一，大数定律的证明
二，中心极限定理的证明
中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
第五章大数定律及中心极限定理 【基本要求】1、了解切比雪夫不等式； 2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论； 3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯 中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用 相关定理近似计算有关随机事件的概率。 【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。 【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。 【学时分配】2学时 【授课内容】 §5.1 大数定律 0.前言 在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。 下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。 一、切比雪夫大数定律 1
2 事件的频率稳定于概率，能否有p n lim n n =μ∞→，答案是否定的。而是用)(0}{ ∞→→ε≥-μn p n P n [依概率收敛]来刻划 （弱）。或者用{}1n n P p n →∞ μ???→=[a.e.收敛] 来刻划（强）。 1.定义：设ΛΛ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有 ()1lim =<-∞ →εa X P n n ， 则称序列ΛΛ,,,,21n X X X 依概率收敛于a .记为a X P n ?→? . 2．切比雪夫不等式 设随机变量ξ具有有限的期望与方差，则对0>?ε，有 2 ) ())((ε ξεξξD E P ≤ ≥-或2 ) (1))((ε ξεξξD E P - ≥<- 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~()p x ξ，则有 2 2 ()()(())(())()()x E x E x E P E p x dx p x dx ξ ε ξ ε ξξξεε -≥-≥--≥= ≤ ?? 22 2 1 () (())()D x E p x dx ξξεε+∞ -∞ ≤ -= ? 该不等式表明：当)(ξD 很小时，))((εξξ≥-E P 也很小，即ξ的取值偏离)(ξE 的可能性很小。这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。 切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件 {}E ξξε-≥概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 3．定理1（切比雪夫大数定律） 设}{n ξ是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在 常数C ，使Λ,2,1)(=≤i C D i ξ，则对任意的0>ε，有01111 =ε≥ξ-ξ∑∑==∞→})(E n n {P lim n i n i i i n [即
验证大数定理： 1、实验原理： 证明大数定理即证明样本均值趋近于总体均值。 2、实验步骤： ①在excel中，用公式 =RAND( )*9+1 生成2000个1到10之间的随机数。 ②选择样本的前50个，前100个，前150个…前2000个，分别求出均值。 ③利用excel作出上述求出值的样本均值折线图（图一）和总体均值折线图（图二）： 图一 图二 从图一和图二中可以看出样本均值最终趋于水平，即趋于总体均值，大数定理得证。
验证中心极限定理： 1、实验原理： 证明中心极限定理即证明N个独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布。本次实验采用独立同分布于0-1分布B(1,0.5)的随机变量序列E k，k=1,2,3······来验证中心极限定理。因为E k， k=1,2,3······之间是独立同分布，所以 )5.0, ( ~ E n 1 k k n B ∑ =。由中心极 限定理可知，当n的取值足够大时，∑ = n 1 k k E 这一随机变量的分布与正太分 布具有很好的近似，下面用MATLAB软件分别画出n取不同值时∑ = n 1 k k E 的分 布及对应的正太分布的图像，通过对比这两条曲线的相似度来验证中心极限定理。 2、实验步骤： ①当n=10时，对应正态分布为N（5，2.5）。 MATLAB结果图：
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MATLAB源程序： ⑤观察得出，当N足够大时，其密度函数服从正态分布，即满足 中心极限定理。
渤海大学学士学位论文 题目: 中心极限定理与大数定理的关系 系别: 渤海大学 专业: 数学系 班级: 2002级1班 姓名：于丹 指导教师：金铁英 完成日期：2006年5月19日 中心极限定理与大数定理的关系 于丹 （渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国） 摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。 本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。 关键词：大数定理中心极限定理收敛性 The relation of the central limit theorem and large numbers law Yu Dan (Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract：The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability. This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem . Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence. 引言
