等比数列性质 一、选择题
1.已知数列4,,,121--a a 成等差数列,
4,,,1321--b b b 成等比数列，则21
2b a a -的值为( )
A 、21
B 、—21
C 、21或—21
D 、41
2.等比数列{}n a 中，1990,,n a a a >为方程210160x x -+=的两根，则205080a a a ??的值为（ ）
.32A .64B .256C .64D ±
5.等比数列
{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++
+＝( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋
3log 5
6.n S 是公差不为0的等差{}n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列，则
13
2a a a +等于 （ ）
A. 4
B. 6
C.8
D.10 7.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项，1060,S =则8S 等于
A 、28
B 、32
C 、36
D 、40
8.等比数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ）
A.1
B.1或－1
C.21或21
-
D.2或－2
9.已知等比数列{an }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 二、填空题 13.设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。若3614,1s s a ==，则4a =
15.等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =
16.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+?a a n ，则n a =_______.
三、解答题 20.在等比数列
{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log =，且.0,6531531==++b b b b b b （1）求证：数列{}n b 是等差数列；
（2）求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式；
（3）试比较n a 与n S 的大小.
3.（2006全国Ⅰ卷理）设数列
{}n a 的前n 项的和，
14122333n n n S a +=
-?+， ,3,2,1=n
（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =， ,3,2,1=n ，证明：
132n
i
i T =<∑ 3.解: (Ⅰ)由 Sn=43an －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= 43a1－13×4+2
3 所以a1=2.
再由①有 Sn －1=43an －1－13×2n+2
3
, n=2,3，4,…
将①和②相减得: an=Sn －Sn －1= 43(an －an －1)－1
3×(2n+1－2n),n=2,3, …
整理得: an+2n=4(an －1+2n －1),n=2,3, … ,
因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n －1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n －2n, n=1,2,3, …,
(Ⅱ)将an=4n －2n 代入①得 Sn= 43×(4n －2n)－13×2n+1 + 23 = 1
3×(2n+1－1)(2n+1－2)
= 2
3×(2n+1－1)(2n －1)
Tn=
2n Sn = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1
) 所以,
1
n
i
i T
=∑= 3
2
1
(
n
i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1
) < 32
8.（2006安徽理）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()2
11,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=???
（Ⅰ）写出
n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式；
（Ⅱ）设()()()1
/,n n n n n S f x x b f p p R n +=
=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
8.解：由()2
1n n S n a n n =--()2n ≥得：()2
1()1n n n S n S S n n -=---，即，121
112n n n n S S n n ----=--，…，
2132121S S -=相加得：1121n n S S n n +-=-，又
1112S a ==，所以2
1n n S n =+，当1n =时，也成立。 （Ⅱ）由
()11
1n n n n S n f x x x n n ++=
=+，得()/n n n b f p np ==。
而()2
2
1(1)1n n n S n S n n ---=-，所以1111n n n n
S S n n -+-=-，对2n ≥成立。
由
1111n n n n
S S n n -+-=-23
123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+，
234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+， 2
3
1
1
1
(1)
(1)1n n n n n n p p P T p p p p
p np
np p -++--=+++
++-=--
10.（2005山东文）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且
*
125()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列
{}1n a +是等比数列；
（II ）令
2
12()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '
10.解：由已知
*
125()n n S S n n N +=++∈ 可得
12,24n n n S S n -≥=++两式相减得
()1121
n n n n S S S S +--=-+，即
12n n a a +=+
从而
()
1121n n a a ++=+
当1n =时,21215S S =++，所以2112a a a +=+
又
15a =所以211a =，从而(21121a a +=+
故总有
112(1)n n a a ++=+，*n N ∈
又115,10a a =+≠，从而11
2
1n n a a ++=+,
即数列
{}1n a +是以()116a +=为首项，2为公比的等比数列；
（II ）由（I ）知321n
n a =?- 因为
2
12()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=++
+
从而
12(1)2n f a a na '=+++=()()2
3212321(321)
n n ?-+?-+
+?-
个 个 =
()2
32222
n
n +?+
+?-()
12n ++
+=
()1(1)
31262n n n n ++-?-
+.
例题2. （2007年二次月考）设数列{}n a 的前n 项和为Sn ，若{}n S 是首项为1，各项均为
正数且公比为q 的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）试比较212()n n n a a a n N ++++∈与的大小，并证明你的结论.
解析：（Ⅰ）∵
{}n S 是各项均为正数的等比数列.
