承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮
件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问
题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他
公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正
文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反
竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
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参赛队员 (打印并签名) ：1. 李肯
2. 蔡春婷
3. 王露
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
日期：2011年 08月 25 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
某停车场泊位规划与效度评价
摘要
对于停车位规划问题我们引入了坡度因素，提出了三种模型，分别为“三排斜列坡度式”“斜列交错式”和“两排垂直式”，我们依据空间效率最大化的原则，精确作图，合理分区，最后发现“两排垂直式”能容纳的停车位最多，共100个。然后我们利用模糊分析法建立了停车场评价系统模型，其中使用了层次分析法确定权系数向量，并创造性地将停车场设计与评语相关联，建立了因素评语表，构建了模糊评价矩阵。在求解一级、二级综合评价矩阵时，比较了“主因素决定型”“主因素突出型”和“加权平均型”三种计算方法后，发现用“加权平均型”所得的结果最为准确，并判断“两排垂直式”模型的评价为：很好。由于为露天停车场，且不考虑车位的费用差异，那么车主对于车位的评价，其心理因素应包含防盗、防刮擦、距出入口距离、是否遮阴等。我们用目标规划的思路，用三个优先级依次递增的指标进行评价。在筛选车位时我们又使用了决策论中淘汰“次优方案”的思路，根据优先级逐渐把“次劣”泊车位排除，最后发现在我们选用的规划设计中，靠花坛停放的最右侧的两个车位是最劣车位，最不受欢迎。
关键词
坡度、两排垂直式、模糊综合评价、层次分析法、加权平均型
一问题重述
问题产生背景：自20世纪90年代以来, 我国经济呈现出持续高速发展态势, 家用小汽车更以惊人的发展速度进入普通居民家庭。但人们在享受汽车所带来的便利和快捷的同时, 又必须面对由此所引发的一系列问题, 其中停车问题就是
越来越突出的问题之一。
问题主体：停车位规划是指在有限的停车空间区域内，通过设计车位布局，尽可能多地发挥空间效率与时间效率。停车泊位设计考虑的因素较多，如平均车位占面积，车辆出入泊位难易程度，停车场内部道路畅通程度等等。请设计一个完整的指标体系对停车场效度进入评价。
图1是某居民小区的一个露天停车场，请对该停车场泊车位进行规划设计。并应用你所建立的评价体系对停车场效度进行评价，并指出哪些车位最不受欢迎。
图1 露天停车场平面图
二模型假设
1．停车场位置已经符合城市规划和交通管理的要求。
2．停车场出入口已经应避开城市主要干道及其交叉口。
3．停车场道路宽最小宽度为4米。
4．泊车者驾驶技术合格且按规定停车，不超出车位线。
5．假设本小区停车场只进出小型汽车，采用国家行业标准（附录一）。
三符号说明
四模型的建立与求解
1建立小区的停车位规划模型
停车位规划目标分析
由于小汽车数量迅猛增长，停车位配备资源有限，停车位服务出现了供不应求的局面，因此在有限的空间中划分出合理的尽可能多的车位，提高空间效率是建立规划模型时考虑的主要目标。相比较之下，人们对停车服务的软性质量需求大大降低，因此，我们把时间效率，包括减少堵车率、缩短入库用时等作为本次规划的次要目标。
规划的限制分析
考虑到各方面的规划限制，我们主要选取其中刚性大、对规划产生直接作用的主要限制进行介绍。这里的限制主要有停车场格局限制和国家标准。
根据公安部和建设部《停车场设计规划规则（试行）》[1]简单列出重要指标如下：
1）汽车库内的通车道宽度应大于或等于3.00米；
2）小型汽车曲线半径不得小于6.00米；
3）小型汽车车间纵向净距不小于2.00米、横向不小于1.00米；
4）车背对停车时车间尾距不小于1.00米；
5）小型车，其外廓尺寸分别是总长为4.80米、总宽为1.80米；
6）小型车位长宽标准各为5.30米、2.40米
停车场格局限制：图1中的花坛处在接近出入口的位置，为了确保车辆正常转弯和流通行驶，出入车道只能被一分为二，处于花坛两侧。环绕整个停车场。车道宽度必须比根据最小旋转半径计算出的最小道路宽度大出一定的值，从而减少刮擦的可能。
通过最小转弯半径求最小转弯通道宽，由图2得：
12cos L R R a =- 22.6sin a R =
1
2.6
sin b R = 根据余弦定理，在ABC ?中：
16R =m 2221211.7+2 1.7cos R R R b -=??? 解得：
2 4.528R m = cos 0.4922b = 3.771L m =
故最小道宽为3.771米。 不同泊车格局的方案提出
为了使停车场效度尤其是空间效率最大化，我们根据车辆排放方式的不同组合提出了三种规划。
首先介绍一下车辆排放方式和与之对应的停驶方式，并对其空间利用利弊和适用空间类型做出了简单分析。
1）平行式（如图3）
车辆停放方向和车道平行，这种方法可以使车宽方向上的车辆数目达到最多，但车头车尾要保留较长距离导致一定的车长方向上空间浪费，适合宽长比较大的区域。停车时转角较小，可节省转弯半径。 2）垂直式（如图4）
车辆停放方向与车道垂直，与平行式相对的它可以使车长方向的车辆数目达到最多，车宽较少，适合长宽比较大的区域。停驶时转角至少为90°。
3）斜列式（如图5）
车辆停放方向与车道呈一定倾角（图中为45°倾角），纵横方向占有长度介于以上两种排放方式之间，适合场内有倾斜角度的区域，结合前进式停车或后退式停车的选择，转角在0～90°之间。
图3 图4 图5
对三种基本排放方式有了了解之后，我们向排放数目最大化靠拢，从两个角度出发：1）行数优先，即在保证行数最大化的前提下再考虑每行上车数最大化；2）行上的车数优先，即在考虑每行的车数最大化的前提下再对行数进行最大化的考虑。我们通过组合提出三种规划。由于停车场花坛上下两侧主要区域布局相同，所以我们只讨论下半部分。同时为了方便计算我们仅对停车场最大内接矩形所能排放的车辆进行计算，从而得出最佳方案。 1.3.1三排斜列坡度式
为了最大化场宽方向上的空间利用率，我们设想车辆排成三排，在行数上扩大排车数目，考虑到车道宽度和底部不规则区域，因此底部车位排放应具有一定倾角，而中部先设为平行式，在未考虑车道宽硬性要求的情况下，顶部可利用空间形状不确定，故也采用斜列式，在达标前提下求出最大倾斜角。
在之前的问题假设和国家标准中，小型车长宽为5.3米和2.4米，最小道宽为4米。减去两条最小道宽和中部平行车位宽：
18.8842 2.48.48m -?-=
得到上下两侧最大车位宽：
8.482 4.24m ÷=
由于<，在斜列有倾斜角的基础上，我们引入新的斜坡排放方式，即在垂直地面方向上形成一定坡度（出于技术考虑坡度在0°~30°之间），进一步减少车位宽，提高空间利用率。同时扩大了出车视野，增大了安全系数。
设置坡度为30°，则斜面上的最大停车位长度为：
÷o 30=m
设在斜面上车辆摆放倾角为θ，则有关于θ的方程：
5.3sin 2.4cos 4.896θθ+=m
解得：
θ=°
此时，设底部可停x 辆车，则其满足关系式为：
解得：
x =
因此采取该方案时，一排最多仅仅能够停12辆车。为简化运算我们暂时取停车场用于停车的形状为长61.76米的长方形 则水平停车数目为：
÷=.
