下载文档原格式
希腊数学家丢番图
丢番图
丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著《算术》在代数符号、数论、代数⽅程解法等⽅⾯均有重要贡献，其不定⽅程理论对后世产⽣了巨⼤影响，以⾄后⼈把整系数不定⽅程称为“丢番图⽅程”．
关于丢番图的⽣平，我们仅能从其墓志铭中略知梗概，这篇墓志铭本⾝就是⼀个有趣的数学问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔（Metrodorus ）收⼊⼀部数学问题集中，得以流传⾄今：
这是⼀座⽯墓，
⾥⾯安葬着丢番图．
请你告诉我，
丢番图寿数⼏何？
他⼀⽣的六分之⼀是幸福的童年，
⼗⼆分之⼀是⽆忧⽆虑的少年．
再过去七分之⼀的年程，
他建⽴了幸福的家庭．
五年之后⼉⼦出⽣，
不料⼉⼦竟先其⽗四年⽽终，
只活到⽗亲⼀半的年龄．
晚年丧⼦⽼⼈真可怜，
悲痛之中渡过风烛残年．
请你告诉我，
丢番图寿数⼏何？
答案：
（1）84217112161145=??
----÷+）（（岁）（2）还可以这样想：丢番图的年龄是7和12的公倍数，即是84的倍数．按常规，丢番图不可能活到84×2或者更⼤的岁数，所以他的年龄就是84岁．。
人物简介: 别具一格的墓志铭——丢番图丢番图(Diophantus，约公元3世纪)是古希腊最杰出的数学家之一，他在代数和数论方面作出过卓越的贡献。
对于丢番图的生平，人们了解的不多，只知道他大约是公元3世纪的人，曾经活跃于亚历山大里亚城。
他的一生，在他的别具一格的墓志铭上通过一道谜语式的妙趣横生的代数方程问题反映出来：“过路人，这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你，他活了多少岁。
他生命的1／6是幸福的童年；再活过生命的1／12，他长出了胡须；又过了生命的1／7，他才结婚；再过了5年他有了一个儿子；但爱子竟然早逝，只活了他寿命的一半；失去儿子后，老人在悲痛中又度过4年，终于结束了他尘世的生涯。
根据这段墓志铭，设丢番图的年龄为x，你可以列出方程算出丢番图的年龄：x 6＋x12＋x7＋5＋x2＋4＝x解方程得到：丢番图活了84岁，他是33岁结婚，38岁得子。
丢番图被誉为代数学的鼻祖，他一生中解过许多代数方程和不定方程，还写有多达12卷的《算术》一书。
这套书主要是代数和数论方面的内容，包括189个问题的叙述和解法，大多是一次、二次方程和很特殊的三次方程以及一些不定方程的解法。
丢番图建立了不定方程的理论，第一次系统地提出了代数符号，创立了运算符号。
《算术》中的一些问题构成了后来的数论问题。
有些问题的结论一直被后来的数学家们津津乐道。
著名的费尔马猜想问题，就是数学家费尔马在读了《算术》这本书的译本后，在书边写下的注释。
丢番图是一位才华横溢的数学家，他解方程的手法使人感到变幻无穷，神奇莫测。
他远远超过了同时代的许多数学家。
但由于当时希腊科学状况不景气，他的著作没有产生太大的影响。
直到《算术》一书流传到中东，16世纪、17世纪又流传到欧洲时，才真正产生了影响。
数论的一个分支，它有悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组，一般来说，其未知数的个数多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于 3世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程。
1969年，L.J.莫德尔的专著《丢番图方程》，较系统地总结了这方面的研究成果。
近十多年来，这个领域更有重要进展。
虽然如此，从整个地说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。
另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支仍然并将继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。
一次不定方程最简单的一次不定方程是二元一次不定方程(1)式中α1,α2，n是给定的整数，α1α2≠0。
在17世纪,已经知道方程(1)有整数解的充分必要条件是(α1,α2)能整除n，并当(1)有解时，可用辗转相除法来求(1)的一组解。
设(α1,α2)=1，则(1)的全部整数解可表为(2)式中x0,y0为(1)的一组解,t为任意整数。
称(2)为方程(1)的通解。
（1）式的复解对于不定方程：AX-BY=1.我们知道，只要（A,，B）=1，就必然有整数解。
猜想：当A<B时，有解X，Y。
当A>B时，X与Y互换位置。
即：AX-BY=1，A'Y-BX=1；A<B<A'。
是否也有X，Y的共同解。
例如：A<B时：B=17，A=7时，X=5，Y=2.。
即：7×5-17×2=1。
A>B时即A'>B：B=17，A=43时，X=5，Y=2。
即：43×2-17×5=1。
目前没有发现反例。
例如：1，B=5，A=3，A'=11，X=2，Y=1.即3×2-5×1=1；11×1-5×2=1。
1丢番图逼近数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。
这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。
数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。
由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。
1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。
由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜<q-2。
当α是有理数时，上式不成立。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。
但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。
1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里ψ(q)(q>0)是正的非增函数。
此即所谓丢番图逼近测度定理。
例如，对几乎所有的实数α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜<q只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜<q-2(ln q)-1有无穷多对整数解。
丢番图逼近与连分数有密切联系。
一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。
