第八章 向量代数与空间解析几何（一）练习题
1 :,,:,,,
0,0,.
A B C OA OB OC O λμνλμνλμν++=++=u u u r u u u r u u u r r
练习题证明三点共线的充分必要条件为存在不全为零的数使得并且其中是任意点
()
:
. ,,// ,, , A B C AB AC
AB AC OB OA OC OA λλλ??=-=-u u u r u u u r
u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r
必要性若共线存在实数使得即
亦即
参考证明 (1)0.
. ,,0, 0.(), OA OB OC OA OB OC λλλμνλμνλμννλμ-+-=++=++==-+u u u r u u u r u u u r r
u u u r u u u r u u u r r
充分性若存在不全为零的数使得并且
将代入上式得
()()
0,
0,,,,,,,,OA OC OB OC CA CB A B C λμλμλμνλμ-+-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r r
u u u r u u u r r
即由于不全为零因此不全为零故共线.
:,,,:,,,,
0,0,.
A B C D OA OB OC OD O λμνωλμνωλμνω+++=+++=u u u r u u u r u u u r u u u r r
练习四点共面的充分必要条件为存在不全为零的数使得并且其中是任意点 123111213212223313233
2 :,,, 0.
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???u r u r u r
u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r 练习题证明对任意三个共面向量有
123123123:,,,,, 0, (1),,(1), r r r r r r r r r λμνλμν++=u r u r u r
u r u r u r r
u r u r u r
三个向量共面的充分必要条件是存在不全为零的数使得
将分别与式左右两端做内积得
参考证明1112132122233132330 0 (2)
(2),,,,,, r r r r r r r r r r r r r r r r r r λμνλμνλμνλμνλμν??+?+?=???+?+?=???+?+?=??u r u r u r u r u r u r u
r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r 将视为关于的三线性齐次方程组由于不全为零因此
111213212223313233
0.
r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r
u r u r u r u r u r u r
练习3 设,,a i j b j k c k i =+=+=+，试求a b ?，a b ?，()a b c ??和()a b c ??.
解：因为,,i j k 是直角坐标系的三个单位向量，故1i i j j k k ?=?=?=，
0i j j k k i ?=?=?=.因此，()()1a b i j j k i j i k j j j k ?=+?+=?+?+?+?=.
当然，利用坐标表达式可得{1,1,0}{0,1,1}1a b ?=?=.
同样，利用0i i j j k k ?=?=?=，,,i j k j k i k i j ?=?=?=，可知
()(){1,1,1}a b i j j k i j i k j j j k k j i ?=+?+=?+?+?+?=-+=-.
()()(()())()()a b c i j j k k i i j j k j i k k k i ??=+?+?+=+??+?+?+?
=()()i j i k j i i i k i j j i j k j j k j i k i j +?-+=?-?+?+?-?+?=-+-+=-+. 直接利用坐标表达式计算
(1,1,0)(0,1,1)110{1,1,1}011
i j k
a b i j k ?=?==-+=-.
()(1,1,1)(1,0,1)111{1,0,1}1
1
i j k a b c i k ??=-?=-=-+=-.
注意：()a b c ??()a b c ≠??！
注：计算向量的内积、外积可直接利用坐标表达式的公式，或根据单位向量,,i j k 的内积和外积的运算规律计算.
练习题4 已知三个单位向量,,a b c 满足条件0a b c ++=，试求a b b c c a ?+?+?之值，并证明a b b c c a ?=?=?.
解：注意到
2
()()222a b c a b c a b c a a b b c c a b b c c a ++=++?++=?+?+?+?+?+? 所以2222
13[()]22
a b b c c a a b c a b c ?+?+?=
++-++=-. 因为0a b c ++=，两边与b 作外积，得 0a b b b c b ?+?+?=，即a b b c ?=?.
同理，若两边与c 作外积，就有c a b c ?=?，于是a b b c c a ?=?=?.
:()()a b a a c b a b c b a a a
??-?-?r r
r r r r r r r r r
r r 练习证明向量与向量和都垂直。
练习题5 设S 是ABC ?的面积，p 是ABC ?的周长之半，试证： （1）正弦定理，即
sin sin sin a b c
A B C
==
； （2
）三角形面积的海伦公式：S =
（3）如果(1,1,2),(5,6,2),(1,3,1)A B C ---，试求ABC ?的面积. 解：（1）由向量积的几何意义有
2ABC ?=CA CB ?u u u r u u u r =BA BC ?u u u r u u u r =AB AC ?u u u r u u u r ，
即 sin sin sin ab C ac B bc A ==，同时除以abc ， 即得
sin sin sin A B C a b c ==，从而sin sin sin a b c
A B C
==
. （2）根据内积的定义及余弦定理，有
222221
()()4a b a b c ?=+-，于是
2
2222222111(())444S a b a b a b c =?=-+-
=2222221
(2)(2)16ab a b c ab a b c ++---+ =1
()()()()16
a b c a b c c a b c a b +++-+--+ =()()()p p a p b p c ---.
