1.（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ?是以AC 为斜边的等腰直角三角形。,,E F O 分别为,,PA PB PC 的中点，16,10AC PA PC ===。
（I ） 设C 是OC 的中点，证明：//PC 平面BOE ；
（II ）证明：在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ,OB 的距离。
2.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP=m ，
（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面BDB 1D 1
所成角的正切值为
（Ⅱ）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。
3. 如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E ，D 分别为AB 、AC 靠近B 、C 的三等分
点，点G 为BC 边的中点．线段AG 交线段ED 于F 点，将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB 、AC 、AG 形成如图乙所示的几何体。 （I ）求证BC ⊥平面AFG ； （II ）求二面角B －AE －D 的余弦值．
.
x y
z
4在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．
（1）求证：CM EM ⊥；
（2）求CM 与平面CDE 所成的角
5. 如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，
90BCF CEF ∠=∠=
，AD =2EF =．
（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；
（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60？
6. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE=EB=AF=.43
2
=FD 沿直线EF 将AEF ?翻折成,'EF A ?使平面⊥EF A '平面BEF. （I ）求二面角C FD A --'的余弦值；
（II ）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C
与'A 重合，求线段FM 的长.
E
M A C
B D D A B
E
F
C
（第18题）
7. 如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM
的长；若不存在，请说明理由。
8. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为
∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=, M，N分别为PB,PD的中点。
（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。
9. 如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，
BC CD ⊥，2AD =
，BD =M 是AD 的中点，P 是BM 的中
点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =． （Ⅰ）证明：//PQ 平面BCD ；
（Ⅱ）若二面角C BM D --的大小为60?，求BDC ∠的大小．
10. 如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，o 60BAD ∠=，
2AB =，1DE EF ==．
（1）求证：//BC EF ；
（2）求三棱锥B DEF -的体积．
（第16题图）
F
A
C
D
E B
11. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=． （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．
12(本小题14分)在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12
AD BC =
，60ABC ∠=，N 是BC
的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90，得到梯形ABC D ''（如图）． （1）求证：AC ⊥平面ABC '； （2）求证：//C N '平面AD D '； （3）求二面角A C N C '--的余弦值．
13. （本题满分14分） 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A =PD =2，BC =
1
2
AD =1，CD
（I ）求证：平面PQB ⊥平面P AD ； （II ）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ， 试确定t 的值
（第22题图）
A
B
C A 1
B 1
C 1
A
C D D ' C '
P
A
B
C D Q
M
14．
如图，直角梯形ABCD 中，AB//CD ，BCD ∠ = 90° ,
BC = CD = (I )求证：AD 丄B F :
(II )若线段EC 上一点M 在平面BDF 上的射影恰好是BF 的中点N ,试求二面角 B-MF-C 的余弦值.
1.证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，
则()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得，()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==-，
因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n =，(4,4,3FG =--得0n FG ?=，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE
（II ）设点M 的坐标为()00,,0x y ，则00(4,,3)FM x y =--，因为
FM ⊥平面BOE ，所以有//FM n ，因此有009
4,4
x y ==-
，即点M 的坐标为94,,04??
-
???
，在平面直角坐标系xoy 中，AOB ?的内部区域满足不等式组00
8x y x y >??
，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离为9
4,
4
． x
y
z
2. 解法１：（１）,,AC AC BD O =连设
1.AP B G OG 1与面BDD 交于点，连
1111
//,,PC BDD B BDD B APC OG =因为面面面
故//OG PC 。所以122
m
OG PC =
=。 又111,,AO DB AO BB AO BDD B ⊥⊥⊥所以面 . 故11AGO AP BDD B ∠即为与面所成的角。
在Rt
△2tan 2
AOG AGO m ==中，1
3m =.