例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数p n/q n,满足不等式1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/q d。
亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜<q-μ只有有穷多个解p/q。
根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。
以后一些数学家不断改进指数μ的值，直到得出μ与d无关的结果。
线性丢番图方程赵冲1. 线性丢番图方程的问题背景不定方程的整数解问题是数论的一个重要课题，在现实生活中,该问题有很强的实用意义.一个简单的例子是求用给定面值的邮票凑成所需邮资的全部解法。
一个较为复杂的例子是为判定某未知蛋白质分子组成,需将其分子量表为n 种氨基酸的已知分子量1a ，，n a 的线性组合，显然i a 及其待求组合系数都是非负整数,而且只给出一种或几种可能的分解是不够的,必须提供全部可能的分解,以供生物学家们选择。
Def1 ()11221,,,1s s s a x a x a x n a a +++==（1）称为2s ≥元一次线性丢番图方程。
求一个仅与()1,,i a i s =有关的整数()1,,s g a a ，在()()11,,,,1s s n G a a g a a ≥=+时，方程（1）有非负整数解()1,,i x i s =，而在()1,,s n g a a =时，方程（1）无非负整数解。
Def2 ()1,,s g a a 称为整系数线性型的最大不可表数，()1,,s G a a 称为Frobenius 数。
求()1,,s G a a 的问题就是历史上著名的Frobenius 问题。
当2n =时，该问题已彻底解决。
在有解的情况下，本文将详细讨论二元一次和三元一次线性丢番图方程的Frobenius 问题。
2. 2s ≥元一次线性丢番图方程1122n n a x a x a x n +++=何时非负整数解()1,,i x i s =定理2.1 设1a ，，s a 是不全为零的正整数，对任意的整数n ，都存在1x ，，s x 使得方程1122s s a x a x a x n +++=成立当且仅当()1,,|s a a n 。
特殊的，方程（1）对每个n 有解当且仅当()1,,1s a a =【1】。
证明 设()1,,s d a a =因为()|1,,i d a i s =，如果方程（1）有整数解()1,,i x i s =，那么|d n则存在某个整数q 使得n dq = 由()1,,s d a a =得存在整数1y ，，s y ，使得1122s s a y a y a y d +++=（2） 再令()1,,i i x y q i s ==则方程（2）可化为1122s s a y q a y q a y q dq +++=（3）即1122s s a x a x a x n +++=特殊的，当()1,,1s a a =时，方程（1）对任意整数n 都有解。
[科目]数学[关键词]丢番图/方程/算术[标题]丢番图方程一瞥[内容]丢番图方程一瞥丢番图是古希腊亚历山大里亚时期的数学家，对他的生平人们知之甚少。
传说公元4世纪的一部诗集中有一首短诗，以谜语体裁叙述了他的经历；又传说在一本问题集里有一道解方程问题，反映了他的生平；还传说在他的墓志铭中讲述了他的一生。
所有这些传说，无非是如下一段文字： 此人一生中，幼年占61，青少年占121，又过71岁月结婚，婚后5年喜得子，但先父4年而卒，寿为其父之半。
这段文字可以列成方程x 61+x 121+x 71=5+x 21+4=x,解之得x=84。
丢番图活了84岁。
丢番图对数学有两大贡献，其一是采用缩写方式简化数学表达，人称缩写代数，推进了数学符号的采用；其一是求解不定方程，人称丢番图方程，开辟了数论研究的一个重要领域，这个领域后来被称为丢番图分析。
丢番图曾写过三部书，其中13卷本的《算术》最为出色，后失传。
大约在1463年雷琼蒙塔努力发现了这部书的6卷，1560年，帕茨发现了这部书原稿抄本，1621年出版了《算术》的拉丁文、希腊文版本。
《算术》中大部分问题是求解不定方程的，其解法非常巧妙，很少给出一般法则，即使性质相近的题，其解法也会大不相同。
著名数学家汉克尔说：“研究丢番图100道题后，去解第101道，仍然感到困难重重。
”请看3道例题：例1“对于给定的两个数分别加上某个数，使它们成为两个平方数。
”丢番图的解法用现代记号可表示如下（后同）：设方程组a +x =y 2b +x =z 2取a =2,b =3；构成差（3+x ）-（2+x ）=1；找两个数，令其乘积等于这个差，取4和41，； 设2+x =22414⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-或3+x =22414⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+; 由此解得x =6497，为所求。
例2“已给定一个数为两个平方数之和，把它分成另外两个平方数之和。
” 设方程x 2+y 2=z 12+z 2 2例3“求四个数，使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数，所得的仍是一个平方数。
趣味数学之丢番图和谜语方程
趣味数学之丢番图和谜语方程
丢番图（约246—330）是古希腊最杰出的数学家之一，他被人们誉为“代数学的鼻祖”。
他写了不少数学著作，其中《算术》一书是关于代数的一部最早的论著。
它独树一帜，完全避开了几何的形式。
在这本书中，我们第一次看到了代数符号的有系统的使用；看到了各种不定方程的巧妙解法。
在数学史上，这部书的重要性可以和欧几里得的《几何原本》相媲美。
可是，这位被誉为代数学鼻祖的.丢番图，他的生平事迹几乎一点也没有留下来，人们只是偶然地在他的墓志铭上知道了他的一些情况。
有趣的是，他一生的大概情况却是用一道谜语式的代数方程写出来的：“过路人！这儿埋着丢番图的骨灰。
下面的数目可以告诉您他活了多少岁。
他生命的六分之一是幸福的童年。
再活十二分之一，颊上长出了细细的胡须。
又过了生命的七分之一他才结婚。
再过了五年他感到很幸福，得了一个儿子。
可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。
儿子死后，老人在悲痛中活了四年，结束了尘世的生涯。
请问您，丢番图活了多少岁，多少岁结的婚，多少岁生孩子？”
同学们，你能解答这个问题吗？解答后，请到第2页看看你做对了吗？
根据这段墓志铭可以列出方程：
解此方程，得出x=84。
即丢番图活了84岁，并且可以算出他33岁才结婚，38岁才得子。
不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。
定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
