第5章频域分析法 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 思考与习题祥解 题判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。
《机电系统控制基础》大作业一 基于MATLAB的机电控制系统响应分析 哈尔滨工业大学 2013年11月4日
1 作业题目 1. 用MATLAB 绘制系统2 ()25()() 425 C s s R s s s Φ== ++的单位阶跃响应曲线、单位斜坡响应曲线。 2. 用MATLAB 求系统2 ()25 ()()425 C s s R s s s Φ==++的单位阶跃响应性能指标：上升时间、峰值时间、调节时间和超调量。 3. 数控直线运动工作平台位置控制示意图如下： X i 伺服电机原理图如下： L R (1)假定电动机转子轴上的转动惯量为J 1，减速器输出轴上的转动惯量为J 2，减速器减速比为i ，滚珠丝杠的螺距为P ，试计算折算到电机主轴上的总的转动惯量J ； (2)假定工作台质量m ，给定环节的传递函数为K a ，放大环节的传递函数为K b ，包括检测装置在内的反馈环节传递函数为K c ，电动机的反电势常数为K d ，电动机的电磁力矩常数为K m ，试建立该数控直线工作平台的数学模型，画出其控制系统框图； (3)忽略电感L 时，令参数K a =K c =K d =R=J=1，K m =10，P/i =4π，利用MATLAB 分析kb 的取值对于系统的性能的影响。
2 题目1 单位脉冲响应曲线 单位阶跃响应曲线
源代码 t=[0:0.01:1.6]; %仿真时间区段和输入 nC=[25]; dR=[1,4,25]; fi=tf(nC,dR); %求系统模型 [y1,T]=impulse(fi,t); [y2,T]=step(fi,t); %系统响应 plot(T,y1); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; plot(T,y2); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; %生成图形 3 题目2 借助Matlab，可得： ans = 0.4330 0.6860 25.3826 1.0000 即
第五章 频域分析法 时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。 本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。 5.1 频率特性 对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号 t U t u ωsin )(= (5—1) 则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即 ) t Y t y ?ω+=sin()( (5—2) u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。 不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式 ) () () () () ())(() ()()()(1 21s A s B p s s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n = +=+++== ∏=Λ (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)； n p p p ---,,,21Λ—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。 由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表) ) )(()(22ωωω ωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4）
实验名称： 控制系统的频域分析 实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求 用计算机辅助分析的方法，掌握频率分析法的三种方法，即Bode 图、Nyquist 曲线、Nichols 图。 二、实验内容和原理 （一）实验原理 1．Bode(波特)图 设已知系统的传递函数模型： 1 1211121)(+-+-+???+++???++=n n n m m m a s a s a b s b s b s H 则系统的频率响应可直接求出： 1 1211121)()()()()(+-+-+???+++???++=n n n m m m a j a j a b j b j b j H ωωωωω MATLAB 中，可利用bode 和dbode 绘制连续和离散系统的Bode 图。 2．Nyquist(奈奎斯特)曲线 Nyquist 曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制幅相轨迹，根据开环的Nyquist 线，可判断闭环系统的稳定性。 反馈控制系统稳定的充要条件是，Nyquist 曲线按逆时针包围临界点(-1，j0)p 圈，为开环传递函数位于右半s 一平面的极点数。在MATLAB 中，可利用函数nyquist 和dnyquist 绘出连续和离散系统的乃氏曲线。 3．Nicho1s(尼柯尔斯)图 根据闭环频率特性的幅值和相位可作出Nichols 图，从而可直接得到闭环系统的频率特性。在 MATLAB 中，可利用函数nichols 和dnichols 绘出连续和离散系统的Nichols 图。 （二）实验内容 1．一系统开环传递函数为 ) 2)(5)(1(50)(-++=s s s s H 绘制系统的bode 图，判断闭环系统的稳定性，并画出闭环系统的单位冲击响应。 2．一多环系统 ) 10625.0)(125.0)(185.0(7.16)(+++=s s s s s G 其结构如图所示 试绘制Nyquist 频率曲线和Nichols 图，并判断稳定性。 （三）实验要求
