函数值问题常见的求法毕业03539063
专业代码：070101
学号：090704010064
贵州师范大学（本科）
毕业论文
题目：函数最值问题常见的求法
学院：数学与计算机科学学院
专业：数学与应用数学
函数最值问题常见的求法
摘要：最值问题是中学数学中一类综合性很强的问题，它涉及的数学知识、方法、思想较多。本文从函数最大值和最小值的概念出发，探索了求
函数最值诸多方法，并对最值求解过程中需要注意的一些问题进行说明。通过对求最值的多种方法的分析、讨论，让大家意识到部分最值问题与实际问题密不可分，了解求最值常用的思想方法，能够更好更快掌握求最值的方法。
关键词:最值；函数；最小值；最大值；解法Method of the function the maximum or minimum value problems common
Ma Lingjuan
Abstract: the maximum or minimum value problems in middle school math is a comprehensive issues, it involves mathematical knowledge, methods, thinking more. This article from the maximum and minimum values of the function concept explores the seek function to the value of ten ways, and most needed attention in the course of solving problems is described. Seeking best value through to a variety of methods of analysis, discussion, and make you aware of some of the the maximum or minimum value and practical issues are inseparable, understand the seeking of the most commonly used way of thinking, to better master the methods of seeking best value faster.
Key words:value; functions; minimum value maximum value method
目录
1．最值的概念 (4)
1.1．最大值 (4)
1.2．最小值 (7)
2．最值的求法 (7)
2.1．配方法 (7)
2.2．导数法 (8)
2.3．不等式法 (10)
2.4．函数的单调性法 (11)
2.5．换元法 (12)
2.6．线性规划法 (13)
2.7. 数形结合法（图象法） (14)
2.8．判别式法 (15)
2.9．反函数法 (16)
2.10．倒数法 (17)
3.函数最值时应注意的一些问题 (18)
3.1. 注意定义域 (18)
3.2. 注意值域 (18)
3.3. 注意参变量的约束条件 (18)
3.4. 注意基本不等式的应用 (19)
参考文献： (23)
致谢辞： (24)
函数是高中数学的重要内容之一，也是高等数学研究的主要对象，函数的基础知识在数学和其它许多学科中有着广泛的应用，函数最值作为
函数的一个重点内容，同时也是高考、竞赛中的热点、难点，我们遇到的最大的问题是内容散，方法杂，给学生解决最值问题带来很大的困难。由于利用中学数学的思想方法去解决函数最值问题，涉及数学许多知识与方法，要求学生要有扎实的数学基本功及良好的数学思维能力，学生在解题时，常常出现解题思路不清楚，难以抓住最值问题的本质，不能给予恰如其分的分析，有必要让学生对求函数的最值的方法有个总体的认识，以培养学生的数学解题能力和思维能力。同时作为一名即将成为中学数学教师的我,有必要将函数最值的种种求法作一归纳和总结,以便自己今后能更好的胜任中学数学教学。
1．最值的概念
1.1．最大值
一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数满足M ： ① 对于任意x I ∈,都有()f x M ≤； ② 存在0x I ∈，使得0()f x M =. 那么我们就称M 是函数的最大值。 1.2．最小值
一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意x I ∈,都有()f x m ≥； ②存在0x I ∈，使得0()f x m =. 那么我们就称m 是函数的最小值。
2．最值的求法
2.1．配方法
此方法在初中是求最值的最常用的一种方法，主要运用于二次函数或可转化为二次函数的函数，二次函数2y ax bx c =++（..a b c 为常数且0a ≠）其性质中有：
1）若a >0，当2b
x a =-时，y 有最小值2min 44ac b y a -=；
2) 若a <0，当2b
x a
=-时，y 有最大值2max 44ac b y a -=。
利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，利用二次函数的有关性质解决问题。在解题过程中注意自变的取值范围。
例（2006全国卷Ⅰ）△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，
cos 2cos
2
B C
A ++取得最大值，并求出最大值。 解：∵A+B+C=π ∴B+C=π—A
∴ cosA+2cos 2B C
+ =cosA+2cos
2
A
π-
=cosA+2cos （2
2
A π
-
） =cosA+2sin 2
A =1-sin 22A +2sin 2
A =-(sin 122A -)+32
当sin
2A =12即3A π=时，cos 2cos 2
B C A ++取得最大值32.