则可知该方案最多可停放：
12×4+11×2=70 1.3.2斜列交错式
由于是交错排列，不考虑斜坡排放。
设a 为图8中1o h 的长度，b 为oh 的长度，l 为1o o
设可停x 辆车，则有：
l =×=m
5.3
cos a θ=
2.4cos b θ= l a b =+
解得：
33.95θ=°
设可停靠x 辆车，则有式子：
2.4 2.4sin 2.4cos 61.76sin x
θθθ++=
解得：
x =.
2.4 5.3sin 2.4cos 61.76sin x θθθ
++=（-1）
因此采取该方案，一排最多仅仅能够停14辆车，为简化运算我们暂时取停车场用于停车的形状为长61.76米的长方形
则水平停车数目为：
÷=
则可知该方案最多可停放：
14×4+11×2=78。
1.3.3两排垂直式
由上图知在宽度足够大的情况下停车方向越接近90°，相同空间所能容纳的车位数越多。所以我们采用90°的停车方车式进行计算。设每排可停车x 辆，则有：
x =
解得：
x =.
所以四排一共可停车：
25×4=100；
综上所述，我们发现当道路宽度可以得到保证时，泊位与道路的角度越大，泊车位越多。故以第三种方案垂直两排式进行排列可以最节省空间，达到最大的空间利用率。
对于已有的三个方案，根据空间效率最大化的主要目标，我们选择了第三个方案。下面我们将建立一个完整的评价体系，对规划三进行评价。 2 建立停车场评价系统模型并应用
模糊综合评价模型的指标集合和评语集合的确定
为了构造停车场效度的评价体系，我们引入了模糊综合评判模型，它的基本要素有指标集合{}12,,,n U u u u =……和评语集合{}12,,,m V v v v =……,对于指标集合，我们分析如下：
1.安全性，它主要是指：车辆在停车场行驶过程中，由停车场的特征赋予车辆的避险性能；以及车辆在停放过程中，避免被其他车辆挂擦以及避免被盗的性能。安全性是驾驶人员对停车场服务水平的基本要求,也是停车场运营者的基本要求，他们都希望停放车辆的安全性高且出现紧急情况时有良好的出入停车场的环境，还希望停车行为对正在行使车辆的安全性的影响最小,不会形成恶性的循环,以致严重影响动态的停车取车等。因此，安全性是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。
2.便捷性，它主要是指：车辆进入和驶出停车场所需的时间和行驶的路程最小，乘车的人员和停车场管理人员到达停车场相应位置最快等。便捷性是对于人和车两者的流动而言的,停车者都希望从停车场到目的地的步行状况良好,步行的距离越短越好，都希望停车场内部通畅性良好,驾驶员出入停车场都比较容易,则该停车场被使用的可能性就越大。另外，基于停车场的特殊性，追求最高的便捷性，很多驾驶员都喜欢在安全性能高的前提下，选则距离停车场出口最近的停车位。停车场运营者也希望停车场的便捷性尽可能高，以此提高停车场的效度。因此，便捷性也是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。
3.效率性，它主要是指：有效的利用时间和空间资源的能力,在停车场中,停车集中指数的增加,均衡的泊位利用,停车时间的减少等因素直接影响停车场服务水平的好坏。并且合理的收费-停车时间的利用可以使短时的停车和长时间的停车自动地分离开来,对改善停车场的服务水平大有帮助。驾驶人员希望停车场具有尽可能高的效率性，追求效率最大化，尽可能多的节省时间等；停车场营运者也希望停车场具有最大的效率，来达到停车场的最佳运作状态，提高停车场的稳定性和适用性等等。因此，效率性也是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。
对于评语集合，我们规定V=很好，较好，一般，较差,这些评语的确定是由具体的某一停车场设计和相关国家标准[1]共同决定的，我们以题目中的停车场为例进行说明：
所谓“靠左停车位比率”是指图10虚线左侧停车位数占总数的百分比，题中的停车场平均长度约为70米，那么距出入口35米处为停车场中线，中线左侧车越多，即离出入口的车越多，车主的平均步行距离越少，在安全性相同的情况下，越受车主欢迎，故可关联到因素21u 、31u 、33u 上。若该因素落在某一评语的范围内，则该评语取为1，其他三个评语为0。 综合评价矩阵的确定
对每一个指标的因素确定评语后， 设第i 个因素的权系数为i w ，则可得权系数向量12(,,)m W w w w =……,，然后构建模糊评价矩阵P ，其中ij P 表示第i 个因素在第j 级评语的取值。那么综合评价矩阵B W P =e ，这里e 为合成运算，共有三种计算方法： 1）主因素决定型 {()|1}j i ij b w p i m =∨∧≤≤ 1,2,j n =……， 2）主因素突出型 {(.)|1}j i ij b w p i m =∨≤≤
1,2,j n =……，
3）加权平均型
(.),1j i ij b w p i m =≤≤∑
1,2,j n =……，
符号∧为取最小值，符号∨为取最大值。然后对综合评价矩阵B 做归一化处理， '1
,
1,2,j
j n
j
j b b j n b
==
=∑……，。最后根据最大隶属度原则就得出该停
车场的效度大小，作出总体的评价。 层次分析法确定权系数向量
为确定权系数向量12(,,)m W w w w =……,，我们使用了层次分析法，即： 表3.停车场效度评价层次结构
1111
n n nn a a A a a ??
