《第三章》综合拓展过综合
专题1利用一元一次方程的相关概念求字母系数的值
1.已知x=1
2
是方程6（2x＋m）=3m＋2的解，求关于y的方程my＋2=m（1－2y）
的解.
2.已知方程
4
3
x－
－8=－
2
2
x＋
的解与关于x的方程2ax－（3a－5）=56x＋12a＋
20的解相同，求字母a的值.
3.已知（a＋b）y2－
1
2
3
a
y＋＋5=0是关于y的一元一次方程.
（1）求a，b的值；
（2）若x=a是方程
2
6
x＋
－
2
x－1
＋3=x－
2
6
x m
－
的解，求|a－b|－|b－m|的值.
专题2—元一次方程的解法
4.[2018陕西榆林定边期末]解方程：
3
2
x－
－
21
3
x＋
=1.
5.[2018辽宁锦州凌海月考]解方程：
4
2
x－
－（3x＋4）=﹣
15
2
.
6.解方程：49
5
x＋
－
0.30.2
0.3
x
＋
=
5
2
x－
.
7.解方程：4 1.5
0.5
x－
－
0.50.3
0.02
x－
=
2
3
.
专题3—元一次方程的实际应用
8.甲、乙两人分别从相距5千米的A，B两地出发同向而行，甲的速度为5千米/时，乙的速度为3千米/时.一只狗与甲同时同地同向出发，当甲追乙时，狗先追
上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止.已知狗的速度为15千米/时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？
9.下表是2017年11月的月历.
（1）如表1，带阴影的方框中的9个数之和是______；
（2）如果将表1中带阴影的方框移到表2中的阴影位置，那么方框中9个数之和是______；
（3）如果将带阴影的方框移至9个数之和为180的位置，求这9个数中最大的数.
10.[2018天津宁海月考]某管道工程由甲、乙两工程队单独施工分别需要30天、20天.
（1）如果两队从管道两端同时施工，需要多少天完工？
（2）甲队单独施工每天需付200元施工费，乙队单独施工每天需付280元施工费，如果要使施工费最少，那么是由甲队单独施工，还是由乙队单独施工，还是由两队同时施工？
11.[2017浙江温州乐清模拟]
备注：假设两家超市相同商品的标价都一样.
（1）当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？（2）当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？
（3）促销期间，小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？
过拓展
素养解读
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、计算求解、检验结果，最终解决实际问题.如第2题，通过设元构建方程将无限循环小数转化为分数，关注数学建模和方程思想；第5题，通过点在数轴上运动，结合路程、速度与时间的基本关系构建方程，关注数学建模和分类讨论思想.
1.[利用列项法解方程]方程
3＋
15
x
＋
35
x
＋…＋
20152017
=1的解是（）
A.x=2016
2017
B.x=
2017
2016
C.x=2017
1008
D.x=
1008
2017
2.[方程在无限循环小数与分数的转化中的应用]我们知道，无限循环小数都可以
转化为分数.例如：将0.3?转化为分数时，可设0.3?=x ，则x=0.3＋
110x 解得x=13，即0.3?=13.仿此方法，将0.45??化成分数是______. 3.[方程的特殊解问题]当m 取什么整数时，关于x 的方程
12mx －53=12（x －43
）的解是整数？
4.[含绝对值的方程的解法]解方程：|x ＋1|＋|x －3|=4.
5.[方程在动点问题中的期中]动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B 也从原点出发向数轴正方向运动，运动到3秒钟时，两点相距15个单位长度.已知动点A ，B 的运动速度之比是3：2.
（1）求A ，B 两个动点运动的速度；
（2）A ，B 两点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A ，B 两点的位置；
（3）若A ，B 两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，运动的方向不限，问：经过几秒钟，A ，B 两点之间相距4个单位长度？
参考答案过综合
1.【解析】将x=1
2
代人方程6（2x＋m）=3m＋2，
得6×（2×1
2
＋m）=3m＋2，解得m=﹣
4
3
.
将m=﹣4
3
代人方程my＋2=m（l－2y），
得﹣4
3
y＋2=﹣
4
3
（1－2y），解得y=
5
6
.
技巧点拨
已知一元一次方程的解，确定方程中另外一个字母的数值，只需把未知数的值（方程的解）代入原方程，即可得到一个关于另一个字母的方程，通过求解确定另外一个字母的值.
2.【解析】解方程
4
3
x－
－8=﹣
2
2
x＋
，得x=10.
将x=10代入方程2ax－（3a－5）=56x＋12a＋20，得20a－（3a－5）=560＋12a＋20，
解得a=115.
3.【解析】（1）由题意，得a＋b=0，1
3
a＋2=1，解得a=﹣3，6=3.
（2）将x=﹣3代入方程
2
6
x＋
－
1
2
x－
＋3=x－
2
6
x m
－
，
得﹣1
6
＋2＋3=﹣3－
32
6
m
﹣－
，解得m=22，
所以|a—b|－|b－m|=|﹣3－3|－|3－22|=﹣13.
4.【解析】去分母，得3（x－3）－2（2x＋l）=6，去括号，得3x－9－4x－2=6，
移项，得3x﹣4x=6＋2＋9，
合并同类项，得﹣x=17，
系数化为1，得x=﹣17.
5.【解析】去分母，得（x－4）－2（3x＋4）=－15，去括号，得x－4－6x－8=－15，
移项，得x－6x=﹣15＋4＋8，
合并同类项，得﹣5x=﹣3，
系数化为1，得x=3
5
.
