第二章 复变函数的积分
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函数的积分如何定义？
考虑实函数的积分I = ∫ f ( x)dx，
a b
从a到b区间划分无数小段，横坐标为x0 , x1 ,...xn
n
则I ~ ∑ f (ξ n )Δxn，其中ξ n为xn到xn +1间一点，Δxn = xn +1 ? xn 等间距划分时Δxn为常数。
对于一元实函数的积分，只 以上过程可推广到复平面上，我们可以 需给出积分上下限整个积分 路径就确定了。而复变函数 沿着复平面上的AB之间的任意一条路径 进行积分。 的情况就要复杂一些。
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这里Δz=zk-zk-1往往是各处不同的。
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路积分的定义
设在复平面的某分段光滑曲线l上定义了连续函数 f(z)，在l上取一系列分点z0(起点A)，z1，z2，...， zn(终点B)，把l分成n段，在每一小段上任取一点 ζk，作和：
∑ f (ζ
k =1
n
k
)( z k ? z k ?1 )
当n→∞且每一段都无限缩短时，如果这个和的极 限存在，且与各ζk选取无关，则这个和的极限称 作函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分，记作：
∫
l
f ( z )dz = lim ∑ f (ζ k )( z k ? z k ?1 )
n →∞ k =1
n
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分量形式
利用z=x+iy, f=u+iv，根据路积分的定义， 容易将其化为实函数u和v的线积分。
∫ f ( z )dz = ∫ (u + iv)(dx + idy)
l l
= ∫ u (dx + idy ) + iv(dx + idy )
l
= ∫ udx + iudy + ivdx ? vdy
l
= ∫ u ( x, y )dx ? v( x, y )dy + i ∫ v( x, y )dx + u ( x, y )dy
l l
归结为两实函数的线积分，分别对应于路积分的实部和虚部
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路积分的一些基本性质
由积分过程的线性特点，有：
∫ Cf ( z )dz = C ∫ f ( z )dz
L L
常数因子可以移出积分号
L
∫ [ f ( z) + f
1 L AB
2
( z )]dz = ∫ f1 ( z )dz + ∫ f 2 ( z )dz
L
函数的和的积分等于各个函 数的积分之和 反转积分路径、积分结果变 号 (因为Δz→- Δz，对于挖 除奇点很有用) 全路径上的积分等于各段积 分之和
积分结果是否与路径有关？
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∫ f ( z )dz = ? ∫ f ( z )dz
BA
AC
∫ f ( z )dz = ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz
AB BC
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计算路积分的例子
p.24 例 计算路积分I = ∫ Re zdz ，积分路径如下图所示。积 分路径为z=0至z=1+i。
l
关键问题：dz的形式，不同路径dz不同。
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路径1的情况
由于z = x + iy，有 : 被积函数 Re z = x，dz = dx + idy. 对于路径1的路积分： 在0 → 1段，有dz = dx； 在1 → 1 + i段，有dz = idy，x = 1. 1 因此0 → 1段，I = ∫ xdx = . 2 0 1 → 1 + i段，I = ∫ 1? idy = i
0 1 1
整个积分结果：I1 =
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1 +i 2
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路径2的情况
对于路径2上的线积分 : 在0 → i段，dz = idy，被积函数 Re z = x = 0； 在i → 1 + i段，dz = dx，被积函数 Re z = x. 所以, I1 = ∫ 0 ? idy + ∫ xdx =
0 0 1 1
1 2
沿着两条不同路径积分，得到结果并不相同。 可见一般的复变函数积分值不仅和起点终点有关， 还和积分路径有关。注意到本例中被积函数不是解 析函数，如果是解析函数结果又会如何？ 8
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解析函数的例子
试计算以下路积分，积分路径如下图所示。积分 路径也是z=0至z=1+i。
I = ∫ z 2 dz
l
这里被积函数z2是 一个解析函数。
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路径1的情况
被积函数z 2 = x 2 ? y 2 + 2 xyi 路径1的积分： 在0 → 1段，y = 0，我们有： 积分值 = ∫ ( x ? y + 2 xyi)dx = ∫ x 2 dx =
2 2 0 0 1 1
1 3
在1 → 1 + i段，x = 1，我们有： 积分值 = ∫ ( x 2 ? y 2 + 2 xyi)idy
0 1
2 = i ∫ (1 ? y 2 + 2 yi)dy = i ? 1 3 0 2 2 所以，总的结果I = ? + i 3 3
1
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路径2的情况
被积函数z 2 = x 2 ? y 2 + 2 xyi 在路径2中，dz = (1 + i )dx，y = x，有： 积分值 = ∫ ( x ? y + 2 xyi)dz = ∫ 2 x 2i (1 + i )dx
2 2 0 0 1+ i 1
2 2 = 2(i ? 1) ∫ x 2 dx = ? + i 3 3 0
路径2结果和路径1积分结果相同。如果我们继续取 其他路径进行积分，仍然会得到相同结果。
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路积分与路径的关系
从上面的例子可以看到，某些路积分问题结 果与路径有关，而某些则与路径无关。 注意到两个例子分别是非解析函数和解析函 数。是否非解析函数积分结果与路径有关而 解析函数的积分结果与路径无关？
实际上对于第2个例子，如果定积分公式适用，那么：