2.2．导数法
导数是高中阶段求最值一个极其常用的方法，一般不易出错。利用导数求函数最值的的步骤：（1）确定函数的定义域（2）求出所给函数的导数（3）求出函数在定义域的的驻点即导数等于0的根为驻点（4）研究函数在驻点左右附
近的函数的单调性求出函数的极点（5）将极值点处的函数值与定义域闭区间端点处的函数值比较大小，得出最值。需要注意的是求函数最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此函数的极大值和极小值是判别的关键。 例：已知函数()ax f x xe -=(0a >)，求函数在[]1,2上的最大值。
解：∵()ax f x xe -=（0a >）， ∴2'()2()ax ax f x xe a x e --=+- 2(2)ax e ax x -=-+
令'()0f x >，得2(2)0ax e ax x --+>，得2
0x a
<<
当x 变化时，()f x 与'()f x 的变化情况如下表：
所以，()f x 在(),0-∞和2(,)a +∞是减函数，在2
(0,)a
上是增函数。
当2
01a
<
<，即a >2时，()f x 在[]1,2上是减函数， max ()(1)a f x f e -==
当212a ≤
≤即12a ≤≤时，()f x 在[1，2a ]上是增函数，在[2
,2a
]上是减函数。
2max 224
()()f x f e a a
∴==
当
2
2a
>时，即01a <<时，()f x 在[]1,2上是增函数。
∴2max ()(2)4a f x f e -==
综上所述， 当01a <<时, ()f x 有最大值为24a
e
-
当12a ≤<时，()f x 有最大值为
2
2
4e a 当2a >时 ,
()f x 有最大值为a
e
-
总结提示：对含字母系数的函数判断单调性时，一定要注意对字母的取值进行讨论。而求函数区间[,a b ]上的最值，其关键是先判断单调性，再求出极值，最后比较极值和两端点函数值的大小，以确定函数在区间[,a b ]上的最值。 2.3．不等式法
通过式的变形, 将函数解析式化为具有“ 基本不等式” 或“ 均值不等式” 结构特征， 从而利用基本不等式或均值不等式求最值，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成立的条件。而利用均值定理求最值，必须满足的三个条件：“一正”：各项均为正数；“二定”：和或积为常数；“三相等”：等号必须成立。
,a b 是正数，那么
2
a b
+≥，当且仅当a b =时，等号成立 公式：
①22
2()(,)22
a b a b ab a b R ++≤<∈
0,0)2a b a b +≤≤>>
另外对公式
2
a b
+≥还有如下扩展：
设12,a a ，…，n a 是n 个正数，则有
12n a a a n
++???+≥成立的条件是12n a a a ==???=，由此可得结论：若这n 个正数的和为定值，则当
这n 个正数相等时，它们的积取最大值；若这n 个正数的积为定值，则当这n 个
正数相等时，它们的和取最小值。如果能根据所给函数的特点，设法将函数化成若干个部分的和或积，则可利用上述性质求出最值。
例：已知0
x y
>>且1
xy=，求
22
x y
x y
+
-
的最小值及此时的,x y的值。
解：∵0
x y
>>，∴0
x y
->∵1
xy=（定值）
∴
22
x y
x y
+
-
2
()22
()
x y xy
x y
x y x y
-+
==-+≥
--
上式成立当且仅当
2
x y
x y
-=
-
时
所以联立方程组
1
2
x y
xy
x y
x y
?
?>>
??
=
?
?
?-=
-
??
得
2
x
y
?
=
??
?
?=
??
