初中数学全等三角形题型汇总
全等三角形测试题
班级姓名总分
一、填空题：（每题3分，共30分）
1.判定一般三角形全等的方法有等
四种，判定直角三角形全等的方法还有
.
2.如图1，已知△OCA≌△OBD，C和B、D和
A是对应顶点，这两个三角形中相等的角
是，相等的边是 .
图1 图2
3.如图2，已知△ABC≌△ADE，∠B与∠D
是对应角，那么AC与是对应边，∠BAC与是对应角.
图3 图
4
4.△ABC 的角平分线AM 、BN 交于I 点，那么I 点到 边的距离相等，连结CI ，那么CI 一定平分 .
5.如图3，已知D 在BC 边上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，DE=DF ，∠B=50°，∠C=70°，
那么∠DAF= ，∠
ADE= .
6.如图4，已知AB=BE ，BC=BD ，∠1=∠2，那么图中 ≌ ，AC= ，∠ABC= .
图5 图6
7.到一个角两边距离相等的点，在 .
8.如图5，已知△ABC ≌△DEF ，对应边AB=DE ， ，对应角∠B=∠DEF ， .
9.如图6，已知△ABC ≌△DEC ，其中AB=DE ，∠ ECB=30°，那么∠ACD= .
A
B C D
E 1 2 图7
10.如图7，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要
使△ABC≌△ADE，
还需添加的条件是。（只需填一个）二、选择题（每题3分，共18分）
11．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE （）（A）BC=EF （B）∠A=∠D （C）AC ∥DF （D）AC=DF
12．已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论，不正确的是（）
（A）CO=DO（B）AO=BO （C）AB⊥BD （D）△ACO≌△BCO
13．在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC 的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点（）
（A）高（B）角平分线（C）中线（D）垂直平分线
14．下列结论正确的是（）（A）有两个锐角相等的两个直角三角形全等（B）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；
（C）顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；（D）两个等边三角形全等.
15．下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（）
（A）∠A=∠D，∠C=∠F， AC=DF （B）AB=DE， BC=EF，∠A=∠D
（C）∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （D）AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长
16．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（）
（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．
（A）1个（B）2个
（C）3个（D）4个
三、解答题：（每题7分，共42分）
1．如图，AB=DF，AC=DE，BE=FC，问：ΔABC 与ΔDEF全等吗？AB与DF平行吗？请说明你的理由。
2． 如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BE 与CD 相交于O ，ΔABE 与ΔACD 全等吗？说明你的理由。
3． 已知如图，AC 和BD 相交于O ，且被点O 平分，你能得到AB ∥CD ，且AB=CD 吗？请说明理由。
4、如右图，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠C AE ，AC=AE ，求证：CB=ED
5、已知：如图，AB ＝CD ，AB ∥DC．
A
B C D
E
求证：，AD∥BC， AD＝BC
6、已知：如图， AO平分∠EAD和∠EOD求证：
①△A OE≌△A OD ②EB=DC
五、阅读理解题(10分)
八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量
池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到
达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至
D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的
距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，
再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD
的垂线交AC的延长线于E，则测出DE的长即为
AB的距离.
图 1 图2 阅读后回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由。
（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理
由。
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目
的
是
；若仅满足
∠ABD=∠BDE=90°，方案（Ⅱ）是否
成立？.
1、下列说法中,错误的是( )
A. .全等三角形的对应高相等
B.全
等三角形的周长相等
C.面积相等的三角形全等;
D.面积
不等的三角形不全等
2、在△ABC和△A′B′C′,如果满足条件( ),
可得△ABC≌△A′B′C′.