丢番图和不定方程——兼谈中国人在这方面的工作丢番图的工作埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。
在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。
亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。
他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。
英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。
”编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。
在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。
这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。
在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。
这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。
他是第一个引进符号入希腊数学的人。
如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。
”第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。
”第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。
”写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有：a2＋b2＝c2a＋ b＋ c＝N3这里就要考虑到三次方程了。
这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程。
丢番图方程
丟番圖方程又名不定方程、整係數多項式方程，是變數僅容許是整數的多項式等式；即形式如 ax+by=c，其中所有的aj、bj和c均是整數，若其中能找到一組整數解x1,x2...,xn和y1,y2,....,yn者則稱之有整數解。
丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如右上角图的方程，其中所有的
和c均是整数，若其中能找到一组整数解
者则称之有整数解。
丢番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。
对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。
3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。
丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等。
丢番图丢番图(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活跃于亚历山大．教学．丢番图生存的年代，是根据下面的记载来确定的．在他的著作《多角数》(De polygonis numeris)中，引用了许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，约公元前175年)关于多角数的定义，而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作．这样界定的上、下限是公元前175年到公元390年．另外，M．C．普赛勒斯(Psellus，1018—约1078)写过一封信，提到阿纳托利厄斯(Anatolius，约公元280年)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图，因此两人应同时代或丢番图稍早．据此断定丢番图的活跃时期是公元250年前后．丢番图将他的杰作《算术》(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius)．历史上用这一个名字的有好几个，估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯，他是当地的主教．在任主教(公元247年)之前，曾在那里建立基督教学校(从公元231年起)．丢番图的《算术》可能就是为这些学校编写的教科书．这种推想是合情合理的，年代也和前面所说的一致．关于丢番图的生平，还有一则别开生面的记载．在一本《希腊诗文选》(The Greek anthology)中，收录了丢番图奇特的墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．这相当于方程x=84．由此知他享年84岁．丢番图的著作确实知道他有两种著作，一是《算术》，大部分保存了下来；另一种是《多角数》，只有少部分留下来．还有两种书，一是《推论集》 (Porismata)它只是在《算术》中几次提到，可能是若干数论问题的汇编，独立成册，也可能是附属在《算术》中的失传部分．此外，伊安布利霍斯(lamblichus，约公元250—约330年)所著《尼科马霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图另外一本书《分数算法》(Moriastica)，它记载了分数计算的法则，可惜已失传．丢番图的《算术》是一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》(Elements)一比高下．这书的序中说，全书共分13卷．可是现在见到的希腊文本只有6卷．长期以来，大家都认为其余的7卷早在10世纪以前已经失传．5世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书，只注了6卷，也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因．近年来，发现4卷阿拉伯文本，改变了传统的看法．1973年，G．图默(Toomer)获悉在马什哈德圣地(Mashhad Shrine)图书馆有一本阿拉伯文手抄本，经过研究，确认为《算术》的失传部分(但还不全)．这是由古斯塔伊本卢加(Qustā ibn Lūqā，活跃于860年前后)译成阿拉伯文的．后来J．塞夏诺(Sesiano)将它译成英文并加以详细注释(见[6])．经过反复推敲，塞夏诺指出这4卷在《算术》中原来的位置应该是紧接着希腊文本卷1，2，3的卷4，5，6，7，而希腊文的其余部分应是卷8，9，10．下面将按这新的顺序编排来介绍它的内容．原来的6卷希腊文本，最初是J．雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436—1476)发现的．1464年2月15日，他写信给L．比安基(Bianchi)，提到他在威尼斯找到了丢番图的《算术》，从此西方学术界才知道有6卷希腊文手抄本流传下来．最早的拉丁文译本是G．克胥兰德(Xylander，1532—1576)的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．以后又有C．－G．巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校订注释的希腊-拉丁文对照本“Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．关于这个译本，有一段饶有趣味的历史．1637年左右，P．de费马(Fermat，1601—1665)读到这译本第2卷第8题：“将一个平方数分为两个平方数”时，在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”．1670年费马的儿子S．de费马(Fermat)将他父亲的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉对照本近代，不包括新发现4卷的“丢番图全集”，标准的版本是P．唐内里(Tannery，1843—1904，法国数学史家)编辑、校订的希-拉对照本“Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis commentariis”(《亚历山大的丢番图全集，包括希腊文注释》)．最流行的英译本是T．L．希思(Heath，1861—1940)的“Diophantus of Alexan－dria，A Study in the history of Greek algebra(《亚历山大的丢番图，希腊代数学史研究》)．此外，还有德、法、英、俄及现代希腊语等多种译本．代数学的特征希腊时代“算术”(arithmetica)一词，主要指“数的理论”而言，大致相当于现在的“数论”．而数字的加、减、乘、除等运算则叫做“计算的技巧”(logistica)，和前者有明显的区别．这种分法从毕达哥拉斯时代开始，一直延续到近代，例如C．F．高斯(Gau－ss)的数论名著就叫做《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)．丢番图《算术》也是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程．现在对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支．不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理数．从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围．代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数．算术也有未知数，这未知数一般就是问题的答案，一切运算只允许对已知数来施行．在代数中既然要对未知数加以运算，就需要用某种符号来表示它．就引入未知数，创设未知数符号以及建立方程的思想(虽然未有现代方程的形式)这几方面来看，丢番图《算术》完全可以算得上是代数．当时代数学没有专门的名称，algebra是9世纪花拉子米(al－Khowarizmi)以后才出现的名称，而且直到17世纪还没被欧洲人普遍接受．丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的．他被后人称为“代数学之父”也是有一定道理的．希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命他才是可靠的．为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣，一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入僵硬的几何模式之中．直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊．例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4)，而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果．下面通过一个例子来说明丢番图解决问题的手法．卷Ⅱ第20题：求两数，使得任一数的平方加上另一数等于一个平方数．([10]，p．101．)这相当于不定方程x2+y=m2y2+x=n2要求所有的未知数x，y，m，n都是正有理数．丢番图只设一个未知数，也只使用一个未知数的符号，这是他的特点之一，今暂记作x．其余的未知数根据问题的具体条件用含x的一个简单式子表示出来．本例的条件是x2加上另一个未知数等于一个平方数，故可设这个未知数是2x+1，因为x2+ 2x+1正好是一个完全平方．其次，还应该满足(2x+1)2+x=平方数．丢番图设右端是(2x-2)2，显然是想使展开后左右两端相同的4x2项-2是怎样来的？不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2，原文很简单，没有说明这样设未知数的理由，更没有给出一般的法则．他虽然知道问题有多个答案，但常常得到一个答案就已满足．他认为代数方法(可理解为一种倒推法，先假设未知数存在，列出方程然后求解)比几何的演绎陈述更适宜于解决问题．解题的过程中显示出高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜．有的数学史家说，如果丢番图的著作不是用希腊文写的，人们就不会想到这是希腊人的成果，因为看不出有古典希腊数学的风格，从思想方法到整个科目结构都是全新的．如果没有丢番图的工作，也许人们以为希腊人完全不懂代数．有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人．代数符号G．H．F．内塞尔曼(Nesselmann，1811—1881)根据符号使用的情况，将代数学分为三类(见[12]，pp．301—306)：(1)文词代数(rhetorische algebra)，完全用文字来叙述而不用符号；(2)简字代数(synkopierte algebra)；(3)符号代数(symbolischealgebra)，除了个别地方，一切全用符号来表示．按照这个分类，丢番图《算术》应该属于第二类．符号的使用，在数学史上是一件大事．一套优良的符号，绝不仅仅是起到加快速度、节省时间的作用，它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系．