故当1
3
m =
时，直线AP 11与平面BDD B
（Ⅱ）依题意，要在11A C 上找一点Q ，使得1D Q AP ⊥. 可推测11A C 的中点1O 即为所求的Q 点。
因为1111.D O A C ⊥111D O AA ⊥，所以111.D Q ACC A ⊥面 又11.AP ACC A ?面,故11D O AP ⊥。 从而111D O AD P AP 在平面上的射影与垂直。
解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0),B 1(1,1,1),D 1(0,0,1).
所以1(1,1,0),(0,0,1),BD BB =--=
(1,1,),(1,1,0).AP m AC =-=-
又由110,0AC BD AC BB AC D D ?=?=1知为平面BB 的一个法向量. 设AP 与11BDD B 面 所成的角为θ， 则||
sin cos(
)2
||||2AP AC AP AC π
θθ?=-=
=?
=
1
3
m=.
故当
1
3
m=
时，直线AP11
与平面BDD B
（２）若在
11
A C上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
则
1
(,1,1),(,1,0)
Q x x DQ x x
-=-。
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于
1
1
AP10(1)0
2
D Q AP D Q x x x
⊥??=?+-=?=
即Q为
11
A C的中点时，满足题设的要求.
3. (Ⅰ) 在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC
边的中点，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．……………………………… 2分
在图乙中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AF FG=F，所以DE⊥平面AFG．
又DE//BC，所以BC⊥平面AFG．…………………………………………………… 4分(Ⅱ) 因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED 平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，所以F A，FD，FG两两垂直．
以点F为坐标原点，分别以FG，FD，F A所在的直线为z
y
x,
,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz
F-．则)3
2,0,0(A，)0,3
,3
(-
B，)0,2
,0(-
E，所以
)3
2
,3
,3
(-
-
=
AB，,1,3
(-
=
BE0)．…………………………………… 6分设平面ABE的一个法向量为)
,
,
(z
y
x
=．
则
??
?
?
?
=
?
=
?
AB
n
，即
??
?
?
?
=
+
-
=
-
-
3
3
2
3
3
y
x
z
y
x
，
取1
=
x，则3
=
y，1
-
=
z，则)1
,3
,1(-
=．……………………………… 8分
显然)0,0,1(
=为平面ADE的一个法向量，
所以
5
5
|
||
|
,
cos=
?
>=
<
n
m
n
m．………………………………………………10分二面角D
AE
B-
-为钝角，所以二面角D
AE
B-
-的余弦值为
5
5
-．………12分
4.方法一：
（1）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB．
又EA ⊥平面ABC，所以CM⊥EM．
（2）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连结
CH并延长交ED于点F，连结MF、MD，∠FCM是直线CM
和平面CDE 所成的角．
因为MH⊥平面CDE ，所以MH⊥ED， 又因为CM⊥平面EDM ，所以CM⊥ED， 则ED⊥平面CMF ，因此ED⊥MF．
设EA ＝a ，BD ＝BC ＝AC ＝2a ，
在直角梯形ABDE 中，AB ＝
，M 是AB 的中点， 所以DE ＝3a ，EM
，MD
， 得△EMD 是直角三角形，其中∠EMD＝90° 所以MF
＝
EM MD
DE
?=．
在Rt△CMF 中，tan∠FCM =
MF
MC
=1，所以∠FCM=45°， 故CM 与平面CDE 所成的角是45°．
方法二：
如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别作为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C-xyz ，设EA=a ，则
A （2a ，0，0），
B （0，2a ，0），
C （2 a ，0，a ），
A （0，2 a ，2 a ）， A （a ，a ，0）. （1）证明：因为EM =（-a ，a ，-a ），CM =（a ，a ，0）， 所以
EM ·CM =0，
故EM CM ⊥.
（2）解：设向量n=（1，o y ，0x ）与平面CDE 垂直， 则n CE ⊥
，n CD ⊥，
即·n CE =0，·n CD =0.
因为E C =（2a,0,a ）, CD =(0,2a,2a),
所以y 0=2，z 0=-2， 即n=（1，2，-2），
2
cos ,CM n n CM M n
<>=
=
， 直线CM 与平面CDE 所称的角是45°. 5.
