“求两线段长度值和最小”问题全解析
在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个
比较全面的认识和了解，我们特此编写了求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助.
一、在三角形背景下探求线段和的最小值
1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值
例1如图1,在锐角三角形ABC中，AB=4运，/ BAC=45 , / BAC的平分线交BC 于点D, M,N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值为 ____________________________ .
分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法?我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决.
解：如图1,在AC上截取AE=AN，连接BE.因为/ BAC的平分线交BC于点D，所以/ EAMMNAM ,又因为AM=AM , 所以/ AM匡/ AMN ,所以ME=MN .所以BM+MN=BM+MEBE .因为BM+MN 有最小值.当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4,以BM+MN的最小值是4.故填4.
1.2在等边三角形中探求线段和的最小值
例2 （2010山东滨州）如图4所示，等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点若AE=2,EM+CM的最小值为________________________ .
分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所
学的知识求出这条线段的长度即可.
解：因为等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线，所以点C与点B关于AD对称，连接BE 交AD于点M,这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM ,所以EM+CM=BE，过点E作EFZ BC,垂足为F,因为AE=2 , AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC 中，因为EC=4, / ECF=60 , / FEC=30 ,所以FC=2,EF=』訂—卅=肿—F =2」.
因为BC=6 , FC=2 ,
所以BF=4 ?在直角三角形BEF中，BE=厂」亠「，一亠
=「'.■.
二、在四边形背景下探求线段和的最小值
2.1在直角梯形中探求线段和的最小值
例3（ 2010江苏扬州）如图3,在直角梯形ABCD中，/ ABC = 90° ADZ BC , AD = 4,
AB = 5, BC = 6,点P是AB上一个动点，当PC+ PD的和最小时，PB的长为___________________ .
分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对
称法.
解：如图3所示，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接CE ,交AB 于点P ,此时PC
+ PD 和最小，为线段CE .因为AD = 4,所以AE=4 .因为/ ABC = 90° ADZ BC ，所以/ EAP =90°
AU J[p
因为/APE =Z BPC 所以/A — BPC ，所以二托因为AE =4 , BC = 6
,所以
O Ap 2|P j_ DD A fl 气
所以u 所以———「因为AB =5,所以PB =3. 2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值
例4 如图4,等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1 , Z ABC=60 , P 是上底，下底中点
EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 ____________
分析：根据等腰梯形的性质知道，点 A 的对称点是点D ，这是解题的一个关键点.其 次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键.
解：如图4所示，因为点 D 关于直线EF 的对称点为A ，连接BD ，交EF 于点P ,此 时PA + PB 和最小，为线段 BD ?过点D 作D& BC ，垂足为G ,因为四边形 ABCD 是等腰
1
,Z ABC=60 ,所以 Z C=60 , Z GDC=3° ,所以 GC=： ,DG=
2
为 Z ABC = 60°, ADZ BC ，所以 Z BAD = 120° 因为 AB=AD ，所以 Z ABDZ ADB=30 ，所 以Z ADBC=30，所以BD=2DG=2 ： =「? ?所以PA+PB 的最小值为门.
2.3在菱形中探求线段和的最小值
梯形，且 AB=AD=CD=1
例5 如图5菱形ABCD中，AB=2 , / BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线AC上
的一个动点，贝U PE+PB的最小值为________ .
分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.
解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P,此时PE+ PB和最小，为线段ED .因为四边形ABCD是菱形，且/ BAD=60，所以三角形
ABD是等边三角形?因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1 , DE/ AB，所以ED= 疔'—脑wu
=J -：.所以PE+ PB的最小值为J ■:.
2.4在正方形中探求线段和的最小值
例6 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2 , N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为________________________ .
分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点.
解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B,连接BM，交AC于点N，此
时DN + MN和最小，为线段BM .因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8 .因为DM=2 ,
所以MC=6，所以BM= 二「，亠-■ ■_ ! =10.所以DN+MN的最小值为10.
例7 (2009?达州)如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点,
点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则/ PBQ周长的最小值为cm.(结果不取近似值)
分析：在这里/ PBQ周长等于PB+PQ+BQ ,而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1,
所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题?因为题目中有
一个动点P,两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.
解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ,交AC
于点P,连接PB ?所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ ?在Rt/ CDQ 中，DQ=
/ := =「，，所以/ PBQ 的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1 .故答案为十+1 .
三、在圆背景下探求线段和的最小值
例8 (2010年荆门)如图8, MN是半径为1的/O的直径，点A在/O上，/ AMN =
30 ° B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，贝U PA + PB的最小值为()
(A)2 ?匚(B) j (C)1 (D)2
分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段
DB的长度.
