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大学概率论与数理统计复习资料

第一章随机事件及其概率

知识点：概率的性质事件运算古典概率

事件的独立性条件概率全概率与贝叶斯公式

常用公式

)

()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= )

,,()

()(211

有限可加性两两互斥设n n

i i n

i i A A A A P A P ∑===)

,(0)()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==)

()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-)

()

()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-))

0(,,()

()/()()()6(211

>Ω=∑=i n n

i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 )

,,()]

(1[1)(211

相互独立时n n

i i n i i A A A A P A P ∏==--=)/()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==)

(/)()/()3(A P AB P A B P =)

()

/()()

/()()/()7(1

逆概率公式∑==

i i

i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A

P n

r A P ==

应用举例

1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （）。

2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （）。

3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（）。

4、若,3.0)(=A P ===)(,

5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （）

。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B -与A 的关系是

（）。

6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（）。 ·

7、某人下午5:00下班。他所积累的资料表明：

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。

（1）试求他在5:40~5:50到家的概率；

（2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}，

i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后则由全概率公式有

)|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P +=

由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P

35.05.03.04.05.0)(2=?+?=B P ；

（2）由贝叶斯公式

35.04.05.0)()()|(22121=?==

B P B A P B A P

8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛

后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。

看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16

第二章随机变量及其分布

知识点：连续型（离散型）随机变量分布的性质

连续型（离散型）随机变量分布（包括随机变量函数的分布）常用分布

重要内容

）（R x x f ∈≥0)( )

()()(12121x F x F x x x F ≤?<单调递增，即）（1

)(lim )(0

)(lim )(2==+∞==-∞+∞

→-∞

→x F F x F F x x ）（)

()0()(3x F x F x F =+右连续，即）（R

x x F ∈≤≤10)4(）（1

=∑i

2．分布律的性质

...)

2,1(,10=≤≤i p i :

1.分布函数的性质

（1）非负性（2）规范性

3.分布密度函数的性质

+∞

=1)(dx x f ~

（1）非负性（2）规范性

4. 概率计算

5.常用分布

）

（或泊松分布

λλπP X X ~)(~)

0,...;1,0(,!

)(>==

=-λλλk e k k X P k

1221()()()

P x X x P X x P X x ∴<≤=≤-≤)

()(a F a X P =≤)

0()()(--==a F a F a X P ?=

≤<21

)()(21x x dx

x f x X x P 0)0()()(=--==a F

a F a X P ?+∞

dx x f X a P )()(?∞

≤a

dx x f a X P )()(为连续型随机变量：X ),(~,~p n b X p n B X ）或（记为二项分布: ),...1,0(,)(n k q

p C k X P k

n k k n ===-泊松定理

)

(,!

)

1(np e k p p C k

n k

=≈

---λλλ

%73.991)3(2}3|{|%

45.951)2(2}2|{|%

27.681)1(2}1|{|=-Φ=?<-=-Φ=?<-=-Φ=?<-∴σμσμσμX P X P X P

…

】

?????≤≤-=，其他

均匀分布

0,1)()

,(~b x a a

b x f b a U X ?

?>≥=-，其他指数分布

0(,0,)()

(~λλλλx e x f E X x )

,(,21

)(),(~2

22)(2

+∞-∞∈?=

x e

x f N X x σμσ

πσμ正态分布?

??-Φ=σμx x F )(5

.0)0()1(=Φ)(1)()2(x x Φ-=-Φ73

.99}3|{|%45.95}2|{|%

27.68}1|{|=?<-=?<-=?<-∴σμσμσμX P X P X P

应用举例

1、设2()(0)x f x ke x -=>是某随机变量的密度函数，则k =（）。

2、设随机变量X 的概率密度为)2

2(,

cos 2

1)(π

+≤≤-

=x x x f ，则

)01(<<-X P ＝（）

。 3、设随机变量X 的分布函数为??

???≥<≤<=.

,1,1,

ln ,

0)(e x e x x x x F 则 @

)2(>X P =（）。 4、设),(~2σμN X

,满足)1()1(-≤=->X P X P 的参数μ=（）。

5、离散型随机变量X 的分布律为11()(1,2,3)!

P X k k c k ===，则c =

（）。

6、土地粮食亩产量（单位：kg ）)60,360(~2N X

.按亩产量高低

将土地分成等级.若亩产量高于420kg 为一级，在360~420kg 间为二级，在315~360kg 间为三等，低于315kg 为四级.求等级Y 的概率分布。(5.0)0(=Φ,8413.0)1(=Φ,7734.0)75.0(=Φ) 解

???????≤≤<≤<<=315

4360315342036024201X X X X

7、110在长度为t 的时间(单位：h)间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为t 2

1的泊松分布,而与时间间隔的起点无关.