1+ i
z3 ∫ z dz = 3 0
2
1+ i
0
(1 + i ) 3 2 2 = = ? + i，显然应和路径无关. 3 3 3
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再找一个例子来验证
积分路径和例子1相同，被积函数 变为一个分式：
I =∫
l
1 dz z ? (0.5 + 0.5i )
本例直接解析计算较繁琐，我们 采用数值方法。
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数值计算路积分
implicit none complex*16 s, z, dz, f complex*16 :: I=(0,1) integer :: n z=0 s=0 do n=0, 99 dz=0.01 f=1/(z-(0.5,0.5)) s=s+f*dz z=z+dz end do do n=0, 99 dz=0.01*I f=1/(z-(0.5,0.5)) s=s+f*dz z=z+dz end do print*, "z=",z, "s=",s end
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我们采用如下数值积分公式：
1、 2、
∫
l
f ( z )dz ~ ∑ f ( z k )( z k ? z k ?1 )
k =1 n
n
∫
l
f ( z )dz ~ ∑ f (
k =1
z k + z k ?1 )( z k ? z k ?1 ) 2
数值积分公式有很多不同的形式， 不同公式的精度差别很大。
沿路径1积分
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扑朔迷离
公式1+路径1 s=(-2.000002E-2, 3.141526) 公式2+路径1 s=(-2.235211E-8, 3.141626) 公式1+路径2 s=(-2.000002E-2,-3.141526) 公式2+路径2 s=(-2.235211E-8,-3.141626)
公式2精度更高
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不同路径结果不同。前面的猜想有问题？
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奇点引起的问题？
前面的例子被积函数f(z)=z2不 存在奇点，而本例中的被积函 数f(z)=1/[z-(0.5+0.5i)]虽然在 两条积分路径上均解析，只是 在两条路径围成的区域中存在 一个奇点(0.5+0.5i)。难道是 它对积分结果有影响吗？
我们需要更多的实例来寻找规律
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继续实验
被积函数I = ∫
l
1 dz z ? (0.5 ? 0.5i )
同样有奇点，但位于路径围成区域之外
公式1加路径1： S=(0.804720, -1.10717) 公式1加路径2： S=(0.804720, -1.10714) 两结果相同。是否奇点在内就会有 影响，在外就没影响？
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继续实验
再换一个路积分： 1 I =∫ dz [ z ? (0.5 + 0.5i )]2 l
公式2+路径1 s=(-2.000033, 2.000033)
公式2+路径2 s=(-2.000033, 2.000033)
这个积分函数也在围成区域内存在奇 点，但两路径的积分结果却相同。
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路积分实验结果小结
如果被积函数是非解析函数，积分结果一 般和路径有关。 如果被积函数是解析函数，且两条路径围 成区域内没有奇点，积分结果应相同。 如果被积函数是解析函数，且两条路径围 成区域内有奇点，积分结果可能不同，但 也可能相同。实际上，这与该函数在奇点 出的性质有关。
z2 疑问：对于解析函数，zdz = 之类的积分公式是否能用？ ∫ 2 a a 如果能用，为什么还会和路径有关？
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b b
谜底在于多值函数
对于解析函数路积分，此类积分公式仍然可 用。但是，某些积分结果将是多值函数。此 时，虽然结果仍然是F(b)-F(a)，但F的取值就 和具体路径有关，不同路径出现不同结果也 就不足为奇了。 例如，前面讨论的例子f(z)=1/[z-(0.5+0.5i)]， 原函数为F(z)=ln[z-(0.5+0.5i)]为多值函数， z=0.5+0.5i是其支点，当路积分路径扫过这点 时，积分结果便会改变。如果积分路径没有 扫过这个点，那么积分结果就保持不变。
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几种情况的程序演示
数值测试有盲人摸象的感 觉，其实这些结果可以很 好地用柯西定理来解释。
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单通区域的柯西定理
如果函数f(z)在闭单通区域(区域加境界线) B 上解 析，则沿 B 上任一分段光滑闭合曲线l (可以是边 界)，有：
∫ f ( z )dz = 0
l
条件可放宽为：
在单通区域B上解析， 在闭单通区域B 上连续
无论沿顺时针还 是逆时针方向结 果均为0。由柯 西定理不难导出 解析函数路积分 的路径无关性。
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如何证明单通区域柯西定理？
首先，将积分写成实变函数的形式：
∫ f ( z )dz = ∫ u( x, y)dx ? v( x, y)dy + i ∫ v( x, y)dx + u( x, y)dy
l l l
下面如何进一步推导？
我们目前能用的工具并不多。上一章中 “包治百病”的柯西-黎曼(C-R)条件还 能用吗？ 如果要使用C-R关系，那么需要先化为偏 导的形式，如何实现？
∫ f ( z )dz = 0
l
多元积分中线积分的格林公式可做 到这一点。
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线积分的格林公式
数学上有好几个格林公式，这里需要用到的是线 积分的格林公式。 利用此格林公式可以实现回路线积分和二重面积 分之间的相互转换。线积分化为二重积分后，被 积函数的形式也会发生变化 (变为一阶偏导)
设l为逐段光滑的简单闭合曲线，围成单连通有界区域S， 若函数P( x, y )、Q( x, y )及它们一阶偏导在S + l上连续， 则有：
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫ ? ?x ? ?y ?dxdy ? ? ? ?
