三角函数:
知识点一:锐角三角函数的定义: 一、 锐角三角函数定义:
在Rt △ABC 中,∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c , 则∠A 的正弦可表示为:sinA= , ∠A 的余弦可表示为cosA=
∠A 的正切:tanA= ,它们弦称为∠A 的锐角三角函数
【特别提醒:1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与 有关,与直角三角形的 无关
2、取值范围
例1.如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°.
第1题图
①斜边)(sin =
A =______, 斜边)(sin =
B =______; ②斜边
)
(cos =A =______,
斜边
)
(cos =B =______;
③的邻边A A ∠=
)
(tan =______,
)
(tan 的对边
B B ∠=
=______.
例2. 锐角三角函数求值:
在Rt △ABC 中,∠C =90°,若a =9,b =12,则c =______,
<
sin A =______,cos A =______,tan A =______, sin B =______,cos B =______,tan B =______.
例3.已知:如图,Rt △TNM 中,∠TMN =90°,MR ⊥TN 于R 点,TN =4,MN =3.
求:sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR .
典型例题:
类型一:直角三角形求值 '
1.已知Rt △ABC 中,,12,4
3
tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B .
2.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=
∠4
3sin AOC 求:AB 及OC 的长.
3.已知:⊙O 中,OC ⊥AB 于C 点,AB =16cm ,?=∠5
3
sin AOC
(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ; 。
(2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC .
4. 已知A ∠是锐角,17
8
sin =A ,求A cos ,A tan 的值
对应训练:
(西城北)3.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 5tan A 的值为
:
A 5
B 25
C .12
D .2 (房山)5.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5
3
,那么tan A 的值等于( ).
A .35
B . 45
C . 34
D . 43
类型二. 利用角度转化求值:
1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点.
DE ∶AE =1∶2.
求:sin B 、cos B 、tan B .
2. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y
轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( )
"
A .12
B .3
C .35
D .
4
5
3.(2009·孝感中考)如图,角α的顶点为O ,它的一边在x 轴的正半轴上,另一边OA 上有一点P (3,4),则 sin α= .
4.(2009·庆阳中考)如图,菱形ABCD 的边长为10cm ,DE ⊥AB ,3
sin 5
A =,则这个菱形的面积= cm 2.
:
5.(2009·齐齐哈尔中考)如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为
3
2
,2AC =,则sin B 的值是( ) D C B A O
y
x
第8题图
A .
23 B .32 C .34 D .43
6. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =,AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )
A.34 B.43
C.3
5
D.
45
A D E
C
B F
7. 如图6,在等腰直角三角形ABC ?中,90C ∠=?,6AC =,D 为AC 上一点,若
1
tan 5
DBA ∠=
,则AD 的长为( ) A .2 B .2
C .1
D .22
8. 如图6,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,∠A 的平分线AD =
3
3
16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.
…
D
A
B
C
图6
类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1 (2012?安徽)如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB 的长.
例2.已知:如图,△ABC 中,AC =12cm ,AB =16cm ,?=
3
1sin A (
(1)求AB 边上的高CD ; (2)求△ABC 的面积S ; (3)求tan B .
例3.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC =120°,AB =10,AC =5.
求:sin ∠ABC 的值.
对应训练
1.(2012?重庆)如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且△ABD 是等边三角形.若AB=2,求△ABC 的周长.(结果保留根号)
~
2.已知:如图,△ABC 中,AB =9,BC =6,△ABC 的面积等于9,求sin B .
3. ABC 中,∠A =60°,AB =6 cm ,AC =4 cm ,则△ABC 的面积是
3 cm 2
3 cm 2
3 cm 2
cm 2
类型四:利用网格构造直角三角形
例1 (2012?内江)如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sinA 的值为( )
A.
1
2
B.
5
5
C.
10
10
D.
25
5
~
对应练习:
1.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.
2.如图,A、B、C三点在正方形网络线的交点处,若将ABC
?绕着点A逆时针旋转得到'
'B
AC
?,则'
tan B的值为
A.
4
1
B.
3
1
C.
2
1
D.1
、
3.正方形网格中,AOB
∠如图放置,则tan AOB
∠的值是()
A.
