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第六章微分方程§1微分方程的基本概念引例.一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解: 设所求曲线方程为y =y (x ) , 则有如下关系式:x xy2d d =①(C 为任意常数)由②得C = 1,.12+=x y 因此所求曲线方程为21==x y ②由①得切线斜率为2x , 求该曲线的方程.常微分方程偏微分方程含未知函数的导数的方程叫做微分方程.例：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)),,,,()(='n yy y x F ),,,,()1()(-'=n n yy y x f y(n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形式是的阶.分类或x xy2d d =—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y —确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解21==x y xxy2d d =引例C x y +=2通解:12+=x y 特解:微分方程的解—不含任意常数的解初始条件y x''=例：316y x cx =+是解,y y ='例;x Ce y =通解20y y y '''--=例：2x c +微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线。
通解的图形是积分曲线族,特解的图形是积分曲线族中的一条积分曲线。
x xy 2d d =通解:C x y +=2特解:12+=x y x 0xy (1, 2)引例：例.验证函数是微分方程的通解解:)sin cos (212t k C t k C k +-=t k C t k C x sin cos 21+=是方程的解.是两个独立的任意常数,),(21为常数C C 故它是方程的通解.微分方程基本问题：求解方程中的函数y微分方程；微分方程的阶；微分方程的①解；②通解;初始条件；③特解；积分曲线．四、小结本节基本概念：6.2一阶微分方程的常见类型及解法一、变量可分离方程),(),(y x f y x f dxdy右端的如果一阶微分方程=数的乘积，即有可以分解为两个一元函称此方程为变量可分离方程.()()g y dy f x dx=两边积分解法：例1. 求微分方程的通解.解: 分离变量得x x yy d 3d 2=两边积分得13ln C x y +=即1eC C ±=令( C 为任意常数)说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,可能增、减解( 此式含分离变量时丢失的解y = 0 ).cot )1(1的通解求方程例x y dxdy+=解：xdx y dycot 1=+分离变量得两边积分Cx y +=+sin ln 1ln 解得.1sin -=x C y 原方程的通解为∴,sin 1Ce xy =+Ce xy ±=+sin 1C dx xx y dy +=+⎰⎰sin cos 1记为C如何验证答案正确？故2020/12/2011.0,202=+==--x y y x y xe e dxdy 解方程例解：dxx e dy e xy )(2+=分离变量得,212122C x e e x y ++=两边积分,00==x y ,21=∴C 故所求方程特解为).1(2122++=x e e x y .2ln )1ln(22-++=x ey x 或隐式解显式解例3求解微分方程ydx dy =解dx ydy y =≠方程可变形为若,0两端积分,⎰⎰=dx y dy Cx y +=2得.0)(412=+=∴y C C x y 及为任意常数）（方程的解为.)(412为方程的通解则C x y +=.0含在通解中亦为方程的解，但它不显然=y 说明: 通解不一定包含了方程的所有解.例4. 求下述微分方程的通解:解: 令,1+-=y x u 则故有uu 2sin 1='-即Cx u +=tan 解得C x y x +=+-)1tan(所求通解:隐式解2020/12/2014二、齐次方程)(xy f dx dy =形如的微分方程称为齐次方程.1. 定义dy x y dx x y+=-22y xy xy x dx dy -+=21y x y y x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭)(x y f =22()()0x xy dx y xy dy ++-=1()1dy y x y f dx y x x +==-x,y 次数相同例如方程：又如方程：实事上，方程可化为：令,x y u =代入原方程得)(d d u xu x u ϕ=+xx u u u d )(d =-ϕ两边积分, 得⎰⎰=-xx u u u d )(d ϕ便得原方程的通解.解法:分离变量: 变量还原例1. 求微分方程通解解:(),2d d 2xy x y x y -=方程变形为,x y u =令则有22u u u x u -='+分离变量x x u u u d d 2-=-积分得,ln ln 1ln C x uu +-=-()xx u u u d d 111-=--即变量还原得通解即C u u x =-)1(y C x y x =-)((C 为任意常数)2020/12/2017例2解方程，令xy u =所以原方程的通解为解原方程变形为,dx du x u dx dy +=则,cos 1cos 1cos uu u u u dx du x u -=-=+,cos xdx udu -=即C x u +-=ln sin 解得.ln sin C x x y +-=，x y x y x y dx dy cos 1cos -=.0cos )cos (=+-dy x y x dx x y y x 代入原方程得2020/12/20183(1)2x y y y y x'=+=例：求特解：满足y du u y u x x dx'==+解：令得：1udu dx x=代入原方程并化简得：22ln u x c=+积分得：(1)2y =代入得：c=422)ln y x c x =+变量还原得：（特解为：22)ln 4y x x =+（2020/12/2019)()(x Q y x P y =+',0)(≡x Q 当称为一阶线性齐次微分方程；称为一阶线性非齐次微分方程.,0)(≡x Q 当三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程⎪⎭⎫ ⎝⎛='x y f y ()0y P x y '+=)()(x Q y x P y =+'0)(d d =+y x P xy 1. 