l S
? ?Q
?P ?
其中线积分的积分方向为正方向。
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单通区域柯西定理的证明
∫ f ( z )dz = ∫ u ( x, y)dx ? v( x, y)dy + i ∫ v( x, y)dx + u ( x, y)dy
l l l
? ?Q ?P ? 将格林公式∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ? ? ? ?x ? ?y ?dxdy代入，可得： ? l S ? ? ?u ?v ? ? ?u ?v ? f ( z )dz = ? ∫∫ ? + ?dxdy + i ∫∫ ? ? ?dxdy ∫ ? ?x ?y ? ? ?y ?x ? ? ? l S ? S ? 现在可以使用C - R条件了，将 ?v ?u ?v ?u =? = , ?x ?y ?x ?y 代入上式，可得积分值 = 0。柯西定理得证。
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复通区域
单通区域内可能存在一些奇点，不解析甚至函数 值不存在。把这些点附近的区域挖去，剩下的区 域通常就变成了复通区域。 境界线的正方向 当观察者沿着这个方向前进 时，区域总是在观察者的左边。 对于单通区域，境界线的正方向为逆时针方向。 对于复通区域，外境界线的正方向为逆时针方 向，内境界线的正方向为顺时针方向.
奇点对解析函 数的性质有非 常大的影响。
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复通区域的柯西定理
如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则：
∫ f ( z )dz + ∑ ∫ f ( z )dz = 0
l i =1 li
n
其中，l为区域外境界线，li为区域内境界线，积分 沿各境界线的正方向进行。
复通区域的所有境界线正方向路积分之和为0， 但仅仅外境界线的路积分则不一定为0。 如何证明复通区域的柯西定理？
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复通区域柯西定理的证明
方法：把复通区域 变成单通区域
如上图，任意复通区域可以通过切割的方法变成单通区域。 此时可以应用单通区域的柯西定理：
∫ f ( z )dz = ∫ f ( z )dx + ∫ f ( z )dx + ∫ f ( z )dx + ∫ f ( z )dx +
l AB l1 B ' A' CD
∫ f ( z )dx + ∫ f ( z )dx + ∫ f ( z )dx = 0
l2 D 'C ' AB B ' A'
其中， f ( z )dx和 ∫
∫ f ( z )dx， f ( z )dx和 ∫ f ( z )dx相互抵消。 ∫
CD D 'C ' l2
所以∫ f ( z )dx + ∫ f ( z )dx + ∫ f ( z )dx = 0，空洞更多的情况证明方法是类似的，
l l1
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一般情况 : ∫ f ( z )dx + ∑ ∫ f ( z )dx = 0
l i =1, n li
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柯西定理的证明要点
∫ f ( z )dz = 0
l
单通区域 首先写成 u+iv的实变分量形 式，然后利用格林公式将路积分转换为二 重面积分，被积函数自然出现偏导符号， 并正好可以利用柯西黎曼关系，即发现被 积函数为0。
需要的工具：格林公式 + C-R条件
∫
l
f ( z )dz + ∑ ∫ f ( z )dz = 0
i =1 li
n
复通区域 通过适当切割可得一单通区 域，而切割带来新增境界线对回路积分贡 献为0。
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更复杂的路径
超过1圈时需 要按圈计数， 可分割成多条 路径之和。
积分路径也可是自相交的非简单闭合曲线。此时如何处理？
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柯西定理小结
闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为0； 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向积分和为0； 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向 积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。
正方向：逆时针方向、 辐角增加方向。
区域内部不能有奇点，如有需事先挖去
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不定积分
由前面讨论可知，若函数 f(z) 在单通区域 B 上解 析，则沿B上任一路径 l 的积分结果只和起点与终 点有关而和路径无关，当起点z0固定时，该不定积 分值只和z有关，定义了一个单值函数，记作：
F ( z) =
z0
∫ f (ζ )dζ
z
可证明，F(z)在B上解析，且F'(z)=f(z)，也就是 说F(z)是f(z)的原函数。而路积分的值等于原函 数的改变量，也就是：
z2
z1
∫ f (ζ )dζ = F ( z ) ? F ( z )
2 1
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形式上和实函数的情况相同
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一些有用的积分性质
1、路积分I = ∫ f ( z )dz，如果 f ( z ) ≤ a，路径l的长度为b
l
I 则有： ≤ ab 2、∫ dz = 积分路径l的长度
l
注意和 ∫ dz = z 2 ? z1相区分
z1
z2
3、当f ( z )连续且Δz → 0时，有
α + Δz
∫ f ( z )dz ~ α f (α )dz = f (α )Δz ∫ α
33
α + Δz
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定积分公式证明要点
定积分公式： f (ζ )dζ = F ( z 2 ) ? F ( z1 )， ∫
z1 z2
原函数定义：F ( z ) = 根据F ( z )定义，有： F ( z1 ) =
z1
z0
∫ f (ζ )dζ
z2
z
z0
∫ f (ξ )dξ，F ( z ) = ∫ f (ξ )dξ
2 z0 z2
从z0到z 2可取一条过z1的路径(如图)， 所以F ( z 2 ) =
z2
z0