A.AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′;
B.AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′
C.AC=A′C′,BC=B′C′,∠C=∠C′;
D.AC=A′C′,BC=B′C′,∠B=∠B′
3、在△ABC和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’,
补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△
A’B’C’, 则补充的这个条件是( )
A．BC=B’C’B．∠A=∠A’C．AC=A’C’D．∠C=∠C’
4、下列条件中，不能判定三角形全等的是（）
A.三条边对应相等
B.两边
和一角对应相等
C.两角的其中一角的对边对应相等
D.两角
A
B
C
D E
和它们的夹边对应相等
5、如图1所示,已知AB=CD,AD=CB,AC 、BD 相交于O,则图中全等三角形有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
（3）
（4）
6、如图2所示,在△ABC 中,∠C=90°,DE ⊥AB 于D,BC=BD,结果AC=3cm,那么AE+DE=( )
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
7、
.如图3，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了
三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
（A ）带①去 （B ）带②去 （C ）带③去 （D ）带①和②去
8、如图4在△ABD 和△ACE 都是等边三角形，则ΔADC ≌ΔABE 的根据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 9、如图5所示，在下列条件中，不能作为判断△ABD ≌△BAC 的条件是； ( ) A. ∠D ＝∠C ，∠BAD ＝∠ABC B ．∠BAD ＝∠ABC ，∠ABD ＝∠BAC C ．BD ＝AC ，∠BAD ＝∠ABC
O
(1)
D C
B
A (2)
E
D
C
B
A
A D
D ．AD ＝BC ，BD ＝AC
10、如图6，E 、B 、F 、C 四点在一条直线上，
EB=CF ，∠A=∠D ，再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF 的是( ) A.AB=DE B. DF ∥AC C. ∠E=∠ABC D. AB ∥DE
11、如图7所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ）
A ．80°
B ．100°
C ．60°
D ．45°．
12、如图8， AD 是ABC △的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF ，连结BF ，CE ．下列说法：①CE ＝
BF ；②△ABD 和△ACD 面积相等；③BF ∥CE ；④△BDF ≌△CDE ．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
A D C
B
E
F
13、如图9所示,点C 、F 在BE 上,∠1=∠2,BC=EF,请补充条件:___________(写出一个即可),使△ABC ≌△DEF.
（12）
14、如图10, 已知：∠1 =∠2 , ∠3 =∠4 , 要证BD =CD , 需先证△AEB ≌△A EC , 根据是_________再证△BDE ≌△__ ____ , 根据是__ ________． 15、已知：如图11 , AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB
于A , BC =AE ．若AB = 5 , 则AD =___________． 16、如图12，在平面上将△ABC 绕B 点旋转到△A ’BC ’的位置时，AA ’∥BC ，∠ABC=70°，则∠CBC ’为________度.
17、如图所示,已知点A 、E 、F 、D 在同一条直线上,AE=DF,BF ⊥AD,CE ⊥AD, 垂足分别为F 、
E,BF=CE,求证:AB ∥CD.
21
E D B
A 3 4 D C
B A
E
图10
图11
A
A'
B C
C'
A
F
C
E B
D
18、已知：，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ， 求证：△EAD ≌△CAB ．
19、 如图，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的 外角平分线AD 于D, F 为垂足, DE ⊥AB 于E ，且AB>AC ， 求证：BE －AC=AE ．
C
B
E D
A
B F
C D
20、如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE,求证：AE ＝DE.
21、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC
上一点，分别过A.C 作BD 的垂线，垂足分别为
E.F,求证：EF ＝CF －AE.
A
B E C
D
A B F D
E
22、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.
求证：AD平分∠BAC.