?= ? ???K M O
M L
显然A 满足0ij A >且1/ji ij a a =,i ，=1,2j n ，……，。我们把满足以上两个条件的矩阵称为正互反矩阵。当且仅当ij jk ik a a a =,i ,j ,=1,2k n ，……，时，正互反矩阵A 称为一致判断矩阵。
按..T L Saaty 教授提出的1~9标度法，由准则层各因素之间的重要程度进行两两比较判断，得到每一指标下的正互反矩阵，比如：
1
241/2131/41/31A ?? ?= ?
???
确定正互反矩阵后，接着计算其最大特征根和特征向量12(,,)n R r r r =……，，这里我们用和法，步骤如下： 1）将A 的每一列向量归一化得到1ij
ij n
ij
i a r a
==
∑。
2）对ij r 按行求和并归一化得111
n
ij
j i n n
ij
i j r
r r
====
∑∑∑，12(,,)T
n R r r r =……，即近似特征向量。
3）计算1()1n i
i i
AR n r λ==∑作为最大特征根的近似值。
这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值，作为它的的特征向量，因为当A 为一致阵时它的每一列都是特征向量，所以若A 的不一致性不严重，则此选择是合理的，下面就要进行一致性检验。
计算一致性指标：
1
n
CI n λ-=
-
上式λ为矩阵A 的最大特征根，n 为矩阵A 的阶数。0CI =时A 为一致阵，CI 越大A 的不一致越严重，为了确定其不一致允许的范围，我们借助随机一致性指标RI ，其数值如下：
表5.随机一致性指标 RI 的数值
当一致性比率0.1CR RI
=
<时认为A 的不一致程度在允许范围内，若大于，则检验不通过，需要对A 进行修正。
以问题一中的规划三为例，进行说明首先设准则层的正互反阵为
1
241/2131/41/31A ?? ?= ?
???
则其特征向量为（程序见附录二）(0.5571,0.3202,0.1226)T R =，最大特征
根为 3.0183λ=，故0.00915CI =，由于A 为3阶，查表5得0.58RI =，计算
0.0160.1CI
CR RI ==<，一致性检验通过，该特征向量R 可作为准则层的权向量。
再设方案层的正互反阵分别为：
11
251/2121/51/21A ????=??
????
211/31/8311/3831A ??
??=??
????
31
131131/31/31A ????=??
????
计算结果列入下表： 表6.方案层的计算结果
确定模糊评价矩阵
我们根据所选方案三的数据：
1）道路宽度 8.2米；
2）弯道转弯半径6.56米； 3）停车位宽度 5.3米；
4）停车位与道路夹角 90°； 5）停车位总数 100辆；
6）靠左停车位比率 ；
结合表2，确定各因素评语取值，列表如下：
表7.各因素评语表：
100010
0101000P ?? ?= ? ???
2100000101000P ?? ?= ? ???
3100001001000P ??
?= ? ???
由表6查得对应的权系数向量分别为：
1(0.5945,0.2766,0.1285)T W =
2(0.0820,0.2364,0.6816)T W = 3(0.4286,0.4286,0.1429)T W =
确定一级、二级综合评价矩阵
我们分别用上文提到的“主因素决定型”“主因素突出型”和“加权平均型”
三种方法计算综合评价矩阵，并做归一化处理得到下表（程序见附录三）： 表8.一级综合评价矩阵： 接着我们用“主因素决定型”的结果123(,,)P B B B =作为模糊评价矩阵计算二级综合评价矩阵，而权向量(0.5571,0.3202,0.1226)T W R ==在前面已经求出，故二级综合评价矩阵结果为（程序见附录四）：
B W P
=e，B=,,,
对照评语集合{}
V=很好，较好，一般，较差按照最大隶属度原则我们发现停车场的效度评价为较差，但是由于“主因素决定型”运算简单，可能丢失很多信息，因而所得结果有些粗糙。当因素比较多而权重分配又比较均衡时，每一因素所分得的权重较小，由于只用运算∧和∨，这就使得到的综合评价也都较小，这时较小的权重通过∧运算得不到理想的结果，故而我们改用表8中“加权平均型”的结果作为模糊评价矩阵计算二级综合评价矩阵，
重新计算得到的结果为（程序见附录五）：
B=,,,
按照最大隶属度原则，停车场的效度评价为：很好。
3车位的分类与评价
车主对泊车位的评价与他自身的需求有直接关系，由于为露天停车场，且不考虑车位的费用差异，那么车主对于车位的评价，其心理因素应包含防盗、防刮擦、距出入口距离、是否遮阴等。但由于为露天停车场，故不考虑遮阴，车主对于车位好坏的评价是基于安全性和便捷性两个角度出发（不考虑车位的价格差异）。考虑安全性指标中被盗窃比率和被刮擦比率是最关键因素，考虑便捷性指标中离出入口的距离为最重要指标。
就安全性而言，越远离出入口的、越偏僻的车位发生偷盗损坏事件的概率就越高；车辆不被刮擦应该是其次考虑的，当然不在拐角处的停车位要比在拐角处的停车位被刮擦的概率小得多；接着需要考虑步行出停车场的时间，离门越近当然所花时间越少，那么这三者的优先秩序就是：被盗窃率>被刮擦率>离出入口的距离。
根据目标规划的理论，越高优先等级的指标的逆向偏差变量（与其负向偏差变量相区别）越大，对于整体优化越不利。同理，对越高优先级别指标的损坏越严重的车位，它的评价肯定越差。在规划理论中确定最优可以通过排除“次优”来实现，那么这里为了确定“最差”的车位，也可以通过排除“次差”的车位来实现。下面具体说明排除“次差”车位的过程：
首先考察第一优先级被盗窃率，车位越远离门口越偏僻，越容易招致偷盗损坏，那么根据排除“次差”车位原则，首先排除1、3区域和中间5、6、7、8区域的左边大部；接着考察第二优先级指标被刮擦率，在拐角处最容易被刮擦，所以中间矩形中只有花坛最右侧的两个车位（图11中的两个方块）保留，其余车位作为“次差”车位排除掉，3、4区域也被排除；然后考虑第三优先级步行距离，这两个车位距出入口的距离相同，故都被保留，成为最不受车主欢迎的车位。
五模型的评价
1优点
1）本文插入了大量的图表，将模型的建立过程阐述的清晰易懂。
2）在对停车场进行效度评价时把模糊分析法与层次分析法结合在一起，很巧
妙地处理了复杂系统的评价，而且提高了评价的可靠性。
3）创造性地将停车场设计指标与评语相关联，建立了因素评语表，为建立模糊评价模型提供了有力支持。
4）在对车位优劣进行评价的时候采取了逐步排除“次劣”车位的方式，是一种方法上的创新，而且评价效果比较准确。
2缺点
1）由于题中图形没有提供数据支持，故我们采集的数据可能存在误差。
2）各因素的选取具有主观性。
3）建立模糊评价矩阵时，每个因素仅关联到唯一一个指标上，但实际上因素有可能是由多个指标共同关联的。
六模型的改进和推广
1改进
建立模糊评价矩阵时，每个因素仅关联到唯一一个指标上，但实际上因素有可能是由多个指标共同关联的。应该用层次分析法确定每个指标在各因素上的权重，然后再建立模糊评价矩阵。
2推广
我们建立的停车场体系评价模型是基于具体的停车场设计和国家标准[1]的，故而只要获得了相关停车场的设计指标，就可以利用我们设计的因素评语表建立模糊综合评价模型，对该停车场的效度进行评价，进而指导停车场的泊位规划。进一步推广，也可用我们建立的模型评价相关站、库的规划，如加油站、仓库等等。
参考文献
[1] 公安部\建设部.《停车场设计规划规则（试行）》.
，姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第四版）.北京：高等教育出版社，2011 [3] 卓金武，魏永生. MATLAB在数学建模中的应用. 北京：北京航空航天大学
出版社，2011
附录
附录一：车辆轮廓尺寸行业标准
中华人民共和国行业标准