故S
（3）(4,5,0)BA =-u u u r ，(4,9,3)BC =--u u u r ，(15,12,16)BA BC ?=u u u r u u u r
，故
25BA BC ?==u u u r u u u r
，ABC ?=.
3
.
4
练习：用向量法证明三角形三条中线的长度的平方和等于三边长度的平方和的
练习题6 已知75a b -与3a b +垂直，4a b -与72a b -垂直，求cos ,a b <>，其中,a b 为非零向量.
解：利用两向量垂直的充要条件有
(75)(3)0(4)(72)0a b a b a b a b -?+=??-?-=?，即22
22
71615073080
a a
b b a a b b ?+?-=??-?+=??. 两边除以a b ，并令x a b =，a b
y a b
?=
得
22
716150
73080
x xy x xy ?+-=??-+=??，解得21,12xy x ==，即11,2x y ==. 因此1cos ,2a b a b a b ?<>=
=，故,3
a b π
<>=. ,,,||4,||2,||6, 3
a b c a b c p a b c π
====++r r r r r r u r r r r 练习：已知向量两两的夹角为且求向量的长度
练习题7 已知向量{2,3,6}a =-和{1,2,2}b =--有共同起点，c =，试确定沿着向量a 和b 间夹角的平分线方向的向量c 的坐标.
分析：所求向量c 的模已知，关键是确定它的方向.向量a 和b 直接相加减，均得不到沿角平分线的向量，但由简单的几何知识可知，菱形的对角线平分两邻边之夹角.由此可考
虑取a 和b 的单位向量0a 和0b ，则与c 同向的向量00
1c a b =+必平分,a b <>.
解：0a =
13,6}{2,3,6}7a a =-=-， 0b =
11,2,2}{1,2,2}3b b =--=--. 0012132621
{,,}{1,5,4}73737321
c a b -=+=-+-=-，
设1{1,5,4}21
c c λ
λ==
-，且0λ>，c =，
所以
2
2222
2[(1)54]21
λ-++=，由此得63λ=. 故{3,15,12}c =-.
注：向量00
1c a b =+=
a b b a
a b a b a b
++=
表示向量a 和b 夹角的角平分线的方向. 练习题8 已知,2,22a i b j k c i j k ==-=-+，求一单位向量γ，使c γ⊥，且γ与,a b 共面.
解：设所求的向量γ={,,}x y z ，依题意1,c γγ=⊥，γ与,a b 共面，可得
2221x y z ++=； （1）
0c γ?=，即220x y z -+=； （2）
[,,]0a b γ=，即1
020012
x
y z
y z =+=-. （3）
由（1）（2）（3）式联立解得212,,333x y z =±
=±=m ，所以212{,,}333
γ=±-. 注：欲求一个向量，即是求满足一定条件的向量的坐标.
（1）当所求向量平行于向量{,,}x y z a a a a =（或与之共线）时，可设所求向量为
{,,}x y z P a a a λλλ=，然后利用其他条件求得λ.
（2）当所求向量垂直于向量a 时，可设所求向量为{,,}P x y z =，由此得方程，再与其他两个条件所建立的方程联立，求得,,x y z .
（3）当所求向量同时垂直于两个向量a 和b 时，即说明所求向量平行于向量a b ?，故可设所求向量为()P a b λ=?，然后利用其他条件求得λ. 练习题9 求过直线1123:
101x y z L ---==-，且平行于直线221:211
x y z
L +-==的平面
π的方程.
分析：求平面方程一般考虑用点法式方程，即要求出平面的法向量.注意到该法向量同
时垂直于两条直线，故法向量可取这两条直线的方向向量的外积. 如果已知平面过一条已知直线，经常可考虑用平面束方程求得.
解：方法1 根据题意，平面π过直线1L ，所以π过直线1L 上的点(1,2,3).又因为平
面π过直线1L 且平行于直线2L ，所以平面π的法向量为1
01{1,3,1}21
1
i
j k n =-=-，因此
平面π方程为1(1)3(2)1(3)0x y z ?--?-+?-=，即320x y z -++=.