∴1
(0)n n S q q -=>. 当n=1时，a1=1， 当2
12,(1).n n n n n a S S q q --≥=-=-时
∴21(1)(1)(2)n n n a q q n -=?=?
-≥?。
（Ⅱ）当n=1时，
213211131
2(1)2(1)[()]0.
24a a a S S q q S q q +-=+---=-+> ∴2312a a a >+
∴当1112112)1(2)1()1(2,2--++---+-=-+≥n n n n n n q q S q q S q q S a a a n 时32
(1)n q q -=-
∵2
0,0.n q q ->>
①当q=1时，
.2,0)1(123
++=+∴=-n n n a a a q ②当
,10时< ++<+∴<-n n n a a a q ③当,1 时>q .2,0)1(123++>+∴>-n n n a a a q 综上可知： 当n=1时，2312a a a >+ 当;2,1,212++=+=≥n n n a a a q n 则若时 若;2,1012++<+< 点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。 考点二：求数列的通项与求和 例题3. （2007年5月湖北省十一校）.已知数列 {}n a 中各项为： 12、1122、111222、……、 111n ??????222 n ?????? …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和Sn . 解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。 答案：（1）12 (101)10(101) 99n n n n a =-?+?- 1(101)(102)9n n =-?+101101()(1)33n n --=?+ 记：A =1013n - , 则A=333 n ??????为整数 ∴ n a = A (A+1) ， 得证 (2) 2112 1010999n n n a = +- 2422112 (101010)(101010)999n n n S n =++??????++++??????- 2211(101110198210)891n n n ++=+?-- 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要 例题4. (云南省2007年第一次高中毕业生复习统一检测) 已知n S 是数列{n a }的前n 项和，并且1a =1，对任意 正整数n ， 241+=+n n a S ；设 ,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）. （I ）证明数列 }{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式； （II ）设}log log 1 {,32212++?= n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T . 解析：（I ）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n 两式相减： ),2(4411≥-=-+n a a a n n n *),(2)2(2,2)(42, 2),2)((41 111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+,21 =∴+n n b b }{n b ∴是以2为公比的等比数列， ,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而 *)(231N n b n n ∈?=∴- 个 （II ）,231-==n n n b C ,)1(12log 2log 1log log 11 222212+=?=?∴+++n n C C n n n n 而,1 1 1)1(1+-=+n n n n . 111)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n 点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列{}n a 的通项n a ，第二问求和用到裂项 的办法求和。 考点三：数列与不等式的联系 例题5.（2007年5月莆田四中）已知α为锐角，且12tan -= α， 函数 ) 42sin(2tan )(2π αα+ ?+=x x x f ，数列{an}的首项 )(,21 11n n a f a a == +. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1 ； ⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n ∈≥<++++++< 解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。 答案：解：⑴ 1)12(1) 12(2tan 1tan 22tan 2 2=---=-= ααα 又∵α为锐角 ∴ 42π α= ∴ 1 )4 2sin(=+ π α x x x f +=2 )( ⑵ n n n a a a +=+2 1 ∵21 1= a ∴n a a a ,,32都大于0 ∴ 02>n a ∴n n a a >+1 ⑶ n n n n n n n a a a a a a a +-=+=+= +111)1(111 2 1 ∴11 111+-=+n n n a a a ∴ 1322121111111111111+-++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1111211++-=-= n n a a a ∵4321)21(22=+=a , 1 43 )43(23>+=a , 又∵ n n a a n >≥+12 ∴131 >≥+a a n ∴ 2 1211 <- <+n a ∴ 211 1111121<++++++< n a a a 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的式子更具有一般性。 例题7.（2007年5月2007浙江省五校） 已知函数 () ()ln 1f x x x =-+,数列 {}n a 满足101a <<, ()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证: （Ⅰ） 101;n n a a +<<< （Ⅱ）2 1; 2n n a a +< （Ⅲ）若 1, 2a = 则当n ≥2时,!n n b a n >?. 解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。 答案：解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*n N ∈. （1）当n=1时,由已知得结论成立; （2）假设当n=k 时,结论成立,即 01k a <<.则当n=k+1时, 因为0 =>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在 []0,1上连续,所以f(0) 故当n=k+1时,结论也成立. 即01n a <<对于一切正整数都成立. 又由 01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<. 综上可知 10 1.n n a a +<<< (Ⅱ)构造函数g(x)=22x -f(x)= 2 ln(1)2x x x ++-, 0 ()0 1x g x x '=>+,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在 []0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0. 因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从而2 1.2n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111 ,(1)22n n b b n b +=≥+,所以0n b >,1n n b b +12n +≥ , 所以 1 2112 11!2n n n n n n b b b b b n b b b ---= ??