汽车库建筑设计规范 Design Code for Garage JGJ100-98
主编单位：北京建筑工程学院
批准部门：中华人民共和国建设部
施行日期：1998年9月1日
附录二：最大特征根和特征向量的计算
clear
A=[1 2 4;1/2 1 3;1/4 1/3 1];
%A=[1 2 5;1/2 1 2;1/5 1/2 1];
%A=[1 1/3 1/8;3 1 1/3;8 3 1];
%A=[1 1 3;1 1 3;1/3 1/3 1];
n=size(A,1); a=sum(A);
for i=1:n
a1(:,i)=A(:,i)/a(i);
end
a2=sum(a1,2);
w=a2/sum(a2), r=sum(A*w./w)/n %特征向量和最大特征根结果：
w =
r =
w =
r =
w =
r =
w =
r = 3
附录三：
主因素决定型计算一级综合评价矩阵clear
W=[;;];P=[0 0 0 1;0 0 1 0;1 0 0 0];
%W=[;;];P=[1 0 0 0;0 0 1 0;1 0 0 0];
%W=[;;];P=[1 0 0 0;0 1 0 0;1 0 0 0];
n=size(P,2);
for i=1:n
b(i)=max(min(W,P(:,i)));
end
B=b/sum(b) %归一化处理
结果：
B =
B =
0 0
B =
0 0
主因素突出型计算一级综合评价矩阵clear
W=[;;];P=[0 0 0 1;0 0 1 0;1 0 0 0];
%W=[;;];P=[1 0 0 0;0 0 1 0;1 0 0 0];
%W=[;;];P=[1 0 0 0;0 1 0 0;1 0 0 0];
n=size(P,2);
for i=1:n
b(i)=max(W.*P(:,i));
end
B=b/sum(b) %归一化处理
结果：
B =
B =
0 0
B =
0 0
加权平均型计算一级综合评价矩阵
clear
W=[;;];P=[0 0 0 1;0 0 1 0;1 0 0 0];
%W=[;;];P=[1 0 0 0;0 0 1 0;1 0 0 0];
%W=[;;];P=[1 0 0 0;0 1 0 0;1 0 0 0];
n=size(P,2);
for i=1:n
b(i)=sum(W.*P(:,i));
end
B=b/sum(b) %归一化处理
结果：
B =
B =
0 0
B =
0 0
附录四：主因素决定型计算二级综合评价矩阵
clear
W=[;;];P=[ 0 ; 0 0; 0 0];
%W=[;;];P=[ 0 ; 0 0; 0 0];
n=size(P,2);
for i=1:n
b(i)=max(min(W,P(:,i)));
end
B=b/sum(b) %归一化处理
结果：
B =
附录五：加权平均型计算二级综合评价矩阵
clear
%W=[;;];P=[ 0 ; 0 0; 0 0];
W=[;;];P=[ 0 ; 0 0; 0 0];
n=size(P,2);
for i=1:n
b(i)=sum(W.*P(:,i));
end
B=b/sum(b) %归一化处理
结果：
B =
Haozl觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆ ※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 图和表的标题采用插入题注方式题注样式在样式表中设置居中五号字体 Excel中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意Excel表格插入到word的方式在Excel中复制后，粘贴，word2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 Dsffaf 所有软件名字第一个字母大写比如E xcel 所有公式和字母均使用MathType编写 公式编号采用MathType编号格式自己定义
农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用matlab 软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用MATLAB 软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用MATLAB 编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用matlab 软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用MATLAB 软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；MATLAB ；误差分
工作人员的最优时间分配问题的研究 【摘要】 由于每个人的工作效率不同，导致不同的分配方式会有不同的时间开销。本文建立了0-1规划模型对最少时间成本下的工作人员分配问题进行了研究。 本问题中首先确定第i人做或者不做第j工作将问题定量化，再以全部的工作时间为目标函数，最后使用Lingo对目标函数求最优解得出最终结果。 关键词：最少时间最优解时间分配 0-1模型 Lingo 线性规划
一、问题重述 设有人员12个，工作10件，且一人做一个工作，第i人做第j件工作的时间（或费用）c（取值见表1.1），问：如何分派可使工作时间（或总费用）最少。 为 ij 表1.1 c ij 二、问题假设 1.每个人都能在自己的花销时间内完成工作。 2.每个人只能做一个工作，即既不能同时做两个工作，也不能在一个工作做完后再做其他工作。 3.每件工作都必须有人做，且只能由一个人独立完成。 4.各个工作之间没有相互联系。即一个工作的完成与否，不受另一个工作的制约。 三、符号说明 z：完成所有工作的总时间 x：第i人做第j件工作的时间 ij 四、问题分析、模型的建立与求解 1.问题的分析 最少时间（即人力资源成本）是最大利润一个很有参考价值的数据，往往需要利用数学建模的方法对其进行定量的分析，首先确定第i人做或者不做第j工作将问题定量化，再以全部的工作时间为目标函数，最后对目标函数求最优解得出最终结果。 2.模型的建立 设：
10...3,2,112...3,2,1{.1.0=== j i x ij j i j i ，件工作 人做第第件工作人不做第第 则工作时间为： ∑∑===12110 1z i ij j ij x c 限定条件为： 12...3,2,11101=≤∑=i x j ij ，（即每个人只能做一个工作（假设2） ，可以小于1是因为人比工作多，允许有人空闲） 10...3,2,11121i ==∑=j x ij ，（即每个工作都要有人做，且只能由一个人做 （假设3）） 10or x ij = 不能完成任务的人： ,, , ,,,,, , ,, ,,,, 4 ,122,129,1099989610,77865575110,448474326=x x x x x x x x x x x x x x x x 3.模型的求解 化为标准形式如下： ∑∑===12110 1 z Min i ij j ij x c s.t. 12...3,2,11101=≤∑=i x j ij ， 10...3,2,11121i ==∑=j x ij ， 10or x ij =
数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x Λ=，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。