全等三角形复习题
班级： 姓名：
一、填空
1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是角平分线，AC ＝6cm ，则AD 的长是___________。 2．在等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角是30°，则△ABC 的面积是_____________。
3．已知三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，它的最大边长为6cm ，那么它的最小边长为_____________，最大边上的中线长为______________。 4．如右图所示，∠AOB ＝∠COD ＝60°，OA ＝OB ，OC ＝OD ，把△AOC 绕O 点顺时针方向旋转60°，点A 将
落在点_______上，点C 将落在点______上，因此，△AOC 与△BOD 可以通过__________变换完全重合。
5．直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为_____。
6．一个直角三角形有一直角边长为13，斜边长为7，则该三角形的面积为__________。 7．若等边三角形的边长为2，则高为___________。 8．长方形ABCD 的面积为48cm 2，AB ＝6cm ，则AC ＝____________。
9．如图所示，把△ABC 绕着点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ′，A ′B ′交AC 于点D ，若∠A ′DC ＝90°，则∠A 的度数是___________。
二、选择题
1．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1，则AC ＝（ ）。 A 、6 B 、6 C 、5 D 、4
2．钟表上的分针和时针经过30分钟，分针和时针旋转的度数分别是：
A 、80°和15°
B 、180°和15°
C 、180°和30°
D 、30°和30°
3．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A 、2cm
B 、3cm
C 、4cm
D 、5cm 4．若等腰三角形的腰长为2，顶角为120°，则底边长为（ ）
A 、3
B 、32
C 、323
D 、33
4 5．在△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝9cm ，BC ＝15cm ，则ABC S 等于（ ） A 、54cm 2 B 、90 cm 2 C 、108 cm 2 D 、180 cm 2 6．以下各组数字能组成直角三角形的三边是（ ）
A. 5、11、12
B. 6、11、12
C. 5、12、13
D. 6、12、13
A
B D
C E A B
C
D
A B C
D O A B C A ′B ′D
7．△ABC 在下列条件上不是直角三角形的是：
A 、222c a b -=
B 、2:3:1::222=c b a
C 、∠A ＝∠B －∠C
D 、∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5
8．下列说法中：①如果两个三錋形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等。正确的是：
A 、①和②
B 、②和③
C 、①和③
D 、①②③
9．如右下图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm ，高为55cm 的圆柱形容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°，若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为：
A 、10cm
B 、20cm
C 、30cm
D 、35cm
10．已知两边及其夹角，求作一个三角形时，第一步为： A 、作一条线段等于已知线段 B 、作一个角等于已知角
C 、作两条线段等于已知的两边，并使其夹角等于已知角
D 、作一条线段等于已知线段或作一个角等于已知角
11．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已经知道了：
A 、三角形的两条边和它们的夹角
B 、三角形的三条边
C 、三角形的两个角和它们的夹边
D 、三角形的三个角
三、解答题
1．在△ABC 中，∠C ＝90°，边AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，若∠A ＝30°，DE ＝2，求∠DBC 的度数和CD 的长。
2．如图所示，MN 表示一条铁路，A 、B 是两个城市，它们到铁路所在直线MN 的距离分别为AA 1＝20km ，BB 1＝40km ，A 1B 1＝80km ，现要在铁路A 1B 1之间设一个中转站P ，使两个城市到中转站的距离之和最短，请你设计一种方案确定P 点的位置，并求出这个最短距离。
⊙
A ⊙B
B 2
A 1M N
45°
3．已知：a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且有c b a c b a 1668308672222++=+++，试判定三角形的形状。
4．如图，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，若BC ＝4，DC ＝6，你能求出AB 吗？
5．任意一个角用尺规是不能三等分的，但对一个直角可以三等分，如图所示，请你试一试：
A C
B A
B C
6．如图所示，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，DP ⊥AB ，若四边形ABCD 的面积为18，则DP 的长度为多少？
7．如图，在△ABC 中，∠FBC ＝∠ECB ＝2
1
∠A ，求证：D E ＝CF 。
8．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，延长AC 到E ，使CE ＝BD ，连续DE 交BC 于点F ，求证：DF ＝EF 。
A B C D A B C E F A B C D
E F
全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A
全等三角形压轴题3 1. 在厶ABC中，BC=AC Z BCA=9GD, P为直线AC上一点，过A作ADLBP于D,交直线BC于Q. (1)如图1,当P在线段AC上时，求证：BP=AQ (2)当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求/ CPQ (3)如图3,当P在线段CA的延长线上时，/ DBA = 时，AQ =2BD 2. 我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若 经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条 直线平分三角形的这个顶点的对边.如图1, S A ABD=5 ADC,贝V BD=CD成立.请你直 接应用上述结论解决以下问题: (1) 已知：如图2,人。是厶ABC的中线，沿A□翻折△ ADC使点C落在点E, DE交AB 1 于卩，若厶ADE与△ ADB重叠部分面积等于厶ABC面积的丄，问线段AE与线段BD有 4 什么关系在图中按要求画出图形，并说明理由. (2) 已知：如图3,在厶ABC中, Z ACB= 90 0, AO2, AB=4，点D是AB边的中 点，点P是BC边上的任意一点，连接PD沿PD翻折△ ADP使点A落在E,若 1 △ PDE与△ PDB S叠部分的面积等于△ ABF面积的-，直接写出BP的值. 4 o o 3. 在厶ABC中，已知D为边BC上一点，若ABC x , BAD y. (1)当D为边BC上一点，并且CD=CA x 40, y 30时，则AB 或“ ”)；AC （填“=”
