
f x
g x dx M g x dx ≤?
?)
(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重
2: 变限积分()()x
a
x f t dt Φ=
?
的处理(重点)
(1)f 可积?Φ连续, f 连续?Φ可导 (2)(
())'x
a
f t dt ?
()f x =; (()())'()x x
a
a
x t f t dt f t dt -=??;
()()()x
a
f x dt x a f x =-?
(3)由函数()()x
a
F x f t dt =?
参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题
3. N L -公式:
()()()b
a
f x dx F b F a =-?
(()F x 在[,]a b 上必须连续!)
注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含
()b
a
f t dt ?
的方程.
4. 变量代换: ()(())'()b
a
f x dx f u t u t dt β
α
=?
?
(1)
00
()()()a
a f x dx f a x dx x a t =-=-?
?,
(2)
()()()[()()]a
a
a
a
a
f x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-?
?? (如:44
1
1sin dx x π
π
-+?)
(3)2
20
1
sin n n n n I xdx I n
π
--=
=
?
,
(4)220
0(sin )(cos )f x dx f x dx ππ
=??;
20
(sin )2(sin )f x dx f x dx π
π
=?
?,
(5)
(sin )(sin )2xf x dx f x dx π
π
π
=
?
?
,
5. 分部积分
(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()x
a
f x =
?
时, 求
()b
a
f x dx ?
6. 附: 三角函数系的正交性: 22200
sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx π
ππ
===???
220
sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m π
π
=≠=?
?
222
20
sin cos nxdx nxdx π
π
π==?
?
四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),
(),
()a
a f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
?
?
?
(()f x 连续)
(2)
()b
a
f x dx ?
: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)
2. 敛散;
3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)
4. 特例: (1)
1
1
p dx x +∞
?
; (2)101p dx x
? 五. 应用: (柱体侧面积除外)
1. 面积, (1)[()()];b
a
S f x g x dx =-?
(2)1()d
c
S f y dy -=?;
(3)21()2
S r d βαθθ=?; (4)侧面积:2(b a S f x π=? 2. 体积: (1)22[()()]b
x a
V f x g x dx π
=-?
; (2)12[()]2()d b
y c
a
V f y dy xf x dx ππ-==??
(3)0x x V =与0y y V =
3. 弧长: ds =
(1)(),[,]y f x x a b =∈ a
s =?
(2)12()
,[,]()
x x t t t t y y t =?∈?
=? 21
t t s =?
(3)(),[,]r r θθαβ=∈:
s β
α
θ=
?
4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,
5. 平均值(中值定理): (1)1[,]()b
a
f a b f x dx b a =
-?;
(2)0
()[0)lim
x x f t dt f x
→+∞
+∞=?, (f 以T 为周期:0
()T
f t dt f
T
=
?)
第四讲: 微分方程
一. 基本概念
1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)
2. 变换方程:
(1)令()'""x x t y Dy =?=(如欧拉方程)
(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =?=?(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:
1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =
2. 变量分离型: '()()y f x g y =
(1)解法:
()()()()dy
f x dx G y F x C
g y =?=+??
(2)“偏”微分方程:
(,)z
f x y x
?=?; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=
(1)解法(积分因子法): 00
()01
()[()()]()x
x p x dx
x x M x e y M x q x dx y M x ?=?=
+? (2)变化: '()()x p y x q y +=;
(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α
+= 4. 齐次方程: '()y y x
=Φ (1)解法: '(),()y
du dx
u u xu u x u u x =
?+=Φ=Φ-??
(2)特例:
111
222
a x
b y
c dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且
N M
x y
??=?? dU Mdx Ndy U C =+?=
6. 一阶差分方程(数三): 1*
()()x x x x x n x
x y ca y ay b p x y x Q x b
+=?-=??=? 三. 二阶降阶方程
1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++
2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dp
y p x y f x p dx
=?=
= 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dp
y p y y p
f y p dy
=?== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:
(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+
(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 2
0a b c λλ++=
(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()ax
f x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.
3. 欧拉方程(数一): 2
"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2
"(1),'t
x e x y D D y xy Dy =?=-= 五. 应用(注意初始条件):
1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距
2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设
()(),()0x
a
f x dx F x F a ==?
