算法初步、推理与证明、复数知识点
§13.1 算法与流程图
1.以下对算法的描述正确的有 个.
①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③计算可以一步步地进行，每一步都有确切的含义； ④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果. 答案 4
2.任何一个算法都必须有的基本结构是 . 答案 顺序结构
3.下列问题的算法适宜用选择结构表示的是 （填序号）. ①求点P （-1，3）到直线l :3x -2y +1=0的距离 ②由直角三角形的两条直角边求斜边 ③解不等式ax +b ＞0 (a ≠0) ④计算100个数的平均数 答案 ③
4.下列4种框图结构中，是直到型循环结构的为 （填序号）
.
答案 ②
5.（2008·广东理，9）阅读下面的流程图，若输入m =4，n =3，则输出a = ，i = .（注：框图中的赋值符号“←”也可以写成“=”或“：=”）
答案 12 3
基础自测
例1 已知点P （x 0，y 0）和直线l :Ax +By +C =0，求点P （x 0，y 0）到直线l 的距离d ，写出其算法并画出 流程图. 解 算法如下：
第一步，输入x 0,y 0及直线方程的系数A ，B ，C . 流程图： 第二步，计算Z 1←Ax 0+By 0+C . 第三步，计算Z 2←A 2+B 2. 第四步，计算d ←2
1Z Z .
第五步，输出d .
例2 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式，某快递公司规定甲、乙两地之
间物品的托运费用根据下列方法计算： f =??
?>?-+?≤)
100(85
.0)100(6.0100)100(6.0ωωωω
其中f (单位：元)为托运费,ω为托运物品的重量（单位：千克）.试设计计算费用f 的算法，并画出流程图. 解 算法如下： S1 输入ω;
S2 如果ω≤100,那么f ←0.6ω;否则
f ←100×0.6+(ω-100)×0.85; S3 输出f . 流程图为：
例3 （14分）画出计算12-22+32-42+…+992-1002的值的流程图.
解 流程图如下图.
14分
1.写出求解一个任意二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的最值的算法. 解 算法设计如下： 第一步，计算m ←
a
b
ac 442
-;
第二步，若a ＞0,输出最小值m ; 第三步，若a ＜0，输出最大值m .
2.到银行办理个人异地汇款（不超过100万元），银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取，超过5 000元，一律收取50元手续费，试用条件语句描述汇款额为x 元时，银行收取手续费y 元的过程，画出流程图.
解 这是一个实际问题，故应先建立数学模型，
y =??
?
??≤<≤<≤<000
00010005.500005100,01.01000,1x x x x 由此看出，求手续费时，需先判断x 的范围，故应用选择结构描述.
流程图如图所示：
3.利用两种循环写出1+2+3+…+100的算法，并画出各自的流程图. 解 直到型循环算法： 第一步：S ←0； 第二步：I ←1； 第三步：S ←S +I ； 第四步：I ←I +1；
第五步：如果I 不大于100，转第三步；否则，输出S . 相应的流程图如图甲所示
.
当型循环算法如下： S1 令i ←1,S ←0
S2 若i ≤100成立，则执行S3；否则，输出S ，结束算法 S3 S ←S +i
S4 i ←i +1，返回S2 相应的流程图如图乙所示.
一、填空题 1.算法： S1 输入n ；
S2 判断n 是否是2,若n =2,则n 满足条件，若n ＞2,则执行S3；
S3 依次从2到n-1检验能不能整除n，若不能整除n，满足上述条件的是 .
答案质数
2.在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构 .
答案选择结构和循环结构
3.阅读下面的流程图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是 .
答案75，21，32
4.如果执行下面的流程图，那么输出的S= .
答案 2 550
5.（2009·兴化市板桥高级中学12月月考）如下图的流程图输出的结果为 .
答案132
6.如图所示，流程图所进行的求和运算是 .
答案
2
1+
4
1+
6
1+…+
20
1
7.（2008·山东理，13）执行下边的流程图，若p =0.8，则输出的n = .（注：框中的赋值符号“←”，也可以写成“=”或“:=”）
答案 4
8.若框图所给的程序运行的结果为S =90，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 .
答案 k ≤8
二、解答题 9.已知函数f (x )=??
?≥-<-)
0(52)0(13x x
x x ,写出该函数的函数值的算法并画出流程图.
解 算法如下： 第一步，输入x .
第二步，如果x ＜0,那么使f (x )←3x -1;
否则f (x )←2-5x .
第三步，输出函数值f (x ). 流程图如下：
10.写出求过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线的斜率的算法，并画出流程图.
解 由于当x 1=x 2时，过两点P 1、P 2的直线的斜率不存在，只有当x 1≠x 2时，根据斜率公式 k =
1
212x x y y --求出，故可设计如下的算法和流程图.
算法如下：
第一步：输入x 1,y 1,x 2,y 2;
第二步：如果x 1=x 2,输出“斜率不存在”，否则， k ←
1
212x x y y --;
第三步：输出k .
相应的流程图如图所示:
11.画出求
2
11?+
3
21?+
4
31?+…+
100
991?的值的流程图.
解 流程图如图所示：
12.某企业2007年的生产总值为200万元，技术创新后预计以后的每年的生产总值将比上一年增加5%，问最早哪一年的年生产总值将超过300万元？试写出解决该问题的一个算法，并画出相应的流程图. 解 算法设计如下：
第一步，n ←0,a ←200,r ←0.05. 第二步，T ←ar (计算年增量). 第三步，a ←a +T （计算年产量）.