≥? ————① , 由(Ⅱ) 2 1, 2n n a a +<知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =31212 12 122 2n n n a a a a a a a a a --?< , 因为 12a = , n≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1121222n a a a a - 2n n a -<2122n a ?=1 2n ————② . 由①② 两式可知: !n n b a n >?. 点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。 考点四：数列与函数、向量、概率等的联系 例题8.（四川省南充高级中学2008届十月份月考）无穷数列}{n a 的前n 项和)(* N n npa S n n ∈=，并且1a ≠2a ． （1）求p 的值； （2）求 }{n a 的通项公式； （3）作函数 n n x a x a x a x f 12 32)(++++= ，如果4510=S ，证明：41 )31(< f ． 解析：（1）∵ 111pa S a == ∴ 01≠a ，且p ＝1，或01=a ． 若是01≠a ，且p ＝1，则由22212pa S a a ==+． ∴ 21a a =，矛盾．故不可能是：01≠a ，且p ＝1．由01=a ，得02≠a ． 又22212pa S a a ==+，∴ 21 = p ． （2）∵ 11)1(21+++= n n a n S ，n n na S 21=， ∴ n n n na a n a 21)1(2111-+=++． n n na a n =-+1)1(． 当k ≥2时，11-=+k k a a k k ． ∴ n ≥3时有 22321 1a a a a a a a a n n n n n ????---= 22)1(123221a n a n n n n -=----=???? ． ∴ 对一切* N ∈n 有： 2)1(a n a n -=． （3）∵ 210104521 1045a a S =??==， ∴ 12=a ． )(1* N ∈-=n n a n ． 故n nx x x x f +++= 2 2)(． ∴ n n f 33231)31(2+++= ． 又 1 233332)31(3-+++=?n n f ． ∴ +++<-+++=-?32123131313313131)31(2n n n f 21 31131 = - = ．故 41)31( 例题8.（2007年5月徐州市）已知函数f(x)=52168x x +-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=． (1)写出2a 、3a 的值; (2)试比较n a 与5 4的大小，并说明理由； (3)设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记Sn=1n i i b =∑．证明：当n ≥2时,Sn ＜14(2n －1)． 分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解：(1) 152168n n n a a a ++= -，因为11,a =所以 2373,. 84a a == （2）因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><< 155 48()52553444168432(2)22n n n n n n n a a a a a a a +-- +-=-= =?---, 因为20,n a ->所以 154n a +- 与5 4n a -同号， 因为 151044a - =-<，250,4a -<350,4a -<…，50,4n a -<即 5.4n a < （3）当2n ≥时， 1111 531531 ()422422n n n n n n b a a b a a ----= -=??-=??-- 1131 25 224n n b b --< ??=-，所以2 131212222n n n n n b b b b ---- 所以 3121 (12) 1111 4(21) 422124n n n n n S b b b --?? =++ +< ++???+==- ?-?? 点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。 例题12. (2007年5月宁波市三中) 已知数列{}n a 中，11a =， ()* 1122(...)n n na a a a n N +=+++∈． （1）求 234,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）设数列{}n b 满足2 1111,2n n n k b b b b a +==+，求证：1()n b n k <≤ 分析：条件中有类似于前n 项和的形式出现，提示我们应该考虑an ＝Sn －Sn －1(n ≥2) 解：（1）2342,3,4a a a === （2） 1122(...)n n na a a a +=+++ ① 121(1)2(...)n n n a a a a --=+++ ② ①—②得1 (1)2n n n na n a a +--=即：1(1)n n na n a +=+，11 n n a n a n ++= 所以 321 12123...1...(2)121n n n a a a n a a n n a a a n -===≥-所以 * ()n a n n N =∈ （3）由（2）得：2 111111, 0 2n n n n n b b b b b b b k +-==+>>>>>， 所以 {}n b 是单调递增数列，故要证：1()n b n k <≤只需证1k b < 若1k =，则 1112b = <显然成立若2k ≥，则21111n n n n n n b b b b b b k k ++=+<+ 所以1 111n n b b k +->-因此：121111111111 ()...()2k k k k k b b b b b b k k --+=-++-+>-+= 所以 1 1k k b k < <+所以1()n b n k <≤ 点评：与数列相关的不等式证明通常需要“放缩”，而放缩的“度”尤为关键，本题中 1211111111 ()...()k k k b b b b b b -=-++-+ 这种拆分方法是数学中较高要求的变形. 答案 一、选择题 1.A 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A10.B11.C12.D 13.314.-115.15 216.1 2-n 三、解答题 20.解析：（1）由已知 q a a b b n n n n log log 1 2 1==-++为常数.故数列{}n b 为等差数列， 且公差为.log 2q d = （先求q 也可） 4分 （2）因0log ,11211>=?>a b a ，又263531 =?=++b b b b ，所以.05=b 由.291,404,222 115 13?? ?-=?-==?=+==+=n n S d b d b b d b b n 由 *511212,221 ,164 log 1log N n a q a a b q d n n ∈=?==??? ?==-==-. 8分 （3）因 ,0>n a 当9≥n 时，0≤n S ，所以9≥n 时，n n S a >； 又可验证2,1=n 是时，n n S a >；8,7,6,5,4,3=n 时，n n S a <. 12分 第2课时 等比数列的性质 知能目标解读 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来. 2.理解等比数列的性质及应用. 3.掌握等比数列的性质并能综合运用. 重点难点点拨 重点：等比数列性质的运用. 难点：等比数列与等差数列的综合应用. 