数学建模线性规划模型 数学建模教案,线性规划模型 一、问题的提出 在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。 例1 若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少, 初步分析可以先考虑两种“极端”的情况: (1)全部截出长为698mm的甲件，一共可截出 EQ F(4000,698) ?5件，残料长为510mm。 (2)全部截出长为518mm的乙件，一共可截出 EQ F(4000,518) ?7件，残料长为374mm。由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少,把截取条件数学化地表示出来就是: 698 x + 518y ? 4000 x ，y都是非负整数 目标是使:z = EQ F(698x + 518y,4000) (材料利用率)尽可能地接近或等于1。(尽可能地大) 该问题可用数学模型表示为: 目标函数 : max z = EQ F(698x + 518y,4000) 满足约束条件: 698 x + 518y ? 4000 ， (1) x ，y都是非负整数 . (2) 例2 某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。
I II 设备 1 2 8台数 原材料A 4 0 16kg 原材料B 0 4 12kg 该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多, 这问题可以用以下的数学模型来描述:设 x, x分别表示在计划期内产品I、II 的产量。 1 2 因为设备的有效台数为8 ，这是一个限制产量的条件，所以在确定I 、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为: x + 2x ? 8 . 1 2同理，因原材料A 、B的限量，可以得到以下不等式: 4 x ? 16 1 4 x ? 12. 2 该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x、x以得到最大 1 2的利润。若用 z 表示利润，这时z = 2x + 3 x。综上所述，该计划问题可用数学模型表 1 2 示为: 目标函数 : max z = 2x + 3 x 1 2 满足约束条件: x + 2x ? 8 1 2 4 x ? 16 1 4 x ? 12. 2
红十字会善款投资优化设计 摘要 作为慈善机构，某省红十字会为救助四川灾区患病儿童，打算将救灾的剩余善款存入银行或购买国库券，为了充分利用这笔善款，必须要做出合理的分配方案来提高每年的救助金额，并且保证在n年末仍保留原有善款数额，才能最大限度使用剩余善款。 为了给红十字会提供一种最优方案，本文本着为红十字会设计一种能最大限度使用善款存款本息且n年末仍保留原有善款数额的原则，以n年内用于存款或购买国库券的利息额之和的最大值为目标函数，运用线性规划的相关知识，并通过LINGO软件对模型进行求解，递出了一种符合题目要求的最优分配方案。 关键词：线性规划，LINGO软件
某省红十字会打算将四川特大地震后全国人民捐款救灾的剩余善款存入银行或购买国库券。 红十字会计划在n年内用此剩余善款的部分本息救助患病儿童，并使每年的救助金额大致相同，且在n年内仍保留原有善款数额。 通过设计最佳的使用方案，提高每年的救助金额，帮助红十字会在如下情况下，设计这笔剩余善款的使用方案，并对5000 n=年给出具体结果。 M=万元，10 （1）只在银行存款而不购买国库券； （2）既可存款也可以购买国库券； （3）红十字会在剩余的善款到位后的第三年要举行成立30周年庆典，红十字会希望这一年的救助金额比其他年度多20%。 二、模型的假设 1、假设存款期间不出现紧急用钱的情况，只有在每年的最后一天，才从银行中取出钱用于捐款，且在整个存款周期中银行利率不变； 2、假设存款的银行采用单利的形式进行利息的结算； 3、假设每次使用于救助的金额都为投资所获得的利息，即用于各种投资类型的本金金额不变，然后再次将用于原投资类型的本金金额继续该种投资方式； 4、假设每年的救助金额大致相同； 5、红十字会在n年内的各种开支忽略不记； 6、假设投资不出现亏损状况。 三、符号的说明
线性规划 1.简介： 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源. 线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。 (x)都是线性函数，则该模型称为在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的g i 线性规划。 2.线性规划的3个基本要素 （1）决策变量 （2）目标函数f(x) (x)≤0称为约束条件） （3）约束条件（g i 3.建立线性规划的模型 （1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。 （2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。
（3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。 生产计划问题 某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表 试拟订生产计划，使该厂获得利润最大 解答：根据解题的三个基本步骤 （1）找出未知变量，用符号表示： 设甲乙两种产品的生产量分别为x 1与x 2 吨，利润为z万元。 （2）确定约束条件： 在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制 钢材：9x 1+5 x 2 ≤360， 电力：4x 1+5 x 2 ≤200， 工作日：3x 1+10 x 2 ≤300， x 1≥0 ，x 2 ≥0， （3）确定目标函数： Z=7x 1+12 x 2
数学建模论文基本结构 一、题目（突出问题和模型，即什么问题，哪类数学模型，要反映主题思想） 最优捕鱼策略模型 零件参数的优化设计 风险投资组合的线性规划模型 投资组合方案的模糊规划模型 灾情巡视路线的图论模型 关于洗衣机节水的数学模型 二、摘要(200-300字，包括研究的意义、模型的主要思想、特点、建模方法和 主要结果) 论文特色讲清楚，让人看到论文的新意. 全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选 a. 模型的数学归类（在数学上属于什么类型）； b. 建模的思想（思路）； c. 算法思想（求解思路）； d. 建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析， 模型检验……）； e. 主要结果（数值结果，结论；回答题目所问的全部“问题”）。 ▲注意表述：准确、简明、条理清晰、务必认真校对。 三、关键词（求解问题、使用的方法中的重要术语3—5个） 四、正文 1、问题重述 2、问题分析 3、模型假设与符号说明 4、模型建立与求解 ①补充假设条件，明确概念，引进参数； ②模型形式（可有多个形式的模型）； 5、模型检验(使用数据计算结果，进行分析与检验) 6、进一步讨论（参数的变化、假设改变对模型的影响） 7、模型优缺点（改进方向，推广新思想） 五、参考文献 参考文献 参考文献中书籍的表述方式为：序号，作者，书名，版本(第１版不标注) ，出版地：出版社，出版年，页码。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：序号，作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为：序号，作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 六、附录 (计算程序，框图；各种求解演算过程，计算中间结果；各种图形、表格)