方法一：
（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ，
D A B E
F
C
H
G
可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形，
所以AD EG
∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．
因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．
（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．
所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．
在Rt EFG △
中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =． 又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．
于是sin BH BE BEH =∠=．
因为tan AB BH AHB =∠，
所以当AB 为9
2
时，二面角A EF C --的大小为60．
方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 设AB a BE b CF c ===，，，
则(000)C ，，
，)A a ，
，0)B ，
，0)E b ，，(00)F c ，，
． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，，(30)CB =，，，(00)BE b =，，， 所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ．
因为CB ⊥平面DCF ，
所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．
（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =-，，(30)CE b =，，， 所以0EF CE =，||2EF =
，从而
3()02b c b -+-=?=，
，
解得34b c ==，．
所以0)E ，，(040)F ，
，． 设(1
)n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE =，0n EF =，
解得(1n =． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，，，
所以||1
|cos |2
||||4BA n n BA BA n a <>===，，
得到92
a =
． 所以当AB 为9
2
时，二面角A EF C --的大小为60．
6. 方法一：
（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，连结A H '
因为A E A F ''=及H 是EF 的中点， 所以A H EF '⊥
又因为平面A EF '⊥平面BEF ，及A H '?平面.A EF ' 所以A H '⊥平面BEF 。
如图建立空间直角坐标系.A xyz -
则(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).A C F D ' 故(2,2,22),(6,0,0)FN FD =-= 设(,,)n x y z =为平面A FD '的一个法向量
所以220
60
x y x ?-++=??=??
取(0,z n =
=-则
又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =
故3cos ,3
||||
n m n m n m ?<>=
=
?
所以二面角的余弦值为
3
（Ⅱ）解：设￡?(4,0,0)FM x M x =+则 因为翻折后，C 与A 重合，所以CM=A M '
故222222(6)80(2)2x x -++=--++， 得214
x =
经检验，此时点N 在线段BG 上 所以21.4
FM =
方法二：
（Ⅰ）解：取截段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A G '，NH ，GH 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点， 所以A 'H//EF 。
又因为平面A 'EF ⊥平面BEF ， 所以A 'H`⊥平面BEF ， 又AF ?平面BEF ， 故A H AF '⊥，
又因为G ，H 是AF ，EF 的中点， 易知GH//AB ， 所以GH AF ⊥， 于是AF ⊥面A 'GH
所以A GH '∠为二面角A '—DF —C 的平面角，
在Rt A GH '?中，2,A H GH A G ''===
所以cos A GH '∠=
故二面角A '—DF —C 的余弦值为
3
。 （Ⅱ）解：设FM x =， 因为翻折后，G 与A '重合， 所以CM A M '⊥，
而222228(6)CM DC DM x =+=+-
222222222(2)2A M A H MH A H MG GH x '''=+=++-+++
得214
x =
经检验，此时点N 在线段BC 上，
所以21.4
FM =
7. 解：（Ⅰ）证：
AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴BC ⊥AD
PO ⊥平面ABC ∴ PO ⊥BC ，而PO∩AD=O ∴BC ⊥平面ADP ∴AP ⊥BC
（Ⅱ）当CM ⊥AP 时，二面角A-MC-B 为直二面角，
OB OC ==6PB PC ==，AB AC ==，5AP =
PAB PAC AMC AMB AM MB ∴∠=∠∴???∴⊥∴AM ⊥平面MBC ∴平面AMC ⊥平
面MBC
cos
PAB ∠=
=cos 3AM PAB AB =∠?==
方法二：
8. （Ⅰ）因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是PBD ?的中位线，所以 //MM BD 又因为MN ?平面ABCD ，所以
//MM 平面ABCD ． （Ⅱ）方法一：
连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示
在菱形ABCD 中，120BAD ∠=?，得
AC AB ==6BD ==． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以 P A A C ⊥．
在直角PAC ?中，AC =PA =AQ PC ⊥，得 2QC =，4PQ =．
由此知各点坐标如下，
(,0,0)A ，(0,3,0)B -，
0,0)C ，(0,3,0)D ，
(,0,P
，3
(,,22
M -
-，
3(,,22N -
，(,0,33
Q ． 设(,,)x y z =m 为平面AMN 的法向量．
由33(
,,22AM =-
，33(,,22
AN =知
3
023
022
x y x y -=?++=??
