2020届山东省菏泽一中高三下学期在线数学试题

2020届山东省菏泽一中高三下学期在线数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数z 1,?z 2在复平面内对应的点分别为(1,?1)?, (0,?1)，则z

1

z 2

=（ ）

A ．1+i

B ．?1+i

C ．?1?i

D ．1?i

2．已知集合(1,3]A =-，201x B x x ??

+=≤??-??

，则A B =（ ）

A ．[2,1)-

B ．(]1,1-

C ．(1,1)-

D ．[2,3]-

3．在二项式5

21x x ??- ??

?的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）．

A ．10-

B ．5-

C ．10

D ．5

4．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A ．

5

9

B ．

49

C ．

716

D ．

916

5．已知点()2,4M 在抛物线C :2

2y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是

( ) A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

6．在ABC 中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则（ ） A ．2y x =

B ．2y x =-

C ．2x y =

D ．2x y =-

7．已知双曲线C :22221x y a b

-=,(0a >,0b >)的左?右焦点分别为1F ,2F ,

O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==,(0m >),2

12

PF PF m ?=,则双曲线C 的渐近线方程为( )

A ．1

2

y x =±

B ．2

y x =±

C ．y x =±

D ．y =

8．已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )

A ．233231log 224g g g --?????

?>> ? ? ???????

B ．23

3231log 224g g g --?????

?>> ? ? ???????

C ．2

3323122log 4g g g --?????

?>> ? ? ???????

D ．2332

3122log 4g g g --??????>> ? ? ???????

二、多选题

9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）

A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于

4

π

B ．点

C 到面11ABC

D 的距离为

2

C ．两条异面直线1

D C 和1BC 所成的角为

4

π

D ．三棱柱1111AA D BB C -10．要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π?

?=+ ??

?图象2C 怎样变化得到

( )

A ．将sin 23y x π?

?

=+

??

?

的图象2C 沿x 轴方向向左平移

12

π

个单位

B ．将sin 23y x π??

=+

??

?的图象2C 沿x 轴方向向右平移

1112

π

个单位 C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512

π

个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12

π

个单位

11．已知集合()(){}=

,M x y y f x =,若对于()1

1

,x y M ?∈,()2

2

,x y M ?∈,使得

12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:

(){}2

1,1M x y y x =

=+;(

){2

,M x y y ==

;(){}3,x

M x y y e =

=;

(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )

A ．1M

B ．2M

C ．3M

D ．4M

12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利

克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Q

y f x x C Q ∈?==?∈?

其中R 为实数集,Q 为有理

数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数

B ．1x ?,2R x

C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x T

f x 对任意的x ∈R 恒成立

D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()

33C x f x ，,使得ABC ?为等腰直角三角形

三、填空题

13．已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ?为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________； 14．已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a =

15．已知ABC ?的顶点A ∈平面α,点B ,C 在平面α异侧,且2AB =

,AC =若

AB ,AC 与α所成的角分别为3π,6

π,则线段BC 长度的取值范围为______.

四、双空题

16．2021年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得

到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间Ｔ(单位:年)的衰变规律满足573002T

N N -=?(0N 表示碳

14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的______;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的

37至1

2

,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到______年之间.(参考数据:lg 20.3≈,lg 70.84≈,lg30.48≈)

五、解答题

17．

cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；

③sin sin 2

A C

b A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________

，b =4a c +=，求ABC ?的面积.

18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n n

n b a =

,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1

250n n T n -?=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.

19．《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.

(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;

(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --

的余弦

值.

20．李克强总理在2021年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,,6)i i x y i =，如表所示：

已知6

1

1606i i y y ===∑.

（1）若变量,x y 具有线性相关关系，求产品销量y （百件）关于试销单价x （千元）

的线性回归方程???y

bx a =+； （2）用（1）中所求的线性回归方程得到与i x 对应的产品销量的估计值i y .当销售数据

(),i i x y 对应的残差的绝对值?1i i y y -

≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”.

现从6个销售数据中任取3个子，求“好数据”个数

ξ的分布列和数学期望()E ξ.

（参考公式：线性回归方程中??

,b

a 的估计值分别为1

2

2

1

???,)n

i i

i n

i

i x y nxy

b a

y bx x

nx =-=-==--∑∑. 21．给定椭圆C :22

221x y a b

+=(0a b >>),称圆心在原点O ,的圆是椭

圆C 的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率

2

,点(在C 上. (1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;

(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M ,N ,证明:弦长MN 为定值. 22．已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数. (1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;

f x有且仅有两个不同的零点.