5
5 B.
2 5
5 C.
1
2 D. 2
¥
特殊角的三角函数值
】
锐角30°45°60°
sin~
cos
tan
C
B
A
A
B
O
当 时,正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而
例1.求下列各式的值.
:
(昌平)1).计算:?-?+?60tan 45sin 230cos 2.
(朝阳)2)计算:?-?+?30cos 245sin 60tan 2
.
(2009·黄石中考)计算:3-
1+(2π-1)0-3
3
tan30°-tan45° ·
(石景山)4.计算:
30tan 2345sin 60cos 221
???
? ???-?+?+.
(通县)5.计算:
tan 45sin 301cos 60?+?
-?
;
例2.求适合下列条件的锐角
.
(1)2
1cos =α
(2)3
3tan =
α
#
(3)2
22sin =
α
(4)33)16cos(6=- α
(5)已知为锐角,且3)30tan(0
=
+α,求αtan 的值
(6)在ABC ?中,若0)2
2(sin 21cos 2
=-+-B A ,B A ∠∠,都是锐角,求C ∠的度数.
∴
例3. 三角函数的增减性 1.已知∠A 为锐角,且sin A <
2
1
,那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A <60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角,且0
30sin cos A. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 、 例4. 三角函数在几何中的应用 1.已知:如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB 于E ,BE =16cm ,?= 13 12sin A 求此菱形的周长. 2.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,3==BC AC ,作∠DAC =30°,AD 交CB 于D 点,求: (1)∠BAD ; (2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD . ~ 3. 已知:如图△ABC 中,D 为BC 中点,且∠BAD =90°,3 1 tan = ∠B ,求:sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD . 4. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,5 3 sin =B ,点D 在BC 边上,DC= AC = 6,求tan ∠BAD 的值. 5.(本小题5分)如图,△ABC 中,∠A=30°,3 tan B = ,3AC =AB 的长. ' 解直角三角形: 1.在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下(如图所示): 在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =b ,BC =a ,AB =c , ①三边之间的等量关系:________________________________. ②两锐角之间的关系:__________________________________. ; ③边与角之间的关系: ==B A cos sin ______;==B A sin cos _______; == B A tan 1tan _____;== B A tan tan 1 ______. ④直角三角形中成比例的线段(如图所示). 在Rt △ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于D . CD 2=_________;AC 2=_________; BC 2=_________;AC ·BC =_________. 类型一 例1.在Rt △ABC 中,∠C =90°. ! (1)已知:a =35,235=c ,求∠A 、∠B ,b ; D C B A A C B (2)已知:32=a ,2=b ,求∠A 、∠B ,c ; (3)已知:3 2 sin = A ,6=c ,求a 、b ; < (4)已知:,9,2 3 tan ==b B 求a 、c ; (5)已知:∠A =60°,△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B . ( 例2.已知:如图,△ABC 中,∠A =30°,∠B =60°,AC =10cm .求AB 及BC 的长. 例3.已知:如图,Rt △ABC 中,∠D =90°,∠B =45°,∠ACD =60°.BC =10cm .求AD 的长. } 例4.已知:如图,△ABC 中,∠A =30°,∠B =135°,AC =10cm .求AB 及BC 的长. 类型二:解直角三角形的实际应用 仰角与俯角: ; 例1.(2012?福州)如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100米,点A 、D 、B 在同一直线上,则AB 两点的距离是( ) A . 200米 B . 200 米 C . 220 米 D . ; 100( )米 例2.已知:如图,在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B 点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D 点.已知∠BAC =60°,∠DAE =45°.点D 到地面的垂直距离 m 23=DE ,求点B 到地面的垂直距离BC . 例3(昌平)19.如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD =30m . 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°, 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°,求风力发电装置的高AB 的长. 《 例4 .如图,小聪用一块有一个锐角为30?的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB 为米,求这棵树的高度. 例5.已知:如图,河旁有一座小山,从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°,又知河宽CD 为50m .现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ,求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号). A B C D E 例5.(2012?泰安)如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为() A.10米B.10米C.20米D. 米 】 例6.(2012?益阳)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在A处,离益阳大道的距离(AC)为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒,∠BAC=75°. (1)求B、C两点的距离; (2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度 (计算时距离精确到1米,参考数据:sin75°≈,cos75°≈,tan75°≈,3≈,60千米/小时≈米/秒) 类型四. 坡度与坡角 例.(2012?广安)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是13,堤坝高BC=50m,则应水坡面AB的长度是() < A.100m B.3C.150m D.3m 类型五. 