数学建模8-动态规划和目标规划 一、动态规划 1.动态规划是求解决策过程最优化的数学方法，主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的 优化问题。但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 2.基本概念、基本方程： （1）阶段 （2）状态 （3）决策 （4）策略 （5）状态转移方程： （6）指标函数和最优值函数： （7）最优策略和最优轨线 （8）递归方程： 3．计算方法和逆序解法（此处较为抽象，理解较为困难，建议结合例子去看）
4．动态规划与静态规划的关系：一些静态规划只需要引入阶段变量、状态、决策等就可以用动态规划方法求解（详见书中例4） 5．若干典型问题的动态规划模型： （1）最短路线问题： （2）生产计划问题:状态定义为每阶段开始时的储存量x k，决策为每个阶段的产量，记每个阶段的需求量（已知量）为d k，则状态转移方程为 （3）资源分配问题：详见例5
状态转移方程： 最优值函数： 自有终端条件： （4）具体应用实例：详见例6、例7。 二、目标规划 1．实际问题中，衡量方案优劣要考虑多个目标，有主要的，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的，也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的，这时可用目标规划解决。其求解思路有加权系数法、优先等级法、有效解法等。 2．基本概念： （1）正负偏差变量： （2）绝对（刚性）约束和目标约束 ，次位赋（3）优先因子（优先等级）与权系数：凡要求第一位达到的目标赋予优先因子P 1……以此类推。 予P 2 （4）目标规划的目标函数： （5）一般数学模型：
-1- 第一章线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济 效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947 年G. B. Dantzig 提出 求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性 规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000 元与3000 元。 生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2 小时和1 小时；生产乙机床 需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时 数分别为A 机器10 小时、B 机器8 小时和C 机器7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1 x 台甲机床和2 x 乙机床时总利润最大，则1 2 x , x 应满足 （目标函数）1 2 max z = 4x + 3x (1) s.t.（约束条件） ?? ? ?? ? ? ≥ ≤ + ≤ + ≤ , 0 7 8 2 10 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x （2） 这里变量1 2 x , x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性
第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则2 1,x x 应满足 （目标函数）2134m ax x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式 是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min beq x Aeq =? ub x lb ≤≤ 其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向 量。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max
《数学建模与数学实验综合实验》 课程设计任务书 一、设计目的 通过《数学建模与数学实验综合实验》课程设计，使学生能够将课堂上学到数学建模的理论知识与实际问题相联系，在提高学生学习兴趣的同时逐渐培养实际操作技能，强化对课程内容的了解。本课程设计不仅有助于学生提高学生的建模能力，而且也有助于培养学生门的创新意识和动手能力。 二、设计教学内容 本题要求运用数学建模知识解决人力资源管理中所遇到的问题。本论文针对各项工程对技术人员限制的实际需求，充分合理地对专业技术人员进行合理配置，最终给出了该模型下的最优解，使公司收益最大化。在模型求解过程中运用matlab软件得出模型中技术力量配置的最优解，最终解决了本题中的人力资源安排问题。 三、设计时间 2011—2012学年第1学期：第16周共计1周 教师签名: 2010年12月12日
摘要 随着现代企业的发展，企业之间的竞争力越来越大，如何尽量满足客户的要求并且符合公司的人力资源，使企业的收益最大，这就涉及人员的分配问题。 合理的人力资源配置应使人力资源的整体功能强化，使人的能力与岗位要求相对应。企业的岗位有层次与种类之分，它们占据着不同的位置，处于不同的能级水平。每个人也都具有不同水平的能力，在纵向上处于不同的能级位置。企业岗位人员的配置，应能做到能级对应，也就是说每一个人所具有的能级水平与所处的层次和岗位的能及要求相对应。 本文针对各项工程对技术人员限制的实际需求，充分合理地对专业技术人员进行合理配置，最终给出了该模型下的最优解，使公司收益最大化。 首先明确目标函数为公司最大收益，根据题目要求综合考虑了各项目客户对公司各专业技术人员人数的限制及总技术人员人数的限制，以及公司各类专业技术人员资源的限制等因素，将这些因素量化，即为本题的约束条件。再利用Matlab软件得出模型中技术力量配置的最优解，即得以解决了本题中的人力资源安排问题。 关键词：多目标规划，最优化模型，约束量化
第十三章线性规划与数学建模简介 【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤； 2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法. 【本章重点】线性规划问题. 【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】 本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。 §1 数学建模概述 一、数学建模 数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。 二、数学模型的概念 模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学 式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。 三建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1.建模准备 建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。 2．模型假设 作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的