3. 导数定义立方程:
含双变量条件()f x y +=L 的方程
4. 变化率(速度)
5. 22
dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q P
x y
??=?? 7. 级数与方程:
(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:2
01201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==L
8. 弹性问题(数三)
第五讲: 多元微分与二重积分
一. 二元微分学概念
1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ?=++?=+?=+V V V V (2)lim ,lim
,lim y x x y f f
f f f x y
???==??
(3),x y f x f y df +V V @ (判别可微性)
注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 0
0(,0)(0,0)(0,)(0,0)
(0,0)lim
,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y
→→--==
2. 特例:
(1)22
(0,0)(,)0,(0,0)xy
x y f x y ?≠?+=??=?
: (0,0)点处可导不连续;
(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==?
: (0,0)点处连续可导不可微;
二. 偏导数与全微分的计算:
1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)y
x 型; (2)00(,)
x
x y z ; (3)含变限积分
2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =
熟练掌握记号''"""
12111222,,,,f f f f f 的准确使用
3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0
(,,)0
F x y z
G x y z =??
=? (存在定理)
(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);
1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)
2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)
(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ?=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).
(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ?=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题
四. 二重积分计算:
1. 概念与性质(“积”前工作): (1)
D
d σ??,
(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =U ; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶 2. 计算(化二次积分):
(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 2
2
()f x y +
附: 2
2
2
:()()D x a y b R -+-≤; 22
22:1x y D a b
+≤;
双纽线222222
()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:
(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型
1
2
()D
k x k y dxdy +??, 且已知D 的面积D
S
与重心(,)x y
5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():
;;;;f M d D L σΩ
?ΩΩΓ∑?):
1. “尺寸”: (1)
D D
d S
σ???;
(2)曲面面积(除柱体侧面);
2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;
3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.
第六讲: 无穷级数(数一,三)
一. 级数概念
1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++L ; (3)lim n n S →∞
(如
1(1)!
n n
n ∞
=+∑) 注: (1)lim n n a →∞
; (2)
n q ∑(或1
n a
∑
); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ?收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞
=;
(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→; 二. 正项级数
1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: n S Z ; (3)收敛n S M ?≤(有界)
2. 标准级数: (1)1
p n
∑, (2)ln k n n α∑, (3)1ln k n n ∑
3. 审敛方法: (注:2
2
2ab a b ≤+,ln ln b
a a
b =)
(1)比较法(原理):n p k
a n
:(估计), 如1
0()n f x dx ?;
()
()P n Q n ∑
(2)比值与根值: *1
lim
n n n
u u +→∞
*n (应用: 幂级数收敛半径计算)
三. 交错级数(含一般项):
1
(1)
n n a +-∑(0n a >)
1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?
注: 若1
lim
1n n n
a a ρ+→∞=>,则n u ∑发散
2. 标准级数: (1)
1
1(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)1
1(1)ln n p n
+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:
n
a
∑发散; (2)条件: ,0n n a a →]; (3)结论:
1
(1)
n n a +-∑条件收敛.
4. 补充方法:
(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→. 5. 注意事项: 对比 n
a
∑;
(1)n n
a
-∑;
n
a
∑;
2n
a
∑之间的敛散关系
四. 幂级数:
1. 常见形式: (1)
n
n
a x
∑, (2)
()
n
n
a x x -∑, (3)
20
()
n
n
a x x -∑
2. 阿贝尔定理:
(1)结论: *
x x =敛*0R x x ?≥-; *
x x =散*0R x x ?≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ?=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n n
n n a na x x n
∑∑
与n n a x ∑同收敛半径 (2)
n
n
a x
∑与
20
()
n
n
a x x -∑之间的转换
4. 幂级数展开法:
(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 23
111,2!3!
x
e x x x R =++++Ω=L 24111
()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω=L 35111
(),23!5!
x x e e x x x R --=+++Ω=L 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω=L 2411
cos 1,2!4!
x x x R =-++Ω=L ;
211,(1,1)1x x x x =+++∈--L ; 211,(1,1)1x x x x
=-+-∈-+L 2311
ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-L
2311
ln(1),[1,1)23
x x x x x -=----∈-L
35
11arctan ,[1,1]35
x x x x x =-
+-∈-L (2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 02
1
,x x ax bx c
=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x @0
()()(0)x
f x
g x dx f ?=+?