一个较复杂的式子，如果不用符号而日常语言来表述，会十分冗长而含混不清．符号的发明在数学史上是一次飞跃，也是代数的特征之一，其作用是不容低估的．丢番图创设了一些符号，多半采自相应文字的字头，而问题的叙述主要仍然是用文字，和现代的符号代数相去甚远，只可算是较原始的简字代数．号来表示它．由于丢番图本人的原始手稿早已失传，后人传抄的手稿上这个符号又不很统一，故很难确知他用的是什么符号．不过几种手稿都记数法系统是用字母表数，如α，β，γ，δ，…分别表示1，2，3，4…；ι，κ，λ，μ，…分别表示10，20，30，40，…；ρ，σ，τ，υ，…分别表示100，200，300，400，…等等，24个字母值得注意的是，在一份大约写于2世纪的纸草书上，也出现和丢番图未知数相类似的符号，上面所列的三个算题，解题方法也具有丢番图的风格．可以想象，丢番图的工作不是孤立的，他受到强烈的外来影响．丢番图所处理的问题大部分是多元的，但他只设一个未知数的符号，相当于现在的x．而和x2，x3，…，x4相当的各次幂，都有专门的名称和符号：名称符号符号是名称的缩写，注意Δ，Υ，Κ是字母δ，υ，κ的大写．这些乘幂的倒数也有专名和符号，6次以上的幂不再创设符号．未知数的系数相乘的法则：“‘缺乏’乘以‘缺乏’得到‘存在’；‘缺乏’乘以‘存在’得到‘缺乏’”，即负乘负得正，负乘正得负，由于没有加号，书写时所有的负项都放在减号的后面，如x3-5x2+8x-1写成原意是“属于部分”，相当于“除以”或分数线/)，接着写分母．例如卷10(原希腊文本卷6)第19题，将(2x3＋3x2＋x)/(x2+2x+1)写成这已非常接近现代方程的形式．最后一个符号表示数字6，是希腊字母表以外的记号，读作digamma．丢番图创用符号是一大进步，美中不足的是只用符号表示一个未知数，遇到多个未知数时仍用同一符号，这使得计算过程越来越晦涩．为了避免混淆，不得不运用高度的技巧，但这常常使方法失去普遍性．8—9世纪以后，阿拉伯人吸取了许多希腊人的成果，然而却没有看到符号的优点，花拉子米等人完全回到文词代数上去，这是历史上的倒退．《算术》的典型问题和解答(一)一、二、三次方程《算术》没有系统地给出一、二次方程的解法．大概是一元一次方程太简单，没有必要单独论述，实际它已包含在ax n=b类型的方程之中．经过移项、消去等手续，有些问题化为这类方程之后，立即得到解答．不管答案有几个，丢番图仅满足于一个答案．他完全排斥负数解答，例如卷9(原希腊文本卷5)第2题最后化为4=4x+20，他认为是荒谬的．无理数的解答也不取。
基金项目:辽宁科技大学大学生创新创业计划专项经费资助项目摘要本文简单的阐述了一些关于丢番图方程的解法，并且对丢番图方程进行了一些分析，根据之前一些学者的研究成果，结合丢番图方程的初等和高等解法，通过对项目的一些研究方法进行分析，从而来得出对丢番图方程一些初步的求解方法，关键词：丢番图方程，不定方程，初等方法，高等方法1研究背景和意义1.1研究背景丢番图方程是数论中的一个重要的分支，在数学中，未知数个数比方程的个数多的方程我们称为不定方程。
在不定方程中，对解存在一定的区间限制条件的方程，比如说限制解的范围在整数的范围内或者是有理数的范围内的方程，我们一般称为丢番图方程，以此来纪念丢番图在《算数》这本书中对不定方程所作出的杰出贡献。
实际上来说，在我国的古代所提出的“勾三股四弦五”就已经找到了丢番图方程x2+y2=z2的一组正整数解是x=3，y=4，z=5，这个方程所得出的结果，就已经在很大程度上领先了丢番图。
丢番图方程的内容较多，与很多学科都有着密切的联系，但是唯一不足的是丢番图方程在求解的时候没有一个明确的求解方法，也就间接导致了在处理丢番图方程时的所遇到的困难较多，很多时候都不能得出理想的结果。
一般来说，我们在研究丢番图问题时所求解方程的方法只是根据一些基本的原则去尝试着对方程进行求解，其中就包括初等方法和高等方法，将丢番图方程抽象成一些较为简单且容易解决的问题的集合，所以，在研究丢番图方程时，需要对一些基本的数学知识及概念性问题有着熟练的应用方法，对数学有着深厚的底蕴。
正是因为丢番图方程求解的灵活性，使得其在许多数学竞赛中的出现频率较高。
1.2研究意义丢番图方程发展到了今天，在人类的很多问题上都做出了很大的贡献，应用该方程的数学问题在很大程度上能够反映出人们在数学上面的功底，再加上在许多的数学竞赛中频繁的使用丢番图方程来解决问题，从而能够选取一些在数学上很有天赋的新鲜血液。
丢番图方程由于其内容异常丰富，其发展前景一直都是较为良好的，而且由于其题目简单易懂，求解方法灵活多变，许多的数学人才相继加入到了研究丢番图方程的浪潮中，因此也就产生了很多价值不菲的科研成果，为数学及其他相关领域的发展做出了重大贡献。
基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。
丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。
设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
4方程相关编辑本段二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。
其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。
几种常见的不定方程的求解摘要：本文重点介绍二元一次不定方程、勾股数以及一些特殊的非一次型不定方程的常见解法。
关键词：二元一次不定方程；辗转相除法；整数分离法；勾股数；特殊的非一次型不定方程不定方程，即未知数个数多于方程个数且其解受一定限制（如解为整数，正整数等）的方程或方程组。
不定方程又叫丢番图方程，它是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。
我国对不定方程的研究已延续了数千年。
“百钱买百鸡”、“物不知其数”等堪称中外驰名，一直流传至今。
学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。
中国古代数学家张丘建曾解答了下面的问题：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”设x，y，z分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的数目，就得x+y+z=1005x+3y+■z=100：消去z，得7x+4y=100。
我们要解决这个问题，就要求出上述方程的非负整数解，这个方程仅仅是二元一次不定方程的一个具体例子。
本文主要介绍一些基本类型的不定方程有整数解的条件及其解法。
1.二元一次不定方程及其求解。
最简单的不定方程就是二元一次不定方程，下面我们考虑它有整数解的条件。
定理[1]二元一次不定方程ax+by=c…①有整数解的充分必要条件是d|c，d=（a，b），（其中a，b，c是整数，且a，b都不是0）。
证必要性，如果方程①有整数解x=x0，y=y0则ax0+by0=c。