解齐次方程分离变量两边积分得C x x P y ln d )(ln +-=⎰故通解为x x P C y d )(e ⎰-=⎰-=xx P C y d )(e 对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解⎰-xx P C d )(e2. 解非齐次方程)()(d d x Q y x P xy=+用常数变易法:,e )()()(⎰-=xx P x u x y d 则⎰-'x x P u d )(e )(x P +⎰-x x P u d )(e )(x Q =故原方程的通解xx Q x x P xx P d e )(ed )(d )(⎰⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )(=y 即即作变换⎰--xx P u x P d )(e)(C x x Q u x x P +=⎰⎰d e )(d )(两端积分得.)1(1225的通解求方程+=+-'x x yy 例1,12)(+-=x x P 这里,)1()(25+=x x Q 公式法所以方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅+⎰=⎰+-+C dx e x ey x dx x dx122512)1(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=⎰+-+C dx e x ex x 1ln 2251ln 2)1(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎰C dx x x 212)1()1(.)1(32)1(232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=C x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx ex Q e y dx x P dxx P )()()(.sin 1的通解求方程xx y x y =+',1)(xx P =这里,sin )(x x x Q =解例2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x x e y dx xdx x 11sin 所以方程的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎰-C dx e x x e xx ln ln sin ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰C dx x xx xsin 1().cos 1C x x +-=例3.22yx y dx dy -=解方程解原方程可化为线性方程y x ydy dx -=-2,)(,2)(y y Q yy P -=-=这里所以方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-⎰=⎰-Cdy ye e x ydy y dy22()⎰+-=-Cdy ye e y y ln 2ln 2⎪⎫ ⎛+-=⎰C dy y 2().ln 2y C y -=线性微分方程常见形式.22yy x dy dx -=)0()(43≥==x x y x f y y 与轴的动直线被曲线如图所示，平行于例)(x f ,)()(30x f x dx x f x-=⎰由题意两边求导得),(3)(2x f x x f '-=解xy o x PQ 3x y =)(x f y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x e y dx dx23,6632+-+=-x x Cex,0|0==x y 由,6-=C 得故所求曲线方程为.66362+-+-=-x x ey x截下的线段PQ 之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线.,32x y y =+'即)3(2⎰+=-C dx e x e x x伯努利(Bernoulli )方程.ny x Q y x P dxdy )()(=+解法: 伯努利方程经过变量代换可化为线性方程.四、伯努利方程),()(1x Q y x P dx dy ynn=+--，得两端除以ny ,1ny z -=令，则dxdy y n dx dz n --=)1(),()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+代入上式有)1,0(≠n (1)()(1)()1((1)())n p x dxn P x dx nz yen Q x e dx C ----⎰⎰==-+⎰通解：例1. 求方程的通解.解1: 令,1-=y z 则方程变形为x a xz x z ln d d -=-其通解为e=z 将1-=y z x x d 1⎰[⎰-e x a )ln (x xd 1⎰-]C x +d []2)ln (2x a C x -=代入, 得原方程通解:例1. 求方程的通解.