线性规划在数学建模中的应用 摘要： 线性规划是运筹学中发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 本文在阅读了大量材料的基础上，集中体现了线性规划是如何应用到数学建模中去的。并且在利用数学建模的思想以线性规划为工具可以解决哪些实际问题，为我们的生活提供哪些便利。本文大体上可分为三章，第一章主要对线性规划和数学建模这两个理论做简要描述。并且叙述这两个理论的发展历程，以及研究的背景及意义。第二章主要介绍线性规划在数学建模中的应用，其中包括现在性规划在物流运输中的应用，线性规划在经济生活中的应用，以及线性规划在现代管理中的应用，并且配备了相应的例子。第三章主要讨论线性规划在实际应用方面应注意哪些细节，并对第二章的数学模型进行优化，以及对最优解方面的讨论。关键词：线性规划数学模型物流运输经济生活现代管理 Abstract: Linear programming is developed rapidly and widely applied in operational research, the method is an important branch of mature, it is one of the scientific management of auxiliary people mathematical method. Study of linear objective function under the linear constraint condition extremum problems of mathematics theory and method of LP abbreviations. It is an important branch of operational research, widely used in military, economic analysis, management and engineering technology, etc. For reasonable use of the limited manpower and material resources, financial resources and other resources to make the optimal decision, provide the scientific basis. In this paper, on the basis of reading a lot of material, how concentrated the linear programming is applied to the mathematical modeling. And in using the ideas of mathematical modeling by means of linear programming can solve practical problems, which provide which is convenient for our life. The article in general can be divided into three chapters, the first chapter mainly on linear programming and mathematical modeling the two theories are described briefly. And the development of the two theories, as well as the research background and significance. The second chapter mainly introduces the application of linear programming in mathematical modeling, including the planning in the application of logistics transportation, now the application of linear programming in economic life, as well as the application of linear programming in the modern management, and equipped with corresponding examples. The third chapter mainly discuss details which should be paid attention to in practical application of linear programming, and optimize the mathematical model of the second chapter, and the optimal solution for the discussion. Keywords: Linear programming Mathematical model Logistics transportation The economic life Modern management
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此 表四 问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？ （3）在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？ 解：设利润函数为M(x),投资A 、B 、C 、D 、E 五种类型的证券资金分别为12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知
12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400 225 1.4()9154325(),,,,0 M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥ 利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045]; A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3]; b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：
学号：1114070115 数学建模 课程设计 题目工人的时间分配问题的研究 学院数学系 专业数学与应用数学 班级2011级本科一班 姓名 指导教师 2013 年12 月 2 日
数学建模课程设计任务书 学院滨州学院专业数学与应用数学年级2011级本科一班姓名学号1114070115 课程设计题 工人的时间分配问题的研究 目 设计内容及要求： 内容：由于每个人的工作效率不同，导致不同的分配方式会有不同的时间开销。本文建立了时间规划模型对最少时间成本下的工作人员分配问题进行了研究。 要求：按《滨州学院课程设计工作规范》完成报告。 学生应完成的工作： 根据任务书的要求，为完成任务，进行考察，获取数据，进行计算，撰写一篇数学建模论文。
目前资料收集情况（含指定参考资料）： [1] 胡运权著，《运筹学基础及应用》，第五版，高等教育出版社 [2] 姜启源,谢金星,叶俊. 数学模型[M].北京:高等教育出版社 课程设计的工作计划： 1.选题、建模准备阶段（2013.11.12—2013.11.20） 2 .建模及论文撰写阶段（2013.11.21—2013.12.3） 3.论文答辩阶段（2013.12.3—2013.12.10） 任务下达日期 2013年11月19日完成日期 2013年12月2日指导老师（签名）学生（签名）