学习方法指导 1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列. 2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列{a n }中依次取出的数为a k ,a k +m ,a k +2m ,a k +3m ,…,则 k m k a a 2+= m k m k a a ++2= m k m k a a 23++=…=q m (q 为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列. 3.如果数列{a n }是等比数列，公比为q,c 是不等于零的常数，那么数列{ca n }仍是等比数列，且公比仍为q ; {|a n |} 也是等比，且公比为|q |.我们可以设数列{a n }的公比为q ,且满足 n n a a 1+=q ,则 n n ca ca 1+= n n a a 1+=q ,所以数 列{ca n }仍是等比数列，公比为q .同理，可证{|a n |}也是等比数列，公比为|q |. 4.在等比数列{a n }中，若m+n=t+s 且m,n,t,s ∈N +则a m a n =a t a s .理由如下：因为a m a n =a 1q m-1·a 1q n-1 =a 21q m+n-2,a t a s =a 1q t-1·a 1q s-1=a 21q t+s-2,又因为m+n=t+s ,所以m+n -2=t+s -2,所以a m a n =a t a s .从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积. 5.若{a n }，{b n }均为等比数列，公比分别为q 1,q 2,则 （1）{a n b n }仍为等比数列，且公比为q 1q 2. (2) { n n b a }仍为等比数列，且公比为2 1q q . 理由如下：（1） n n n n b a b a 11++=q 1q 2,所以{a n b n }仍为等比数列，且公比为q 1q 2;(2) n n n n b a b a 11 ++· n n a b = 2 1q q , 所以｛ n n b a }仍为等比数列，且公比为 2 1q q . 知能自主梳理 1.等比数列的项与序号的关系 （1）两项关系 通项公式的推广： 《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比 数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）② 数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ? 例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+ 例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠ 第2课时 等比数列的性质 1．掌握等比数列的性质及其应用．(重点) 2．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点) 3．能用递推公式求通项公式．(难点) [基础·初探] 教材整理 等比数列的性质 阅读教材P 51例4～P 53，完成下列问题． 1．“子数列”性质 对于无穷等比数列{a n }，若将其前k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ；若取出所有的k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k ，公比为q k . 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q . ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ·a n ＝a 2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝…. 3．两等比数列合成数列的性质 若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }， {a 2 n }{a n ·b n }，? ??? ??????a n b n 也为等比数列． 1．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }是等比数列， ∴a 2a 6＝a 24＝42 ＝16. 【答案】 16 2．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________． 【解析】 只有非零常数列才满足题意，∴公比q ＝1. 【答案】 1 3．正项等比数列{a n }中，a 2a 5＝10，则lg a 3＋lg a 4＝___________________. 【解析】 lg a 3＋lg a 4＝lg(a 3a 4) ＝lg(a 2a 5) ＝lg 10＝1. 【答案】 1 4．在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝16，则a 10＝________. 【解析】 ∵数列{a n }是等比数列，∴a 10·a 2＝a 26， 即a 10＝a 26 a 2＝1622 ＝128. 【答案】 128 [小组合作型] 等比数列性质的应 用 已知{a n }为等比数列， (1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝1 2 ，求a 1a 23a 5； (2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5； (3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 求解． 【自主解答】 (1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12，所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝1 2， 所以a 1a 2 3a 5＝14 . (2)由等比中项，化简条件得 a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2 ＝25， ∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5. (3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) 等比数列前n 项和的性质导学案 知识目标：掌握等比数列前n 项和的性质，灵活的应用等比数列前n 项和公式的性质解决问题。 方法与过程：通过自主探究的方式，培养学生团队精神，勇于探索的精神。 教学过程： 复习: 1、 等比数列前n 项和公式: （1） （2） 2.数学思想： 课前练习： 1.数列()项和的前n a a a a n 13 2............,,,1- a a A n --11. B a a n --+111 C a a n ---111 D.以上答案都不对。 2.求和()() )(.......212n a a a n -++-+- 新课探究： 探究一： 性质1。数列{}n a 的前n 项和A Aq S n n -=()1,0,0≠≠≠q q A 探究{}n a 是否为等比数 列。 例题1：若等比数列{}n a 的前n 项和,4a S n n +=求a 的值。 变式：若等比数列{}n a 的前n 项和13-=n n S +a 2，求a 的值。 探究二： 我们知道，等差数列有这样的性质： 数列{}n a 是等差数列，则K K K K K S S S S S 232,,--................也成等差数列； 则新的等差数列的首项是K S ,公差为d k 2 。 那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？ 等比数列前n 项和的性质二： 数列{}n a 是等比数列，则K K K K K S S S S S 232,,--...............