第四步，如果a ≤300，那么n ←n +1，重复执行第二步. 如果a ＞300,则执行第五步. 第五步，N ←2 007+n . 第六步，输出N . 流程图如下： 方法一
方法二
§13.2 基本算法语句、算法案例
1.下面是一个算法的操作说明： ①初始值为n ←0,x ←1,y ←1,z ←0; ②n ←n +1; ③x ←x +2; ④y ←2y ; ⑤z ←z +xy ;
⑥如果z ＞7 000,则执行语句⑦；否则回到语句②继续执行； ⑦打印n ,z ; ⑧程序终止.
由语句⑦打印出的数值为 、 . 答案 8 7 682
2.按照下面的算法进行操作： S1 x ←2.35 S2 y ←Int （x ） S3 Print y
最后输出的结果是 . 答案 2
3.读下面的伪代码： Read x If x ＞0 Then
Print x Else
Print -x End If
这个伪代码表示的算法的功能是 . 答案 输入一个数，输出其绝对值
4.下面是一个算法的伪代码.如果输入的x 的值是20，则输出的y 的值是 .
答案 150
5.与下列伪代码对应的数学表达式是 . Read n e ←0 S ←1
For I From 1 To n Step 1 S ←S ×I e ←e +1/S End for Print e 答案 S =1+!
21+
!
31+…+
!
1n
基础自测
例1 设计算法，求用长度为l 的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时的面积.要求输入l 的值，输出 正方形和圆的面积. 解 伪代码如下： Read l S 1←(l ×l )/16 S 2←(l ×l )/(4×3.14) Print S 1 Print S 2 End
例2 （14分）已知分段函数y =??
?
??>+=<+-0
,10,
00
,1x x x x x ，编写伪代码，输入自变量x 的值，输出其相应 的函数值，并画出流程图. 解 伪代码如下： 流程图如图所示：
Read x If x ＜0 Then y ←-x +1 Else
If x =0 Then
y ←0 Else
y ←x +1 End If End If Print y End
7分
例3 编写一组伪代码计算1+2
1+
3
1+…+
000
11，并画出相应的流程图.
解 伪代码如下： i ←1 S ←0
While i ≤1 000 S ←S +1/i i ←i +1 End While Print S End
流程图如图所示：
1.下面的表述： ①6←p ; ②t ←3×5+2; ③b +3←5;
④p ←((3x +2)-4)x +3; ⑤a ←a 3
; ⑥x ,y ,z ←5; ⑦ab ←3; ⑧x ←y +2+x .
其中正确表述的赋值语句有 . （注：要求把正确的表述的序号全填上） 答案 ②④⑤⑧
2.某百货公司为了促销，采用打折的优惠办法： 每位顾客一次购物
①在100元以上者（含100元，下同），按九五折优惠； ②在200元以上者，按九折优惠； ③在300元以上者，按八五折优惠； ④在500元以上者，按八折优惠.
试写出算法、画出流程图、伪代码，以求优惠价. 解 设购物款为x 元，优惠价为y 元，
则优惠付款公式为y =?????
??
??≥<≤<≤<≤<500,
8.0500300,85.0300200,9.0200100,95.0100,
x x x x x x x x x x
S1 输入x的值；
S2 如果x＜100，输出y←x,否则转入S3;
S3 如果x＜200,输出y←0.95x,否则转入S4;
S4 如果x＜300，输出y←0.9x,否则转入S5;
S5 如果x＜500,输出y←0.85x,否则转入S6；
S6 输出y←0.8x.
3.某玩具厂1996年的生产总值为200万元，如果年生产增长率5%，计算最早在哪一年生产总值超过300万元.试写出伪代码.
解伪代码如下：
n←1 996
p←1.05
a←200
While a≤300
a←a×p
n←n+1
End While
Print n
End
一、填空题
1.伪代码
a←3
b←5
Print a+b
的运行结果是 .
答案8
2.为了在运行下面的伪代码后输出y=16，应输入的整数x的值是 .
Read x
If x＜0 Then
y←(x+1)2
Else
y←1-x2
End If
Print y
3.写出下列伪代码的运行结果.
图1 图2
（1）图1的运行结果为 ； （2）图2的运行结果为 . 答案 （1）7 （2）6
4.以下给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是 .
答案 求下列函数当自变量输入值为x 时的函数值f (x ),其中f （x ）=???
??>-=<3
,
13,
23,22
x x x x x
5.下面是一个算法的伪代码，其运行的结果为 .
答案
2 500
6.如图所示，该伪代码表示的作用是 .
答案 求三个数中最大的数
7.如图（1）是某循环流程图的一部分，若改为图（2），则运行过程中I 的值是
.
答案 1
8.图中算法执行的循环次数为 .
答案 333 二、解答题
9.用条件语句描述下面的算法流程图.
解 Read x If x ＜0 Then
y ←2×x +3 Else
If x ＞
0 Then
y ←2×x -5 Else
y ←0 End If End If Print y End
10.请设计一个问题，使得该问题的算法如已知的伪代码所示.
解 已知圆O 内有一个边长为a 的圆的内接正方形，求圆的面积比正方形的面积大多少？ 11.有一个算法如下： S1 输入x ; S2 判断x ＞0
是：z ←1；否：z ←-1; S3 z ←1+z ; S4 输出z .
