函数的切线方程
求切线方程是导数应用最重要的知识点，是高考常考的考点，学生容易出错的地方有二：第一是切线的斜率本应为切点处的导函数值，但却错写为导函数；第二没分清“在函数图象上一点M 处”与“过点M ”的区别。
一、典例讲解
1. 求函数在点M 处的切线方程的一般方法 (M 为切点)
例1: 已知函数x x x f -=3)( , 求函数f(x)在点(1,0)处的切线方程.
解: 在点(1,0)处的切线,其切点M(1,0), 切线的斜率为k, 则k=)1('f ,
2)1(',13)('2==∴-=f k x x f
切线方程为)1(2-=x y 即2x-y-2=0
2. 求函数过点M 的切线方程的一般方法 (M 不一定是切点) 例2: 已知函数x x x f -=3)( , 求函数f(x)过点(1,0)的切线方程.
解: 设切点为M )(0,0y x , 切线的斜率为k, 则k=)('0x f ,03000)(x x x f y -==
13,13)('202-=∴-=x k x x f
切线方程为)(00x x k y y -=-,切线方程: ))(13()(020030x x x x x y --=--
切线过点(1,0),代入切线方方程得 )1)(13()(020030x x x x --=--
)12)(1)(1(0)12)(1(0
)]1()13)[(1(0
)1)(13()1)(1(0
)1)(13()(000020000200020000020030=+--=---=+---=--++--=-----x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解得2
1100-==x x 或 当2),0,1(,10==k x 切点为时,切线方程为)1(2-=x y 即2x-y-2=0
当41),83,21(,210-=--=k x 切点为，切线方程为014)1(4
1=-+--=y x x y 即
要点提示：
注意：一般三次方程求根公式过于复杂难记，所以中学能解的一般才能先观察出一个特解，然后利用此根添项拆项因式分解。
如：解方程0232
3=-+x x 易观察出x=-1是其根所以 )
12)(1()1)(1(2)1()
1(2)(232222323-++=+-++=-++=-+x x x x x x x x x x x x
又如086223=+-x x 观察系数关系易知 1-=x 是其一根所以可分解因式为(x+1)(…)
222222323)
2)(1(2)44)(1(2)]1(82)[1()
1)(1(8)1(288)22(862-+=+-+=--+=-+-+=+-+=+-x x x x x x x x x x x x x x x x x
一般整数为系数的三次方程特别解可考虑系数的约数的组合
二、高考真题训练
1.（2010山东文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈ （I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （II ）
2.（2010北京理数）已知函数f (x )=ln(1+x )-x +22x
x (k ≥0)。
(Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(Ⅱ)(了解考查知识点即可) 求f (x )的单调区间。
解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1
'()121f x x x =-++
由于(1)ln 2f =，3
'(1)2f =，
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为
3
ln 2(1)2y x -=-
即 322l n 230
x y -+-= （II ）略去
三、巩固练习：
1. 求过原点与y=x e 相切的直线方程
2. 求过原点与23x x y -=相切的直线方程
练习解答：
1. 不妨设直线y=k 0x 与y=f(x)相切，切点为(x 0, y 0)
ex
y e
k x x e e O x x e y y e x f y e x f k e x f e x f x x x x x
x x =∴==∴-=-∴-=-∴====∴=∴=切线方程为切线过原点切线方程为,1)0(0)
()(,)(')(')(00000000000
2. 不妨设直线y=k 0x 与y=f(x)相切，切点为(x 0, y 0)
x
y y k k x x x x x x x x x x f y kx y x x x f k 41
04
1
0210)23()(,23)('00000
02
0203
02
30000002000-==∴-==?==??-=-?-===-==若切线方程为或或且切线是则
三次函数——导数应用中永恒的经典 【考点定位 】 考试说明： 了解导数概念及其几何意义；会用常见基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简 单函 数和简单复合函数的导数；了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数 的单调区间，会用导数求函数的极值和闭区间上函数的最值 . 问题概述： 三次函数 y ax 3 bx 2 cx d(a 0) 一直是中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中 频繁出现有关它的单独命题 .2014 年高考，在全国卷、浙江卷、天津卷、安徽卷、北京卷、辽宁卷、陕西 卷、江西卷、广东卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是浙江卷(理) 、北京卷(文) 、广东卷(文) 以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视 .单调性和对称性最能反映这个函数的特性 .通常以它为素材 来研究函数的单调性、极值、最值等性质，还可沟通函数、方程、不等式、等知识之间的有机联系 .本文以 2014 年高考为例，例谈高考中的三次函数问题 . 