是否也构成成等比数列； 则新的等比数列的首项是K S ,公比（ ） 例题2 ：已知等比数列{}n a 中，前10项和10S ＝10，前20项和20S ＝30，求30S 变式训练： 1. 等比数列{}n a 10S ＝20，20S =80，求30S ＝？. 等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。 解：等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入（1） 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求： （1）求n n b a , （2）解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m )1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥ 精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ． （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公 式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5： 已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围； 1 等比数列的概念及通项公式 基本概念 新知： 1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1 n n a a -= （q ≠0） 2. 等比数列的通项公式： 21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … … ∴ 11n n a a q a -==? 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是： 3、等比数列的性质：对于等比数列}{n a ，若.,n m q p a a a a n m q p =+=+则 4、等比数列的}{n a 的单调性————————与首项和公比都有关 11-=n n q a a 例题 例一：判断数列是否为等比数列，若是请指出公比 （1）1，-1，1，-1，1，…（2）0,1,2,4,8，…（3）13 181-4121-1，，， 例二、指出下列等比数列中的未知项 （1）2，a ，8 （2）-4，b ，c ，2 1 问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G b G ab G a G =?=?= 新知1：等比中项定义 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ， b 同号）. 试试：数4和6的等比中项是 . 例三、（1）在等比数列}{n a 中，是否有)2(112 ≥=+-n a a a n n n ？ （2）如果数列}{n a 中，对于任意的正整数),2(,2112 ≥=≥+-n a a a n n n n n 都有） （那么}{n a 一定是等比数列 吗？ 等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时，S n na i n ⑵当q 1时，5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列 等比中项：a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列 通项公式：a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * ， q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0，首项：a 1;公比：q 推广：a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项： （1）如果a, A, b 成等比数 那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（ （2）数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义：对任意的 都有a n 1 qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0） {a n }为 a n 6、等比数列的证明方法: 依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 1 7、等比数列的性质： (2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。特别的，当m n 2k 时，得 2 a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 第1讲 等差数列与等比数列 [考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，考查分析问题、解决问题的综合能力． 热点一 等差数列、等比数列的运算 1.通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1 . 2．求和公式 等差数列：S n ＝ n (a 1＋a n ) 2 ＝na 1＋ n (n －1) 2 d ； 等比数列：S n ＝????? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 3．性质 若m ＋n ＝p ＋q ， 在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4， 得3???? ??3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3， 故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. (2)(2018·杭州质检)设各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________. 答案 3 162 第2课时 等比数列的性质 学习目标：1.掌握等比数列的性质及其应用(重点).2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点).3.能用递推公式求通项公式(难点)． [自 主 预 习·探 新 知] 1．推广的等比数列的通项公式 {a n }是等比数列，首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1 ，a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N * )． 2．“子数列”性质 对于无穷等比数列{a n }，若将其前k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ；若取出所有的k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k ，公比为q k . 思考：如何推导a n ＝a m q n －m? [提示] 由a n a m ＝a ·q n －1a ·q m －1 ＝q n －m ， ∴a n ＝a m ·q n －m . 3．等比数列项的运算性质 在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N * )，则a m ·a n ＝a p ·a q . ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N * )时，a m ·a n ＝a 2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1 ＝…＝a k ·a n －k ＋1＝…. 4．两等比数列合成数列的性质 若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，{a 2 n }{a n ·b n }，???? ??a n b n 也 为等比数列. 