∫ f (ξ )dξ = ∫ f (ξ )dξ + ∫ f (ξ )dξ ,因此：
z0 z1 2 1
z1
z2
z1
∫ f (ξ )dξ = F ( z ) ? F ( z )
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证明用到：1、定义 3/17/2012
2、路径无关性 3、全路径积分等于分段和
F'(z)=f(z)的证明
选取f ( z )的积分路径如左图，则 F ( z + Δz ) ? F ( z ) 将F ( z )定义式代入 ，可得： Δz z + Δz z ? 1 z + Δz 1 ? 上式 = ? ∫ f (ζ )dζ ? ∫ f (ζ )dζ ? = ∫ f (ζ )dζ Δz ? z0 ? Δz z z0 ? ? f (ζ )积分和路径无关，以上路径可取在z → z + Δz线段上 1 Δz
z + Δz
∫
z
1 f (ζ )dζ ? f ( z ) = Δz
z + Δz
∫ [ f (ζ ) ? f ( z )]dζ
z z + Δz
设积分路径上 f (ζ ) ? f ( z ) 的最大值为ε，则 1 Δz
z + Δz
∫ [ f (ζ ) ? f ( z )]dζ ≤
z
1 Δz
∫ εdζ
z
=ε F ( z + Δz ) ? F ( z ) = f ( z) Δz
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而f ( z )连续，当Δz → 0时ε → 0，所以 lim
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Δz → 0
证明要点回顾
根据F ' ( z )的定义有： F ' ( z ) = lim F ( z + Δz ) ? F ( z ) Δz →0 Δz
z + Δz
而F ( z + Δz ) ? F ( z ) =
∫ f (ζ )dζ ， (定积分的性质)
z
当Δz很小时，积分路径上f (ζ )可看作常数, (连续性条件)
z + Δz
∫ f (ζ )dζ ~ ∫ f ( z )dζ = f ( z )Δz
z z z + Δz
z + Δz
F ( z + Δz ) ? F ( z ) 所以F ' ( z ) ~ = Δz
∫ f (ζ )dζ
z
Δz
~
f ( z )Δz = f ( z) Δz
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连续性条件：z → z0时，f(z)-f(z0) → 0
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p.27 重要例题
计算积分
I = ∫ ( z ? α ) n dz , (n为整数)
l
后面几章有多处需用到这个积分。
分几种情况讨论 1、唯一可能出现奇点的是z= α处。如果积分路 径所围区域不包含α点，那么显然积分为0。 2、如果n>=0，那么所围区域中也没有奇点，积 分也应为0。 3、如果n<0且所围区域包含α点，那么积分值 可能不为0。
只需考虑所围区域包含α点的情况
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包含α点的情况
附加条件 积分回路应该 是简单闭合曲 线，不能绕圈
由单通区域柯西定理，可知区域内连续变化 的路径积分值不变。因此l回路的积分值和C 回路的积分值相等。(亦可由复通区域柯西定 理直接得到)
I = ∫ ( z ? α ) n dz = ∫ ( z ? α ) n dz
l C
这里 C 是一个以 α 为圆心，半径 为R的圆。积分方向为逆时针方向 。如果l 为复杂路径(绕 α多圈)， 则不能连续变化到C。如果 l 不包 含α，也不能连续变化到C。
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积分计算
在回路C上，采用以α为原点的极坐标，有： z ? α = R exp(iθ ) ( 因此被积函数变为：z ? α ) n = R n exp(inθ ) 而dz的形式可由z的变化量导出： z = α + R exp(iθ ) dz = d [α + R exp(iθ )] = iR exp(iθ )dθ 积分范围则变成了θ = 0 ? 2π 故I = ∫ R n exp(inθ ) ? iR exp(iθ )dθ
0 2π
(因α、R为常数)
= iR n +1 ∫ exp[i (n + 1)θ ]dθ
0
2π
需要分n = ?1和n ≠ ?1两种情况讨论。
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计算结果
对于积分：I = iR 当n ≠ ?1时，有：
其中ｎ＞０积分等 于０的结果是显然 的。而ｎ＜－１的 结果我们前面没有 直接看出。
n +1 2π
∫ exp[i(n + 1)θ ]dθ
0 2π
I = iR
n +1
exp[i (n + 1)θ ] ? = 0 [因 exp(2nπi ) = 0] i (n + 1) 0
当n = ?1时，有：
2π
I = iR
0
∫ 1? dθ = 2πi
0
两种情况下的积分值均和R无关。
这样前面数值测试的结果就更容易理解了
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第一章习题解答 （一） 1 ．设z =z 及Arcz 。 解：由于3i z e π -== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 4 12 12222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z
复变函数第二章答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零
第二章 复变函数 第一节 解析函数的概念及C.-R.方程 1、导数、解析函数 定义2.1：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且0z D ∈。如果极限 00,0 ()()lim z z z D f z f z z z →∈-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0'()f z ，或0 z z dw dz =。 定义2.2：如果()f z 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称()f z 在0z 处解析；如果()f z 在区域D 内处处解析，则我们称()f z 在D 内解析，也称()f z 是D 的解析函数。解析函数的导（函）数一般记为'()f z 或d ()d f z z 。 注解1、εδ-语言，如果任给0ε>，可以找到一个与ε有关的正数()0δδε=>，使得当z E ∈，并且0||z z δ-<时， 00 ()()||f z f z a z z ε--<-，则称)(z f 在0z 处可导。 注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立； 注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念； 注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此