取1x =-，得
,0,1)=-m
设(,,)x y z =n 为平面QMN 的法向量．
由3(,,2
QM =-
，3(,,2QN =知
302302x y z x y ?-=???
?++=?? 取5z =，得
,0,5)=n 于是
cos ,|||33
?<>=
=
?m n m n m n |． 所以二面角
A MN Q --．
方法二：
在菱形ABCD 中，120BAD ∠=?，得
AC AB BC DA ===，BD =， 有因为PA ⊥平面ABCD ，所以
PA AB ⊥，PA AC ⊥，PA AD ⊥， 所以PB PC PD ==． 所以PBC PDC ???．
而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以 MQ NQ =，且11
22
AM PB PD AN =
==． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则 AE MN ⊥，QE MN ⊥，
所以AEQ ∠为二面角A MN Q --的平面角．
由AB =PA = 在AMN ?中，3AM AN ==，1
32
MN BD =
=，得
AE =
． 在直角PAC ?中，AQ PC ⊥，得
AQ =2QG =，4PQ =，
在PBC ?中，2225
cos 26
PB PC BC BPC PB PC +-∠=
=?，得
MQ =
=
在等腰MQN ?中，MQ NQ ==3MN =，得
2
QE =
=
．
在AEQ ?中，2AE =
，2
QE =，AQ =
222cos 233
AE QE AQ AEQ AE QE +-∠==
?．
所以二面角A MN Q --的平面角的余弦值为33
． 9. 方法一：
（Ⅰ）取BD 中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连结OP ，OF ，FQ
因为3AQ QC =，所以//QF AD ，且1
4
QF AD =
． 因为O ，P 分别为BD ，SM 的中点，所以OP 是BDM ?的中位线，
所以//OP DM ，且1
2
OP DM =．
又点M 是AD 的中点，所以//OP AD ，且1
4
OP AD =．
从而//OP FQ ，且OP FQ =．
所以四边形OPQF 为平行四边形，故//FQ QF
又PQ ?平面BCD ，OF ?平面BCD ，所以//PQ 平面BCD ．
（Ⅱ）作CG BD ⊥于点G ，作GH BM ⊥于点H ，连结CH
因为AD ⊥平面BCD ，CG ?平面BCD ，所以AD CG ⊥， 又CG BD ⊥，AD BD D ?=，故CG ⊥平面ABD ，
又BM ?平面ABD ，所以CG BM ⊥．
又GH BM ⊥，CG GH G ?=，故BM ⊥平面CGH ，所以GH BM ⊥，CH BM ⊥．
所以CHG ∠为二面角C BM D --的平面角，即60CHG ∠=?． 设BDC θ∠=．
在Rt BCD ?中，cos CD BD θθ==，
cos sin CG CD θθθ==，
2
sin BG BC θθ==．
在Rt BDM ?中，23
BG DM HG BM θ
?==．
在Rt CHG ?中，3cos tan sin CG CHG HG θ
θ
∠===．
所以tan θ=
从而60θ=?，即60BDC ∠=?．
方法二：
（Ⅰ）如图，取BD 中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz ．
由题意知(02)A
，(00)B ，
，(00)D ．
设点C 的坐标为00(0)x y ，，，因为3AQ QC =
，所以003
31
()442
Q x y +，．
因为M 是AD
的中点，故(01)M ．又P 是BM 的中点，故1
(00)2
P ，
，．
所以003
3
(0)44
PQ x y =+，． 又平面BCD 的一个法向量为(001)a =，，，故0PQ a ?=． 又PQ ?平面BCD ，所以//PQ 平面BCD ． （Ⅱ）设()m x y z =，，为平面BMC 的一个法向量．
由
00(1)
CM x y =-，
，
(01)
BM =
知
00)0
x x y y z z ?-++=??