【考量基础】 三次函数的单调区间及闭区间上的最值 例 1【 2014高考安徽卷第 18题】设函数 f (x) 1 (1 a)x x 2 x 3,其中 a 0. (1) 讨论 f (x) 在其定义域上的单调性； (2) 当 x ［0,1］时，求 f ( x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 解析： 2' (x) 1 a 2x 3x 2 .令 f '(x) 0 ，得 x 1 x 1 x x 2时， f '(x) 0.故 f (x)在( ,x 1)和 (x 2, ) 内递减，在 (x 1,x 2)内递增 . 2)因为 a 0，所以 x 1 0,x 2 0.当a 4时， x 2 1 ，由( 1)知， f (x)在［0,1］ 上递增，所以 f(x) 在 x 0和 x 1处分别取得最小值和最大值 .当0 a 4时， x 2 1，由(1)知， f (x)在［0,x 2］上递增， 1 4 3a 在［ x 2 ,1］递减，所以 f(x)在 x x 2 处取得最大值 .又 f (0) 1, f (1) a ，所以当 0 a 1 3 时， f (x)在 x 1处取得最小值；当 a 1时， f(x)在 x 0和 x 1处同事取得最小值；当 1 a 4时， 1 4 3a 1) f (x) 的定义域为 ( , ) ， x 2 1 4 3a 3 x 1 x 2，所以 f (x) 3(x x 1)(x x 2).当 x x 1或 x x 2时， (x) 0 ；当
三招求圆的切线方程 江西省永丰中学 吴全根 求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招. 一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下： ① 过圆x 2+y 2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2. ② 过圆（x-a)2+(y-b)2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为（x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2. ③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P （x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 2 0x x ++E 20y y ++F=0 . 点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①. （2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用. （3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之. 例1 求过点A （4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8 相切的切线方程. 解一：（公式法） (4-2)2 +(1+1)2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上， ∴ 圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1) (y+1)=8,即x+y-5=0. 解二：（公式推导法） 圆心C （2，-1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= -1. ∴ 所求切线方程为y-1= -1(x- 4),即x+y-5=0. 二、待定系数法 可求过圆外一点P(x 0,y 0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k(x-x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k . 例2 求过点M （2，4）向圆（x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程. 解：设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0 (倾斜角不为900）, d=114 232=++-+k k k ,∴k=7 24,∴切线方程为24x-7y-20=0. 当倾斜角为900时，切线方程为x=2. ∴ 过M 点的切线方程为24x-7y-20=0或 x=2. 点评：因为过圆外一点P （x 0,y 0）引圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k 一般有两个值, 若k 只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x 0 ，应补回来. 三、判别式法 其依据是圆的切线的定义. 例3 已知圆C ：x 2+y 2+2x-4y+3=0 ，若圆C 的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，求此切线方程. 解：（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b 或y=x+c 分别代人圆C 的方程得2x 2-2(b-3)x+(b 2- 4b+3)=0，或2x 2+2 (c-1)x+(c 2- 4c+3)=0 直线与圆相切，上述两方程均有等根，∴?=0，由此可得：b=3 或 b= -1,c=5 或 c=1 ∴切线方程为x+y-3=0 或x+y+1=0 或x-y+5=0 或x-y+1=0. (2) 当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=(2±6)x. 点评：（1）此题也可以用方法二求解；（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.