(2)如果把(1)中的条件“ CD=C”变为“ CD=AB，且x，y的取值不变，那么(1) 中的结论是否仍成立若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由； (3)若CD= CA =AB请写出y与x的关系式及x的取值范围. (不写解答过程，直接写出结果) 4. 在Rt△ ABC中, AC=BC P是BC垂直平分线MN上一动点，直线PA交CB于点E, F 是点E关于MN的对称点，直线PF交AB于点D,连接CD交PA于点G. (1)如图1,若P点在△ ABC的边BC上时，此时点P、E、F重合，线段AP上的点Q关 于的对称点D恰好在边AB上，连接CQ求证：CQ平分/ ACB (2)如图2,若点P移到BC上方，且/ CAP=，求/ CDP的度数； (3)若点P移动到△ ABC的内部时，线段AE、CD DF有什么确定的数量关系，请 画出图形,并直接写出结论：. 5. 如图1,已知A ( a, 0), B (0, b)分别为两坐标轴上的点，且a、b满足 ： 0A=1： 3. 22 a b 12a 12b 72 0, OC (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若D (1, 0),过点D的直线分别交AB BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为X E、X F .当BD平分△ BEF的面积时，求X E+X F的值； (3)如图2,若M (2, 4),点P是x轴上A点右侧一动点，AH L PM于点H,在HM 上取点G,使HG=H,连接CG当点P在点A右侧运动时，/ CGM勺度数是否改变若不变，请求其值；若改变，请说明理由.
全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=E G ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ， ∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F= C D B D E A B A C D F 2 1 E 全等三角形典型例题： 例1：把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求 证：AF ⊥BE ． 练习1：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ， AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， 如果CE=3，BD=7，请你求出DE 的长度。 例2： △DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证：（1）AE=BD ； (2)CM=CN ； (3) △CMN 为等边三角形；（4）MN ∥BC 。 例3：（10分）已知，△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，过A 任作一直线l ，作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ，观察三条线段BD ，CE ，DE 之间的数量关系． ⑴如图1，当l 经过BC 中点时，DE = （1分），此时BD CE （1分）． ⑵如图2，当l 不与线段BC 相交时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ，并证明你的结论．（3分） ⑶如图3，当l 与线段BC 相交，交点靠近B 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ． 证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近C 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ．（1分） 图1 图2 图3 C B A l B C A B C D E l A B C l E D 练习1：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC。试说明：（1）EF＝EC；（2）EB⊥CF B A F E 练习2： 如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。 若将⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？ . 七年级下三角形综合题归类 考点2：利用角相等证明垂直 1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系 Q A F D E P B C 2.如图，在等腰△R t ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状. 拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交 AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． C F D A 图9 E B 3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论； （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 4.如图1，?ABC的边BC在直线 l上，AC⊥BC,且AC=BC,?EFP的边FP也 在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的 (1) （ 2 数量关系和位置关系； A （2） 将 ?EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q ,连接 AP , BQ .猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； E F （3）将 ?EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长 B D C 线于点 Q,连结 AP , BQ ,你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成 立，给出证明；若不成立，请说明理由. E A A (E) E A Q F P B C l B C (F) 三、 等腰三角形（中考重难点之一） P l B F (2) C P l (3) Q 考点 1：等腰三角形性质的应用 1. 两个全等的含 30 ，60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，E, A, C 三点在一条直线上，连结 BD ， 取 BD 的中点 M ，连结 ME, MC ．试判断 ?EMC 的形状，并说明理由． M B D E A C 压轴题拓展： 三线合一性质的应用）已知 Rt ?ABC 中， AC = BC ，∠C = 90? ， D 为 AB 边的中点，∠EDF = 90? ， ∠EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线）于 E 、 F ． 当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE ⊥ AC 于 E 时（如图 1），易证 S ?DEF + S 1 ?CEF = S ?ABC ．当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，S ?DEF ，S ?CEF ，S ?ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． A A A D E D D E C F 图1 B C 图2 C F B E 图3 B F 2. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于 D ，BE 平分∠ABC ，且 BE ⊥AC 于 E ，与 CD 相交于点 F ，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G 。(1) BF =AC (2) CE = 1 2 BF (3)CE 与 BC 的大小关系如何。 考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想） 1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点 D ，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线 BF 相交于点 F . ⑴ 如图 14―1，当点 E 在 AB 边的中点位置时： ① 通过测量 DE ，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； 《全等三角形》证明题题型归类训练 题型1：全等+等腰性质 1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE . 2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ． 