试写出上述算法的流程图及相应的伪代码. 解
12.一个小朋友在一次玩皮球时，偶然发现一个现象：球从某高度落下后，每次都反弹回原高度的
3
1，再落下，再反弹回上次高度的
3
1，
如此反复.假设球从100 cm 处落下，那么第10次下落的高度是多少？在第10次落地时共经过多少路程？试用伪代码表示其算法. 解 伪代码如图所示：
13.3 合情推理与演绎推理
1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应
是 . 答案 白色
2.数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是 . 答案 a n =2n -1
3.已知a 1=3,a 2=6,且a n +2=a n +1-a n ,则a 33为 . 答案 3
4.下面使用类比推理恰当的是 .
①“若a ·3=b ·3,则a =b ”类推出“若a ·0=b ·0，则a =b ” ②“(a +b )c =ac +bc ”类推出“
c
b a +=
c
a +
c
b ”
③“(a +b ）c =ac +bc ”类推出“
c
b a +=c
a +c
b (
c ≠0)”
④“（ab ）n =a n b n ”类推出“(a +b )n =a n +b n ” 答案 ③
5.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 . 答案 一切奇数都不能被2整除， 大前提 2100+1是奇数，
小前提 所以2100
+1不能被2整除.
结论
例1 在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=n
n a a +22,n ∈N *
,猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由.
解 在{a n }中,a 1=1,a 2=1122a a +=32, a 3=
2
222a a +=
2
1=
4
2,a 4=
3
322a a +=
5
2,…
,
基础自测
所以猜想{a n }的通项公式a n =1
2+n .
这个猜想是正确的. 证明如下:因为a 1=1,a n +1=n n a a +22,
所以
1
1+n a =
n
n a a 22+=
n a 1+2
1,即1
1+n a -
n
a 1=
2
1,
所以数列?
??
???n a 1是以1
1a =1为首项,
2
1为公差的等差数列,
所以
n
a 1=1+2
1(n -1)=
2
1n +
2
1,
所以通项公式a n =1
2+n .
例2 已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交对边于A ′,B ′,C ′,则'
'AA OA +
'
'BB OB +
'
'CC OC =1,这是一道平面几何题,其证明常
采用“面积法”.
'
'AA OA +
'
'BB OB +
'
'CC OC =
ABC
OBC S S ??+
ABC
OCA S S ??+
ABC
OAB S S ??=
ABC
ABC S S ??=1，
请运用类比思想，对于空间中的四面体V —BCD ，存在什么类似的结论？并用体积法证明.
证明 在四面体V —BCD 中，任取一点O ，连结VO 、DO 、BO 、CO 并延长分别交四个面于E 、F 、G 、H 点. 则
VE
OE +
DF
OF +
BG
OG +
CH
OH =1.
在四面体O —BCD 与V —BCD 中：
VE OE
=h
h 1
=h
S h S BCD BCD ????3
13
1
1=
BCD
V BCD O V V --.
同理有：
DF
OF =
VBC
D VBC O V V --；
BG
OG =
VCD
B VCD O V V --；
CH
OH =
VBD
C VB
D O V V --，
∴VE
OE +
DF
OF +
BG
OG +
CH
OH
=
BCD
V VBD
O VCD O VBC O BCD O V V V V V -----+++=
BCD
V BCD V V V --=1.
例3 （14分）已知函数f （x ）=-a
a
a x
+
（a ＞0且a ≠1），
（1）证明：函数y =f (x )的图象关于点??
?
??-
21,2
1
对称；
（2）求f （-2）+f （-1）+f （0）+f （1）+f （2）+f （3）的值. （1）证明 函数f （x ）的定义域为R ，任取一点（x ，y ），它关于点??
?
??-
21,2
1
对称的点的坐标为（1-x ，-1-y ）. 2分
由已知得y =-a
a
a x
+,
则-1-y =-1+
a
a
a
x
+=-a a
a x
x
+
，
3分
f （1-x ）=-a
a
a
x
+
-1=-a
a
a a
x
+
=-x
x a a a a
a ?+
?=-a
a
a
x
x
+
，
5分
∴-1-y =f （1-x ）.
即函数y =f (x )的图象关于点??
? ??-
21,2
1
对称. 7分
（2）解 由（1）有-1-f （x ）=f （1-x ）， 即f （x ）+f （1-x ）=-1.
∴f （-2）+f （3）=-1，f （-1）+f （2）=-1， f （0）+f （1）=-1，
则f （-2）+f （-1）+f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=-3.
14分
1.已知f (x )=
2
)
1(1++ax bx (x ≠-
a
1,a ＞0),且f (1)=log 162,f (-2)=1.
（1）求函数f (x )的表达式；
（2）已知数列{x n }的项满足x n =［1-f (1)］［1-f (2)］…［1-f (n )］，试求x 1,x 2,x 3,x 4; (3)猜想{x n }的通项. 解 （1）把f (1)=log 162=
4
1,f (-2)=1,
代入函数表达式得???
????=-+-=++1)21(1241)
1(1
22a b a b ,
整理得?????+-=+-++=+1
44121
2442
2a a b a a b ，解得??
?==01b a ,
于是f (x )=
2
)
1(1+x (x ≠-1).
（2）x 1=1-f (1)=1-4
1=43, x 2=43×??
? ??
-
911=
3
2,x 3=3
2×??
? ??
-
1611=
8
5,
x 4=
8
5×??? ?
?-
2511=5
3.
（3）这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为4
3，6
4，
8
5，
10
6，…，便可猜想x n =
)
1(22++n n .
