（二）t 检验
当总体呈正态分布，如果总体标准差未知，而且样本容量n <30，那么这时一切可能的样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t 分布。
t 检验是用t 分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。t 检验分为单总体t 检验和双总体t 检验。
1.单总体t 检验
单总体t 检验是检验一个样本平均数与一已知的总体平均数的差异是否显 著。当总体分布是正态分布，如总体标准差σ未知且样本容量n <30，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t 分布。检验统计量为：
X t μ
σ-=
。
如果样本是属于大样本（n >30）也可写成：
X t μ
σ-=
。
在这里，t 为样本平均数与总体平均数的离差统计量； X 为样本平均数； μ为总体平均数； X σ为样本标准差；
n 为样本容量。
例：某校二年级学生期中英语考试成绩，其平均分数为73分，标准差为17分，期末考试后，随机抽取20人的英语成绩，其平均分数为79.2分。问二年级学生的英语成绩是否有显著性进步？
检验步骤如下：
第一步 建立原假设0H ∶μ=73 第二步 计算t 值
79.273
1.6317X t μ
σ--=
=
= 第三步 判断
因为，以0.05为显著性水平，119df n =-=，查t 值表，临界值
0.05(19) 2.093t =，而样本离差的t =1.63小与临界值2.093。所以，接受原假设，
即进步不显著。
2.双总体t 检验
双总体t 检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显著。双总体t 检验又分为两种情况，一是相关样本平均数差异的显著性检验，用于检验匹配而成的两组被试获得的数据或同组被试在不同条件下所获得的数据的差异性，这两种情况组成的样本即为相关样本。二是独立样本平均数的显著性检验。各实验处理组之间毫无相关存在，即为独立样本。该检验用于检验两组非相关样本被试所获得的数据的差异性。
现以相关检验为例，说明检验方法。因为独立样本平均数差异的显著性检验完全类似，只不过0r =。
相关样本的t 检验公式为：
X X t =
在这里，1X ，2X 分别为两样本平均数；
1
2X σ，22
X σ分别为两样本方差； γ为相关样本的相关系数。
例：在小学三年级学生中随机抽取10名学生，在学期初和学期末分别进行了两次推理能力测验，成绩分别为79.5和72分，标准差分别为9.124,9.940。问两次测验成绩是否有显著地差异？
检验步骤为：
第一步 建立原假设0H ∶1μ=2μ 第二步 计算t 值
t =
=3.459。
第三步 判断
根据自由度19df n =-=，查t 值表0.05(9) 2.262t =，0.01(9) 3.250t =。由于实际计算出来的t =3.495>3.250=0.01(9)t ，则0.01P <，故拒绝原假设。
结论为：两次测验成绩有及其显著地差异。 由以上可以看出，对平均数差异显著性检验比较复杂，究竟使用Z 检验还是使用t 检验必须根据具体情况而定，为了便于掌握各种情况下的Z 检验或t 检验，我们用以下一览表图示加以说明。
σ已知时，用X Z μ
σ
-=
单总体
σ未知时，用(1)X t df n S μ
-=
=- 在这里，S 表示总体标准差的估计量，它与样本标准差X σ的关系是： X S =
1σ，2σ已知且是独立样本时，用X X =
是独立大样本时，用Z =
双总体
σ，2σ未知
是独立小样本时，用X X t =
12(2)df n n =+- 是相关样本时，用X X t =
(1)df n =-
以上对平均数差异的显著性检验的理论前提是假设两个总体的方差是相同的，至少没有显著性差异。对两个总体的方差是否有显著性差异所进行的检验称为方差齐性检验，即必须进行F 检验。
两独立样本T检验 目的：利用来自两个总体的独立样本，推断两个总体的均值是否存在显著差异。 检验前提： 样本来自的总体应服从或近似服从正态分布； 两样本相互独立，样本数可以不等。 两独立样本T检验的基本步骤： 提出假设 原假设H_0：μ_1-μ_2=0 备择假设H_1：μ_1-μ_2≠0 建立检验统计量 如果两样本来自的总体分别服从N(μ_1,σ_1^2 )和N(μ_2,σ_2^2 )，则两样本均值差(x_1 ) ?-x ?_2应服从均值为μ_1-μ_2、方差为σ_12^2的正态分布。 第一种情况：当两总体方差未知且相等时，采用合并的方差作为两个总体方差的估计，为：s^2=((n_1-1) s_1^2+(n_2-1) s_2^2)/(n_1+n_2-2) 则两样本均值差的估计方差为： σ_12^2=s^2 (1/n_1 +1/n_2 ) 构建的两独立样本T检验的统计量为： t= ((x_1 ) ?-x ?_2)/√(s^2 (1/n_1 +1/n_2 ) ) 此时，T统计量服从自由度为n_1+n_2-2个自由度的t分布。 第二种情况：当两总体方差未知且不相等时，两样本均值差的估计方差为： σ_12^2=(s_1^2)/n_1 +(s_2^2)/n_2 构建的两独立样本T检验的统计量为： t= ((x_1 ) ?