∴当x=
，x=时，
22
x y
x y
+
+
取最小值。
2.4．函数的单调性法
对于单调函数，最大（小）值出现在定义域的边界处（对于非单调函数，通常借助图像求解更方便）。一般地，因为恒成立的问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法。有以下关系：
()
f x a
≥恒成立
min ()
f x a ?≤
()
f x a
≤恒成立
max ()
f x a
?≥
函数的单调性是研究函数的值域与最值的问题的重要方法。
例：已知函数()
f x=
2
1
2
2
x x
x
++
，[)
1,
x∈+∞，求函数()
f x的最小值。
解：∵0x ≠，∴()f x =1
22x x
+
+，(1)x ≥ 设121x x ≤<，则12()()f x f x -=1212
11(2)(2)22x x x x +
+-++ 1212
11
()(
)22x x x x =-+- 21
1212
(12)2x x x x x x -=
- 210x x ->，120x x >， 12120x x -<
∴ 12()()f x f x -<0，即12()()f x f x <
∴ ()f x 在[)1,x ∈+∞上是增函数，
∴ ()f x 的最小值为7(1)2
f =
2.5．换元法
换元法是一种应用非常广泛的方法，主要有三角换元和代数换元，它在多种类型问题的求解中都很有用，用换元法求函数最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替，达到化繁难为简易，化陌生为熟悉，从而使原问题得解。
用换元法时要特别关注中间变量的取值范围。运用代数代换，将所给函数
化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的域。形如y ax b =+±（,,,a b c d 均为常数，且0a ≠)的函数常用此法求解。
例：求函数2y x =+
解：令0)t t =≥，则2
12
t x -=
所以21y t t =-++215
()24
t =--+
所以当12t =
，即38x =，max 5
4
y =，无最小值，
所以2y x =+[5
4
，+∞﹚ 2.6. 线性规划法
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题,，称为线性规划问题。一般解题步骤是：
（1）根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形即可行域； （2）设所求的目标函数(,f x y ）为m 的值；
（3）将各顶点坐标代人目标函数, 即可得m 的最大值与最小值或求直线(,=m f x y ）在y 轴上截距的最大（最小）
，从而得m 的最大（最小）值。 例：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 的食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 的食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？ 分析：将已知数据列成下表：
解：设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，那么
0.1050.1050.075,
0.070.140.06,0.140.070.06,0,0;x y x y x y x y +≥??+≥??
+≥??≥?
≥??
① 目标函数为 2821z x y =+
二元一次不等式组①等价于775,7146,1476,0,0;x y x y x y x y +≥??+≥??
+≥??≥?
≥?? ②
作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域。
考虑2821z x y =+，将它变形为4321
z y x =-+，这是斜率为4
3-、随z 变化
的一族平行直线，21z 是直线在轴上y 的截距，当21z
取最小值时，z 的值最小，
当然直线要与可行域相交，即满足约束条件时目标函数2821z x y =+取最小值。 由图1可见，当直线2821z x y =+经过可行域上的点M 时，截距21
z
最小，即z 最小。
解方程组775,
7146,x y x y +=??+=?
得M 的坐标为
14,77x y ==
所以min 282116z x y =+=
所以每天食用食物A 约143g ，食物B 约517g ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。 2.7. 数形结合法（图象法）
主要适用于具有几何图形的函数，通过几何模型，以形助数， 便于探求问题的简捷解法。用数形结合法求最值既可借助直观获得简捷解法， 又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误,，还有利于沟通数学各个分支，深化思维，全面提高学生的素质。 例：求函数sin 2
cos 2
x y x -=
-的最大值M 和最小值m
解:将y 看做直角坐标平面上单位圆上的点(cos ,sin )M x x 与定点(2,2)p 的连线的斜率
设直线2(2)y k x -=-与圆221x y +=相切，切点为12,M M ，则函数的最值转化为斜率的最值，因为圆o 到直线的距离为l
，l =
即23830k k -+= 解得
k =
故
43M +=
，43
m = 2.8．判别式法
主要适用于可化为关于某一变量的二次方程的函数,，当这个变量的范围是全体实数时，仅考虑△即可，当这个变量的范围是非全体实数时， 还需结合图象另解不等式求解。
判别式法多用于分式函数或无理函数的最值，特别是对于给定区间上的函数。运用此法求出y 的变化范围后，应将端点值代人原函数进行检验，否则易产生“增值” 、“ 误判” 等情况。
使用判别式法需要注意如下几点
函数的定义域应为R ；分子、分母没有公因式；二次函数中二次项的系数非零时才能使用判别式
例：求函数y x =
解：原式y x = 2222(1)0x y x y -++=
∵ x 是实数，故△=224(1)8y y +-≥0 解得
11y -≤≤+ 此外 (2)x x -≥0
解得
0≤x ≤2
于是
y x =≥0
∴ 0≤y ≤1+ 故
min 0y =，max 1y = 2.9．反函数法
一个函数若存在反函数，则原函数的值域就是其反函数的定义域，这样可以通过求反函数的定义域求得原函数的值域，从而求得原函数的最值。在利用反函数求最值时要注意反函数是否存在。由原函数反解出()y x ?=，根据x 的范围，进而得到y 的最值的方法称为反函数法。 例：求函数的21
(0)1
x y x x -=
≥+最小值． 解：原式中0x ≥，将原式化为21
2
y x y --=
-， 所以21
02
y x y --=
≥-， (21)(2)020y y y +-≤??