6.【解析】原方程可化为49
5
x＋
－
32
3
x
＋
=
5
2
x－
，
去分母，得6（4x＋9）－10（3＋2x）=15（x－5），去括号，得24x＋54－30－20x=15x－75，
移项，得24x－20x－15x=﹣75－54＋30，
合并同类项，得﹣11x=﹣99，
系数化为1，得x=9.
7.【解析】原方程可化为2（4x－1.5）－50（0.5x－0.3）=2
3
，
去分母，得6（4x－1.5）－150（0.5x－0.3）=2，去括号，得24x－9－75x＋45=2，
移项，得24x－75x=2＋9－45，
合并同类项，得﹣51x=﹣34，
系数化为1，得x=2
3
.
8.【解析】设x小时后两人相遇，
根据题意，得5x－3x=5，
解得x=2.5，
小狗一直在二人之间来回跑，没有停，
则当甲追上乙时，狗总共跑了15×2.5=37.5（千米）.
答：此过程中，狗跑的总路程是37.5千米.
9.【解析】（1）90
表1中带阴影的方框中的9个数分别为2，3，4，9，10，11，16，17，18，所以这9个数之和是2＋3＋4＋9＋10＋11＋16＋17＋13=90.
（2）135
表2中带阴影的方框中的9个数分别为7，8，9，14，15，16，21，22，23，
所以这9个数之和是7＋8＋9＋14＋15＋16＋21＋22＋23=135.
（3）设这9个数中最中间的数是x，
则另外8个数分别为x－8，x－7，x—6，x—1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8，根据题意，得（x－8）＋（x－7）＋（x－6）＋（x－l）＋x＋（x＋l）＋（x＋6）
＋（x＋1）＋（x＋8）=180，
解得x=20，
所以x＋8=20＋8=28.
答：这9个数中最大的数是28. 10.【解析】（1）设需要x天完工，
由题意，得1
30
x＋
1
20
x=1，
解得x=12.
答：如果两队从管道两端同时施工，需要12天完工.
（2）由乙队单独施工花钱少.理由如下：
甲单独施工需付费：200×30=6000（元），
乙单独施工需付费：280×20=5600（元），
两队同时施工需付费：（200＋280）×l2=5760（元），
因为5600＜5760＜6000，所以由乙队单独施工花钱最少.
11.【解析】（1）当一次性购物标价总额是300元时，
甲超市实付款是300×0.88=264（元），
乙超市实付款是300×0.9=270（元）.
（2）设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样，
当一次性购物标价总额是500元时，
甲超市实付款是500×0.88=440（元），乙超市实付款是500×0.9=450（元），因为440＜450，所以x＞500.
根据题意，得0.88x=500×0.9＋0.8（x－500），
解得x=625.
答：当标价总额是625元时，甲、乙超市实付款一样.
（3）小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，
第一次购物付款198元，购物标价可能是198元，也可能是198＋0.9=220（元），第二次购物付款466元，购物标价是（466－450）÷0.8＋500=520（元），两次购物标价之和是198＋520=718（元）或220＋520=740（元）.若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款500×0.9＋0.8（718－500）=624.4（元）或500×0.9＋0.8（740－500）=22（元），
可以节省198＋466－624.4=39.6（元）或198＋466－642=22（元）.
答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省39.6元或22元. 名师点睛
理解两家超市的优惠方案，进行分类讨论是解题的关键.
过拓展
1.【解析】
3x ＋15x ＋35x ＋…＋20152017x ?=1即x （13＋115＋135＋…＋120152017?）=1，将方程变形，得x[12（1－13）＋12（13－15）＋12（15－17）＋…＋12（12015－12017）]=1，所以2x （1－13＋13－15＋15－17＋…＋12015－12017）=1，所以2x （1－12017）=1，系数化为1，得x=20171008
.故选C. 11.511
【解析】设x=0.45??，则x=0.4545…①，根据等式的性质，得100x=45.4545…②，由②－①，得100x －x=45，解得x=511
. 3.【解析】原方程可化为12mx －53=12x －23
， 移项，得12mx －12x=53－23
， 合并同类项，得12
（m －1）x=1， 解得x=21m －. 因为原方程的解是正整数，且m 为整数，
所以m －1=1或m －1=2，解得m=2或m=3.
所以当m=2或m=3时，关于x 的方程12mx －53=12（x －43
）的解是正整数. 4.【解析】①当x=﹣1时，0＋4=4；
②当x=3时，4＋0=4；
③当x ＜－1时，﹣x －1＋3=4，解得x=－1，
此时不符合x ＜－1；
④当－1＜x ＜3时，x ＋l ＋3－x=4，4=4，恒成立；
⑤当x ＞3时，x ＋1＋x －3=4，解得x=3，
此时不符合x ＞3.
所以原方程的解为－1≤x ≤3.
名师点睛
解含绝对值的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，从而去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解.
5.【解析】（1）设点B的速度为每秒2x个单位长度，则点A的速度为每秒3x 个单位长度，
根据题意，得3×（2x＋3x）=15，解得x=1，
所以3x=3，2x=2.
答：动点A的运动速度为每秒3个单位长度，动点B的运动速度为每秒2个单位长度.
（2）3×3=9，2×3=6，
所以运动到3秒钟时，点A表示的数为－9，点B表示的数为6.
A，B两点在数轴上的位置如图所示.
（3）设运动的时间为t秒.
当两点都向数轴正方向运动时，有|3t－2t－15|=4，
解得t=11或t=19；
当A，B两点相向而行时，有|15－3t－2t|=4，
解得t=11
5
或t=
19
5
.
答：经过11秒或19秒或11
5
秒或
19
5
秒，A，B两点之间相距4个单位长度.