-x ?_2)/√((s_1^2)/n_1 +(s_2^2)/n_2 ) 此时，T统计量服从修正自由度的t分布，自由度为： f= ((s_1^2)/n_1 +(s_2^2)/n_2 )^2/(((s_1^2)/n_1 )^2/n_1 +((s_2^2)/n_2 )^2/n_2 ) 可见，两总体方差是否相等是决定t统计量的关键。所以在进行T检验之前，要先检验两总体方差是否相等。SPSS中使用方差齐性检验（Levene F检验）判断两样本方差是否相等近而间接推断两总体方差是否有显著差异。 三、计算检验统计量的观测值和p值 将样本数据代入，计算出t统计量的观测值和对应的概率p值。 四、在给定显著性水平上，做出决策 首先，利用F统计量判断两总体方差是否相等，Levene F检验的原假设为两独立总体方差相等。概率p<0.05时，有充分理由拒绝原假设，说明方差不齐；否则，两样本方差无显著性差异。 其次，将设定的显著性水平α与检验统计量的p值比较，如果t统计量的p值小于α，落入拒绝域内，则我们有充分理由拒绝原假设，认为两总体均值有显著差异。 SPSS实现过程： 菜单：Analyze -> Compare Means-> Independent Samples T test Test Variable(s)：待检验的变量（一般是定距或定序变量） Grouping Variable ：分组变量（只能比较两个样本）
1、两配对样本T检验 2、单因素方差分析 3、多因素方差分析 一、两配对样本T检验 定义:两配对样本T检验就是根据样本数据对样本来自得两配对总体得均值就是否有显著性差异进行推断。 一般用于同一研究对象(或两配对对象)分别给予两种不同处理得效果比较,以及同一研究对象(或两配对对象)处理前后得效果比较。两配对样本T检验得前提要求如下: 两个样本应就是配对得。在应用领域中,主要得配对资料包括:具有年龄、性别、体重、病况等非处理因素相同或相似者。首先两个样本得观察数目相同,其次两样本得观察值顺序不能随意改变。 样本来自得两个总体应服从正态分布 二、配对样本t检验得基本实现思路 设总体服从正太分布,总体服从正太分布,分别从这两个总体中抽取样与,且两样本相互配对。要求检验就是否有显著差异。 第一步,引进一个新得随机变量对应得样本值为 ,其中, 这样,检验得问题就转化为单样本t检验问题。即转化为检验Y 得均值就是否与0有显著差异。 第二步,建立零假设
第三步,构造t统计量 第四步,SPSS自动计算t值与对应得P值 第五步,作出推断: 若P值<显著水平,则拒绝零假设 即认为两总体均值存在显著差异 若P值>显著水平,则不能拒绝零假设, 即认为两总体均值不存在显著差异 三、SPSS配对样本t检验得操作步骤 例题:研究一个班同学在参加了暑期数学、化学培训班后,学习成绩就是否有显著变化。数据如表3所示。 1、操作步骤: 首先打开SPSS软件 1、1输入数据 点击: 文件-----打开文本数据(D)-----选择需要编辑得数据-----打开
图1 (这个就是已经导入数据得截图) 在这里首先需要确定导入得数据就是符合两配对样本T检验得前提得。 1、2找到配对样本T检验得位置 点击:菜单栏得分析按钮----选择比较均值-----配对样本T检验(如图2 )
【案例1】有12名接种卡介苗的儿童，八周后用两批不同的结核菌素，一批是标准结核菌素，一批是新制结核菌素，分别注射在儿童的前臂，两种结核菌素的皮肤浸润平均直径(mm)如表5-1所示。某医生计算标准品与新制品的差值，均数3.25cm，故认为新制结核菌素的皮肤浸润直径比标准结核菌素的小。 【问题】 (1)该医生的结论是否正确?为什么? (2)问两种结核菌素的反应性有无差别？ 表112名儿童分别接种结核菌素的皮肤浸润结果(m m) 编号标准品新制品差值d 112.010.02.0 214.510.04.5 315.512.53.0 412.013.0-1.0 513.010.03.0 612.05.56.5 710.58.52.0 87.56.51.0 99.05.53.5 1015.08.07.0 1113.06.56.5 1210.59.51.0 【案例2】为比较两种方法对乳酸饮料中脂肪含量测定结果是否不同，随机抽取了10份乳酸饮料制品，分别用脂肪酸水解法和哥特里－罗紫法测定其结果如表3-5第(1)~(3)栏。问两法测定结果是否不同？ 表2 两种方法对乳酸饮料中脂肪含量的测定结果(%) 编号(1) 哥特里－罗紫法 (2) 脂肪酸水解法 (3) 差值d (4)=(2) (3) 1 0.840 0.580 0.260 2 0.591 0.509 0.082 3 0.67 4 0.500 0.174 4 0.632 0.316 0.316 5 0.687 0.337 0.350 6 0.978 0.51 7 0.461 7 0.750 0.454 0.296 8 0.730 0.512 0.218 9 1.200 0.997 0.203 10 0.870 0.506 0.364 2.724 【案例3】某研究者为比较耳垂血和手指血的白细胞数，调查12名成年人，同时采取耳垂血和手指血见下表，试比较两者的白细胞数有无不同。 表成人耳垂血和手指血白细胞数(10g/L) 编号耳垂血手指血