(4)考察原函数: 0
()()x
g x f x dx ?
@
()'()f x g x ?=
5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =
+∑∑ (2)'()S x =L ,(注意首项变化) (3)()(
)'S x =∑,
(4)()"()"S x S x ?的微分方程 (5)应用:
()(1)n n
n n a
a x S x a S ?=?=∑∑∑.
6. 方程的幂级数解法
7. 经济应用(数三):
(1)复利: (1)n
A p +; (2)现值: (1)n
A p -+
五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)
1. 傅氏级数(三角级数): 01
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
==
++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ?(和函数) (2)1
()[()()]2
S x f x f x =
-++ 3. 系数公式: 01()cos 1
(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx ππ
π
π
ππππ
π--
-?=??=
=??=??
???L
4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈)
(1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-L (分段表示)
(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =
6. 附产品: ()f x ?01
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
==
++∑ 00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=?=
++∑001
[()()]2
f x f x =-++
第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)
一. 向量基本运算
1. 12k a k b +r r ; (平行b a λ?=v v
)
2. a r ; (单位向量(方向余弦) 0
1(cos ,cos ,cos )a a a
αβγ=u u v v @v )
3. a b ?r r ; (投影:()a
a b b a
?=v v v
v v ; 垂直:0a b a b ⊥??=v v v v ; 夹角:(,)a b a b a b
?=v v v v S v v ) 4. a b ?r r ; (法向:,n a b a b =?⊥v v v v v ; 面积:S a b =?Y v v )
二. 平面与直线 1.平面∏
(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=v
(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=?+++= (3)其它: *截距式1x y z
a b c
++=; *三点式
2.直线L
(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕=v
(2)方程(点向式): 000
:
x x y y z z L m n p
---== (3)一般方程(交面式): 111122220
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=??
+++=?
(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t
=+-??
=+-∈??=+-?
)
3. 实用方法:
(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点000(,)M x y
到平面的距离d =
(3)对称问题;
(4)投影问题.
三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面
(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =)
(2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=?v (或(,1)x y n z z =--v
)
2. 曲线
(1)形式()
:()()
x x t y y t z z t =??
Γ=??=?, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =??=?;
(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t =r (或12s n n =?v u v u u v
)
3. 应用
(1)交线, 投影柱面与投影曲线;
(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;
(3)锥面计算.
四. 常用二次曲面
1. 圆柱面: 2
2
2
x y R += 2. 球面: 2
2
2
2
x y z R ++=
变形: 2
2
2
2
x y R z +=-,
z =
,
222
2x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=
3. 锥面: z =
变形: 2
2
2
x y z +=, z a = 4. 抛物面: 2
2
z x y =+,
变形: 2
2
x y z +=, 2
2
()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2
2
2
1x y z +=± 6. 马鞍面: 2
2
z x y =-, 或z xy =
五. 偏导几何应用 1. 曲面
(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =?=v , 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =?=-v
(2)切平面与法线:
2. 曲线
(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===?=v
(2)切线与法平面
3. 综合: :Γ00F G =??=?
, 12s n n =?v u
v u u v
六. 方向导与梯度(重点)
1. 方向导(l v
方向斜率):
(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=?v
(2)计算(充分条件:可微):
cos cos cos x y z u
u u u l
αβγ?=++? 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==u r cos sin x y z
f f l
θθ??=+?r
(3)附: 222
2cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f l
θθθθ?=++?
2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G u r
:
(1)计算:
()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =?==u v
; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =?==u v
(2)结论
()a u l
??0G l =?u r u
r ; ()b 取l G =u
r v 为最大变化率方向;
()c 0()G M u r
为最大方向导数值.
第八讲: 三重积分与线面积分(数一)
一. 三重积分(
fdV Ω
???)