-≠?
所以1
22
y -≤<
所以min 12
y =
2.10．倒数法
例：已知0x >，求y x
=的最大值。
解：∵0x ≠> ∵0x >，
∴
1y =
x
=
=
此时可以有以下方法求解：
解法一：∵0x >，
∴
21
x
＞0, 2x ＞0
上式成立当且仅当221
x x
= 又 0x > ∴ 1x =
∴ 当1x =时，
1y +1
y
∴ y 有最大值max y =
解法二 ：
＝+ 显然当1
0x x
-
=，即1x =（因为0x >，所以负根舍去）
时，
1
y
∴ y 有最大值max y 3.函数最值时应注意的一些问题
3.1. 注意定义域
求解函数最值题时，在求解过程中要注意观察定义域有没有改变，在解题之初，首先应把函数的定义域确定，在解题过程中，变形时要注意定义域是否发生改变，如果引进新变量也要确定新变量的取值范围，以防在后面的计算过程中出现错误，如：在使用换元法求函数最值时，要确定新变量的取值范围。在解题结束时，要检验所求得的使函数取得最值时相应的自变量是否包含在定义域内。 3.2. 注意值域
求解函数最值时，不但对初等函数的值域求解要熟悉，而且在求解过程中要注意函数取值范围的变化。 3.3. 注意参变量的约束条件
有一类的最值问题，在题设函数里有参变量，在计算过程中，当问题转化为参数的二次函数时，如不考虑参变量的约束条件，易误入一般的情况求函数最值的方法代替求函数在特定区间最值的歧途。
例：设1x ≥, y ≥1
2
, 24x y +=, 求22x y +的最值．
错解 由题设知13x ≤≤, 12y ≤≤3
2
, 上式分别平方得21x ≤≤9,
142y ≤≤94 则 114≤ 22x y +≤1114,所以2min ()x y +=114, 2max ()x y +=1114
． 分析 根据约束条件1x ≥, y ≥12, 要使22x y +=114,只有1x =，且1
2y =,
而它们又不满足24x y +=, 因此114不是22x y +的最小值, 类似可以推出 1
11
4也不是22x y +的最大值, 错误出现在上面不等式的变形不是同解变形,可以由数
形结合法来求此函数的最值．
如左图所示：可知满足22
x y +的点(,)x y 在直线AB 上，根据题意，求22x y + 的最值就求原点到线段AB 上点的距离的平方的最值，
可求A 点的坐标为 3
(1,)2
，B 点的坐标
为 1(3,)2，易判断原点到直线AB 的
距离的垂足不在线段AB 上，所以
2
OA 和2
OB 分别为22x y +的最小值和最大值，即
2min ()1x y +=+
，
2max ()9x y +=+
3.4. 注意基本不等式的应用
运用不等式求解函数最值时要注意等号成立的条件，也要注意不等式是否
7
有意义。
(1)注意当且仅当这些正数相等时，他们的积（和）才能取大（小）值 例： 已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取
值范围。
错解： ∵0a b
<<，又()()f a f b =
∴lg lg b a =- 即lg lg 0b a += ∴
lg 0ab = 解得1ab =
2a b +≥= ∴
2a b +的取值范围为]
+∞
错误分析
2a b +≥等号成立的条件
是
2a b
=
而根据条件0b a >>，所以2a b =不可能成立
正确解法 ∵()()f a f b =，∴lg lg a b = 由对数函数图像及0a b <<得
1
b a
=
且01a <<
∴2a b +=2
a a +
记
2
()g a a a
=+
易知函数()g a 在（0,1）上为
减函数，
所以()(1)g a g >2
131
=+=，