501 第五章 线性系统的频域分析法 5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为 )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ， 根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 5-2 若系统的单位阶跃响应 t t e e t c 948.08.11)(--+-=， 试确定系统的频率特性。 解：s s s s C 1 361336)(2++= ，36 1336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=； 2 /122/12) 81()16(36 |)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。 或：)(2.7)()(94t t e e t c t g ---== ；36 1336 )]([)(2 ++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号 )452cos()30sin()( --+=t t t r 作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。 解：2 1)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()( +-+=t t t r 6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ； 7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。 5-4 典型二阶系统的开环传递函数 ) 2()(2 n n s s s G ωζω+= ， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为 )45sin(2)( -=t t c ss ， 试确定系统参数n ω和ζ。 解：2 222)(n n n s s s ωζωω++=Φ； 1] 4)1[(2 2222=+-n n n ωζωω， 451 2arctan 2 -=--n n ωζω； 122 -=n n ωζω， 答案：414.12==n ω，3536.04/2==ζ。
五 频域分析法 2-5-1 系统单位阶跃输入下的输出)0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t c t t ,求系统的频率特 性表达式。 【解】： 9 8 .048.11 )]([L )(1++ +-==-s s s t c s C 闭环传递函数 )9)(4(36 198 .048.11)()()(++=++ +-==s s s s s s s R s C s G ) 9 tg 4 (tg 221 181 1636 )9)(4(36)(ωω ωωωωω--+-+?+=++=j e j j j G 2-5-2 环系统时，系统的稳态输出 （1）)30sin()(0+=t t r ； （2）)452cos(2)(0+=t t r ； （3）)452cos(2)30sin()(00--+=t t t r 。 【解】：求系统闭环传递函数 5 tg 2125 4 )5(4)(5 4)(1)()()()(1 4 )(ω ωωω--+=+=+= +== += j B K K B K e j j G s s G s G s R s C s G s s G 根据频率特性的定义，以及线性系统的迭加性求解如下： （1）?===30,1,11θωr A ? --=== =-3.115 1tg )1(178.0264)1()(1 j j j B e e e A j G θωω [])7.18sin(78.0)1(sin )1()sin()(12?+=++=+=t t A A t A t c r c s θθθ （2）?===45,2,21θωr A
?--==+= -8.215 2tg 274.025 44)(1 j j B e e j G ωω )2.232cos(48.1)(?+=t t c s （3）)8.662cos(48.1)7.18sin(78.0)(?--?+=t t t c s 2-5-3 试求图2-5-3所示网络的频率特性，并绘制其幅相频率特性曲线。 【解】：（1）网络的频率特性 1)(111 )(212212+++=+ ++ =ωωωωωC R R j C jR C j R R C j R j G （2）绘制频率特性曲线 ) tg (tg 2 221212111 1 )(1)(1 1 )(ωωωωωωωT T j e T T jT jT j G ---++= ++= 其中1221221,)(,T T C R R T C R T >+==。 起始段，?===0)(,1)(,0ωθωωA 。 中间段，由于12T T >，)(ωA 减小，)(ωθ先减小后增加，即曲线先顺时针变化，再逆时针变化。 终止段，?→<= ∞→∞ →0)(,1)(lim , 2 1 ωθωωωT T A 。 网络幅相频率特性曲线如题2-5-3解图所示。 【解】：系统闭环传递函数为 K s Ts K s G s G s R s C s G K K B ++=+== 2)(1)()()()( 10=ω时系统频率特性为 ()) (10010tg 210 210)(100 )100(10 100)()(1 ωθωωωω ωωj T K j e A e T K K j T K K j T K K j G =+-= +-= +-= --==- 题2-5-3图 1 R ++- - 题2-5-3解图