方法2 将直线1123
:
101x y z L ---==
-变为一般式 2 40y x z =??+-=?
.故可设所求平面π的方程为2(4)0y x z λ-++-=，即240x y z λλλ++--=，其法向量为{,1,}λλ.由
2//L π得21110λλ?+?+?=，解得1
3
λ=-.故平面的方程为320x y z -++=.
练习题10 求由平面2260x y z +-+=和4880x y z -+-=构成的二面角的平分面方程.
分析：两个平面构成的二面角有两个，所以本题的解为两个平面.本题的解法也有两种，一是利用平分面上任一点到已知二平面的距离相等；二是利用平面束方程.
解：方法1 设(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，根据题意，M 到两已知平面的距
=
，即
3226488x y z x y z +-+=-+-，
因此 36618(488)x y z x y z +-+=±-+-，
故所求平面方程为714260x y z -+-=，或752100x y z +++=
方法2 设所求的平面方程为226(488)0x y z x y z λ+-++-+-=，其法向量为
{14,2,28}n λλλ=+--+.记12{1,2,2},{4,1,8}n n =-=-，根据题意，n 与1n 所夹锐角
和n 与2n 所夹锐角相等，所以
121
2
n n n n n n n n ??=
，解得1
3
λ=±
，故所求平面方程为714260x y z -+-=，或752100x y z +++=.
练习题11 一平面通过点(1,2,3)，它在正x 轴，y 轴上的截距相等，问当平面的截距为何值时，它与三个坐标面所围成的空间体的体积最小？并写出此平面的方程. 分析：这是求最小值的问题.先写出体积表达式，再利用求最值的方法求解.
解：设此平面的截距式方程为
1x y z
a b c
++=，根据题意，a b =，故平面方程为1x y z a a c ++=，因为点(1,2,3)又在平面上，所以1231a a c ++=，解得33
a
c a =
-. 设此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积为V ，则
31316323a a V a a a a =??=--，令32212902(3)a a a V a -'==-，得0a =（舍去），或9
2
a =
. 所以当9
,92
a b c ==
=时，此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积最小. 练习题12 设一直线过点0(1,0,5)P ，并与平面:3215x y z π-+=平行，又与直线
12
:
42
x y L z --==相交，试求此直线方程. 解：方法1 设所求直线与已知直线L 的交点为0000(,,)M x y z ，因为0M 在直线L 上，
故有
00012
42x y z --==，于是有00014,22,x t y t z t =+=+=.因所求直线过点0P 与0M ，故向量00000{1
,,5}P M x y z =--u u u u u r 是它的一个方向向量.又因为所求的直线与平面π平行，故向量00P M u u u u u r
与平面
π的法向量{3,1,2}n =-垂直，于是
000003(1)2(5)12(22)2(5)0n P M x y z t t t ?=--+-=-++-=u u u u u r .
由此解得1t =，故0005,4,1x y z ===，即交点0(5,4,1)M .故由两点式得所求的直线方程为
105
514015
x y z ---==
---，即15x y z -==-. 方法2 过点0(1,0,5)P ，且与平面π平行可作一平面1π；过点0(1,0,5)P 与直线L 也可作一平面2π.显然，所求直线为平面1π与2π的交线. 过点0(1,0,5)P ，且与平面π平行的平面1π的方程为
3(1)2(5)0x y z --+-=，即32130x y z -+-=.
直线L 上点0(1,2,0)Q 与点0(1,0,5)P 构成向量00{0,2,5}PQ =-u u u u u r
，直线L 的方向向量{4,2,1}s =，则平面2π的法向量004{3,5,2}n PQ s =?=--u u u u u r ，于是由点法式方程得平面2
π的方程为3(1)52(5)0x y z ----=，即35270x y z --+=.
因此，所求的直线方程为32130
35270
x y z x y z -+-=??
--+=?.将它化为点向式方程即为方法1的结果.
练习题13 试求直线10
:10
x y z L x y z +--=??-++=?在平面:0x y z π++=上的投影直线l 方程，
并将它写为点向式方程.
解：方法1 过直线L 且垂直于平面π的平面记为1π，1π的法向量记为1n ，显然1n 垂直于平面π的法向量{1,1,1}n =，又垂直于直线L 的方向向量s ，而s 同时垂直于构成直线
L 的两张平面的法向量，故有{1,1,1}{1,1,1}{0,2,2}s =-?-=--.于是
1{1,1,1}{0,2,2}{0,2,2}n n s =?=?--=-.