导数法巧解曲线的切线方程 导数'0()f x 的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处切线的斜率，于是求曲线()y f x =的切线方程是导数的重要应用之一.用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率k ，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：'000()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,)P x y 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 一、已知切点，求曲线的切线方程 典例1、(2011年重庆文3)曲线32 3y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为（ ） A.31y x =- B.35y x =-+ C.35y x =+ D.2y x = 解：由题知，点(1,2)在曲线323y x x =-+上且为切点，所以'2'136,|3x y x x k y ==-+?==， 所以切线方程为23(1)y x -=-即31y x =-，选A. 点评：此类题较为简单，只须求出曲线的导数'()f x ，并代入点斜式方程即可． 二、已知斜率，求曲线的切线方程 典例2、与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） A.230x y -+= B.230x y --= C.210x y -+= D.210x y --= 解：设00(,)P x y 为切点，则切点的斜率为0'0|22x x y x ===．01x ∴=． 由此得到切点1,1（） ．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 点评：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代 入2 y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 三、已知曲线的切线方程求切点 典例3、（2010年全国卷2文数）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ） A.1,1a b == B.1,1a b =-= C.1,1a b ==- D.1,1a b =-=-
导数与函数的切线及函数零点问题 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B 级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另一热点. 真 题 感 悟 (2016·江苏卷)已知函数f (x )＝a x ＋b x (a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1). (1)设a ＝2，b ＝1 2. ①求方程f (x )＝2的根； ②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值. 解 (1)①由已知可得2x ＋? ?? ??12x ＝2， 即2x ＋1 2 x ＝2.∴(2x )2－2·2x ＋1＝0， 解得2x ＝1，∴x ＝0. ②f (x )＝2x ＋? ?? ??12x ＝2x ＋2－x ， 令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2. 又f (2x )＝22x ＋2－2x ＝t 2－2， 故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6， 即m ≤t ＋4t ，又t ≥2，t ＋4 t ≥2 t ·4 t ＝4(当且仅当t ＝2时等号成立)， ∴m ≤? ? ???t ＋4t min ＝4，即m 的最大值为4. (2)∵0＜a ＜1，b ＞1，∴ln a ＜0，ln b ＞0. g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2，
g′(x)＝a x ln a＋b x ln b且g′(x)为单调递增，值域为R的函数.∴g′(x)一定存在唯一的变号零点， ∴g(x)为先减后增且有唯一极值点. 由题意g(x)有且仅有一个零点， 则g(x)的极值一定为0， 而g(0)＝a0＋b0－2＝0，故极值点为0. ∴g′(0)＝0，即ln a＋ln b＝0，∴ab＝1. 考点整合 1.求曲线y＝f (x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x )，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f ′(x )解得x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x ，再由点斜式或两点式写出方程. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下： 3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法 研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图
解决三次函数问题的几种方法 近几年，三次函数问题已成为高考的命题热点，并且所占的比例在逐年增大。本文就处理三次函数问题的几种数学意识加以盘点，希望对大家有所帮助。 一、数形结合意识 例1、函数3211()22132 f x ax ax ax a = +-++的图像经过四个象限的充要条件是（ ） A 、4133a -<<- B 、112 a -<<- C 、63516a -<<- D 、20a -<< 解：2 '()2(2)(1)f x ax ax a a x x =+-=+-，若a=0，则函数f （x ）=1为常函数，不能经过四个象限，故0a ≠ （1）若a>0，如图1，此时x=-2，x=1分别为函数f （x ）的极大值点和极小值点，又 lim (),lim ()x x f x f x →+∞→-∞ →+∞→-∞，故欲使f （x ）的图像经过四个象限只需f （-2）>0， 且f （1）<0. （2）若a<0，如图2，此时x=-2，x=1分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，又 lim (),lim ()x x f x f x →+∞→-∞ →-∞→+∞，故欲使f （x ）的图像经过四个象限只需f （-2）<0，且f （1）>0，综合（1）（2）可知函数f （x ）的图像经过四个象限的充要条件是 f （-2）f （1）<0，解得63516 a -<<-，故选C. 点评：上面的解法借助数形结合，有效地实施转化，解题过程直观、清晰。 二、分类讨论意识 例2、已知函数3221()313f x x mx m x = --+在区间（1，2）内是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A 、1(1,)3 - B 、1[0,]3 C 、(0,1] D 、1[1,]3- 解：由已知得22'()230f x x mx m =--≥对任意的(1,2)x ∈恒成立，因此 22'(2)4430m f m m >??=--≥?或21'(1)1230 m f m m
【高中数学】 《函数的切线问题》微专题 第一讲 函数切线及其应用 1．导数的几何意义: 函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==） 2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000() () y f x k f x =??'=?； 3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程 为： ∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线， 三次函数多解） 考点1 切线及斜率问题 【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞?+∞， ，，且0x >时， ()1 x x f x e -=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 析】 ()()()21 ','1,10,x x f x f f e e -= ∴==∴曲线y ， 是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．e －1