第5章频域分析法 5.1 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 5.2 思考与习题祥解 题5.1 判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。
第5章 用MATLAB 进行控制系统频域分析 一、基于MATLAB 的线性系统的频域分析基本知识 （１）频率特性函数)(ωj G 。 设线性系统传递函数为： n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b s G ++???++++???++=---1101110)( 则频率特性函数为： n n n n m m m m a j a j a j a b j b j b j b jw G ++???++++???++=---)()()()()()()(1101110ωωωωωω 由下面的MATLAB 语句可直接求出G(jw)。 i=sqrt(-1) % 求取-1的平方根 GW=polyval(num ，i*w)./polyval(den ，i*w) 其中（num ，den ）为系统的传递函数模型。而w 为频率点构成的向量，点右除（./）运算符表示操作元素点对点的运算。从数值运算的角度来看，上述算法在系统的极点附近精度不会很理想，甚至出现无穷大值，运算结果是一系列复数返回到变量GW 中。 （２）用MATLAB 作奈魁斯特图。 控制系统工具箱中提供了一个MATLAB 函数nyquist( )，该函数可以用来直接求解Nyquist 阵列或绘制奈氏图。当命令中不包含左端返回变量时，nyquist （）函数仅在屏幕上产生奈氏图，命令调用格式为： nyquist(num,den) nyquist(num,den,w) 或者 nyquist(G) nyquist(G,w) 该命令将画出下列开环系统传递函数的奈氏曲线： ) () ()(s den s num s G = 如果用户给出频率向量w,则w 包含了要分析的以弧度/秒表示的诸频率点。在这些频率点上，将对系统的频率响应进行计算，若没有指定的w 向量，则该函数自动选择频率向量进行计算。 w 包含了用户要分析的以弧度/秒表示的诸频率点,MATLAB 会自动计算这些点的频率响应。 当命令中包含了左端的返回变量时，即: [re,im,w]=nyquist(G) 或
控制系统时域与频域性能指标的联系 经典控制理论中，系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法。时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型，以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解。这种方法虽然直观，分析时域性能十分有用，但是方法的应用需要两个前提，一是必须已知控制系统的闭环传递函数，另外系统的阶次不能很高。 如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高，就需采用频域分析法。频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法，而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。 在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法，从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的。 系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义。 一、系统的时域性能指标 延迟时间t d 阶跃响应第一次达到终值h (∞)的50%所需的时间 上升时间 t r 阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；对有振荡的系 统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间 峰值时间t p 阶跃响应越过终值h (∞)达到第一个峰值所需的时间 调节时间 t s 阶跃响应到达并保持在终值h (∞)的±5%误差带内所需的最短时间 超调量%σ 峰值h( t p )超出终值h (∞)的百分比，即 %σ= () ()() ∞∞-h h h t p ?100% 二、系统频率特性的性能指标 采用频域方法进行线性控制系统设计时，时域内采用的诸如超调量，调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用，需要在频域内定义频域性能指标。