方位角 1.已知:如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B 处,测得灯塔M 在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时,与灯塔M 之间的最短距离是多少(精确到海里,732.13 ) 2.(2012?恩施州)新闻链接,据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012年5月18日,某国3艘炮艇追袭5条中国渔船.刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔,保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害.某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救 中国渔船,立即掉头离去.(见图1) 解决问题 《 如图2,已知“中国渔政310”船(A )接到陆地指挥中心(B )命令时,渔船(C )位于陆地指挥中心正南方向,位于“中国渔政310”船西南方向,“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南 偏东60°方向,AB=海里,“中国渔政310”船最大航速20海里/时.根据以上信息,请 你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间. 综合题: 三角函数与四边形: (西城二模)1.如图,四边形ABCD 中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2, tan ∠BDC= 6 3. , (1) 求BD 的长; (2) 求AD 的长. (2011东一)18.如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F . (1)求证:∠BAE =∠DAF ; (2)若AE =4,AF = 245,3 sin 5 BAE ∠=,求CF 的长. < 三角函数与圆: 1. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C , 和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y 轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( ) A .12 B .32 C .35 D .4 5 D C B A O y x 第8题图 C B A \ (延庆)19. 已知:在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证:∠AOD=2∠C (2) 若AD=8,tanC= 3 4 ,求⊙O 的半径。 (2013朝阳期末)21.如图,DE 是⊙O 的直径,CE 与⊙O 相切,E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B ,在EC 上取一个点F ,使EF=BF. (1)求证:BF 是⊙O 的切线; { (2)若5 4 C cos =, DE =9,求BF 的长. 作业: (昌平)1.已知2 1 sin = A ,则锐角A 的度数是 ~ A .75? B .60? C .45? D .30? (西城北)2.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB tan A 的值为 A B C .12 D .2 (房山)3.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3 ,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 (大兴)4. 若sin α=3 2 ,则锐角α= . (石景山)1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =3,AC =2, 则tan B 的值是 A .2 3 B . 3 2 C D " A α (丰台)5.将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则tan α的值是 A . 21 B .2 C .25 D .5 52 (大兴)5. △ABC 在正方形网格纸中的位置如图所示,则sin α的值是 A. 35 B. 3 4 C. 43 D. 45 (通县)4.如图,在直角三角形ABC 中,斜边AB 的长为m ,40B ∠=, 则直角边BC 的长是( ) A .sin 40m B .cos 40m C .tan 40m D . tan 40 m ( (通州期末))1.如图,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM ⊥OA 于M , 且OM : OP =4 : 5,则cos α的值等于( ) A .34 B .43 C .45 D .3 5 (西城)6.如图,AB 为⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,若OB 长为10, 3 cos 5 BOD ∠= , 则AB 的长是 A . 20 B. 16 C. 12 D. 8 7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,如果cosA= 5 4 ,那么tanA 的值是 A .53 B .35 C .43 D .3 4 . 11.如图,在△ABC 中,∠ACB =∠ADC= 90°,若sin A =3 5 ,则cos ∠BCD 的值为 . D C B A 第1题图 O M P B A α 13.计算:?-?+?60tan 45sin 230cos 2 13.计算?+?-?-?45tan 30tan 345cos 260sin 2. " 13.计算:2 2sin 604cos 30+sin 45tan 60-?. 14.如图,小聪用一块有一个锐角为30?的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB 为米,求这棵树的高度. 、 15.已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,a=64,b=212.解这个直角三角形 20. 如图,在Rt △ABC 中,∠CAB =90°,AD 是∠CAB 的平分线,tan B =21,求CD BD 的值. : (延庆)19. 已知:在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (3) 求证:∠AOD=2∠C (4) 若AD=8,tanC= 3 4 ,求⊙O 的半径。 (延庆期末)19.如图,某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为30?,荷塘另一端D 处C 、B 在 同一条直线上,已知32AC =米,16CD =米, 求荷塘宽BD 为多少米(结果保留根号) D B O A C A B C D E A B C D ~ 18.(6分)如图,在△ABC中,点O在AB上,以O为圆心的圆 经过A,C两点,交AB于点D,已知2∠A +∠B =90 . (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)若OA=6,BC=8,求BD的长. (1)证明: ; (2)解: (西城)15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC边上.若DB=6,AD=1 2 CD, sin∠CBD=2 3 ,求AD的长和tan A的值. 。 18.