2.如图1，若射线OM ，ON 上分别存在点M 1，M 2与点N 1，N 2，则
2
211N OM
N OM S S ??=
2
1OM
OM ·
2
1ON
ON ；如图2，若不在同一平面内的射线OP ，OQ 和OR
上分别存在点P 1，P 2，点Q 1，Q 2和点R 1，R 2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由.
解 类似的结论为：
2
22
111
R Q
P O R Q
P O V V --=
2
1OP OP ·
2
1OQ OQ ·
2
1OR OR .
这个结论是正确的，证明如下：
如图，过R 2作R 2M 2⊥平面P 2OQ 2于M 2，连OM 2. 过R 1在平面OR 2M 2作R 1M 1∥R 2M 2交OM 2于M 1，
则R 1M 1⊥平面P 2OQ 2. 由1
11R Q P O V -=
3
11
1
OQ P S ?·R 1M 1
=
31·
2
1OP 1·OQ 1·sin ∠P 1OQ 1·R 1M 1
=6
1OP 1·OQ 1·R 1M 1·sin ∠P 1OQ 1，
同理，2
22
R Q
P O V -=
6
1OP 2·OQ 2·R 2M 2·sin ∠P 2OQ 2.
所以
2
22
111
R Q
P O R Q
P O V V --=
2
2221111M
R OQ OP M R OQ OP ????.
由平面几何知识可得2
211M
R M R =
2
1OR OR .
所以
2
22
111
R Q
P O R Q
P O V V --=
222111OR OQ OP OR OQ OP ????.所以结论正确.
3.已知函数f （x ）=
1
2
12+-x
x （x ∈R ），
（1）判定函数f （x ）的奇偶性；
（2）判定函数f （x ）在R 上的单调性，并证明. 解 （1）对?x ∈R 有-x ∈R ， 并且f （-x ）=
1
2
12+---x
x =
x
x 2
121+-=-
1
2
12+-x
x =-f （x ），
所以f （x ）是奇函数.
（2）f (x )在R 上单调递增，证明如下： 任取x 1,x 2∈R ，并且x 1＞x 2, f (x 1)-f (x 2)= 1
2
121
1+-x x -1
2
122
2+-x x
=
)
12)(12
()
12)(12()12
)(12
(2
11
2
2
1
+++--+-x x x x x x
=
)
12
)(12
()2
2
(22
1
2
1
++-x x x x .
∵x 1＞x 2,∴12x ＞22x ＞0,
∴12x -22x ＞0, 12x +1＞0, 22x +1＞0. ∴
)
12
)(12()22
(22
1
2
1
++-x x x x ＞0.
∴f (x 1)＞f (x 2).
∴f (x )在R 上为单调递增函数.
一、填空题 1.由
10
7＞
8
5,
11
9＞
10
8,
25
13＞
21
9,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则
m
a m
b ++与
a
b 之间的大小关系为 .
答案
m
a m
b ++＞a
b
2.已知a 1=1,a n +1＞a n ，且(a n +1-a n )2
-2(a n +1+a n )+1=0，猜想a n 的表达式为 . 答案 a n =n 2
3.已知f (x )=x 2 008
+ax
2 007
-009
2x
b
-8,f (-1)=10,则f (1)= .
答案 -24
4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn =nm ”类比得到“a ·b =b ·a ”；②“（m +n ）t =mt +nt ”类比得到“(a +b )·c =a ·c +b ·c ”；③“(m ·n )t =m (n ·t )”类比得到“（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）”；④“t ≠0,mt =xt ?m =x ”类比得到“p ≠0,a ·p =x ·p ?a =x ”;⑤“|m ·n |=|m |·|n |”类比得到“|a ·b |=|a |·|b |”；⑥“bc
ac =
b
a ”类
比得到“
c
b c a ??=
b
a ”.
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 . 答案 2
5.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.
①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2
22
2b
y a
x +
=1的面积S =πab
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 ②
6.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 . 答案 (5,7)
7.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比
EB
AE =
BC
AC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中（如图所示），而
DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是 .
答案
EB
AE =
BCD
ACD S S ??
8.（2008·金陵中学模拟）现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为4
2
a
.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，
则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .
答案
8
3
a
二、解答题
9.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质. 解 如图所示，
由平行四边形的性质可知AB =DC ，AD =BC ， 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，
我们猜想： S ABCD
=S
1
111D C B A ,S 1
1A ADD =S 1
1B BCC
,
1
1A ABB = 1
1C CDD
,
且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的.
10.已知梯形ABCD 中，AB =DC =AD ，AC 和BD 是它的对角线.用三段论证明：AC 平分∠BCD ，BD 平分∠CBA . 证明 （1）两平行线与第三直线相交，内错角相等（大前提） ∠BCA 与∠CAD 是平行线AD ，BC 被AC 所截内错角（小前提） 所以，∠BCA =∠CAD （结论）
（2）等腰三角形两底角相等（大前提）
△CAD 是等腰三角形，DA =DC （小前提） 所以，∠DCA =∠CAD （结论）
（3）等于同一个量的两个量相等（大前提） ∠BCA 与∠DCA 都等于∠CAD （小前提） 所以，∠BCA =∠DCA （结论） （4）同理，BD 平分∠CBA .
11.如图所示，点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N . （1）求证：CC 1⊥MN ；
（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2-2DF ·EF ·cos ∠DFE .
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面 角之间的关系式，并予以证明. 证明 （1）∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN .∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN .
（2）在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，有 S 21
1A ABB
=S 2
1
1B BCC
+S 2
1
1A ACC
-2S 1
1B BCC
S 1
1A ACC
cos α.