实验四 专业 自动化 班号 03班 指导教师 陈艳飞 姓名 胡波 实验名称 线性系统的频域分析 实验日期 第 次实验 一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。 二、实验内容 1．典型二阶系统 2 2 22)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 解: 程序如下: num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den1,w) grid hold bode(num,den2,w) bode(num,den3,w) bode(num,den4,w) bode(num,den5,w)
-100-80-60-40-200 20M a g n i t u d e (d B )10 -2 10 -1 10 10 1 10 2 10 3 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 分析：随着.0=ζ的增大 ,伯德图在穿越频率处的尖峰越明显,此处用渐近线代替时误差越大. 2．系统的开环传递函数为 ) 5)(15(10 )(2+-= s s s s G ) 106)(15() 1(8)(22++++= s s s s s s G ) 11.0)(105.0)(102.0() 13/(4)(++++= s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图和Nichols 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 解: 程序如下 奈氏曲线: (1) num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); w=logspace(-1,1,100); nyquist(num1,den1,w)
课程名称： 控制理论乙 指导老师： 成绩：__________________ 实验名称： 控制系统的频域分析 实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求 用计算机辅助分析的方法，掌握频率分析法的三种方法，即Bode 图、Nyquist 曲线、Nichols 图。 二、实验内容和原理 （一）实验原理 1．Bode(波特)图 设已知系统的传递函数模型： 1 1 211 121)(+-+-+???+++???++=n n n m m m a s a s a b s b s b s H 则系统的频率响应可直接求出： 1 1 211 121)()()()()(+-+-+???+++???++=n n n m m m a j a j a b j b j b j H ωωωωω MATLAB 中，可利用bode 和dbode 绘制连续和离散系统的Bode 图。 2．Nyquist(奈奎斯特)曲线 Nyquist 曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制幅相轨迹，根据开环的Nyquist 线，可判断闭环系统的稳定性。 反馈控制系统稳定的充要条件是，Nyquist 曲线按逆时针包围临界点(-1，j0)p 圈，为开环传递函数位于右半s 一平面的极点数。在MA TLAB 中，可利用函数nyquist 和dnyquist 绘出连续和离散系统的乃氏曲线。 3．Nicho1s(尼柯尔斯)图 根据闭环频率特性的幅值和相位可作出Nichols 图，从而可直接得到闭环系统的频率特性。在 MATLAB 中，可利用函数nichols 和dnichols 绘出连续和离散系统的Nichols 图。 （二）实验内容 1．一系统开环传递函数为 ) 2)(5)(1(50 )(-++= s s s s H 绘制系统的bode 图，判断闭环系统的稳定性，并画出闭环系统的单位冲击响应。 2．一多环系统 ) 10625.0)(125.0)(185.0(7.16)(+++= s s s s s G 其结构如图所示 试绘制Nyquist 频率曲线和Nichols 图，并判断稳定性。
第5章 控制系统的频域分析 时域分析法具有直观、准确的优点，主要用于分析线性系统的过渡过程。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不容易实现。 本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。频域法是通过分析不同谐波的输入时系统的稳态响应，故又称为频率响应法。利用此方法，将传递函数从复域引到具有明确物理概念的频域来分析系统的特性。 频率分析的优点较多。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去确定系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求，并且可以同时确定系统工作的频率范围。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，采用频率特性可以较方便地解决此类问题。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。 控制系统的时域分析法和频域分析法，作为经典控制理论的两个重要组成部分，既相互渗透，又相互补充，在控制理论中占有重要地位。频率特性具有较强的直观性和明确的物理意义，可用实验的方法测量系统的频率响应，因此，频率特性分析的方法在控制工程中广泛应用。 频率特性的定义是以输入信号为谐波信号给出的。当输入信号为周期信号时，可将其分解为叠加的频谱离散的谐波信号；当输入信号为非周期信号时，可将非周期信号看成周期为无穷大的周期信号，因此，非周期信号分解为叠加的频谱连续的谐波信号。这样一来，就可用关于系统对不同频率的谐波信号的响应特性研究，取代关于系统对任何信号的响应特性的研究。 5.1频率特性概述 5.1.1频率特性的基本概念 1频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦输出响应称为频率响应。 为了说明频率响应，先看一个RC 电路，如图5-1（R-C 电路）所示。设电路的输入、输出电压分别为()r u t 和()c u t ，电路的传递函数为 ()1 ()()1 c r U s G s U s Ts = =+ 式中，RC T =为电路的时间常数。 若给电路输人一个振幅为X 、频率为ω的正弦信号 C ) t (u r ) t (u c 图5-1 R-C 电路