(2)求证:()

参考答案

1．D 【解析】 【分析】

由已知条件可得z 1,z 2，然后代入z

1

z 2

，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】

∵复数z 1,z 2 在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1）， ∴z 1＝1+i ，z 2＝i ．

∴z 1z

2

=1+i i

=

?i(1+i)?i 2

=1?i ．

故选：D ． 【点睛】

本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 2．C 【分析】

对集合B 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】

201x B x x ??+=≤??-??

，

解

2

01

x x +≤-，得21x ，

所以[)2,1B =

-

因为(]1,3A =-， 所以()1,1A

B =-，

故选：C. 【点睛】

本题考查解分式不等式，集合的交集运算，属于简单题. 3．C 【分析】

利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为4求得．

解：对于251031551

()()(1)r r

r r r r r T C x C x x

--+=-=-， 对于10﹣3r ＝4， ∴r ＝2，

则x 4的项的系数是C 52（﹣1）2＝10 故选C ．

点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）

考查二项展开式的通项公式1C r n r r

r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）

（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 4．B 【分析】

有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n ＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种

类相同包含的基本事件个数m 23

43C A ==36，则可得他们中有且仅有2人领取的礼品种类相

同的概率． 【详解】

从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n ＝34＝81，

他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 23

43C A ==36，

则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p 364819

m n ===． 故选：B ． 【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．A 【分析】

将点()2,4M 的坐标代入抛物线方程，求出4p =，即得焦点(2,0)F ，利用抛物线的定义，即可求出．

由点()2,4M 在抛物线2

2y px =上，可得164p =，解得4p =，

即抛物线2

:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ． 【点睛】

本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题． 6．D 【分析】

画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解 【详解】

如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，

()()

111121

326233

EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=

+=++-=-， 21

,,233

x y x y ∴==-∴=-

故选：D 【点睛】

本题考查平面向量的基本定理，属于基础题 7．D 【分析】

利用双曲线的定义求出2m a =，由向量的数量积，可求出12F PF ∠，利用余弦定理可得,a c 的关系式，结合222c a b =+，即可求出．

因为122PF PF a -=，1222PF PF m ==可得2m a =，由2

12PF PF m

?=可得 21242cos 4a a F PF a ?∠=，所以1260F PF ?∠=，

即有2

2

2

21

4416242122

c a a a a a =+-???

=，即22223c a b a =+=，

所以

b

a

=

所以双曲线的渐近线方程为：y =． 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 8．B 【分析】

根据定义，可判断出()g x 为偶函数，根据其导数可得出，0x >时，函数()g x 单调递增，

0x <时，函数()g x 单调递减，再利用奇偶性将三个函数值转化到同一个单调区间上的函

数值，即可比较出大小． 【详解】

由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及 当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，

由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数．

因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<． 故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．

因为()331log log 44g g ??= ??

?， 2303232221log 4--

<<=<

所以23

3231log 224g g g --?????

?>> ? ? ???????

．

【点睛】

本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性，比较大小，涉及指数函数，对数函数的性质以及利用导数研究函数单调性，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属于中档题． 9．ABD 【分析】

对于A ，由直线与平面夹角的定义可知1CBC ∠即为直线BC 与平面11ABC D 所成的角，结合正方体性质即可得解；对于B ，由1B C ⊥平面11ABC D ，可知C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即可求解；对于C ，由于11//BC AD ，则异面直线1D C 和1BC 所成的角为

1AD C ∠，根据边的关系即可得解；对于D ，正方体1111ABCD A B C D -的外接球即为三棱

柱1111AA D BB C -外接球，由外接球性质即可得解. 【详解】

正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，

对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14

CBC π

∠=

，故A 正确；

对于B ，因为1B C ⊥平面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2

h =，故B 正确；

对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为

3

π

，故C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体

1111ABCD A B C D -的外接球，故22

r ==

，故D 正确． 综上可知，正确的为ABD ， 故选：ABD. 【点睛】

本题考查了空间结构体线面位置关系的综合应用，直线与平面的夹角，直线与平面垂直性质，

点到平面距离及三棱柱外接球的求法，属于中档题. 10．ABC 【分析】

根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到． 【详解】

对于A ，将sin 23y x π??

=+

??

?

图象2C 沿x 轴方向向左平移12π

个单位，可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ?????

?=++=+= ? ????

?????的图象1C ，故选项A 正确；

对于B ，将sin 23y x π??=+ ?

??的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到， 113sin 2sin 2cos 21232y x x x π

ππ?????

?

=-

+=-= ? ????

??

?

??的图象1C ，故选项B 正确； 对于C ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π??