[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1 ＝e 2x 0－1＋e x 0 ，化简得2x 0 －1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A. [答案] A 【例1.3】设点 P 是曲线33 5 y x =+ 上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角 α 的范围是（ ） A ．203π?? ??? ? ， B ．2023 πππ???? ????? ? ? ?? ，， C ．22 3ππ?? ??? ， D ．23 3ππ?? ???? ， 233x -，为第一象限角）． 设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝－x C ．y ＝2x D ．y ＝x 解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a . 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，
“椭圆的切线方程”教学设计 马鞍山二中刘向兵 一、教学目标 知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。 过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。 情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。 二、教学重点与难点 教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。 教学难点：椭圆的切线方程的探究。 三、教学流程设计 (一）创设情境 复习：怎样定义直线与圆相切
设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知 基础铺垫： 问题1、已知椭圆22 :182 x y C +=与直线l （1）请你写出一条直线l 的方程； （2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l （3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程； （4 ）若已知切点P ,求直线l 的方程。 设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程 如 x y =±= （2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。切线斜率确定，切线不确定。 （3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。 （4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
函数的切线方程新课标历届高考题专题训练 1、（2007年文10）曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294 e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e 2、（2007年理10）曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． 29e 2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e 3、（2008年文21）设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=。 （1）求()y f x =的解析式； （2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。 4、（2009年文13）曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 。 5、（2010文4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为 （A ）1y x =-（B ）1y x =-+ （C ）22y x =-（D ）22y x =-+
6、(2010理3)曲线2 x y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 （A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2 7、（2011文21）已知函数ln ()1a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．求a ，b 的值； 8、（2012文13）曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为_______ 9、(2012理12)设点P 在曲线12 x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（） ()A 1ln2-()B ln 2)-()C 1ln2+()D ln 2)+ 10、（2013新课标Ⅱ文21）已知函数2()x f x x e -=。 （Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围。
圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数 y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x 0 , y ) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴 上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式?= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y= x 4 （1）求直线A B的斜率； 上两点，A与B的横坐标之和为 4． （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程． 类型二椭圆的切线问题 2
5 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ， b 2 离心率为 . 3 （1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨 迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ， 且过点 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直 线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3) ∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2 且a 2 = b 2 + c 2 P ( 2，3) . 2 2
关于圆的切线方程及相关公式的证明 一、点P(x 0,y 0)在圆上 1、在圆的标准方程（x-a) 2+(y-b) 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为 (x 0-a) (x-a) +(y 0-b) (y-b) =r 2或 (x 0-a) (x-x 0) +(y 0-b) (y-y 0) =0 证明：∵P(x 0,y 0)在圆上，（x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2 ，圆心O(a,b)，OP 的斜率a x b y k --=00 ∴切线的斜率为k 1 - ，切线方程)(0000 x x b y a x y y ----=- 0))(())((0000=--+--y y b y x x a x ① （x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2 ② ①+②得出（x 0－a ）(x －x 0+x 0－a)+(y 0-b)(y －y 0+y 0－b)= r 2 (x 0－a) (x －a) +(y 0－b) (y －b) =r 2 2、在圆的特殊方程x 2+y 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为 x 0x + y 0y ＝=r 2 （当a=0，b=0） 3、在圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x + y 0y + D ×（2 x x + ）+ E ×（ 2 y y + ）+ F =0 证明：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 化成圆的标准方程 44)2()2(222 2 F E D E y D x -+= + ++ ∵P(x 0,y 0)在圆上，4 4)2 ()2 (222020F E D E y D x -+= + ++ ，OP 的斜率 2 2 00D x E y k + += ∴切线的斜率为 k 1 - ，切线方程