1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):
(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:
(1)单变量()f z , (2)2
2
()f x y +, (3)2
2
2
()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *
dv Ω
???; *利用对称性(重点)
(2)截面法(旋转体): ()
b
a
D z I dz fdxdy =
?
??(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)
(3)投影法(直柱体): 21(,)
(,)
xy
z x y z x y D I dxdy fdz =
???
(4)球坐标(球或锥体): 220
sin ()R
I d d f d π
α
θ??ρρ=
????
??,
(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:
(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式
【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1（α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 （8
释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 （12）分段函数的积分 例题说明：{} dx x ??2,1max （13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 （1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题：
第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) ()(lim x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当) ()(lim x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→；当 ) ()(lim x F x f x x ''→为无穷大时，)() (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→) ()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
北京邮电大学高等数学答案一、单项选择题（共20道小题，共100.0分） 设的定义域为则的定义域为___________. A. B. C. D. 函数是定义域内的____________. E.周期函数 F.单调函数 G.有界函数 H.无界函数 设，则__________. I. J. K. L. 函数的定义域是____________. M. N. O. P. 设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则是____________. Q.无穷大量 R.无穷小量 下列函数中当时与无穷小相比是高阶无穷小的是_________. U. V. W.
X. 时,与为等价无穷小,则__________. Y. 1 BB. ____________. CC. DD. EE. FF.1 _________. GG. HH. II. JJ.1 下列计算极限的过程，正确的是____________. KK. LL. MM. NN. 设在处连续,则_________. RR. 设 ,则（）
SS. TT. UU. VV. 设且可导，则（） WW. XX. YY. ZZ. 已知，则（） AAA.1 CCC. DDD. 设，则（） EEE. FFF. 设,且,则( ) III.1 JJJ.
设,则( ) MMM.99 NNN. PPP. 曲线在点(0,1)处的切线方程为( ) QQQ. RRR. SSS. TTT. 设，且存在，则等于（）UUU. VVV. WWW. XXX. 设函数可导，则（） YYY. ZZZ. AAAA. BBBB. 一、单项选择题（共20道小题，共100.0分） 函数的反函数是____________.
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =;*1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞;*lim ()x f x →∞ (含x →±∞);*0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
一、单项选择题（共20道小题，共100.0分） 1. 若，，则___________. A. B. C. D. 知识 点: 第一章函数 学生答案: [B;] 标准 答案: B; 得分: [5] 试题 分值: 5.0 提示: 2. 函数的反函数是____________. A. B. C. D. 知识 点: 第一章函数 学生答案: [B;] 标准 答案: B; 得分: [5] 试题 5.0
分值: 提示: 3. 的反函数是___________. A. B. C. D. 知识 点: 第一章函数 学生答案: [c;] 标准 答案: C; 得分: [5] 试题 分值: 5.0 提示: 4. 函数是___________. A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 知识 点: 第一章函数 学生答案: [B;] 标准 答案: B; 得分: [5] 试题 分值: 5.0 提示:
5. 设（为常数），则___________. A. B. C. D. 知识 点: 第一章函数 学生答案: [B;] 标准 答案: B; 得分: [5] 试题 分值: 5.0 提示: 6. 设，则__________. A. B. C. D. 知识 点: 第一章函数 学生答案: [C;] 标准 答案: C; 得分: [5] 试题 分值: 5.0 提示: 7. 当时，与比较是______________. A. 高阶无穷小 B. 等价无穷小 C. 非等价的同阶无穷小 D. 低阶无穷小
知识 点: 第二章函数的极限 学生答案: [B;] 标准答 案: B; 得分: [5] 试题分 值: 5.0 提示: 8. (错误) 下列函数中当时与无穷小相比是高阶无穷小的是_________. A. B. C. D. 知识 点: 第二章函数的极限 学生答案: [C;] 标准答 案: D; 得分: [0] 试题分 值: 5.0 提示: 9. ____________. A. B. C. D. 1 知识 点: 第二章函数的极限 学生答案: [A;] 标准答 案: A; 得分: [5] 试题分 值: 5.0 提示:
《高等数学》考试知识点 一、函数、极限、连续 考试内容： 1．函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数简单应用问题的函数关系的建立； 2．数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限； 3．无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较； 4．极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限，； 5．函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）；考试要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法； 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性； 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念； 4．掌握基本初等函数的性质及其图形； 5．会建立简单应用问题中的函数关系式； 6．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系； 7．掌握极限的性质及四则运算法则； 8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法； 9．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；