有d|ad|b，所以d|（ax0+by0）即d|c。
充分性，因为d|c所以c=dq由于存在两个整数x0，y0使ax0+by0=d。
在上式两边同时乘以q，得ax0q+by0q=dq。
即ax0q+by0q=c 因此方程①有整数解x=x0q，y=y0q。
对于二元一次不定方程，我们介绍求x0，y0的三种常用方法：（1）观察法。
例1 求不定方程3x+4y=23的非负整数解。
解：通过观察x=1，y=5是一个特解。
实用标准文档求不定方程整数解的常用方法不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。
不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。
我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。
一般常用的求不定方程整数解的方法包括：(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 231232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此x+2=1，-1，3，-3，即x=-1，-3，1，-5，相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:18433,413337,33237107+⨯=+⨯=+⨯=从最后一个式子向上逆推得到19107)26(37=⨯+-⨯所以25)259(107)2526(37=⨯⨯+⨯-⨯则特解为⎩⎨⎧=⨯=-=⨯-=225259650252600y x通解为Z t t t y t t x ∈⎩⎨⎧++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650 或改写为.,3731078Z t ty t x ∈⎩⎨⎧+=--=(3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为z y x ≥≥所以zy x 111≤≤ 所以 z z z z y x z 1111111++≤++〈 即 zz 311≤〈 所以31≤〈z所以.32==z z 或当2=z 时有 2111=+y x所以yy y x y 11111+≤+〈 所以y y 2211≤〈 所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有3211=+y x 所以y y y x y 11111+≤+〈 所以 y y 2321≤〈 所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 37412313710725y y y x +-+-=-=则令 12374,37412=-∈=+-m y Z m y 即由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t ty t x ∈⎩⎨⎧=+--=,3731078注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.⎩⎨⎧⎩⎨⎧∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或(5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解 原方程等价于0)28(5)1(331405314353=-+-⇔+=+⇔=+y x y x y x因为()15,3=所以⎩⎨⎧∈=-=-Z t ty t x ,32851所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-=(6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解 显然y x ≠,不妨设0〉〉y x因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令112,2v y x u y x =-=+则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以1111,v u y v u x -=+=代入原方程得1642121=+v u同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有822222=+v u 再令3223222,2v v u u v u =-=+得412323=+v u此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且 []641033=≤〈〈u v取,5,4,3,2,13=v 得相应的16,25,32,37,4023=u 所以，只能是.4,533==v u从而2,18==y x结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为717171=+++n m 整理得 ()()()().49,777777=++=+++mn n m n m 即所以49,1;7,7;1,49332211======n m n m n m相应地56,8;14,14;8,56332211======y x y x y x所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解 由题意得⎩⎨⎧==++ac b c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程()().0132622=-+-+a c a c 因为()().3520,01342622≤≤≥---=∆a a a 解得因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时;9311641⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时;912161416⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或(9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意 045222=+-+-y y x x 即()021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 所以 21,1==y x 所以23211=+=+x y y x(10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得⎩⎨⎧=⋅-=+pq x x q p x x 51082121 因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以⎩⎨⎧==p q p q