三次函数的对称中心与切线条数问题 证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。 提示：可根据奇函数图像的平移得到。 分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形 展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++-- 与32y ax bx cx d =+++比较系数得：23 33am b am k c n km am d -=?? +=??--=? 容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a =- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a - - 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？ 分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+- 将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3 320 011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010 230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程323 1010230x x x x -+=有几个实根的问题 为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即323 00 230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线 当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线 问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？ 分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。 设点00(,)P x y 为平面上任意一点，易求得函数在坐标原点（对称中心）处的切线方程为y bx = 设3111(,)x ax bx +为()y f x =上任意一点，则该点处的切线方程为：321111()(3)()y ax bx ax b x x -+=+- 将点P 代入得：32011101()(3)()y ax bx ax b x x -+=+- 问题转化为讨论方程3200()(3)()y ax bx ax b x x -+=+-有几个解的问题 将上述方程化简得：32000230ax ax x y bx -?+-= 令32000()23g x ax ax x y bx =-?+-，则：0()6()g x ax x x '=- 注意到000()()g x y f x =-，00(0)g y bx =-，下面讨论函数()g x 的零点个数
高考总复习09：三次函数图像的切线 1.(1)求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程. (2)求垂直于直线320x y -+=,且与曲线32 31y x x =+-相切的直线方程. 2.(1)求函数3()2f x x =的图像在点(1,2)P 处的切线l 方程； (2)设函数3 ()2f x x =的图像为C ,求曲线C 与其在点(1,2)P 处的切线l 的所有交点坐标. 3.(1)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程. (2)求函数3 ()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程. 4.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值. 5.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<. 6.设函数3211()32 f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =. (1)确定,b c 的值； (2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠； (3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围. 7.已知函数3211()32f x x ax bx = ++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点． (1)求24a b -的最大值； (2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1 (1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式． 8.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式.
函数的切线问题 一、基础知识： （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。 （3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线 （4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +?+?，则割线AB 斜率为： ()()()()()000000 AB f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-==+?-?
函数的切线问题 一、基础知识： （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数3 y x =在 ()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。 （3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点 A 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y x =在()0,0处， 通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当 0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相 同，故y x =在()0,0处不含切线 （4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数()y f x =上点()() 00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点 ()()00,B x x f x x +?+?，则割线AB 斜率为： ()()()()() 000000 AB f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-= = +?-? 当B 无限接近A 时，即x ?接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为： ()()000 lim x f x x f x k x ?→+?-=?,
题型一：利用导数去切线斜率 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为 解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，． 类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3 求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程． 题型二：利用导数判断函数单调性 总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)； （3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间． 例1.：已知导函数 的下列信息： 注意： x x x f x x x f x x x x f ln 2 1 )()3(7 62)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。 试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40)(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<<3211 11(1)2231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程1(01)x y xe =+-3、曲线在，处的切线方程sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程