在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。 解析函数的四则运算： ()f z 和()g z 在区域D 内解析，那么()()f z g z ±，()()f z g z ，()/()f z g z （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的四则运算法则： (()())''()'()[()()]''()()()'() f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z ±=±=+ 2()'()()()'() ()[()]'f z f z g z f z g z g z g z -??=??。 复合求导法则：设()f z ζ=在z 平面上的区域D 内解析，()w F ζ=在ζ平面上的区域1D 内解析，而且当z D ∈时，1()f z D ζ=∈，那么复合函数[()]w F f z =在D 内解析，并且有 d [()]d ()d ()d d d F f z F f z z z ζζ= 求导的例子： （1）、如果()f z a ≡（常数），那么d ()0d f z z =； （2）、d 1d z z =，1d d n n z nz z -=； （3）、z 的任何多项式 01()...n n P z a a z a z =+++ 在整个复平面解析，并且有 112'()2...n n P z a a z na z -=+++
第二章 解析函数 解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用． 本章，我们首先介绍复变函数的极限与连续，并从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质． 一、基本要求 1．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性． 2．熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下： 复变函数()f z 在点集E ?￡上一致连续?对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有()()0()n n f z f z n '-→→∞．
第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 =
第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零
习题1 第一章 复数与复变函数 1.12z = =求|z|，Argz 解：123212 2 =??? ? ??+??? ??=z Argz=arctan 212-+2k π=23k π π+-, ,2,1,0±±=k 2．已知2 11i z += ,=2z i -3,试用指数形式表示2 1 21z z z z 及 解：2 11i z += i e 4 π = =2z i -3i e 6 2π -= 所以21z z =i e 6 2π -i e 4 πi e 12 2π - = 2 1z z i i i i e e e e 125)64(64 21212π π ππ π ===+- 3． 解二项方程440z a += )0(>a 解 由440z a +=得44z a =- 则二次方程的根为 k w a = （k=0,1,2,3） =24k i e a ππ+? （k=0,1,2,3） 0w =4 i e a π? =234 4 1(1)2 i i a w e a e a i ππ π+?===-+
54 2(1)2i a w e a i π==-- 74 3(1)2 i a w e a i π==- 4 .设1z 、2z 是两个复数，求证： ),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=- 证明：()() 21212 21z z z z z z --=- () 2 12 22 121212 2211 2212 221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---= 5． 设123z ,z ,z 三点适合条件： 1230z z z ++=及1231z z z === 试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。 证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+ 因为1230z z z ++= ∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =-- 又因为1231z z z === ∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+ 而()()2 2 22112323x y x x y y +=+=+ ()()2 223231x x y y ∴+++= ()232321x x y y ∴+=- 同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=- 可知()()()()()()2 2 2 2 2 2 121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+-
第二章复变函数的积分 基本要求： 1.正确理解复变数函数路积分的概念； 2.深透理解柯西定理及孤立奇点的定义; 3.理解并会熟练运用柯西公式。本章重点： 柯西定理，柯四公式和孤立奇点。 §2.1.复变函数的积分 1、复变函数积分 复数积分是复平面上的线积分。设/是复平面上的一条由/到E点的光滑曲线，在曲线上复变函数./（Z）有定义，在曲线上任意分为段，曲线上各分点为 3是［Zk-\, Zk］段上的任意一点。作和数 ￡/（彳）亿= ￡/（彳M *=1 *=| 当斤无限增大，使每一Az&都趋于零时，如果这个和数的极限存在，且其值与各个点①的选取无关，则这极限值称为函数沿曲线由/到B的路积分： "（Z心為tQ?曲 因 z = x + iy;/(z) = “(x,p) + j〃(x,y) 因此 J/(2)dz = J[〃(x,_y) + h(x,y)]d(x + ") J ("dr - udy) + /|( zxh + udy) 即，复变函数的路积分归为两个实变函数的线积分。 2、复变函数积分的性质