pq pq x q p q p x ,,5,5,,55,5,,,5,121 所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以,1,5885,1710⎩⎨⎧--=-=+q p 解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对. ④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数;当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=k kx y x y 3的解，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=1413k k y k k x 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得.3,5,1,3,0,2-=k综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值. 解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为()()(),25223229843222k k k k k k k x ++±+-=++±+-= 由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式.可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即()(),512222⨯=--++k m k m因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为()044342=-+-xy y x因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数所以()04322=-+-n x x因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数，即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以()()722=-+m n m n因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以12,72=-=+m n m n由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解. 解 已知方程可化为ab a b =-128所以()()9696812-=+-+b a ab即()()96128-=+-b a因为a 、b 都是正整数所以1212,0〉+〉b b这样964832241612或或或或=+b所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,2丢番图（Diophantus）：古代希腊人，代数学的鼻祖，早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称整系数的不定方程为丢番图方程。
丢番图和不定方程——兼谈中国人在这方面的工作丢番图的工作埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。
在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。
亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。
他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。
英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。
”编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。
在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。
这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。
在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。
这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。
他是第一个引进符号入希腊数学的人。
如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。
”第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。
”第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。
”写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有：a2＋b2＝c2a＋ b＋ c＝N3这里就要考虑到三次方程了。
这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程。
以后人们为了纪念丢番图把这类方程叫丢番图方程（Diophantine Equations）。
这里举几个例子，像《算术》第二卷第8题：“将一个已知的平方数分为两个平方数。
”例如将16分成两个平方数，设一个平方数是x2，另外一个是16-x2。
由于要求是平方数：16-x2＝y2因此，我们一个方程有两个未知数x，y。
第四卷第3题：“求两个平方，使其和是一个立方数。
”写成代数式子是求：x2＋y2=z3的解。
丢番图不限定解是整数的问题，而后来的人研究丢番图方程多局限为整数解，这是和他不同的地方。
一次不定方程我们现在先考虑最简单的只有两个未知数的一个一次不定方程。
这类方程一般是形如 ax ＋by=c， a、 b、 c都是整数。
一般人认为这是印度数学家婆罗笈多（Brohmagupta）所给出的解决，他的方法事实上是用欧几里得的辗转相除法，我们举几个例子来说明。
例1 求1027x＋712y＝1的整数解。
我们这里a=1027， b＝712， c=11＝1×13-3×4=-3×69+16×13＝16×82-19×69=-19×315＋73×82＝73×712-165×315=-165×1027+238×712于是x0=－165，y0=238是方程的一个特殊解。
例 2 求 33x＋17y=13的整数解。
先求 33x＋17y=1的整数解所以 1=17×1-16×1＝33×1-16×2故 13=33×13-16×（2×13）即x0=13，y0=26是 33x＋17y=13的特殊解。
我们有下面的定理：[定理] 丢番图方程 ax＋by=c有解，当且仅当 a、 b的最大公约数d=（a，b）能整除c。