第五章 连续系统的复频域分析习题解答 5-1. 画出下列各序列的图形： 。 )2()( )6( );()()( )5( );()()( )4(; 0 ,)2(30 ,2)( )3( );1()12()( )2( );2()( )1(16315324321k f k f k f k f k f k f k f k f k k k k f k k f k k k f k k -==+=???<+=++=+=- εε 5-2 写出图示各序列的表达式。 解： ) 6()3(2)()( )d ( )1() 1()( )c ()]6()3([2)( )b ( )]5()1()[1()( )a (41 321---+-=--=---=----=-k k k k f k k f k k k f k k k k f k εεεεεεεε 5-3. 判断以下序列(A 、B 为正数)是否为周期序列，若是周期序列，试求其周 期。)(sin )( )3( )( ) 2( )8 73cos()( )1(08)(k k A k f e k f k B k f k j εωπππ==-=- 解：; 14 , , 3 14)732( )1(=∴=T 且它为周期序列为有理数ππ (a) (b)
. , )( )3(; , 16)812( )2(它为非周期序列为单边函数它为非周期序列为无理数∴∴=k f ππ 5-4. 解：)]1()1()([1)(1100 ---+=k y b k f a k f a b k y 即：)1()()1()(1010-+=-+k f a k f a k y b k y b ，为一阶的。 5-5. 列写图示系统的差分方程， 指出其阶次。 解：)1()()2()1( )(1021-+=----k f a k f a k y b k y b k y ，二阶的。 5-6. 如果在第k 个月初向银行存款x (k )元，月息为 ，每月利息不取出，试用 差分方程写出第k 个月初的本利和y (k )，设x (k ) 10元， 0.0018，y (0) 20元，求y (k )，若k 12，则y (12)为多少。 解：)()1()1()( )1()1()()(k x k y k y k y k x k y =-+-?-++=αα 元63.1415.5555)0018.1(5 .5575)12(5.5555)0018.1(5.5575)(5.55755.5555205.5555)0018.1()(5.5555)(5 .55510 100018.110 , 10)( ),0018.1()(0018.1 00018.1 10)1(0018.1)(121 11 00010=-=?-=?=?-=?-=?-=?-=?=?-===?=-?=-- y k y C C C k y k y A A A A k y C k y k y k y k k d d k λλ 5-7. 设x (0)，f (k )和y (k )分别表示离散时间系统的初始状态、输入序列入和输 出序列，试判断以下各系统是否为线性时不变系统。 ) (8)0(6)( )4( )(8)0(6)( )3()()( )2( )672sin()()( )1(2 k f x k y k f k x k y i f k y k k f k y k i +=+==+=∑-∞ =ππ 解：(1)满足齐次性和可加性，为线性系统，但显然不是时不变系统； (2)累加和满足齐次性、可加性和时不变性，为线性时不变性系统； (3)不满足齐次性、可加性和时不变性，不是线性时不变性系统； (4)虽满足时不变性，但不满足齐次性、可加性，不是线性时不变性系统； )
课程名称： 控制理论乙 指导老师： 成绩： 实验名称： 控制系统的频域分析 实验类型： 同组学生姓名： 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 一、实验目的和要求 用计算机辅助分析的方法，掌握频率分析法的三种方法，即Bode 图、Nyquist 曲线、Nichols 图。 二、实验内容和原理 1. 实验内容 （1）一系统开环传递函数为 ) 2)(5)(1(50 )(-++= s s s s H 绘制系统的bode 图，判断闭环系统的稳定性，并画出闭环系统的单位冲击响应。 （2）一多环系统 ) 10625.0)(125.0)(185.0(7.16)(+++= s s s s s G 其结构如图所示 试绘制Nyquist 频率曲线和Nichols 图，并判断稳定性。 2. 实验原理 （1）Bode(波特)图 设已知系统的传递函数模型： 1 1 211 121)(+-+-+???+++???++=n n n m m m a s a s a b s b s b s H 则系统的频率响应可直接求出： 1 1 211 121)()()()()(+-+-+???+++???++=n n n m m m a j a j a b j b j b j H ωωωωω MATLAB 中，可利用bode 和dbode 绘制连续和离散系统的Bode 图。 （2）Nyquist(奈奎斯特)曲线 Nyquist 曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制幅相轨迹，根据开环的Nyquist 线，可判断闭环系统的稳定性。