由上一积分式知，复变积分具有实变函数线积分所具有的一般性质。 (1)常数因子可以移到积分号之外： |J/'(z)dz =町/(z)dz A为常数 (2)函数的和的积分等于各个函数的积分之和： [[?/；(z)*(z)+...4y；(z)]dz= “(z)血+(￡(z)血+ ...+必⑵血 (3)反转积分路径，积分变号： J /(z)dz = -ji /(z)dz 厂表示/的逆向 (4)全路径上的积分等于各段积分Z和： j/(z)dz= j/(z)dz+ J /(2)血+ ...+ J /(Z)血 此外，还有经常用到的： (5) |“(z)血卜J|/(z)||dz| (6) \[f(z)dz\
第二章解析函数 1-6 题中： （1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导u x, u y, v x, v y，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。 （3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。 （4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导： f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明 f ( z) 必为常数。 （1）f z 0 z D 证明：因为 f ( z) 在区域上解析，所以。 令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ，即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得：u v u v x y 0, 0 。 y x 所以， u( x, y) C1(常数)，v( x, y) C2(常数)，即 f (z) C1 iC2为 常数。 5、证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。 （1） e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y).
证明：设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) ， v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ； y u e x ( x sin y sin y y cos y) ； v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z 平面上 解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、（1）由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。 ， ， 解： u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析，根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数，再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x ， x 2 所以 (x) x ，即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ，所以当 x 0, y 1 ，时 u 1 1 1 ， v c 1得 c 2 2
第二章 习题解答提示 （一） 1.（定理）设连续曲线[]βα,),(:∈=t t z z C ，有[]),(0)(00βα∈≠'t t z ，则（试证）曲线C 在点)(0t z 有切线。 分析 1）在)(0t z 的某去心领域内能联结割线()(10t z t z ； 2）割线的极限位置就是切线。 证1）,0>?δ使}{\),(0001t t t t δδ+-∈?，有)()(01t z t z ≠，即C 在)(0t z 的 对应去心领域内无重点，即能够连接割线()(10t z t z ，否则就存在数列{},01t t n →使 )()(01t z t z n =。于是 0) ()(lim )(0 10100 1=--='→t t t z t z t z n n t t n ， 这与假设矛盾。 2）01001),(t t t t t >?+∈δ， [],)()(arg ) ()(arg 010 101t z t z t t t z t z -=-- [])()(arg lim 010 t z t z t t -∴→（对)(0t z 割线)()(10t z t z 倾角的极限） ?? ????--=--=→→01010101)()(lim arg )()(arg lim 010 1t t t z t z t t t z t z t t t t )(a r g 0t z '=。 因此,割线确实有极限位置,即曲线C 在点)(0t z 的切线存在,其 倾角为)(arg 0t z '. 3. 设 ?? ?? ?=≠+==+++-. 0, 0; 0,)(2 23333 )(z iy x z z f y x y x i y x 试证)(z f 在原点满足..R C -条件,但却不可微. 证 1) 有公式(2.5)及(2.6)有
第二章：复变函数的积分 第1节 复变函数的积分 设()f z 在复平面上的光滑曲线l 上连续。若将l 分成n 段，其中第k 小段为,1k k z z +????。在该小段上任取一点k ξ，若和式： ()()1 1 n k k k i f z z ξ+=-∑ （1） 在当n →∞，()10k k z z +-→时的极限存在则这个和式的极限就称为()f z 在l 上的路积分。记作： ()()()1 1 0lim n k k k i l z f z dz f z z ξ+→∞ =?→=-∑? （2） (),z x iy f z u iv =+=+ ∴ ()()()()()l l f z dz u iv d x iy u iv dx idy =++=++??? l l udx vdy i vdx udy =-++?? （3） 也分为实部和虚部 其积分法可用实度函数积分法测： 例1、试计算1 1 1Re l l I zdz xdz ==??和2 2Re l I zdz =? 。其中1l 和2l 的路径如图。起始点相同； 解：' '' ' '' 11111 1.l l l l I xdx idy =+=+???? 1 1 01 2 xdx i dy i =-+= +? ? '"2 2 2l l I = +? ?=10 0xdx +??= 12 由此可见，一般在复变函数中，即使被积函数和积分起终点相同，但沿不同的路 径，积分值是不一样的。 第2节 柯西定理 以上，我们知道，一般复变函数的积分与路径有关。但有特例——解析函数在“ 单通域”内积分就与路径无关 一、单通域与单通域柯西定理 1、单通域（单连通域） 任意两点间连线上所有点均属于该域（无孔隙） 函数在闭域内的点上处处解析的域——单通域 2、单通域的柯西定理