解：如图8,作出点A的对称点D,连接DB , OB,OD ?因为/ AMN = 30° B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60° ?根据圆心角与圆
周角的关系定理得到：/ BON = 30°由垂径定理得：弧DN的度数为60°所以/ BOD= / BON + / DON= 30° +60 ° =9所以.DB=」：■一?十厂.J < :.所以选择B .
四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值
1七例9 (2010山东济宁)如图9,正比例函数y= — x的图象与反比例函数y= (k^0)
2x
在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M,已知三角形OAM的面积
为1.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横
坐标为1，在x轴上求一点P,使PA+PB最小.
分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键.
要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可
以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了.
解：(1)设点A的坐标为(x, y),且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y .
因为三角形OAM的面积为1,所以-T - / .所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y= —.
x
1 2 2 1
（2）因为y= x 与y=—相交于点A ，所以一=一 x ，解得x=2，或x=-2.因为x >0,
2 工 工2
所以x=2，所以y=1，即点A 的坐标为（2, 1）.因为点B 的横坐标为1，且点B 在反比例 函数的图像上，所以点 B 的纵坐标为2,所点B 的坐标为（1, 2）,所以点B 关于x 轴的对
飞十&二-2
称点D 的坐标为（1, -2）.设直线AD 的解析式为y=kx+b ，所以｛ ,
[2* 4-A = 1
解得k=3, b=-5,所以函数的解析式为 y=3x-5,当y=0时，x=-,所以当点P 在（一
3
3
0）时，PA+PB 的值最小.
五、在二次函数背景下探求线段和的最小值
例10（ 2010年玉溪改编）如图10,在平面直角坐标系中， 点A 的坐标为（1, ?「）, （1）求点B 的坐标；（2）求过点A 、0、B 的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C ,使/AOC 的周长最小？若存在，求
分析：在这里/ AOC 周长等于AC+CO+AO ，而A,0是定点，所以AO 是一个定长，所 以要想使得三角形的周长最小， 问题就转化成使得 AC+CO 的和最小问题.因为题目中有
出点C 的坐标；若不存在,
个动点C,两个定点A,0符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.
解：(1)由题意得-所以0B=2 ?因为点B在x轴的负半轴上，所以点
B的坐标为(-2,);
(2)因为B(-2,0),0(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax( x+2)，将点A的坐标为(1,
代入解析式得：3a=.「，所以a=^，所以函数的解析式为沪丄+二x?
3 3 3
(3)存在点C.如图10,根据抛物线的性质知道点B与点0是对称点，所以连接AB
与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C,此时/ AOC的周长最小?设对称轴与x轴的交点为E?过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=E0=EF=1.因为/ BC臣/ BAF,所以 ]-
3F AF
1 CE J3.
所以，所以CE=—?因为点C在第二象限，所以点C的坐标为(-1，丄)?
3 73 3 3
六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值
例11( 2010年天津)如图11,在平面直角坐标系中，矩形二工U的顶点0在坐标原点，
顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，0A=3 , 0B=4 , D为边OB的中点?
(1 )若E为边0A上的一个动点，当/ CDE的周长最小时，求点E的坐标；
(2)若E、F为边0A上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点
E、F的坐标.
「氟対圈冬可泓诈点口芙卡耳帥
的对林虑血揍CD* 点嵐
.
既蚌比DDE町隔七爰最叮啲.
并很好的运用到平面直角坐标系中.
解：(1)如图12,作点D关于x轴的对称点匸「，连接CD与x轴交于点E,连接
DE.
若在边OA上任取点三.(与点E不重合)，连接C三\ D三■、匸「三-.
由D S + C丘上匸「三「+ C 3 > C匸，D m+CE=DE+CE，所以/「工乜的周长最小因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D 为0B的中点，所以BC=3 , DO^ O=2.
所以点C的坐标为(3, 4),点的坐标为匸(0, -2),设直线C二'的解析式为y=kx+b ,
h= -2
则仁，, 「解得k=2 , b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点药t +右=4
E的坐标为(1 , 0);
(2)如图13,作点D关于x轴的对称点匸?，在CB边上截取CG=2，连接匸厂G与x 轴交于点E,在EA上截EF=2?因为GQ EF , GC=EF ,所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.
又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小?
因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为0B的中点，CG=2,所以BC=3, D0=匸「O=2,BG=1.
所以点G的坐标为(1, 4),点的坐标为匸(0, -2),设直线G二'的解析式为y=kx+b ,
，解得k=6 , b=-2，所以函数的解析式为 y=6x-2，令y=0 ,贝U x=_ ,0）,所以点F 的坐标为（+2 , 0）即F 的坐标为（，0）
3 3 3
h=-2
则4 Jt+b =
E 的坐标为（
，所以点