控制系统时域与频域性能指标的联系 经典控制理论中，系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法。时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型，以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解。这种方法虽然直观，分析时域性能十分有用，但是方法的应用需要两个前提，一是必须已知控制系统的闭环传递函数，另外系统的阶次不能很高。 如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高，就需采用频域分析法。频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法，而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。 在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法，从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的。 系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义。一、系统的时域性能指标
延迟时间t d 阶跃响应第一次达到终值h(∞)的 50%所需的时间 上升时间 t r 阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；对有振荡的系统， 也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间 峰值时间t p 阶跃响应越过终值h(∞)达到第一个峰值所需的时间 调节时间 t s 阶跃响应到达并保持在终值h(∞)的±5%误差带内所需的最短时间 超调量%σ 峰值h( t p )超出终值h(∞)的百分比，即 %σ= () ()() ∞∞-h h h t p ?100% 二、系统频率特性的性能指标 采用频域方法进行线性控制系统设计时，时域内采用的诸如超调量，调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用，需要在频域内定义频域性能指标。 1、零频振幅比M(0)：即ω为0时闭环幅频特性值。它反映了系统 的稳态精度， M(0)越接近于1，系统的精度越高。M(0)≠1时，表明系统有稳态误差。 2、谐振峰值Mr ：为幅频特性曲线的A(ω)的最大值。一般说来，Mr 的大小表明闭环控制系统相对稳定性的好坏。Mr 越大，表明系统对某个频率的正弦信号反映强烈，有共振倾向，系统的平稳性较差，相应阶跃响应的超调量越大。对应的ωr 为谐振频率。 3、谐振频率ωr ：出现最大值Mmax 时对应的频率。 4、带宽 b ω 幅频特性下降至零频幅比的70.7﹪，或下降3dB 时对应的频率称为带宽（也成为闭环 截止频率）。带宽用于衡量控制系统的快速性，带宽越宽，表明系统复现快速变化信号的能力越强，阶跃响应的上升时间和调节时间就越短。带宽是控制系统及控制元件的重要性能指标。 三、闭环频域性能指标与时域性能指标的关系 1、二阶系统的相互联系
第五章 线性系统的频域分析法 思考题 5-1 已知系统如图5-1 ])2)(1(/[1,221K s s s G s G +++=+= 试用奈氏判据确定使系统稳定的K 值范围。 讨论题 5-1 单位反馈系统开环幅相特性如图5-2所示， 当输入2t 2 1t 51)t (r ++=时，系统稳态误差 125.0e ss -=，试确定系统临界稳定时的K 值。 5-2 已知系统结构如图5-3所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 图5-2 图5-3 作业题 5-1 设系统结构图如图5-4所示，试确定输入信号 ｒ（ｔ）＝ｓｉｎ（ｔ＋３０°）－ｃｏｓ（２ｔ－４５°） 作用下，系统的稳态误差ｅss(ｔ)。 图 5-4 控制系统结构图 1G 2G r c -5 -3 -1 -2 ω j 0 ) a s 2s (s )1s (52-++ R(s) c(s)
5-2 典型二阶系统的开环传递函数为 )2s (s )s (G n 2n ζω+ω= 当取r(t)=2sint 时，系统的稳态输出为ｃss(t)＝２sin(t-45°) 试确定系统参数ωｎ、ζ。 5-3已知系统开环传递函数 ;)1Ts (s )1s (K )s (H )s (G 2++τ= （Ｋ、τ、Ｔ＞０） 试分析并绘制τ＞Ｔ和T ＞τ情况下的概略开环幅相曲线。 5-4 已知系统开环传递函数为 )1s T (s )1s T (K )s (G 12++-=;（Ｋ、Ｔ1、Ｔ2＞０） 当取ω＝１时， o 180)j (G -=ω∠,|Ｇ(ｊω)|＝０.５。当输入为单位速度信号时，系统 的稳态误差为0.1，试写出系统开环频率特性表达式G(ｊω)。 5-5 已知系统开环传递函数为 ) 1s 5.0s )(1s 2(s 10)s (H )s (G 2+++= 试分别计算ω＝０.５和ω＝２时，开环频率特性的幅值A(ω)和相位φ（ω）。 5-6 绘制下列传递函数的对数幅频渐近特性曲线： (1) ) 1s 8)(1s 2(2)s (G ++= （2）)12s )(1s s (s )11.0s ( 8)s (G 2++++= 5-7 已知最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线如图5-5所示，试确定系统的开环传递函数。