第二章 复变函数的积分
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1
函数的积分如何定义？
考虑实函数的积分I = ∫ f ( x)dx，
a b
从a到b区间划分无数小段，横坐标为x0 , x1 ,...xn
n
则I ~ ∑ f (ξ n )Δxn，其中ξ n为xn到xn +1间一点，Δxn = xn +1 ? xn 等间距划分时Δxn为常数。
对于一元实函数的积分，只 以上过程可推广到复平面上，我们可以 需给出积分上下限整个积分 路径就确定了。而复变函数 沿着复平面上的AB之间的任意一条路径 进行积分。 的情况就要复杂一些。
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这里Δz=zk-zk-1往往是各处不同的。
2
路积分的定义
设在复平面的某分段光滑曲线l上定义了连续函数 f(z)，在l上取一系列分点z0(起点A)，z1，z2，...， zn(终点B)，把l分成n段，在每一小段上任取一点 ζk，作和：
∑ f (ζ
k =1
n
k
)( z k ? z k ?1 )
当n→∞且每一段都无限缩短时，如果这个和的极 限存在，且与各ζk选取无关，则这个和的极限称 作函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分，记作：
∫
l
f ( z )dz = lim ∑ f (ζ k )( z k ? z k ?1 )
n →∞ k =1
n
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3
分量形式
利用z=x+iy, f=u+iv，根据路积分的定义， 容易将其化为实函数u和v的线积分。
∫ f ( z )dz = ∫ (u + iv)(dx + idy)
l l
= ∫ u (dx + idy ) + iv(dx + idy )
l
= ∫ udx + iudy + ivdx ? vdy
l
= ∫ u ( x, y )dx ? v( x, y )dy + i ∫ v( x, y )dx + u ( x, y )dy
l l
归结为两实函数的线积分，分别对应于路积分的实部和虚部
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第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) ()1-=n n nz z '（n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-??????++-++=-+=--→→ 2210 0121lim lim ' ()()11210121----→=??????++-+= n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： ()()2000111111z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-+=??? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线21-=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3332y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则32x u =，33y v = 26x x u =??，0=??y u ，0=??x v ，29y y v =??都是连续函数。 只有2296y x =，即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 22+= 解：设()iv u z f +=，则2xy u =，y x v 2=
第二章全纯函数 §2.1习题 1.研究下列函数的可微性： （i ）();f z z = 解： 0z ≠时 00000 ()() lim lim z z z z z z f z f z z z z z →→--=--不存在 这是因为当0z x iy =+时， 000 lim lim y y y y →→= 当0z x iy =+时， 000 lim lim x x x x →→= = 故0z ≠时，()f z 不可导. 当0z =时，有 ()(0)i i z f z f r e z z re θ θ -??-?===??? 即知()f z z =在0z =也不可导. 从而()f z z =处处不可导. (ii) 2 ();f z z = 解：0z ≠时 0022 0000 ()() lim lim z z z z z z f z f z z z z z →→--=--显然不存在. 这是因为当0z x iy =+时 0022220000000000 ()()lim lim 2x x x x x y x y x x x x x x iy x iy x x →→+---+==+--- 当0z x iy =+时，
0022220000000000()()2lim lim ()y y y y x y x y y y y y y x iy x iy y y i i →→+---+==+--- 0z =时可导，(0)0f '=. （iii ）()Re ;f z z = 000 00 ()()Re Re lim lim z z z z f z f z z z z z z z →→--=--显然不存在. 这是因为当0z x iy =+时， 000 lim 1x x x x x iy x iy →-=+--. 当0z x iy =+时， 00 000 lim 0y y x x x iy x iy →-=+-- 从而()Re f z z =处处不可导 (v) ()f z 为常数 不妨设(),f z C =显然' ()0f z = 故()f z C =在处处可导. 2.设f 和g 都在0z 处可微，且' 000()()0,()0f z g z g z ==≠证明：0'0'0()() lim ()() z z f z f z g z g z →= 提示：0 000 ()()() lim lim ()()()z z z z f z f z f z g z g z g z →→-=- 0 000000()()() lim ()()() z z f z f z z z f z z z g z g z g z →'--=?='-- 4．设域G 和域D 关于实轴对称，证明：如果()f z 是D 上的全纯函数，那么()f z 是G 上的全纯函数. 提示：0 0()() ()()lim lim (),z z f z z f z f z z f z f z z G z z →→??+-+-'==∈????