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔100海里的A处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处. (1)B处距离灯塔P有多远 (2)圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上,距离灯塔200海里的O处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里,进入 圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是 否有触礁的危险,并说明理由. D O C B 22.已知,如图,在△ADC中,90 ADC ∠=?,以DC为直径作半圆O,交边AC于点F,点B在CD的延长线上,连接BF,交AD于点E,2 BED C ∠=∠. (1)求证:BF是O的切线; / (2)若BF FC =, 3 AE =,求O的半径. 15.如图,为了测量楼AB的高度,小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30o,又向 前走了20米后到达点D,点B、D、 C在同一条直线上,并在点D测得楼AB的顶端A的仰 角为60o,求楼AB的高. 14.(2009·眉山中考)海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A处看见灯塔B在海 船的北偏东60°方向,2小时后船行驶到C处,发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向, 求此时灯塔B到C处的距离。 15.(2009·常德中考)如图,某人在D处测得山顶C的仰角为30o,向前走200米来到山脚 A处,测得山坡AC的坡度为i=1∶,求山的高度(不计测角仪的高度,3 1.73 ≈,结果保留整数). 16.(2008·广安中考)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45o D O A C F E 降为30o,已知原滑滑板AB 的长为5米,点D 、B 、C 在同一水平地面上. (1)改善后滑滑板会加长多少(精确到) (2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行说明理由。 (参考数据:2 1.414, 3 1.732,6 2.449=== ) 18. 在一次数学活动课上,海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽,如图13所示,某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ,测得C 在A 北偏西31?的方向上,沿河岸向北前行20米到达B 处,测得C 在B 北偏西45?的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度. (参考数值:tan31°≈53,sin31°≈2 1) . 图13 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 5,则tan A 的值为 ( ) A . 5 B 25 C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A =5 12,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ ABC 中, ο 90=∠C ,3cosB=2, AC=5 2 ,则 AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则cos ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径, 若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .2 3 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. (1)求之间的距离 (2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】(1)120米;(223. 【解析】 【分析】 (1)解直角三角形即可得到结论; (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==, '30CE AA ==3Rt △ABC 中,求得33,然后根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】 解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°, 在Rt △ABC 中,AC=60m , ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120(m ) (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D , 则'60A E AC ==, '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°, ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235 初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括:正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠;把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即c b A A cos =∠=斜边的邻边;把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA ,即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法: 【解题方法指导】 例1. (2000年成都市)如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠ABC =60°,D 是AC 的中点,那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数 分析:在Rt △ABC 中,由∠ABC =60°,可知3BC AC 60tan == ,即AC =3BC ,又CD = 1 2 AC ,tan ∠DBC 可求。 解:在△ABC 中, ∵∠C =90°,∠ABC =60°, ∴tan ∠ABC =tan60°=3BC AC =, ∴AC =3BC 。 又D 是AC 中点, ∴DC = 12AC =32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析:在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. (2001年四川)在Rt △ABC 中 ,CD 是斜边AB 上的高,已知3 2 ACD sin = ∠,那么=AB BC ______。 分析:由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ,可得∠ACD =∠B ,由sin ∠ACD = 2 3 ,那么sinB =23,设AC =2,AB =3,则BC =32522-=,则AB BC 可求。 解:∵∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D , ∴∠ACD =∠B 。 又sin ∠ACD =sinB = 23 , 可设AC =2,AB =3, ∴BC =32522-=。求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题
初三数学锐角三角函数通用版
锐角三角函数经典总结