绝密★启用前 2015-2016学年度学校1月月考卷 试卷副标题 题 号 一 二 三 总 分 得 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得 分 一、选择题（题型注 释） 1．曲线31 23y x =-在点 51,3?? - ??? 处切线的斜率为( ) A ．3 B ．1 C ．1- D ．3- 2．曲线31 23y x =-在点(1，－5 3)处切线的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C ．135° D ．150° 3．已知函数ln y x x =，则这个函数在点)0,1(处的切线方程是（ ） A ．22y x =- B ．22y x =+ C ．1y x =- D ．1+=x y 4．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2 5．若曲线在点处的切线平行于x 轴，则k= ( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 6．过点)1,1(-且与曲线x x y 23-=相切的直线方程为（ ） A ． 20x y --=或5410x y +-= B ．02=--y x C ．20x y --=或4510x y ++= D ．02=+-y x
7．已知点P 在曲线41 x y e = +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A.3[ ,)4ππ B.[,)42ππ C.3(,]24ππ D.[0,4 π) 8．若曲线321()3 f x x x mx =++的所有切线中，只有一条与直线30x y +-=垂直，则实数m 的值等于（ ） A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．3 9．曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）()11,e -- （B ）()0,1 （C ）()1,e （D ）()0,2 10．设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a 等于 （ ） A. 2 B. 12 C. 12 - D. 2- 11．曲线323y x x =-+在点(1，2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x 12．已知曲线421y x ax =++在点()-12a +，处切线的斜率为8，=a （ ） （A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 13．已知点P 在曲线y= 41x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0, 4π) B.[,)42ππ C. 3(,]24ππ D. 3[,)4 ππ
函数图像的切线问题 要点梳理归纳 1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法 (1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程： 切线方程为 y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0. 2．两个函数图像的公切线 函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线， 若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ??? ?? f ′(x 0)＝ g ′(x 0)， f (x 0)＝ g (x 0). 若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有2 12121) ()()()(x x x g x f x g x f --= '='. 题型分类解析 题型一 已知切线经过的点求切线方程 例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3 :3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上. 设切点的坐标()00,x y ，则3 0003y x x =-，函数的导数为2 '33y x =-， 切线的斜率为0 20'33x x k y x ===-，2 000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为， 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又3 0003y x x =-，二者联立
1 求圆的切线方程的几种方法 在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系.众所周知,在圆上的点可以作一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切.本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考. 1.利用几何性质来求切线方程 当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.因此,利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程. 例1 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (3,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程. 解:当过P 的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线. 设所求的直线的斜率为k ,直线方程为y －2＝k (x －3), 化为一般形式为kx －y －3k ＋2＝0. 由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离d 等于半径2,即 d ＝|－1－3k ＋2|k 2＋1＝|3k －1|k 2＋1 ＝2, 解得k ＝3±265 . 所以切线方程为y －2＝3±265 (x －3). 点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错.设直线方程时,一定要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解. 2.利用方程的判别式来求切线方程 当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时圆的方程与直线联立,利用判别式等于零即可以求出切线方程. 例2 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (2,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程. 解:当过P 的直线的斜率不存在时,直线x ＝2是圆的切线. 当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线方程为y －2＝k (x －2). 直线方程与圆的方程联立,整理,得(1＋k 2)x 2＋2k (1－2k )x ＋4k 2－4k －3＝0, 因为直线与圆只有一个公共点,故Δ＝4k 2(1－2k )2－4(1＋k 2)(4k 2－4k －3)＝0. 解得k ＝－34 . 所以所求的切线方程是x ＝2或y －2＝－34 (x －2). 点评:利用判别式求解时计算量比较大,本题注意不能漏解了x ＝2. 3.利用垂直关系求切线方程 当已知切点时,我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直、斜率之积为－1来求出切线方程. 例3 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,求以P (3,2)为切点的切线方程. 解:由已知得圆心O (0,1),点P 在圆C 上,显然x ＝3不是圆的切线. 设切线方程为l :y －2＝k (x －3). 由直线OP ⊥l 得k ·k OP ＝－1,所以k ＝－1k OP ＝－3. 所以切线方程为y －2＝－3(x －3)即y ＝－3x ＋5. 点评:由直线垂直求出切线的斜率,可以避免繁杂的计算. 小结:在求圆的切线方程时,先判断切线方程有几条,再是注意特殊情况(如斜率不存在),三是注意使用哪种方法计算最简捷.