再在直线L 任取一点，如取点(0,1,0)，于是过直线L 且垂直于平面π的平面1π的方程为
2(1)20y z --=.将它与平面π的方程联立即得L 在π上的投影直线方程
10
:0y z l x y z --=??++=?
.
投影直线l 的方向向量1{0,1,1}{1,1,1}{2,1,1}s =-?=--，并在l 上任取一点(1,1,0)-，则
投影直线l 的点向式方程为
11211
x y z
+-==
--. 方法2 由直线L 的一般式方程知，以直线L 为轴的平面束方程是
(1)(1)0x y z x y z αβ+--+-++=，即()()()()0x y z αβαβαββα++-+-++-=.
选出一张平面与平面π垂直，即1()1()1()0αβαββα?++?-+?-=，故βα=-.从而把它代入平面束方程得10y z --=，将它与平面π的方程联立便得如方法1的投影直线的方程.
练习题14 判断下列各题中两条直线的位置关系（是否平行、相交或重合）.若相交求出交点的坐标.若共面求出所确定的平面方程.
（1）1238
312:,:132426
x t x y z L L y t z t =+?++-?
===+??=+?
. （2）1211122:
,:211422
x y z x y z
L L -+++-====
---. 解：（1）1L 的方向向量1{3,2,4}s =，它通过点1(3,1,2)M --，2L 的方向向量
2{3,1,2}s =，它通过点2(8,1,6)M .因为324
312
≠=，所以1s 与2s 不共线，即1L 与2L 不平
行也不重合，只需再判断是异面直线还是相交，不难算出1212()0M M s s ??=u u u u u u u r
，由此知1L 与2L 共面.又已知1L 与2L 不平行，故它们相交.为求出交点的坐标，利用参数方程. 1L 与2L 的
参数方程分别为：
111332142x t y t z t =-??=-??=+?
，22238126
x t y t z t =+??
=+??=+?. 则直线1L 与2L 相交?方程组12121
23338
2114226
t t t t t t -=+??
-=+??+=+?有解.不难解得12516,33t t =-=-，从而代
入即得交点坐标为1314
(8,,)33
--
-. （2）1L 与2L 的方向向量分别为12{2,1,1},{4,2,2}s s =-=--并且分别通过点
12(1,1,1),(2,2,0)M M ---，因为
211
422-==
--，所以1s 与2s 共面，又1M 不在2L 上，于是1L 与2L 平行.故通过1(1,1,1)M --与121{3,3,1},{2,1,1}M M s =-=-u u u u u u u r
平行的平面是
11133102
1
1
x y z -++-=-，即45320x y z +--=. 它就是平行直线1L 与2L 所确定的平面方程. 练习题15 求1(4,3,10)M 关于直线123
:
245
x y z L ---==
的对称点. 解：过1M 作平面π垂直L ，即作平面π过1M ，以{2,4,5}为法向量，它的方程是
2(4)4(3)5(10)0x y z -+-+-=.
L 的参数方程为21,42,53x t y t z t =+=+=+，代入平面π的方程得4545t =，由此解得
1t =，于是得L 与π的交点(3,6,8)，设1M 关于直线的对称点为(,,)x y z ，由中点公式得
43103,6,8,222
x y z
+++===由此解得(,,)(2,9,6)x y z =. 练习题16 证明下列三个平面：23940
321020 x y z x y z x y z +-+=??
+-+=??++=?
相交于一条直线.
证明：方法1 先求出前两个平面的交线L 的方程：
{2,3,9}{3,2,1}5{3,5,1}s =-?-=--，再令0z =，由前两平面方程可求得1,2x y ==-，
故交线过点(1,2,0)-，于是交线L 的参数方程为3152 x t y t z t =+??
=--??=-?
.将L 的方程代入第三个平面
的方程得2(31)520t t t +---≡.这说明L 在第三个平面上，故三平面交于一条直线. 方法2 先证明这三个平面的法向量共面.事实上，因为
239
32123359(1)0211
--=?-?-?-=，所以这三个法向量共面.设平面π与此法向量都平行.再证明这三个平面有一个公共点.令0z =，由后两个方程得3210
20
x y x y ++=??