10．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质； 二、一元函数微分学 考试内容： 1．导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数； 2．导数和微分的四则运算；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法； 3．高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数； 4．一阶微分形式的不变性； 5．罗尔（Roll)定理；拉格朗日（Lagrange）中值定理；柯西（Cauchy）中值定理；泰勒（Taylor）定理； 6．洛必达（L’Hospital）法则； 7．函数的极值及其求法；函数单调性函数；图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数最大值和最小值的求法及简单应用； 8．弧微分、曲率的概念；曲率半径； 考试要求： 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系； 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分； 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数； 4．会求分段函数的一阶、二阶导数；
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+=
)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -
同济上册高数总结 微分公式与积分公式 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
1 高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法 则，对于00型和∞ ∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞ 1型 的题目则是先转化为00 型或∞ ∞ 型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim =→x x x 、e x x x =+→1 )1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。 1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四 章《定积分》 第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。 对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分 ?+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答 案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分?dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，
把它折弯后就是?+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于?-a a dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有 ?-a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f )(=2?a dx x f 0)(；对于 ? 2 )(π dx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -= 2 π 的代换是常 用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=?-a a 奇函数 、??=-a a a 02偶函数偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
北京邮电大学双语高等数学教学组 2011 年第一版?
1.1 Part?A?
1. (1) A ∪ B = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} , A ∩ B = {8} , A \ B = {1,3,5, 7} , B \ A = {2, 4, 6} . (2) A ∪ B = {all parallelograms} , A ∩ B = {all rectangles} , A \ B = {all parallelograms except rectangles} , B \ A = ? . (3) A ∪ B = {1, 2,3, 2. . ∩ Aic = {5, 9} .
i =1 5
},
A ∩ B = {2, 4, 6,
},
A \ B = {1,3,5,
},
B \ A = ?.
3.
A ∪ B = {1 < x ≤ 3} A ∩ B = ? .
1? ? ? ?∞, ? . 2? ?
5. (1)
(2) (α , β ) ∪ ( γ , +∞ ) .
π 2π ? ? (3) ? 2kπ + , 2kπ + . 3 3 ? ? ?
(4)
( 0, +∞ ) .(5) ( ?4, ?2 ) .(6) ( ?3, ?2] . (1, +∞ ) .
? 2 ? (7) (1, 2 ) ∪ ( 2, 4] . (8) ? ? ,1? . (9) ? 2 ?
( 0, +∞ ) .
(10) [ 0, 2 ) .
(11)
6.
1 ? ? a ≤ x ≤ 1 ? a, 0 < a ≤ 2 ? . (1) [ ?1, 0] .(2) [ 0,1] .(3) ? 2kπ , ( 2k + 1) π ? , k ∈ Z .(4) ? ? ? ?? , a > 1 ? 2 ?
7. (1) No. (2) No.(3) 8. (1) Yes.(2) Yes.(3)
No. (4)Yes.(5) No. (6) Yes.(7) No. (8)Yes.(9) No. (10) Yes. Yes.
?5 ? 3x, x < 1 ? 11. f ( x ) = ?3 ? x, 1 ≤ x < 2 . ?3x ? 5 x ≥ 2 ?
12. (1) y = u 3 , u = sin v , v = w and w = 1 ? 2 x .(2) y = arccos u , u =
x?2 1 .(3) y = , u = 1 + v , v = arctan w , w = 2 x . u 2
(4) y = u10 , u = 1 + 2 x .(5) y = u 2 , u = arcsin v , v = x 2 .(6) y = ln (1 + u ) , u = 1 + v , v = x 2 .(7) y = 2u , u = v 3 , v = sin x . 13.