工人的时间分配问题的研究 摘要 由于每个人的工作效率不同，导致不同的分配方式会有不同的时间开销。本文建立了时间规划模型对最少时间成本下的工作人员分配问题进行了研究。 本问题中首先确定第i人做或者不做第j工作将问题定量化，再以全部的工作时间为目标函数，最后使用Lingo对目标函数求最优解得出最终结果。 关键词：最少时间最优解时间分配模型 Lingo 线性规划
经典的数学建模例子 一、摘要 SARS SARS就是传染性非典型肺炎,全称严重急性呼吸综合症(Severe Acute Respiratory Syndromes),简称SARS,是一种因感染SARS相关冠状病毒而导致的以发热、干咳、胸闷为主要症状,严重者出现快速进展的呼吸系统衰竭,是一种新的呼吸道传染病,传染性极强、病情进展快速。 当一种传染病流行的时候,会给人们的工作学习带来很大的不变,能有效地进行隔离、预防,会大大减少人员的得病率,当一种传染病开始流行时,在一定的条件下其趋势就像真菌的繁殖曲线,如果能通过计算预测但大概推算出其发病率高峰时期,及时的隔离预防。那会给社会人力带来很大的方便,当年SARS的爆发给我们带来和大的不便和损失,因此本论文就以SARS为例,来研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件和帮助。 1 二、正文 1、模型的背景问题描述 SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综合症, 俗称:非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。 要求:(1)建立传染病传播的指数模型,评价其合理性和实用性。 (2)建立一个适合的模型,说明为什么优于问题1中的模型;特别要说明怎样才能 3 建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型,这样做的困难在哪里?对于卫生部门所采取的措施做出评论,如:提前或延后5天采取严格的隔离措施,对疫情传播所造成的影响做出估计。表中提供的数据供参考。 (3)说明建立传染病数学模型的重要性。 2、模型假设 (一)答;
工厂资源规划问题 冉光明 2010070102019 信息与计算科学 指导老师：赵姣珍
目录 摘要 (1) 关键词 (1) 问题的提出 (2) 问题重述与分析 (3) 符号说明 (4) 模型假设 (4) 模型建立与求解 (5) 模型检验 (9) 模型推广 (10) 参考文献 (11) 附录 (12)
摘要：本问题是个优化问题。问题首先选择合适的决策变量即各种产品数，然后通过决策变量来表达约束条件和目标函数，再利用matlab或lingo编写程序，求得最优产品品种计划；最后通过优化模型对问题作以解释，得出当技术服务消耗33小时、劳动力消耗67小时、不消耗行政管理时，得到的是最优品种规划。 问题一回答：当技术服务消耗33小时、劳动力消耗67小时、不消耗行政管理时， 时，若使产品品产品III不值得生产。用matlab运算分析，当产品III的利润增加至25 3 种计划最优，此时需要消耗技术服务29h，劳动力消耗46h，行政管理消耗25h。 问题二回答：利用lingo得到当技术服务增加1h时，利润增加2.5元;劳动力增加1h，利润增加1元；行政管理的增减不会影响利润。 问题三回答：增加的决策变量，调整目标函数。当技术服务消耗33h，劳动力消耗17h，不消耗行政管理，新增量50h时，管理部门采取这样的决策得到最优的产品品种规划。 问题四回答：增加新的约束条件，此时当技术服务消耗32h，劳动力消耗58h，行政管理消耗10h时，得到最优产品品种规划。 本文对模型的求解给出在线性约束条件下的获利最多的产品品种规划。 关键词：线性规划；优化模型；最优品种规划
问题的提出 某工厂制造三种产品，生产这三种产品需要三种资源：技术服务、劳动力和行政管理。下表列出了三种单位产品对每种资源的需要量： 资源利润 技术服务劳动力行政管理 产品I 1 10 2 10 II 1 4 2 6 III 1 5 6 4 现有100h的技术服务、600h劳动力和300h的行政管理时间可使用，求最优产品品种规划。且回答下列问题： ⑴若产品III值得生产的话，它的利润是多少？假使将产品III的利润增加至25/3元，求获利最多的产品品种规划。 ⑵确定全部资源的影子价格。 ⑶制造部门提出建议，要生产一种新产品，该种产品需要技术服务1h、劳动力4h 和行政管理4h。销售部门预测这种产品售出时有8元的单位利润。管理部门应有怎样的决策？ ⑷假定该工厂至少生产10件产品III，试确定最优产品品种规划。
队长: 余正刚 联系方式:
编号专用页 评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 统一编号： 评阅编号： A__余正刚(公司的最优产销方案)
摘要 本文主要研究的是某企业生产一种轻工艺品公司如何安排生产使公司获利最大的问题。主要方法是利用LINGO9.0软件和MATLAB7.0求一定约束条件下的非线性最优化解。 通过对题目的分析，我们从已知的预测数据中，发现1月到5月之间各具体数据之间存在着一定的递增关系，运用这些递增关系将每月不变成本费用分摊到轻工艺品的标准成本中。 对于第一个问题中的最优产销方案是一个非线性规划问题, 我们以追求利润的最大化为目标，充分考虑了限制轻工艺品生产量的各种因素，借助LINGO9.0求得了最优产销方案如下表所示：
关键字:非线性规划最优产销方案毛收益最大化
一、符号说明和名词解释 P:月毛利率 S：月销售额 C：月生产总成本 t：月需求量 x：解雇员工人数 z：招聘员工人数 y：上月剩余产品量 h：月加班时间 q：促销月毛利益 e：促销月后两个月利益 二、基本假设 1.轻工艺品的销售价为240元，不随市场波动。在现有的营销策略下，每月产品的需求量与年初对上半年6个月的产品需求预测量相同，每个月的销售独立且保持稳定，无月份联系。 2.每个月的产品数目是独立的，各个月之间是离散的。 3.该公司对纯收入所得税的税率保持不变。 4.该公司追求每月毛利益的最大化，而无需计算税后纯收入即先不考虑销售行政过程中的费用以及所得税。. 5.公司的员工按时上下班且所有工人每月工作时间相同，社会声誉稳定。
三、问题的提出与分析 3.1问题的提出 某企业生产轻工艺品，在现有的营销策略下生产的产品按照年初前六个月的出售预测量售出。当前的市场情况是：产品由某些工人生产，这些人的生产能力有限且一定；员工可以解雇或者招聘，可以加班但每人月加班时间不超过15小时；产品的销售价格为240元/件，原材料成本为100元/件；不足的产品需要增加每件月20元的缺货损失或可以以每件200元的价钱外包加工。根据月初对产品的预测需求量，产品的销售为平均每月1028件，此时每个月的生产能力已经处于满荷状态。现在有三种提高公司利润的方案即：1、员工人数不做调整且员工按时上下班，不加班；2、对员工人数进行改动，即招聘或者解雇员工；3、重新规划安排生产，增加员工加班时间；现需要建立模型，讨论这三个方案是否有利于提高公司利润。 3.2问题的分析 经过我们的分析，认为该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题。该企业要制定一套合理的生产计划，需要考虑的约束条件主要来自一下几个方面：其一，企业员工生产能力的限制；其二，市场对于产品需求量的限制；其三，每月剩余产品的库存成本。 分析题意后可知约束条件是非线性的，所以问题是一个非线性规划问题。 企业的毛收益（CROSS MARGIN）P为销售额S和出售产品的总成本C之差，即P=S-C。