=-+

??

?

的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移

512π个单位，得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ?????

?=--+=--= ? ????

?????的图象1C ，故选项C 正确；

对于D ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π??

=-+

??

?

的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移

12

π

个单位，得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ??

?

??

?=-+

+=-+=- ? ?????????

图象，故选项D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】

本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，以及逻辑推理能力，属于基础题． 11．BD 【分析】

根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断． 【详解】

由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．

在2

1y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；

对y =

所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；

在x

y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”

集合；

对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】

本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题． 12．ACD 【分析】

根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】

对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；

对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，

故选项B 错误；

对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；

对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：

①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；

②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；

③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；

④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．

综上，不存在三个点()()

11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()

33C x f x ，，使得ABC ?为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】

本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题． 13

．【分析】

根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O 到直线0x y a -+=的距离,再用公式求解即可. 【详解】

由题,因为AOB ?为等腰直角三角形,

故2AB =

=,故圆心O 到直线0x y a -+=的距

离1d ==.

1

a

=?=

故答案为：【点睛】

本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题. 14．3 【解析】 【分析】

设切点为（x 0，y 0），求出函数y ＝ln （x+a ）的导数为y '＝1

x a +，得k 切＝0

1x a +＝1，并

且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），进而求出a ． 【详解】

设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝

1

x a

+． 所以k 切＝01

x a

+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．

故答案为3． 【点睛】

本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.

15

．

【分析】

由题意画出图形，分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ， 根据()

2

2

2

11111127

4

BC BB B C C C

B C =++=+

可知，线段BC 长度的最大值或最小值取决于11B C 的长度，而111111AB AC B C AB AC -≤≤+，即可分别求出BC 的最小值与最大值． 【详解】

如图所示：

分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ．

由已知可得，1BB =1CC =11

AB =，1

32AC =． ∵1111BC BB BC C C

=++， ()

2

2

2222211111111111111327

23344

BC BB B C C C

BB B C C C BB C C B C B C =++=+++?=+++=+

而111111AB AC B C AB AC -≤≤+，

∴当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点同侧时，BC

长度最小，此时111131122B C AB AC =-=-=，BC = 当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点异侧时，BC 长

度最大，此时111135122B C AB AC =+=+=，BC =．

∴线段BC 长度的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题． 16．

1

2

6876 【分析】

把5730T =代入573002

T

N N -=?，即可求出；再令

3

57307

2

T ->，两边同时取以2为底的对数，

即可求出T 的范围． 【详解】 ∵57300

2

T

N N -=?，∴当

5730T =时，1001

22

N N N -=?=

， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12

， 由题意可知：

3

57307

2

T ->，

两边同时取以2为底的对数得：5730

22

3log 2log 7

T ->， ∴3

lg

lg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2

T -->=≈-，

6876T ∴<，

∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间． 故答案为：1

2

；6876． 【点睛】

本题主要考查了对数的运算， 以及利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题．

17． 【分析】

无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式sin sin()A B C =+，展开后，可求得B 角，再由余弦定理2222cos b a c ac B =+-求得ac ，从而易求得三角形面积． 【详解】

在横线上填写cos )sin b C a c B -=”.

cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，

得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.

所以sin B B =.

又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），

所以tan B =又0B π<<，得23

B π

=

.

由余弦定理及b =

得222

22cos

3

a c ac π=+-， 即2

12()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.

所以1sin 2ABC S ac B =

△1422

=??=在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得

2sin sin 2sin cos A C B C ++=.

又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1

cos 2

B =-.又(0,)B π∈， 所以23

B π=

由余弦定理及b =

得222

22cos

3

a c ac π=+- 即2

12()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.

所以11sin 422ABC

S

ac B =

=?=

在横线上填写“sin sin

2

A C

b A +=”

解：由正弦定理，得sin sin sin 2

B

B A A π-=.

由0A π<<，得sin A θ≠，

所以sin 2

B B =

由二倍角公式，得2sin

cos 222

B B B =. 由022B π<

<，得cos 02B ≠

，所以sin 22

B =

. 所以

23

B π=，即23B π

=.

由余弦定理及b =

得222

22cos

3

a c ac π

=+-. 即2

12()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =. 所以1sin 2ABC S ac B =

△142=?

=【点睛】

本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式等，正弦定理进行边角转换，求三角形面积时，

①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；

②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 18．(1)证明见解析,12n n a ;(2)不存在,理由见解析.

【分析】

(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系

11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥? ，即可求出{}n a 的通项公式；

(2)根据12

n n n n n

b a -=

=，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入