其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN ，
∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，
∵PM 2=PN 2+MN 2-2PN ·MN cos ∠MNP
∴PM 2·CC 21=PN 2·CC 21+MN 2·CC 2
1-2（PN ·CC 1）·（MN ·CC 1）cos ∠MNP ，
由于S 11B BCC =PN ·CC 1，S 11A ACC =MN ·CC 1， S
1
1A ABB =PM ·BB 1=PM ·CC 1，
∴S 2
1
1A ABB =S 2
1
1B BCC
+S 2
1
1A ACC
-2S 1
1B BCC
·S 1
1A ACC
·cos α.
12.已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线2
22
2b
y a
x -
=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.
解 类似的性质为：若M 、N 是双曲线
2
22
2b
y a
x -
=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，
并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值. 证明如下：
设点M 、P 的坐标分别为（m ，n ），（x ，y ），则N （-m ，-n ）. 因为点M （m ,n ）在已知双曲线上， 所以n 2
=
2
2a
b m 2-b 2.同理y 2
=
2
2a
b x 2-b 2.
则k PM ·k PN =m
x n y --·
m
x n y ++=
2
2
22m
x
n y --
判断推理 基本题型：图形推理，演绎推理，类比推理，定义判断 观察（特点）——抽象（本质）——推理 第一部分：图形推理（强调必要的技巧） 图形推理形式题型： 规律推理类（一幅图给出性质，多幅图给出规律） 1类比推理类 观察：（组成元素完全相同，一个小方框加一个黑点） 抽象：位置发生变化 推理：平移，翻转 2对比推理类 3坐标推理类（给出一个九宫格） 坐标推理的推理路线 横行（很少），竖列，S型，O型（中间全黑或全白），对角线4空间重构类 平面组成型（肯定平移） 折叠组合型 规律推理类（分值很大） 一幅图给出性质，多幅图给出规律，分为三类
数量类 题目特点：各图组成元素凌乱（位置看不出，没有共同样式） 数量类型：点（交点），线（直线，笔画），角，面，素（元素，包括个数和种类） 点一般有个割线，线一般是直线和笔画，角是有曲直，面（几个面），素（个数和种类） 记住：点，线，角，面，素，线包含笔画，包含一笔画问题 一笔画问题：奇点（点引出奇数线）的个数为0或2的图形可以一笔画。如日，奇点数为2.
数整个点线面素都选完了，就选局部，小圆圈的个数是0，1，2，3 如何分局部？ 1要不分样式（比如上图小圆圈） 2要不分位置（上下左右里外），分位置数元素的个数和种类。 数完数量，就看数量的规律：要么单调，要么对称，要么看规律，要么计算，九宫格的两项不可以构成数列，所以两数递推或三数叠加。下题就是三数叠加： 数量规律推理类总结： 第一步，图形化为数字： 点，线（笔画），角，面，素 整体不行，一笔画问题，分位置，分样式 第二部，数量确定规律 增加，减少，恒定，对称，奇偶，乱序，运算 位置类 题目特点：各图元素组成基本相同，位置上变化明显
新数学《推理与证明》高考知识点 一、选择题 1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（） A．甲B．乙C．丙D．丁 【答案】C 【解析】 【分析】 分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】 ①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲； ②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙； ③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙； ④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】 本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题. 2．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（） A．1个B．5个C．7个D．9个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论. 【详解】 根据三角形的内切圆和旁切圆可得 与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个， 由此类比到四面体中， 四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，
高考中的类比推理 大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π，周长r r C ?=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ?=?ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________. 解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。 分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N * ）。 例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。 分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。
富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程
推理与证明 一、推理 1.推理：前提、结论 2.合情推理： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推岀该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言Z,归纳推理是市部分到整体、rh个别到一般的推理 (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是山特殊到特殊的推理。 3.演绎推理： 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 题型1用归纳推理发现规律 1、观察：77 + ^5 <2A/H； V55 + V165 < 2VH: j3"+J19 + V^v2VH；….对于任意正实数a,b,试写出使丽+v&<2vn成立的一个条件可以是 ___________________________________ . 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故ci + b = 22 2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的婕筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面 图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图o 有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以/(?)表示 第〃帕图的蜂巢总数.则/(4) = --- ; f (〃) = ? 