( f φ )( x ) = sin 3 2 x ? sin 2 x,
x ∈ ( ?∞, +∞ ) , (φ f )( x ) = sin 2 ( x 3 ? x ) ,
x ∈ ( ?∞, +∞ ) ,
(f
f )( x ) = x ? 2 x3 + 3x5 ? 3x 7 + x9 , x ∈ ( ?∞, +∞ ) .
?1/ e, | x |< 1 ? ( g f )( x ) = ?1, | x |= 1 ?e, | x |> 1 ?
??1, x < 0 ? 14. ( f g )( x ) = ?0, x = 0 ?1, x>0 ?
Advanced?Mathematics
School?of?Science,?BUPT?
Oct.?2011?
高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数 )(x f 在0x 连续 ) ()(lim 00 x f x f x x =→ 间断点 第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点) 第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点) 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 : εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 :εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 +-→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2）a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n =∞ → 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' '=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性； 4) 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)1 1(lim )1(lim 1 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 221 ~cos 1x x - c) x e x ~1-,（a x a x ln ~1-） d)x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~ )1(log +） e) x x αα ~1)1(-+ 二、 导数与微分
北京邮电大学-高等数学(全)答案
北京邮电大学高等数学答案一、单项选择题（共20道小题，共100.0分） 设的定义域为则的定义域为___________. A. B. C. D. 函数是定义域内的____________. E.周期函数 F.单调函数 G.有界函数 H.无界函数 设，则__________. I. J. K. L. 函数的定义域是____________. M. N. O. P. 设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则是____________. Q.无穷大量 R.无穷小量 下列函数中当时与无穷小相比是高阶无穷小的是_________. U. V.
X. 时,与为等价无穷小,则__________. Y. 1 AA.2 BB. ____________. CC. DD. EE. FF.1 _________. GG. HH. II. JJ.1 下列计算极限的过程，正确的是____________. KK. LL. MM. NN. 设在处连续,则_________. PP.1 RR.
SS. TT. UU. VV. 设且可导，则（） WW. XX. YY. ZZ. 已知，则（） AAA. 1 BBB. CCC. DDD. 设，则（） EEE. FFF. GGG. HHH. 设,且,则( ) III. 1 JJJ. KKK. LLL.
设,则( ) MMM.99 NNN. OOO. PPP. 曲线在点(0,1)处的切线方程为( ) QQQ. RRR. SSS. TTT. 设，且存在，则等于（） UUU. VVV. WWW. XXX. 设函数可导，则（） YYY. ZZZ. AAAA. BBBB. 一、单项选择题（共20道小题，共100.0分） 函数的反函数是____________.
同济高等数学公式大全 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
北京邮电大学高等数学答案 一、单项选择题（共20道小题，共100.0分） 设的定义域为则的定义域为___________. 函数是定义域内的____________. A.周期函数 B.单调函数 C.有界函数 D.无界函数 设，则__________. 函数的定义域是____________. 设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则是____________. E.无穷大量 F.无穷小量 G.常数 H.不能确定 下列函数中当时与无穷小相比是高阶无穷小的是_________. 时,与为等价无穷小,则__________. I. 1 J.0
K.2 ____________. L. 1 _________. M.0 N. 1 下列计算极限的过程，正确的是____________. 设? 在处连续,则_________. O.0 P.1 Q. 2 设? ,则（?? ） 设且可导，则（?? ） 已知，则（?? ） R. 1
设，则（????? ） 设,且,则(??? ) S. 1 设,则(????? ) T.99 U.99! 曲线在点(0,1)处的切线方程为(?? )设，且存在，则等于（???? ）设函数可导，则（???? ） 一、单项选择题（共20道小题，共100.0分） 函数的反函数是____________. 函数的周期是___________. ?是____________. A.单调函数 B.周期函数 C.有界函数
D.奇函数 函数是___________. E.偶函数 F.奇函数 G.非奇非偶函数 H.既是奇函数又是偶函数 设（为常数），则___________. 设，则__________. 下列各对函数相同的是________. I.与 J.与 K.与 L.与 设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则是____________. M.无穷大量 N.无穷小量 O.常数 P.不能确定
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研高数精华知识点总结：极限的定义 高等数学是考研数学考试中内容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注!
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