二次函数及图像练习
一、选择题:
1、[2014·兰州]抛物线3)1(2
--=x y 的对称轴是( )
A 、y 轴
B 直线1-=x
C 、直线1=x
D 、直线3-=x
2、已知x 是实数,且满足01)2)(2(=---x x x ,则相应的二次函数12++=x x y 的值为( )
A 、13或3
B 、7或3
C 、3
D 、13或7或3
3、抛物线432+--=x x y 与坐标轴的交点个数是( )
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0
4、将抛物线342+-=x x y 平移,使它平移后的顶点为(﹣2,4),则需将该抛物线( )
A 、先向右平移4个单位,再向上平移5个单位
B 、先向右平移4个单位,再向下平移5个单位
C 、先向左平移4个单位,再向上平移5个单位
D 、先向左平移4个单位,再向下平移5个单位
5、抛物线32-+=bx ax y 经过点(2,4),则代数式8a +4b +1的值为( )
A 、3
B 、9
C 、15
D 、—15
6、[2014·遵义]已知抛物线bx ax y +=2和直线b ax y +=在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是( ) A B C D
7、如图,平面直角坐标系内二次函数12
+=x y 的图象通过A ,B 两点,且坐标分别为 (a ,
429),(b ,4
29),则AB 的长度为( ) A 、5 B 、425 C 、2
29 D 、229 8、某市举办了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛,在比赛中,某次羽毛球的运动线路可以看做是抛物线
c bx x y ++-=24
1的一部分(如图),其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ,球落地点A 到O 点的距离是4m ,那么这条抛物线的表达式是( )
A 、14
3412++-=x x y
B 、143412-+-=x x y
C 、14
3412+--=x x y D 、143412---=x x y 9、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,
则下列关系正确的是( )
A 、h k n m >=,
B 、h k n m <=,
C 、h k n m =>,
D 、h k n m =<,
10、坐标平面上,若移动二次函数6)176)(175(2+--=x x y 的图象,使其与x 轴交于两点,且此两点的距离为1单位,则移动方式可为下列哪一种( )
A 、向上移动3单位
B 、向下移动3单位
C 、向上移动6单位
D 、向下移动6单位
二、填空题
11、若函数3)2()4(2
2+++-=x k x k y 是二次函数,则k
12、[2015·天津]抛物线322+-=x x y 的顶点坐标是
13、若函数122++=x mx y 的图象与x 轴只有一个公共点,则常数m 的值是
14、抛物线c bx x y ++=2的图象如图所示,则它关于y 轴对称的抛物线表达式是
(第14题图) (第15题图) (第16题图)
15、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,有下列5个结论:①abc <0;②b <a +c ;③4a +2b +c >0;④2c <3b ;⑤a +b <m (am +b )(m ≠1的实数),其中正确结论的序号有
16、如图,抛物线的顶点为P (—2,2),与y 轴交于点A (0,3),若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移
动到‘P (2,—2),点A 的对应点为’A ,则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为
三、解答题
17、已知二次函数c x ax y +-=32,当2-=x 时,函数值是1-;当1=x 时,函数值是4-.求这个二次函数的表达式。
18、如图,抛物线4)1(2
+-=x a y 与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,过点C 作CD ∥x 轴交抛物线的
对称轴于点D ,连结BD ,已知点A 的坐标为(1-,0).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求梯形COBD 的面积.
19、已知某二次函数图象的顶点是)21(,-,且过点)230(, (1)求此抛物线的表达式; (2)求证:对任意实数m ,点(m ,2m -)都不在这个
二次函数的图象
上.
20、现将抛物线c bx ax y ++=2先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,的到抛物线122
12++-=x x y .求原抛物线的表达式. 21、如图,二次函数c bx x y ++=2的图象经过点M (1,2-),N (1-,6).