解2: 公式法：(1)()(1)()1((1)())n p x dxn P x dx nz yen Q x e dx c ----⎰⎰==-+⎰通解：11(1)(1)1((1)ln )n dxn dxnxxyen a xedx C ----⎰⎰=-+⎰通解：111(ln )dx dx xxe a xedx C y-⎰⎰∴=-+⎰[]2)ln (2x a C x -=232)1y xy y '+=例：求方程(x 的通解32dx yx y xdy-=解：把原方程变形为：32,(),()n p y y Q y y ==-=这里由通解公式得：(1)()(1)()13[(1)]y dyy dy x ey e dy c ------⎰⎰=-+⎰22322()y y ey e dy c -=-+⎰2222y cey -=-+例3用适当的变量代换解下列微分方程:;)(sin 1.12xy xy x dx dy -=解,xy z =令,dxdyx y dx dz +=则21()sin ()dz yy x dx x xy x=+-zdx dz 2sin 1=2sin z21,sin z =变量代换法是微分方程求解中十分重要的手段！,42sin 2C x z z +=-分离变量法得,代回将xy z =通解：.4)2sin(2C x xy xy +=-dxdz z =2sin 积分得dxdz z 2)2cos 1(=-zdx dz 2sin 1=即.1.2yx dx dy +=解：,u y x =+令,1-=dxdu dx dy 则代入原式,11u dx du =-分离变量法得,1dx du u u =+,代回将y x u +=所求通解为Cy x y +++=1ln 另解：.y x dy dx +=方程变形为,1ln C x u u +=+-积分得一阶线性微分方程一阶微分方程总结可分离变量方程.1dyy Q dx x P )()(=分离变量、积分C )()(+=⎰⎰dy y Q dx x P 通解：齐次方程.2,⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy u xy =变量代换一阶线性方程.3⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(方程Bernoulli .4n yx Q y x P y )()(=+'z y n =-1令通解：)()(x Q y x P y =+'(1)()(1)()1((1)())n p x dx n P x dx n y e n Q x e dx C ----⎰⎰=-+⎰通解：第三节高阶线性微分方程0)(=+'y x P y 一阶线性齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'一阶线性非齐次微分方程])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-公式：通解:⎰=-x x P C y d )(e⎰⎰⎰+-x x Q x x P x x P d e )(e d )(d )(齐次方程通解Y 非齐次方程特解*y 通解:⎰=-x x P C y d )(e推广：n 阶线性微分方程的一般形式为()()()y P x y Q x y f x '''++=)()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- 时, 称为非齐次方程;0)(≡x f 时, 称为齐次方程.0)(≡x f 一、二阶线性微分方程形式：] )[(11+'+y C x P ] [)(11++y C x Q 0=1、二阶线性齐次方程解的结构)(),(21x y x y 若函数是二阶线性齐次方程)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个解,也是该方程的解.证:)()(2211x y C x y C y +=将代入方程左边, 得] [11+''y C 22y C ''22y C '22y C ])()([1111y x Q y x P y C +'+''=])()([2222y x Q y x P y C +'+''+(解的叠加原理))()(2211x y C x y C y +=则定理1.说明:不一定是通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解不是通解但是)()(2211x y C x y C y +=则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与线性无关概念.定义上有定义，在区间设I x y x y )(),(21)(),()()(2121x y x y x y x y I 常数，则上若在区间=线性相关;)(),()()(2121x y x y x y x y I 常数，则上若在区间≠线性无关.,sin ,cos 21x y x y ==,tan 12常数又≠=x y y 例：线性无关.,sin ,cos 21x y x y ==故：如果)(1x y 与)(2x y 是方程.21为任意常数、其中C C 的两个线性无关的特解, 定理2(齐次方程通解结构)0)()(=+'+''y x Q y x P y 那么2211y C y C y +=就是方程的通解.例如：的两个解为方程0=-''y y ,,21x x e y e y -==,212常数又≠=-x e y y .21是方程的通解xx e C e C y -+=∴.]2[]1[)()(21线性无关是解，满足：、即x y x y2、二阶非齐次线性方程的解的结构设*y 是二阶非齐次线性方程)2(的一个特解,)1(0)()(=+'+''y x Q y x P y 定理3 Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么*y Y y +=是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解. )()()(*非齐特齐通非齐通y Y y +=)2()()()(x f y x Q y x P y =+'+''例如,方程有特解xC x C Y sin cos 21+=对应齐次方程有通解因此该方程的通解为y y x ''+=0y y ''+=( 非齐次方程解的叠加原理)定理4的解分别是线性非齐次方程设]2[,]1[)(),()2(21x y x y **]1[)()()(1 x f y x Q y x P y =+'+''是那么)()(21x y x y y **+=]3[)()()()(21 x f x f y x q y x p y +=+'+'']2[)()()(2 x f y x Q y x P y =+'+''的解。