习题二 1. 求映射 1 w z z =+ 下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222 221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++ =++=++-++++ 因为22 4x y +=,所以 53i 44u iv x y += + 所以 54u x =,34v y =+ 53 4 4 ,u v x y == 所以( ) ()2 25344 2 u v + =即( ) ()2 2 225322 1 u v + =，表示椭圆. 2. 在映射2 w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ? ρ=或 i w u v =+. 解：设222 i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以22 ,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ? ρ=，则 π 02,4r θ<<= 映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π 04,. 2ρ?<<= (2) 记e i w ? ρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即 π 04,0.2ρ?<<<<
(3) 记w u iv =+，则将直线x=a 映成了22,2.u a y v ay =-=即 222 4().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b 映成了22 ,2.u x b v xb =-= 即222 4()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示 . 3. 求下列极限. 解：令 1z t = ,则,0z t →∞→. 于是2 22 01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z →; 解：设z=x+yi ，则Re()i z x z x y = +有 000 Re()1 lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→== ++ 显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim (1)z i z i z z →-+； 解： 2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()() 2z i z i z i z i z z i z i z →→-==- +-+.
第二章 解析函数 一、选择题： 1．函数2 3)(z z f =在点0=z 处是( ) （A ）解析的 （B ）可导的 （C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( ) （A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x （B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导 （C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( ) （A ）xyi y x 22 2 -- （B ）xyi x +2 （C ）)2()1(22 2 x x y i y x +-+- （D ）3 3 iy x + 5．函数)Im()(2 z z z f =在 =z 处的导数( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在 6．若函数)(2)(2 2 2 2 x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2- 7．如果)(z f '在单位圆1 习题一解答 1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （3）(3+ 4i )(2 5i ) ； （4）i 8 4i 21 + i 1 3+ 2i 1 3i 1 i （1） ； （2） ； i 2i 3+ 2i = (3+ 2i )(3 2i ) = 1 (3 2i ) 1 3 2i 13 解 （1） 所以 ? 1 ?3+ 2i ↑ 13 ? = ← 3， Im ?? ←= 2 1 ? Re ? , 13 ?3+ 2i ↑ 2 2 1 3+ 2i = 1 1 3+ 2i = ?? 3 ? +?? 3 ? 13 (3+ 2i )， ， 13 13 ? 13 ? = 13 Arg ? 1 3+ 2i ? ? = arg ? 1 3+ 2i ? ? + 2k π 2 = arctan + 2k ,k = 0,±1,±2," 3 1 3i i 3i (1+ i ) = i 1 ( 3+ 3i )= 3 5 （2） 1 i = i ( i ) (1 i )(1+ i) i, i 2 2 2 所以 ?1 3i ? 3 , Re ? ?i 1 i ↑←= 2 ?1 3i ? ←= 5 Im ? ?i 1 i ↑ 2 2 2 1 3i = + i 5， 3 1 3i 1 i = ? ? +? ? = 34， 3 5 i 1 i ? 1 3i 2 2 i 2 2 2 1 3i ? + 2k π Arg = arg i 1 i ? i 1 i ? = arctan 5 + 2k π, k = 0,±1,±2,". 3 （3） (3+ 4i )(2 5i ) = (3+ 4i )(2 5i )( 2i ) = (26 7i )( 2i ) 2i (2i )( 2i ) 4 = 7 26i = 7 13i 2 2 所以 ?(3+ 4i )(2 5i )? Re ? ←= 7 ， ? 2i ↑ 2 ?(3+ 4i )(2 5i )? Im ? ←↑= 13， ? 2i 复变函数论第三版课后习题答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第一章习题解答 （一） 1．设132 i z -=，求z 及Arcz 。 解：由于3132 i i z e π--== 所以1z =，2,0,1,3 Arcz k k ππ=-+=±L 。 2．设121,312 i z z +==-，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于64121,322 i i i z e z i e ππ -+===-= 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 解：1 24 444 4 (),0,1,2,3k i i z a a e ae k ππ π+=-===。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321 ===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1321===z z z ，知321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 333 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z 第二章解析函数 1-6题中： （1）只要不满足C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导y x y x v v u u ,,,，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。 （3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。 （4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导：x x iv u z f +=')( 4、若函数)(z f 在区域D 上解析，并满足下列的条件，证明)(z f 必为常数。 （1）证明：因为)(z f 在区域上解析，所以。 令),(),()(y x iv y x u z f +=，即x v y u y v x u ??-=????=??,0=??+??='y v i x u z f )(。 由复数相等的定义得： 00=??-=??=??=??x v y u y v x u ,。 所以，1C y x u =),((常数)，2C y x v =),((常数)，即21iC C z f +=)(为常数。 5、证明函数在平面上解析，并求出其导数。 （1） ()()0f z z D '=∈z (cos sin )(cos sin ).x x e x y y y ie y y x y -++复变函数(第四版)课后习题答案
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