而它的一般解是：x=x0+Bty=y0-At这里（x0，y0）是方程的一个特殊解，A，B由a=Ad，b=Bd给出，t是任意的整数。
因此方程 33x＋17y=13的一般解是：x=13+17ty＝26-33t《九章算术》的“五家共井”问题在中国的一部最早的数学专门著述《九章算术》里有一个问题是不定方程组的问题。
在这书的第八章《方程》的第13题是这样：“今有五家共井，甲2绠（绠是汲水桶上的绳索）不足如乙1绠，乙3绠不足如丙1绠，丙4绠不足如甲1绠，丁5绠不足如戊一绠，戊6绠不足如甲1绠。
如各得所不足1绠，皆逮（达到的意思）。
问井深绠长各几何？”这书在汉朝写成，文字是古汉语对我们来说是不太容易看得懂。
现在翻译成白话：“有五个家庭共同用一口井，他们用甲、乙、丙、丁、戊五根长短不一样的绳子汲水，甲绳两根连接起来还不够井深，短缺数刚好是乙绳的长。
乙绳3根连接还不够井深，短缺数刚好是丙绳的长，丙绳4根连接还不够井深，短缺数刚好是丁绳的长，丁绳5根连接不够井深，短缺数是戊绳的长，戊绳6根连接不够井深，短缺是甲绳的长。
问井深、绳长各多少？”我们假定甲、乙、丙、丁、戊绳分别为x，y，z，s，t以及井深为u。
于是根据题意，我们得到下面的方程组：2x＋y＝u——（1）3y＋z = u——（2）4z＋s＝ u——（ 3）5s＋t＝u——（4）6t＋x＝u——（5）这里是有6个未知数5个方程式，因此是不定方程组。
我们试试解这方程组：2×（5）-（1）得： 12t- y = u——（6）3×（6）＋（2）得：36t＋z＝ 4u——（7）4×（7）-（3）得：144t-s=15u——（8）5×（8）＋（4）得：721t=76u《张丘建算经》的“百钱买百鸡”问题在距今1500多年前的南北朝时期（公元500年左右），有一位叫张丘建的数学家编辑了一本算术书叫《张丘建算经》，在下卷第38题有一个不定方程组问题。
原文如下：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。
凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”如果用x，y，z代表鸡翁，鸡母，小鸡的个数，由题意可得：x＋y＋z=100——（2）3×（1）-（2）得 14x＋8y=200化简 7x＋4y=100先解 7x＋4y=11=4-1×3＝4-（7-4×1）＝4×2-7×1＝7×（-1）＋4×2所以 7x＋4y=100的特殊解是：x0＝-100y0＝200故 7x＋4y=100的一般解是：x=-100+4ty＝200-7t由于 0＜x， y，z＜100所以 0＜-100＋4t＜100——（3）0＜200-7t＜100——（4）因此t只能是26，27，28。
所以我们得三组答案：t 鸡翁鸡母小鸡[1] 26 4 18 78[2] 27 8 11 81[3] 28 12 4 84“百鸡问题”在张丘建的书提出之后，历代的中国数学家都有叙述。
北周甄鸾在《数术记遗》，南宋杨辉在《续古摘奇算法》（1275年）也研究“百鸡问题”，在该书里有一道这样的题目：“钱一百买温柑、绿结、扁桔共一百枚，只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文，问各买几何？”这里鸡变成了柑桔！而杨辉还提出将“百鸡问题”转变为“鸡兔同笼”问题。
在清朝研究“百鸡术”的人很多像骆腾凤、时曰醇、丁取思、黄宗宪都是。
我们会在下面的部分再介绍他们的工作。
在9世纪印度数学家摩诃吠罗（Mahavira）在他的著作中有不定方程问题，和“百鸡问题”完全相同的形式出现！日本人在18世纪数学受中国的影响很大，会田安明写的《诸约混一术》有：“百钱买百果，柿每十个值十钱，梨每十个值二十钱，粟每十个二钱，问三种果各几个？”你能不能找出11组答案？《孙子算经》的“物不知数”问题成书比《张丘建算经》还要早一些的《孙子算经》共有三卷。
在下卷有一些算术难题，像“鸡兔同笼”的问题。
可是最著名的是第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如我们设未知数为N，则依题意我们得下面的不定方程组：3x＋2＝ N5y＋3＝ N7z＋ 2＝ N古代称这问题为“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“韩信点兵”、“剪管术”、“神奇妙算”、“大衍求一术”等等。
明朝程大位著的《算法统宗》有一个歌诀讲这个问题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
”这是什么意思呢？它是把下面的方法用歌诀来帮助记忆：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来。
如果它大于105，则减105，还大再减，一直到不能减为止，这时所得的正数就是答数了。
因此以上的《孙子算经》的问题，写成式子是：2×70＋3×21＋2×15=233233-2×105＝ 233-210＝ 2323就是答案了。
宋代有一本笔记，记载另外一首解法的诗歌：“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇；七度上元重相会，寒食清明便可知。
”这诗需要解释才能参透其中的奥秘，古时候称正月十五日为“上元”，所以“上元”暗指15。
古时称“冬至百六是清明”，寒食是清明前一日，所以“寒食清明”暗指105。
这间题和古代历法的推算有关，可惜这方法没有流传下来，一直到宋代数学家秦九韶写《数书九章》才有系统的叙述。
这个孙子问题在外国是称为“中国剩余定理”，我在《数学和数学家的故事》第一集有详细介绍这个问题及解法。
请参阅《举世闻名的中国剩余定理——兼谈南宋秦九韶及黄宗宪的工作》一文。
印度人在古代有类似的问题，例如在公元522年巴斯卡拉（Bhoskara）的书就有：“求一数除8剩5，除9剩4，除7剩1。
”“告诉我数学家，有一被2，3，4，5，6除都剩1，可是却能被7整除。
”中国一直到清朝由于研究数学古籍才发掘秦九韶的《大衍求一术》，在这方面工作的人有张敦仁，他在1831年写《求一算术》，骆腾凤在1815年的《艺术录》中讨论大衍求一术，1873年时曰谆的《求一术指》及黄宗宪1874年《求一术通解》。
我这里想提一点是，时曰谆像著名的欧拉一样，到了晚年两只眼睛都瞎了，他在儿子的协助之下，仍顽强地研究和写作，我会在今后的《数学和数学家的故事》中介绍他的一些工作。
勾股数在丢番图的《算术》第二卷第8题是：“将一个已知的平方数分为两个平方数。
”该问题是来源于几何的毕达哥拉斯定理，中国由于在《周髀算经》有周公问商高关于测天高的问题，基本上是勾股定理，有人建议称为商高定理。
满足不定方程x2＋y2＝z2，x＜y＜z的自然数（ x，y，z）称为勾股数。
《周髀算经》提出“折矩以为勾广三、股修四、径隅五”，因此早在公元前1世纪（即2000多年前），我们的祖宗已经知（3，4，5）是勾股数。