+=?，解得
1,2x y ==-.而1,2,0x y z ==-=也满足第一个方程，
因此这三个平面有公共点(1,2,0)-.最后，因为相应的三个法向量两两不平行，所以这三个平面两两相交得三条交线，且其中任
意一条交线都与平面π垂直，于是这三条交线共线.又由前面的讨论知，每条交线都通过同一点(1,2,0)-，故此三条交线重合，即三个平面交于一条直线.
方法3 由后两个方程消去z 得5310x y ++=，由前两个方程消去z 也得5310x y ++=.
因此已知方程组与方程组5310 23940
x y x y z ++=??+-+=?同解.因为23
53≠，所以三个平面相交于一
条直线.
练习题17 设有两平面12:2370,:10x y y z ππ+-=++=及两直线133
:22 x t L y t z t =+??
=-??=?
，236:21228x t L y t z t =+??
=+??=--?
，求与两平面1π及2π都平行与两直线1L 及2L 都相交的直线L 的方程.
解：设直线L ，
1L ，2L 的方向向量分别为12,,s s s .平面1π与2π的法向量分别为1n 与2n .由所设条件知12,s s s s ⊥⊥，所以12//{2,3,0}{0,1,1}{3,2,2}s s s ?=?=-.再设直线L 过
点0000(,,)M x y z ，由于L 和1L 相交，它们就共面，于是110()0s s M M ??=u u u u u u u r
，其中
1(3,2,0)M -为1L 上的一个点，故
000
3232103
2
2
x y z -+=-，即 0002480x y z ---= （1）
同理，由于直线L 和2L 相交，就有220()0s s M M ??=u u u u u u u r
，其中2(6,12,8)M -为2L 上的一个
点，故
0006
12832203
2
2
x y z --+-=-，即 0040y z +-= （2）
将（1）（2）联立，得一个三元一次方程组，因为该方程组中方程个数小于未知数的个数，于是方程组有无穷多个解.所以不妨令00x =，解得008,4y z ==-.因而直线L 过点
(0,8,4)-，于是L 的方程为
84
322
x y z -+==
-. 注：本题用到：1L 与2L 共面21
212112121112
2
2
()00x x y y z z M M s s l m n l m n ---???=?
=u u u u u u u r
.
练习题18 已知两直线1L 与2L 的方向向量分别为12{2,1,0},{1,0,1}s s ==，又分别过点
1(3,0,1)M 与2(1,2,0)M -，求1L 与2L 的公垂线方程和公垂线的长度.
解：不难算出：12{1,2,1}s s ?=--，12{4,2,1}M M =--u u u u u u u r ，1212()70M M s s ??=-≠u u u u u u u r
，
所以1L 与2L 是异面直线.显然，公垂线的方向向量为12{1,2,1}s s ?=--，通过1L 与公垂线的平面1π的方程为
31
21001
2
1
x y z --=--，即2580x y z -+-=. 通过2L 与公垂线的平面2π的方程为
1210101
2
1
x y z
+-=--，即10x y z +--=. 故公垂线的一般式方程为258010 x y z x y z -+-=??+--=?
.
公垂线的长度等于异面直线1L 与2L 间的距离，即121212
()
M M s s d s s ??=?u u u u u u u
r
=
空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙
空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b
a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积
向量复习题（3） 一、填空题： 1.当t _______时，向量123(1,2,2),(4,,3),(3,1,1)T T T t ααα=-==-线性无关. 2.. 向量(1,2,1),T α= 则 T αα= T αα?= ， 3. 如果n ααα,,,21???线性无关，且1+n α不能由n ααα,,,21???线性表示，则 121,,,+???n ααα 的线性 4. 设T )5,2(1=α , T a )1(2，=α，当=a 时，21,αα线性相关. 5. 一个非零向量是线性 的，一个零向量是线性 的. 6. 设向量组A: 321,,ααα线性无关，31αα+，12αα-，32αα+线性 7. 设A 为n 阶方阵，且1)(-=n A r ， 21,αα是AX=0的两个不同解，则21αα，一定 线性 8. 向量组1,,l ββL 能由向量组1,,m ααL 线性表示的充分必要条件是 12(,,)m R ααα 1212(,,,)m l R αααβββ ,,,。(填大于，小于或等于) 9.设向量组()11,1,1α= ,()21,2,3α= ,()31,3,t α=线性相关，则t 的值为 。 二、选择题： 1. . n 阶方阵A 的行列式0=A ,则A 的列向量（ ） Ａ．线性相关 Ｂ．线性无关 Ｃ．0)(=A R Ｄ．0)(≠A R 2. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ ） A 、必有r 个行向量线性无关 B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组
C 、任意r 个行向量线性相关 D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示 3. 设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则（ ）． A 、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关 B 、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 C 、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 D 、向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关 4. 下列命题中正确的是( ) (A)任意n 个1+n 维向量线性相关 (B)任意n 个1+n 维向量线性无关 (C)任意1+n 个n 维向量线性相关 (D)任意1+n 个n 维向量线性无关 5. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则( ) （A ）s r = (B) s r ≤ (C) r s ≤ (D) r s < 6. n 维向量组 s ααα，，， 21(3≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）. (A ）s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 (B) s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C) s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) s ααα，，， 21中不含零向量 7. 向量组n ααα,,,21???线性无关的充要条件是（ ） A 、任意i α不为零向量 B 、n ααα,,,21???中任两个向量的对应分量不成比例 C 、n ααα,,,21???中有部分向量线性无关 D 、n ααα,,,21???中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示 8. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ ） A 、必有r 个行向量线性无关 B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组 C 、任意r 个行向量线性相关
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.