【解题思路】找出/(〃)—.f(n — 1)的关系式 ［解析］/(1) = 1,/(2) = 14- 6,/(3) = 14- 6 4-12,??? /'(4) = 1 + 6 + 12 + 18 = 37 /. /(n) = 1 + 6 + 12 + 18 + —F 6(/7 -1) = 3n2 - 3〃+1 【名师指引】处理“递推型”问题的方法Z—是寻找相邻两组数据的关系题型2用类比推理猜想新的命题 ［例］已知正三角形内切圆的半径是高的丄，把这个结论推广到空间止四血体，类似的结论是________ ? 3 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析］原问题的解法为等而积法，即5=丄必=3乂丄妙二>厂=丄/7 ,类比问题的解法应为等体积法， 2 2 3 V =-Sh = 4x-Sr=>r = -h即止四血体的内切球的半径是高一 3 3 4 4 【名师指引】(1)不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比 (2)类比推理常见的情形有：平而向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集 的性质类比；圆锥曲线间的类比等 二.直接证明与间接证明 三种证明方法： 综合法、分析法、反证法 反证法：它是一种间接的证明方法?川这种方法证明一个命题的一般步骤: (1)假设命题的结论不成立； (2)根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止
第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系
难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
2021届高考数学一轮复习测试卷 算法初步、推理与证明、复数 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．适合2i ()i x x y -=-的实数x ，y 的值为（ ） A ．0=x ，2=y B ．0=x ，2-=y C ．2=x ，2=y D ．2=x ，0=y 2．将2019化为二进制数是（ ） A ．211111100011（） B ．21111100001（） C ．2111111000011（） D ．21111100111（） 3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 4．当2 53 m - <<时，复数(32)(5)i z m m =++-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 第二象限 第三象限 D ．第四象 5．该边程序运行结果为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．已知数列11， 21，12，31，22，13，41，32，23，14 ，依它的前10项的规律，这个数列的第2019项2019a 满足（ ） A ．2019110a ≤≤ B ．201910a > C ．20191010 a << D ． 20191 110 a ≤< 7．已知i 为虚数单位，则复数37i i z +=的实部与虚部分别为（ ） A ．7，3- B ．7，3i - C ．7-，3 D ．7-，3i 8．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“一”和“一一”，其中“一”在二进制中记作“1”，“—一”在二进制中记作“0”，例如二进制数(2)1011化为十进制的计算如下： 3210(2)(10)10111202121211=?+?+?+?=，若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的 二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（ ） A ．0 B ． 1 2 C ． 13 D ． 14 9．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222 233=，33 3388 =，444 41515=5552424=则按照以上规律，若88 88n n =具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48 C ．63 D ．80 10．已知复数2 i(3i) z =-，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．秦九韶算法01(1,2,)n k k n k V a k n V V x a --=?=???? =+?是将求n 次多项式11()n n n n f x a x a x --=++ 2210a x a x a +++的值转化为求n 个一次多项式的值．已知7632()2341f x x x x x =-+-+，求 (2)f ，那么4V =（ ）
高中数学推理与证明知识点归纳高中数学推理与证明知识点归纳 数学推理与证明知识点总结: 1.知识方法梳理 一、考纲解读： 本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。 二、要点梳理： 1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。 2.类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。 3.演绎推理 三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。 4.直接证明与间接证明
①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。综合法的 思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。 ②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否 具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原 不等式成立，这种方法通常叫做分析法。分析法的思维特点是：执 果索因。 ③反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误的，从而断定A是正确的，即为反证法。一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或结 论以否定语句出现，或要讨论的情况复杂时，常考虑使用反证法。 ④数学归纳法： 教学目标： 一、通过观察、猜测等活动，让学生经历简单的推理过程，理解逻辑推理的含义。初步获得一些简单的推理经验。 二、能借助连线、列表等方式整理信息，并按一定的方法进行推理。 三、在简单的推理过程中，培养学生初步的观察、分析、推理和有有条理的进行数学表达的能力。 教学重点： 理解逻辑推理的含义，经历简单的推理过程，初步获得一些简单的推理经验。 教学难点： 初步培养学生有序的，全面的思考问题及数学表达的能力。 教学过程：
2020云南红河事业单位招聘考试判断推理知识点：假设法你真的会灵活用吗 时光荏苒光阴如梭，一转眼2019云南事业单位招聘已经逐渐接近尾声，转而进入了2020云南红河上半年事业单位招聘备考阶段;下面，红河中公教育就和备考的小伙伴来看一下如何利用假设法解决判断推理题，希望大家能够掌握方法，为2020事业单位考试做充分准备! 在题干条件不确定的时候，尤其是遇到真假话问题时，一般我们就会使用假设法。假设法指的是，假设题干中某个条件正确或者某个人说真话或假话，如果推出与题干已知条件矛盾的结论，说明假设不成立，则假设的反面正确。同学们在使用这种方法的时候，首先要注意的就是应该从题干哪个信息开始假设。我们来看下面这一道题： [例题1] 在一场“请问谁在说谎”的游戏中，四位游戏参与者每人从一副没有大小王的扑克牌中抽取一张。 甲说：“我抽中的牌是黑桃。” 乙说：“我抽中的牌是红桃。” 丙说：“我抽中的牌不是红桃。” 丁说：“我抽中的牌是梅花。” 已知4人抽取的扑克牌花色各不相同，且只有一人说谎。 根据上述条件，下列说法正确的是： A.甲、乙、丙、丁四人均有可能说谎 B.可以推知每个人抽取的扑克牌花色