题型2：两次全等 1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF F D C B A 2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分 O C E B D A A B E O F D C 3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG 题型3：直角三角形全等（余角性质） 1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ． 2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． 3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AE A F C B D E G B C F D E 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ， AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°， 求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ， CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, C D B D C B A F E A B A C D F 2 1 E 第十二章 全等三角形 第Ⅰ卷（选择题 共30 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是（ ） A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示，a,b,c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ） 3.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ， 下列不正确的等式是（ ） A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后 仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是 ( ) A ．BC= B / C / B ．∠A=∠A / C ．AC=A /C / D ．∠C=∠C / 5.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ） A.△ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA 6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离，先在AB 的垂 线BF 上取两点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ， 使A,C,E 在一条直线上（如图所示），可以说明 △EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ） A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.边边角 7.已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不 正确的结论是（ ） A ．∠A 与∠D 互为余角 B ．∠A=∠2 C ．△ABC ≌△CE D D ．∠1=∠2 8. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D ，∠B=∠E ，要判定 这两个三角形全等，还需要条件（ ） 第3题图 第5题图 第7题图 第2题图 第6题图 A B C D B A O D C E 图2 三角形全等综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2、如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 3. 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点 （1）△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD BE =是否成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 4、已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接 写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 5. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； （3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明． 6.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取 点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△； （2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论． C G A E D B F 二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等 1、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ． 求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长． 2、如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 。 C F G E D B A H C B O D 图 A E C E N D A B M 图① C A E M B D N 图② 腾大教育教师辅导教案 授课时间：2014年2月10日学员姓名年级八年级辅导课目数学 学科教师班主任课时数 3 教学课题解全等三角形问题的题型总结 教 学目标1.总结、讲解全等三角形题型 2.练习 教 学 重 难 点 1.掌握解全等三角形的各类问题 教学内容课堂收获 一、三角形全等的性质和判定方法 二、全等三角形的题型 （一）注意三角形全等的判定方法。特别留意的是有两边和一角对应相等的两个三角 形不一定全等，当相等的角为相等的两边中的一边的对角时，这两个三角形不一定相 等。 例1.下面有四个命题： ①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； ③两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等。 其中真命题是：（） A. ②③ B.①③ C.③④ D.②④ 练习： 1.下列说法：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； ②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； ③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； ④两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。 其中正确的有（） A. 4个 B.3个 C.2个 D.1个 （二）注意角度在三角形全等中的应用。特别是在特殊三角形，如等腰三角形、直角 三角形中角度数的作用。 例2.两个全等的含? 30、? 60角的三角板ADE和三角板ABC，如图放置，E、A、C 三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC。试判断△EMC的形状， 并说明理由。 全等三角形的典型习题 一、全等在特殊图形中的运用 1、如图，等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、CA 上的动点，AD ＝CE ，试求∠DFB 的度数． 2、如下图所示，等边△ABC 中，D 、E 、F 是AB 、BC 、CA 上动点，AD ＝BE ＝CF ，试判 断△DEF 的形状． 3、如下图所示，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，且点B 、A 、D 在同一直线上，AC 、BE 相交于点G ，AE 、CD 相交于点F ，试说明△AGF 是等边三角形． Ex 、如图，四边形ABCD 与BEFG 都是正方形，AG 、CE 相交于点O ，AG 、BC 相交于点M ，BG 、CE 相交于点N ，请你猜测AG 与CE 的关系(数量关系和位置关系)并说明理由． 