3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
第八章空间解析几何和 向量代数总结 向量的概念 向量的线性运算 空间直角坐标系（右手系）向量的坐标 坐标形式的向量的线性运算（8—1，19） 方向角与方向余弦（8—1，15） 向量的数量积、向量积、混合积 （8—2，1、3、6、10； 总习题八，1（3）、（4））
应用：判断向量正交、 平行（共线）、 计算平行四边形面 积、 一向量在另一向量的投影。 曲面 曲面的概念 (),,0F x y z =， ()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程 （P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）
旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程 (),00f x y z ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f x =； (),00f x y z ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0 f y =；
(),00f y z x ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f y =； (),00f y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0f z =； (),00f x z y ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为
(,0f x =； (),00f x z y ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为() 0f z =。 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =???=?? 参数方程（P33，例3）
()()()x t y t z t αβγ=??=??=? 空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4） 平面及其方程 建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6） 平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5） 点的平面的距离（8—5，9）
线性代数教学教案 第3章 向量与向量空间 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质 教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容 一． 维向量的概念 1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量. 2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算 1．定义： （1）分量全为0的向量称为零向量； （2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等； （4）对于，，称为与的和； （5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为. 2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有： n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12?????????????? n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---T n a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---T n n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 21 3+=-=z y x 的距离是：（ ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ） 3 62 B ） 3 64 C ）3 2 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为 k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B （A ）、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{04404=--=--y x z x （D ）?? ???==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴
第八章 空间解析几何与向量代数 一、选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则 B （A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1//L 2 （C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题 1. 点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0. 2. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0.
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则B （A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6 (C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-3 2．平面x-2z=0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。 （A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题
1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程 解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以 根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程 解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程 解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4
2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =，b =，试用a 和b 表示向量、、和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别 为xoy 面、yoz 面、 zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示
第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .
一、计算题与证明题 1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ?+?+?. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向 因此0=?b a ,0=?c b ,0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?. 解:3cos ||=?=?θb a b a (1) 4sin ||=?=?θb a b a (2) ()222)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ ρ, 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π ()30325110cos 22222 2222?++=-++?++?==z y x z y x a x 整理得 10 3222=++z y x (3) 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为??? ??-51,21,101
《高等数学A》课程教案 第七章空间解析几何 一、教学目的与要求 1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程 6、掌握平面方程和直线方程及其求法。 7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 8、会求点到直线以及点到平面的距离。 二、教学内容及学时分配： 第一节向量及其线性运算2学时 第二节数量积向量积和混合积2学时 第三节曲面及其方程2学时 第四节空间曲线及其方程2学时 第五节平面及其方程2学时 第六节空间直线及其方程2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点: 向量概念与运算，旋转曲面方程,柱面方程，平面方程直线方程
难点:向量的数量积与向量积，旋转曲面方程，平面束方程，有关直线与平面的综合题 四、教学内容的深化和拓宽： 1、空间直角坐标系的作用，向量的概念及其表示。 2、向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件。 3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 5、曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形， 五、教学方法与手段 启发探索式教学方法，结合多媒体课件教学。
第七章：空间解析几何与向量微分 本章内容简介 在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。 7.1空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标 为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如下图所示） 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示)
坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。 注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征. 例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点， 则x=y=z=0，等。 二、空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式： 例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得： 由于，所以△ABC是一等腰三角形 7．2 方向余弦与方向数 解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。 方向角与方向余弦 设有空间两点，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为有 向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个 坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中