C.丙有可能抽中方块 D.乙抽中的牌一定是红桃 解析：D。已知4人只有一人说谎，说谎的人不能确定，就可以去假设。红桃这个元素出现了两次，故可以从涉及红桃的人入手去假设。假设乙说谎，则乙抽中的不是红桃，甲丙丁都说真话，那么甲抽中黑桃、丙不是红桃、丁抽中梅花，则4人中没有人抽中红桃，与题干4人抽取的扑克牌花色各不相同矛盾。所以假设不成立，则乙说真话，乙抽中的是红桃。故本题选D。 在这道题目中，红桃这个元素出现得最多，那么与红桃相关的信息就比较多。我们在假设的时候就可以从题干中出现次数最多的元素，也就是关联性信息去做假设。其次，我们在假设的时候还要注意把假设的情况、说话的内容以及说话人的身份这些信息要综合起来去运用。 [例题2] 甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色。在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色。”乙说：“丙的车是红色的。”丙说：“丁的车不是蓝色的。”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且，只有这个人说的是实话。” 如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是： A.甲的车是白色的，乙的车是银色的 B.乙的车是蓝色的，丙的车是红色的 C.丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D.丁的车是银色的，甲的车是红色的
《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点） 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点） 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理: 1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 2．归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）. 思考探究： 1．归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ；….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a
２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__． 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 ［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2.类比推理的一般步骤： 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想． 思考探究: 1．类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??== ，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等
国考行测：判断推理知识点汇总 华图教育任莉 判断推理的四个模块图形推理、逻辑判断、定义判断、类比推理都是国考行测中必要的几个内容，上一次已经为大家总结了图形推理的一些知识点以及需要注意的事项，那么接下去我们接着来汇总逻辑判断中的一些相关内容。逻辑判断是判断推理中最难的一个模块，常考主要有以下几个方面的内容：翻译推理、分析推理、真假推理、日常推理、论证类，这里主要为大家总结前三个模块。 （二）逻辑判断 （1）翻译推理 判定：题目中出现逻辑关联词 解题思路：先翻译后推理 四个翻译：1、如果......那么......... 如果就，前推后（前半句话推后半句话） 替代关联词：只要...就，必须，离不开，凡是...都，为了...一定，要想...就 2、只有......才...... 只有才，后推前 替代关联词：除非...否则不，...是...必不可少的/不可或缺的/必要条件，...是... 基础/保障/前提，不...不... 3、...且...（两个或两个以上同时存在） 翻译为A且B，全真才真，一假即假 替代关联词：一边...一边，不但...而且，虽然...但是，同时，又...又 4、...或...（至少一个存在） 翻译为A或B，一真即真，全假才假 替代关联词：也许...也许，和...中至少一个，和...不能同时，和...不都是 其中或关系里面存在一个否一规则：即否定一个，肯定另一个 两个推理：1、逆否等价命题（A→B等价于-B→-A） 肯前必肯后，否后必否前；肯后否前不必然，但有一个可能性结论 2、摩根定律
-（A且B）等价于-A或-B -（A或B）等价于-A且-B 负号进去“且”变“或”，“或”变“且” （2）分析推理 判定：给出一组对象以及若干信息，对象与信息进行匹配。 思路：先判定题干，为题干信息肯定还是题干信息真假不定，然后用方法 方法：1、题干信息确定（题干给出的内容可以直接用，给出的信息全部都是确定的） a、排除法 适用条件：题干信息确定，且选项信息充分（选项给出了题干所有的匹配情况，否则为选项信息不充分） 如何解题：读一句有效信息，排一个选项 b、最大信息优先（出现2次或者2次以上为最大信息），以最大信息最为作为突破口 2、题干信息真假不定（题干给出的内容有真有假，不能全部直接拿来用） a、确定信息优先（通过题干的推理，可知的正确信息） 在用确定信息优先以及最大信息优先的方法过程中，可能会用到的两种方法：列表法以及假设法 列表法：要求将对象写在竖列，减少错误率，横行用来写其他信息 假设法：要求从假设次数最少的情况进行假设，加快解题速度 （3）真假推理 判定：题干给出多个论断，但提问方式一般都是只有一句真话（假）则...... 解题思路：先找矛盾关系，然后看其余，再找反对关系，然后也看其余。 1、矛盾关系（此起彼伏的关系，只存在两种情况） 主体相同，话题一致才能得出矛盾 矛盾关系特性：必然存在一真一假 矛盾的表现形式：a、是与不是 b、所有的是与有的不 c、有的是与所有的不 d、A且B 与－A或－B，A或B 与－A且－B e、A→Ｂ与Ａ且－Ｂ
高中数学《推理与证明》知识点归纳 一、选择题 1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（） A．甲B．乙C．丙D．丁 【答案】C 【解析】 【分析】 分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】 ①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲； ②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙； ③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙； ④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】 本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题. 2．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】 第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平
1.直言命题解题要领 直言命题又称性质命题，是判断对象具有或不具有某种性质的简单命题。 联项分为肯定和否定两种。肯定一般用“是”表示；否定一般用“不是”、“没”等否定词表示。 量项有全称量词、特称量词和单称量词。全称量词一般用“所有”、“每一个”、“凡”等表示；特称量词一般用“有”、“有些”表示；单称量词一般用“某个”表示。 直言命题的分类： ①全称肯定命题：所有S都是P。 ②全称否定命题：所有S都不是P。 ③特称肯定命题：有的S是P。 ④特称否定命题：有的S不是P。 ⑤单称肯定命题：这个S是P，或者a是P。 ⑥单称否定命题：这个S不是P，或者a不是P。 直言命题与概念的关系 对当关系分为矛盾关系、下反对关系、（上）反对关系和从属关系。 ①矛盾关系：不能同真（必有一假），也不能同假（必有一真）。 三组矛盾关系： “所有S都是P”和“有些S不是P”。 “所有S不都是P”和“有些S是P”。 “某个S是P”和“某个S不是P”。 当直言命题前面加上“并非”时，为负直言命题，与原命题具有矛盾关系。 “并非所有S都是P”=“有些S不是P” “并非所有S不都是P”和“有些S是P” “并非某个S是P”和“某个S不是P” ②下反对关系：不能同假（必有一真），但可以同真。 “有些S是P”和“有些S不是P” “某个S不是P”和“有些S是P” “某个S是P”和“有些S不是P” ③反对关系：不能同真（必有一假），但可以同假。 “所有S都是P”和“所有S都不是P” “所有S都是P”和“某个S不是P” “所有S都不是P”和“某个S是P” ④从属关系：可同真，可同假。