4、△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°，D 是底边BC 的中点，DE ⊥DF ，试说明BE 、CF 、EF 为边长的三角形是直角三角形。 A B A A m 二．证明全等常用方法（截长法或补短法） 5、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于点D ．请你试说明AB ＋BD ＝AC ． Ex1，∠C ＋∠D ＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试用截长法说明AD ＋BC ＝AB ． Ex2、五边形ABCDE 中,AB ＝AE,∠BAC ＋∠DAE ＝∠CAD,∠ABC ＋∠AED ＝180°,连结AC ，AD ．请你用补短法说明BC ＋DE ＝CD ．（也可用截长法，自己考虑） 6、如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上的点，F 是BC 上的点，且∠EDF ＝45°．请你试用 补短法说明AE ＋CF ＝EF ． Ex1.、如图所示，在△ABC 中，边BC 在直线m 上，△ABC 外的四边形ACDE 和四边形ABFG 均为正方形，DN ⊥m 于N ，FM ⊥m 于M ．请你说明BC ＝FM ＋DN 的理由．(分别用截长法和补短法) （连结GE ，你能说明S △ABC ＝S △AGE 吗？） B B C F C A B ,. 七年级下三角形综合题归类 一、双等边三角形模型 1.（ 1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC．求∠ AEB 的大小； （ 2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD不能重叠），求∠ AEB 的大小 . B C B C E E D O A O A D 图 7图 8 2. 已知 :点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM,△ CBN 都是等边三角形，且AN、 BM 相交于 O. ①求证： AN=BM ②求∠ AOB 的度数。 ③若 AN、 MC 相交于点 P， BM、 NC 交于点 Q，求证： PQ∥AB。 （湘潭·中考题） N M O P Q A C B 同类变式：如图 a，△ ABC和△ CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 连接 AF 和 BE. C， (1)线段 AF 和 BE有怎样的大小关系 ?请证明你的结论； (2)将图 a 中的△ CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判 断并说明理由； (3) 若将图 a 中的△ ABC绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c( 草图即可) ，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判断不必说明理由 . 图 c 3.如图 9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M , N分别为EB, CD的中点，易证： CD BE ，△ AMN 是等边三角形． ,. （ 1）当把△ADE绕A点旋转到图10 的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 图 9图10图11 同类变式：已知，如图①所示，在△ ABC 和△ ADE 中， AB AC ，AD AE，BACDAE ，且点 B， A， D 在一条直线上，连接 BE， CD， M ， N 分别为 BE， CD 的中点． （ 1）求证：①BE CD；②AM AN ； （ 2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到 图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 . C C N N E D A M B B D M A E 图①图② 4.如图，四边形 ABCD和四边形 AEFG均为正方形，连接 BG与 DE相交于点 H． （1）证明：△ABG≌△ADE； （2）试猜想BHD的度数，并说明理由； 全等三角形题型总结 题型一、一线三垂直 1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，（1）求证：BD=AE。 （2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE边相等吗？为什么？（3）BD、CE与DE有何关系？ 2、如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆AC的高为3m，此人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间． 27、王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以 放进一个等腰直角三角板(AC=BC, ∠ABC=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵 木墙之间的距离． 题型二、角平分线与全等 1、如图所示，四边形ABCD中AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由。 2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F是OC上除点P、O外的一点，连接DF，EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论． 图 题型三、旋转与全等 1、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜想BE与DC之间的大小关系，并证明你的结论。（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。 B A C D E 2、图17，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点M ，BD 交AC 于点N ． 证明：（1）BD ＝CE ； （2）BD ⊥CE ． 图17 3、如图，ABC ?为等边三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作等边三角形 CDE ?，连接AE ． （1）求证：CBD ?≌CAE ?． （2）判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由． 4、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关 系. A B D C E F 全等三角形经典题型题带答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥ AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E B O D C E 图8 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三 角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （湘潭·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE ，△AMN 是等边三角形． C B O D 图7 A E A B C M N O P Q （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证 明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由． 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =， BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； 图9 图10 图11 图① 图②八年级上数学_全等三角形典型例题(一)
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