实验三·线性系统的频域分析 一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。 二、实验内容 1.典型二阶系统 222()2n n n G s s s ωζωω=++ 绘制出6n ω=，0.1ζ=，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 2.系统的开环传递函数为 210()(51)(5)G s s s s = -+ 228(1) ()(15)(610)s G s s s s s +=+++ 4(/31)()(0.021)(0.051)(0.11) s G s s s s s +=+++ 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图和Nichols 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 3.已知系统的开环传递函数为21()(0.11) s G s s s +=+。求系统的开环截止频率 穿越频率、幅值裕度和相位裕度。应用频率稳定判据判定系统的稳定性。 三、实验内容及分析 1. 系统1：222()2n n n G s s s ωζωω=++中6n ω=，（1）0.1ζ=时 Matlab 文本如下： num=[36 0 0]; den=[1 1.2 36];
w=logspace(-2,3,100); bode(num,den,w) Grid 得到图像： 同理，得到其他值情况下的波特图：ξ=0.3时 ξ=0.5时
ξ=0.8时 ξ=2时
从上面的图像中可以看出：随着ξ的不断增大，波特图中震荡的部分变得越来越平滑。而且，对幅频特性曲线来说，其上升的斜率越来越慢；对相频特性曲线来说，下降的幅度也在变缓。 2. 开环传递函数1：210()(51)(5) G s s s s =-+ 奈奎斯特图函数及图像如下： num=[0 10]; den=[conv([5,-1],[1,5]),0,0]; [z,p,k]=tf2zp(num,den); p nyquist(num,den) 结果：p =0 -5.0000 0.2000
第五章 幅度调制系统 5-1以占空比为1:1、峰 — 峰值为2m A 的方波为调制信号，对幅度为A 的正弦载波进行标准幅度调制，试 ① 写出已调波()AM S t 的表示式，并画出已调信号的波形图； ② 求出已调波的频谱()AM S ω, 并画图说明。 解：① 令方波信号为2 ()(1)2 m m T A nT t nT f t T A nT t n T ? + <<+??=??- +<<+?? 0,1,2,...n = ± ± ，则 000 ()cos 2 ()[()]cos ()cos (1)2 m AM m T A A t nT t nT s t A f t t T A A t nT t n T ωωω? + ≤<+??=+=??- +≤<+?? 其中0,1,2,...n = ± ± 。 ② 取方波信号一个周期的截断信号02 ()0 2 m T m T A t f t T A t ? + <
第五章 频率特性法 5-1．已知某些部件的对数幅频特性曲线如图5-51所示，试写出它们的传递函数)(s G ，并计算出各环节参数值。 解：()a .1 ()1 K G s s ω= +，由20lg 20K =，10K =，110ω=，则10 ()0.11 G s s = + ()b .1 ()10.11s G s s ω=+=+ ()c .1 0.1()0.0511 Ks s G s s s ω= =++ ()d .2 2 50 ()(0.011) (1)K G s s s s s ω = = ++ ()e .1 2 100 ()(1001)(0.011)( 1)(1) K G s s s s s s s ωω= =++++ ()f .1 2 100 ()(1)(0.11) ( 1)( 1) K G s s s s s ωω= =++++
()g .2 2 2222 31.6644()2189644n n n K G s s s s s ωξωω?==++++ 其中n ω，ξ 由r ωω= r M = 得0.147ξ=，644n ω= ()h .2 2 222210 3.55()20.852 3.55n n n K G s s s s s ωξωω?==++++ 0.12ξ= 3.55n ω= ()i 2 2 222210050()(2)(3050) n n n K G s s s s s s s ωξωω?==++++由20lg 2 4.85ξ-=， r ωω=得n ω，ξ 0.298 0.3ξ=≈，50n ω=。 5-2．概略画出下列传递函数的幅相频率特性曲线 (1) ) 1()(+=Ts s K s G (2) ) 1()(2+= Ts s K s G (3) ) 1()(3+= Ts s K s G 解 (1)()()(1)K G s G j s Ts ω= ?= +， 1()90G j tg T ωω-∠=-- 取特殊点： 0ω=时，()G j ω=∞，()90G j ω∠=- ω=∞时，()0G j ω=，()180G j ω∠=- (2) 2()()(1)K G s G j s Ts ω= ?=+，1 ()180G j tg T ωω-∠=-- 取特殊点： 0ω=时，()G j ω=∞，()180G j ω∠=-