(1)求二次函数c bx x y ++=2的表达式;
(2)把Rt △ABC 放在坐标系内,其中∠CAB=90°,点A ,B 的坐标分别为点(1,0),
(4,0),BC=5.将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在抛物线上时,求△ABC 平移的距离.
22、如图,抛物线221+-=x y 向右平移1个单位得到抛物线2y ,回答下列问题:
(1)抛物线2y 的顶点坐标为 ;
(2)阴影部分的面积S= ;
(3)若再将抛物线2y 绕原点O 旋转180°得到抛
物线3y ,求抛物线3y 的表达式.
23、对于二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ,如果
当x 取任意整数时,函数值y 都是整数,那么我们把该函数
的图象叫做整点抛物线,例如:222++=x x y .
(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的表达式 (不必证明);
(2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于
2
1的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的表达式;若不存在,请说明理由.
24、已知抛物线)0(322≠++=a x ax y 有如下两个特点:①无论实数a 怎么变化其顶点都在某一条直线l 上;②若把顶点的横坐标减少
a 1,纵坐标增加a 1分别作为点A 的横、纵坐标,把顶点的横坐标增加a 1,纵坐标增加a
1分别作为点B 的横、纵坐标,则A ,B 两点也在抛物线)0(322≠++=a x ax y 上. (1)求出当实数a 变化时,抛物线)0(322≠++=a x ax y 的顶点所在直线l 的表达式;
(2)请找出在直线l 上但不是该抛物线顶点的所有点,并说明理由;
(3)你能根据特点②的启示,对一般二次函数
)0
(
2≠
+
+
=a
c
bx
ax
y提出一个猜想吗?请用数字语言把
你的猜想表达出来,并给予证明.
23、
24、
初中数学试卷
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位,得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ,顶点坐标为 ________ ,它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ,对称轴为 ,顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位,就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位,就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ,函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同,?开口方向相同,则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时,?有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时,函数值相等,则x 取x 什X 2时,函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元,则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中,错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交; 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同,位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3 教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线 h x =. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中,c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0c ,与y 轴交于正半轴;③0 最新初中数学二次函数单元汇编含解析(3) 一、选择题 1.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表: 下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球飞行路线的对称轴是直线 9 2 t ; ③足球被踢出9s时落地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解:由题意,抛物线的解析式为y=ax(x﹣9),把(1,8)代入可得a=﹣1, ∴y=﹣t2+9t=﹣(t﹣4.5)2+20.25, ∴足球距离地面的最大高度为20.25m,故①错误, ∴抛物线的对称轴t=4.5,故②正确, ∵t=9时,y=0,∴足球被踢出9s时落地,故③正确, ∵t=1.5时,y=11.25,故④错误,∴正确的有②③, 故选B. 2.二次函数y=x2+bx的对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣1<x<4的范围内有解,则t的取值范围是() A.0<t<5 B.﹣4≤t<5 C.﹣4≤t<0 D.t≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b,确定二次函数解析式,关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0的解可以看成二次函数y=x2﹣4x与直线y=t的交点,﹣1<x<4时﹣4≤y<5,进而求解; 【详解】 解:∵对称轴为直线x=2, ∴b=﹣4, ∴y=x2﹣4x, 关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0的解可以看成二次函数y=x2﹣4x与直线y=t的交点, 人教版九年级数学二次函数实际问题(含答案) 一、单选题 2+2t,则当t=4t(米)与时间(秒)的关系式为s=5t时,该物体所经1.在一定条件下,若物体运动的路程s过的路程为][ A.28米 B.48米 C. 68米 米.88 D2 +bx+c的图象过点(1,0)……2.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:y=ax 求证这个二次函数的,题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称.][ A.过点(3,0) B.顶点是(2,-1) C.在x轴上截得的线段的长是3 3)(0,D.与y轴的交点是3.某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m,离地面m,则水流落地点BM垂直),如图,如果抛物线的最高点离墙 A.2m B.3m C .4 m m5 D. 之间的函数关系式是,则该运与水平距离4.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
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