求某一天中午12时至下午3时至少收到1次呼救的概率。

解 X 的分布律为),2,1,0(!

)2()(2

=-k k t e k X P k

【

中午12时到下午3时，表明3=t求)1

(≥

8、一批产品由8件正品、2件次品组成。若随机地从中每次抽取一件产品后，无论抽出的是正品还是次品总用一件正品放回去，直到取到正品为止，求抽取次数X的分布律。

解X所有可能的取值为1,2,3

A={第i次取到正品}（3,2,1=i）

看作业习题2: 4，7, 17，20，24，26, 27，28 `

第三章多维随机变量及其分布

知识点：二维连续型（离散型）随机变量分布的性质二维连续型（离散型）随机变量的分布（包括边际分布） <

随机变量的独立性二维常用分布

内容提要

1.概率分布的性质 ~

2.二维概率计算

3.边际密度函数计算

4.常用分布 ~

,2,1,,0=≥j i p ij 离散型非负性1

=∑∑∞=∞

=i j ij

归一性

),(=??+∞∞-+∞∞

-dxdy y x f 连续型归一性

?+∞

∞

;

),()(dy y x f x f X ?+∞

∞

y x f y f Y ),()({(,)}(,)G

P X Y G f x y dxdy

∈=???

?），（1

二维正态分布

5.随机变量的独立性 $

6.正态分布的可加性

)

()(),(y F x F y x F Y X ?=),2,1,( =?=??j i p p p j i ij )

()(),(y f x f y x f Y X ?=2122121

~(,)(1,2)

,~(,)

i i i

n n

n i i

i i N i n N ξμσξξξξξξμσ===++

∑∑设且相互独立则)

,(~),,(~22

2211σμσμN Y N X ),,,,(~),(22

2121ρσσμμN Y X

…

应用举例

1、设()Y X ,的密度函数

()?

?>>=--其他,00

,0,,2y x ke y x f y x 则k =（）。 2、设离散型随机变量

(,)

X Y 的联合分布律为

(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

1/6

1/9

1/18

1/3

X Y P

αβ

且Y X ,相互独立，则（）。

3、某箱中有100件产品，其中一、二、三等品分别为70、20、10件，现从中随机的抽取一件，记???=等品

抽到其它

i X i

10，3

,2,1=i 求（1）1X 和2X 的联合分布律；（2）并求)(21X X P ≠。 4、设随机变量),(Y X 在曲线x y =，x

y =

围成的区域D 里服从

均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。 5、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为？

?????≤≤=其它0

21),(2

2y x y x y x f 求)(X Y P < 6、设随机变量321,,X X X 相互独立，并且均服从正态分布

3,2,1),,(~2

=i N X i

i i σμ，则∑=+=3

~)(i i i i b X a X （）。

看作业习题3： 1,2,3,4,5,6,7,9,10，11,12,13,18

、

第四章随机变量的数字特征

知识点：随机变量的数学期望的性质与计算

随机变量的方差（协方差、相关系数）的性质与计算 [

主要内容

1、数学期望的计算

∑∞

+∞

x xf X E p

x X E X E X i

i )()()().(,1连续型离散型

求的分布已知）（?

∑∞

+∞

=dx

x f x g Y E p

x g Y E Y E X g Y X i

)()()()()().(),(,2连续型离散型

求且的分布已知）（dy

dx y x yf Y E p y

Y E dy

dx y x xf X E p

x X E Y E X E Y X R j

R i

j ij

??∑∑??∑∑=

),()()(),()()(:1).()(,),(4连续型

离散型

连续型

离散型

方法或求的联合分布已知）（dy

dx y x f y x g Z E p

y x g Z E Z E Y X g Z Y X R i

??∑∑=

),(),()(),()().(),,(),(3连续型

离散型

求，且的联合分布已知）（?∑∞

+∞-==

x xf X E p

x X E X i i )()()(,:2.

连续型

离散型

则

先求出边际分布方法

（

2、性质

当随机变量相互独立时

3、方差的计算

4,、方差性质

。

5、协方差与相关系数协方差的计算

EXEY EXY Y X COV -=),(

DY DX

Y X COV XY ρ=),(

)

()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ 1212()()();

()()()

().

n n E XY E X E Y E X X X E X E X E X =?=?2

()()

D X

E X EX =-即2

()()[()]

D X

E X E X =-易证2(2)()()

D aX b a D X +=2

,()()

D aX a D X =特别地(3)()()()2{[()][()]}D

X Y D X D Y E X E X Y E Y ±=+±--(1)()0

D c =,,()()()

X Y D X Y D X D Y ±=+特别地当与独立时12

:,,n X X X 推广当相互独立时有

∑∑===n

i i

n i i DX X D 1

)((,)[()][()]

Cov X Y E X E X Y E Y =--