思考：等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列； (3)???? ?? 1a n 是等比数列； (4){a 2n }是等比数列． [提示]由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确． [基础自测] 1．思考辨析 (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( ) [答案] (1) √ (2)× (3)√ 1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= === 高考要求 等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申 应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视 高考中也一直重点考查这部分内容 重难点归纳 1 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用 2 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 3 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 典型题例示范讲解 例1已知函数f (x )= 4 12 -x (x <－2) (1)求f (x )的反函数f -－1(x ); (2)设a 1=1, 1 1+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ; (3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25 m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由 命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力 知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题 错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{ 2 1n a }为桥梁求a n ,不易突破 技巧与方法 (2)问由式子4112 1 += +n n a a 得 2 2 1 11n n a a - +=4,构造等差数列{ 2 1n a },从 而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想 解 (1)设y = 412 -x ,∵x <－2,∴x =－ 2 14y + , 即y =f －-1(x )=－2 14y + (x >0) (2)∵411 ,1412 2 1 2 1 =- ∴+ =++n n n n a a a a ， ∴{ 2 1 n a }是公差为4的等差数列， ∵a 1=1, 2 1n a =2 1 1a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n = 3 41-n 等比数列与等差数列概念及性质对比 1．数列的定义 顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列． 数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的． 数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义 顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列． 这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质． 3．等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具． 从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系． 4．等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是： 2b a A + =，或2 A=a＋b． 显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或 2b a A + =）是判断三数a，A，b成等差数列 的一个依据，并且，2 A=a＋b（或 2b a A + =）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或 2b a A + =）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列． 5．等差数列前n项的和 等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______． 16．已知 n n a ??? ???=312，把数列}{n a 的各项排成三角形状:Λ Λ9 87654321 ,,,,,,a a a a a a a a a 3.1.2等比数列性质 【课程分析】等数列是又一特殊数列，它与前面我们刚刚所探讨过的等差数列仅有一字之差，所以我们可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的性质。 【学情分析】学生已经学习了等差数列，对于等比数列学生对比等差数列学习较容易接受。 【学习目标】掌握等比数列的性质 一．导入新课 （一）回顾等比数列的有关概念 （1） 定义式：32121 (0)n n a a a q q a a a -====≠ （2） 通项公式：11n n a a q -= 导入本课题意：与等差数列类似，等比数列也是特殊的数列，它还有一些规律性质，本节课，就让我们一起来探寻一下它到底有一些怎样的性质。 二．推进新课 题：就任一等差数列｛a n ｝，计算a 7+a 10和a 8+a 9，a 10+a 40和a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律作一般化的推广吗？类比猜想一下，在等比数列中会有怎样的类似结论？ 引导探：… 性质1（板书）：在等比数列中，若m+n ＝p+q ，有a m a n ＝a p a q 探究二. (引导学生通过类比联想发现进而推证出性质2) 已知｛a n ｝是等比数列. （1）2537a a a =?是否成立？2519a a a =?成立吗？为什么？ （2）211(1)n n n a a a n -+=?>是否成立？你据此能得到什么结论？2()n n k n k a a a n k -+=?>是否成立？你又能得到什么结论？) 合作探：… 性质2（板书）：在等比数列中2()n n k n k a a a n k -+=?>（本质上就是等比中项） 探究三：一位同学发现：若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则232,,k k k k k S S S S S --也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？ 性质 数列{}n a 是公比为q )0(>q 的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项之和，则新构成的数列,......,...,,,)1(232n k kn n n n n n S S S S S S S ----仍为等比数列，且公比为n q 证明 ①当1=q 时，1na S n =， 则1)2()1()1(1 11111)2()1()1(==-----=-----na na na k na k na k kna S S S S n k n k n k kn （常数），所以数列}{)1(n k kn S S --是数学必修5导学案：1-2 第2课时等比数列的性质
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