从真的方面，特称从属于全称，全称真则特称真；在假的方面，全称从属于特称，特称假则全称假。全称肯定命题->单称肯定命题->特称肯定命题 全称否定命题->单程否定命题->特称否定命题 变形方式 ①换质推理：谓项改为与原来相矛盾的概念。 “所有S是P”----“所有S不是非P” “所有S不是P”----“所有S是非P” “有些S是P”----“有些S不是非P” “有些S不是P”----“有些S是非P” ②换位推理：改变主项和谓项的位置。 “所有S是P”-----“有些P是S” “所有S不是P”-----“所有P不是S” “有些S是P”-----“有些P不是S” “有些S不是P”-----“有些P不是S”--×，换位无效 ③完全换质位推理 注意特殊量词：“少数”“大部分”“一半” 三段论推理 两个直言命题作为前提和一个直言命题作为结论而构成的推理，其中两个前提涉及三个概念。 看两个前提条件是否都为特称直言命题—一特得特 看两个前提条件是否都为否定—一否得否 两个前提都为特，推不出结论 两个前提都为否，退不出结论 2.复言命题解题要领
合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23
推理与证明 ★知识网络★ 间接证明 一、推理 1. 推理：前提、结论 2. 合情推理： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些 特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、 由个别到一般的推理 （2 ）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出 另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3. 演绎推理： 从一般性的原理出发， 推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理， 简言之，演绎推理是 由一般到特殊的推理。 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 题型1用归纳推理发现规律 1、 观察:.7 .15 2 .11 ; 5.5 16.5 2 .11 ; ,3 .3 19 . 3 2.11 ;-.对 于任意正实数a,b ，试写出使 需 Vb 2闪 成立的一个条件可以是 ________________ . 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为 22,故a b 22 2、 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师， 单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图 I 有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以 f （n ）表示第n 幅图的蜂巢总数.则 合情推理 推理与证明 演绎推理 直接证明 反证法 归纳
f (4) = ___ ; f (n) = __________ . 【解题思路】找出 f(n) f(n 1)的关系式 ［解析］f(1) 1, f (2) 1 6, f(3) 1 6 12, f (4) 1 6 1 2 18 37 2 f (n) 1 6 12 18 6(n 1) 3n 3n 1 【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 题型2用类比推理猜想新的命题 ［例］已知正三角形内切圆的半径是高的 是 ______ . 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析］原问题的解法为等面积法，即 S 1 1 等体积法，V Sh 4 Sr r 3 3 【名师指引】(1)不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比 (2 )类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类 比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等 二、直接证明与间接证明 三种证明方法： 综合法、分析法、反证法 反证法：它是一种间接的证明方法 ?用这种方法证明一个命题的一般步骤： (1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立 (4) 肯定原命题的结论成立 重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证 明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点1综合法 在锐角三角形 ABC 中，求证:si nA sinB si nC cosA cosB cosC ［解析］ABC 为锐角三角形， A B A B ， 2 2 y sinx 在(0,—)上是增函数， si nA sin( B) cosB 2 2 同理可得 sinB cosC ， sinC cosA cosB cosC sin A sinB sinC cosA 考点2 分析法 1 -,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论 3 1 1 1 -ah 3 -ar r - h ，类比问题的解法应为 2 2 3 1 1 -h 即正四面体的内切球的半径是高 一 4 4
2016浙江省考行测判断推理之加强型推理知识点储备 一、加强型题目题型特点 在做题目之前，首先是要根据加强型题目的题型特点，来辨析出哪些是加强型题目。公务员考试中，加强型题目的题型特点是题干给出一个推理或论证，但由于前提条件不够充分或者由于论证的论据不够全面而不足以得出该结论。因此，要求考生能够找到使题干中的论证正确或者变得完整的选项，从而加强或支持题干。 在考试中，加强型题目的提问方式一般是以下几种问法： “以下哪项如果为真，最能加强题干的论证?” “以下哪项如果为真，最能支持题干的论证?” “以下哪项最能加强上述反驳?” “以下哪项如果为真，最能支持上述观点?” “以下哪项如果为真，能给上述断言以最大的支持?” 二、加强型题目解题步骤 在前面我们已经学习了削弱型题目，其实，由于加强型题目与削弱型题目的题型特点类似，因此解题方法也相似，都是由分析论证入手进行解题，加强型题目还可以利用题干漏洞快速找出最加强项。 加强型题目在解题时主要可以从加强论点、加强论据、加强论证方式(论证关系)等方面来考虑。但是，无论是从哪个方面加强，对加强型题目一般都是遵循以下步骤进行解题： 三、不同的加强方式 我们已经学习了加强型题目的辨析和解题的步骤，下面我们就具体来讲解加强型题目几种不同的加强方式。 (一)加强论点 解答加强型题目首先要分析题干，抓住所要加强的论点，然后用论点的核心关键词去定位选项，进而进行判断。如果存在能够直接支持论点的选项，则一般为正确答案。 例题1： 近日，曾经风靡一时的呼啦圈又走进群众的业余生活，但有专家以为，转呼啦圈运动量不大，难以达到运动效果，而且易造成不良后果。 以下哪项如果为真，最能支持上述观点? A.呼啦圈运动简便易行 B.转呼啦圈容易造成腰肌劳损 C.喜爱呼啦圈运动的人越来越少 D.延长转呼啦圈时间可提高运动效果 【答案详解】首先分析题干，“专家认为”后面是题干的结论，“而且”是重点，即题干中的观点是“转呼啦圈容易造成不良后果”。