+=??， 取1y =-
，得00
(
1y m x +=-． 又平面BDM 的一个法向量为(100)n =，，，于是
||
1
|c o s <>|
=2
||||
m n m
n m n ?==
，， 即2
00
3y x ?+
= ??
． （1）
又
BC CD
⊥，所以
0C B C D ?=，故
0000
(2)(20)0
x y x y ---?-
-=，，，， 即2
2
002x y +=． （2）
联立（1），（2）
，解得000x y =???=??
00x y ?=???
?=??．
所以tan BDC ∠=
=
又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=?．
10（1）因为//AD BC ，AD ?平面ADEF ，BC ?平面ADEF ，
所以//BC 平面ADEF ， ………………………………3分
又BC ?平面BCEF ，平面BCEF 平面ADEF EF =， 所以//BC EF ．
………………………………6分 （2）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，
因为DE ⊥平面ABCD ，BH ?平面ABCD ，所以D E BH ⊥， 又AD ，D E ?平面ADEF ，AD DE D =，
所以BH ⊥平面ADEF ， 所以BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………9分 在直角三角形ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，所以BH = 因为DE ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以D E AD ⊥，
又由（1）知，//BC EF ，且//AD BC ，所以//AD EF ，所以DE EF ⊥，……12分
所以三棱锥B DEF -的体积11111332DEF V S BH ?=??=???=． ……14分
11. 如图，以{}
1,,CA CB CC 为正交基底，建立空间直角坐标系C xyz -．
则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(1,0,2)A ，1(0,1,2)B ，所以1CB
1(1,1,2)AB =-，1(1,1,2)BA =-． （1）因为111111
cos ,6CB BA CB BA CB BA ?=== 所以异面直线1BA 与1CB ． …………………………4分
（2）设平面1CAB 的法向量为(,,)x y z =m ，
则110,0,
AB CB ??=???=??m m 即20,20,x y z y z -++=??+=?
取平面1CAB 的一个法向量为(0,2,1)=-m ；
所以二面角1B AB C --． …………………………10分 H （第16题图） F
A C
D E B
12. （1）证明：因为1
2
AD BC =
，N 是BC 的中点 所以AD NC =，又//AD BC
所以四边形ANCD 是平行四边形，所以AN DC = 又因为等腰梯形，60ABC ∠=，
所以 AB BN AD ==，所以四边形ANCD 是菱形，所以1
302
ACB DCB ∠=∠= 所以90BAC ∠=，即AC AB ⊥ 由已知可知 平面C BA '⊥平面ABC ， 因为 平面C BA
'平面ABC AB =
所以AC ⊥平面ABC ' ……………………4分 （2）证明：因为//AD BC ，//AD BC ''，
,AD AD A BC BC B ''==
所以平面//ADD '平面BCC '
又因为C N '?平面BCC ',所以 //C N '平面ADD ' ………………8分 （3）因为AC ⊥平面ABC ',同理AC '⊥平面ABC ，建立如图如示坐标系 设1AB =，
则(1,0,0)B
,C
, C '
，1(,22
N ，…………………9分
则(1BC '=-
，(0,CC '=
设平面C NC '的法向量为(,,)n x y z =，有 0BC n '?=，0C C n '?=得 (3,1,1)n = 设平面'ANC 的法向量为),,(z y x m =
，有0',0=?=?m AC m AN 得
)0,1,3(-=m ………………12分
所以5
5
cos -=??=n m m n ………………13分
由图形可知二面角A C N C '--为钝角 所以二面角A C N C '--
的余弦值为-
…………………14分