【最新整理，下载后即可编辑】 验证大数定理： 1、实验原理： 证明大数定理即证明样本均值趋近于总体均值。 2、实验步骤： ①在excel中，用公式=RAND( )*9+1 生成2000个1到10之间的随机数。 ②选择样本的前50个，前100个，前150个…前2000个，分别求出均值。 ③利用excel作出上述求出值的样本均值折线图（图一）和总体均值折线图（图二）： 图一 图二 从图一和图二中可以看出样本均值最终趋于水平，即趋于总体均值，大数定理得证。
验证中心极限定理： 1、实验原理： 证明中心极限定理即证明N 个独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布。本次实验采用独立同分布于0-1分布B(1,0.5)的随机变量序列E k ，k=1,2,3······来验证中心极限定理。因为E k ，k=1,2,3······之间是独立同分布，所以)5.0,(~E n 1k k n B ∑=。由中心极限定理可知，当n 的取值足够大时，∑=n 1k k E 这一随机变量的分布与正太分布具有很好的近似，下面用MATLAB 软件分别画出n 取不同值时∑=n 1k k E 的分布及对应的正太分布的图像，通过对比这两条曲线的相似度来验证中心极限定理。 2、实验步骤： ①当n=10时，对应正态分布为N （5，2.5）。 MATLAB 结果图： MATLAB 源程序：
②当n=20时，对应正态分布为N（10，5）。MATLAB结果图： MATLAB源程序：
③当n=30时，对应正态分布为N（15，7.5）。MATLAB结果图： MATLAB源程序：
④当n=40时，对应正态分布为N（20,10）。MATLAB结果图： MATLAB源程序：
中心极限定理证明 目录 第一篇：中心极限定理证明 第二篇：大数定理中心极限定理证明 第三篇：中心极限定理 第四篇：中心极限定理应用 第五篇：中心极限定理 更多相关范文 正文 第一篇：中心极限定理证明 中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史
上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此 故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次? 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.
中心极限定理的创立和发展 1141010113 万帅 关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。 引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 “中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。 历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。中心极限定理的发展主要分为三个阶段。 创立阶段：1733-----1853年 人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理” 法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。在1812年，他先后考虑了对称的、离散的均匀分布，对称的连续分布，任意分布情形。最后，拉普拉斯在他的名著《概率的分析理论》中对任意的p证明了如下中心极限定理：【1】 泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。在所有考虑的情况里，都假设随机变量是独立的。泊松证明了服从相同分布的随机变量的情况，还推广到服从不同分布的随机变量的情况。1824年，泊松证明了连续随机变量的中心极限定理，并给出了三个反例，其中包括服从柯西分布的随机变量和，这时中心极限定理不成立。受当时传统的影响，泊松没有明确阐明中心极限定理成立的条件。但是，从他的证明和例子中，可以看到，他假设每个变量的方差都是有界的，且不等于零。其他数学家也做了这方面工作，比如贝塞尔和柯西。拉普拉斯等人给出证明的前提假设是，和的分布是有限的，因此所有的矩都存在。他们把结果推广到无限情形，但没有给出证明，并隐含假定了矩的存在。以现在的观点来看，只要沿着拉普拉斯的方向继续下去，法国数学家们是可以给出中心极限定理的严格证明的，比如柯西，他知道特征函数和稳定率。 从当时环境来看，大约1870年代，概率学家还处于心理上的劣势，苦于自己的研究领
均匀分布中心极限定律的实现： clc clear n=200000; %/* ???′′?êy*/ k=100; %/* ?ù±???êy*/ mu=0; u=0; sigma=1/12; population=0:0.001:1; for i=1:n y = randsample(population,k,1); mu=[mu,mean(y)]; end mu=(mu-0.5)/(sqrt(sigma)/sqrt(k)); %hist(mu(2:end),1000) [f, x1] = ksdensity(mu(2:end)); plot(x1, f) hold on plot(x1,normpdf(x1,0,1),'r') hold off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 两点分布的实现： clc clear n=10000; %/* ???′′?êy*/ k=100; %/* ?ù±???êy*/ mu=0; u=0; p=0.5; sigma=p*(1-p); population=0:1; for i=1:n y = randsample(population,k,1); mu=[mu,mean(y)]; end mu=(mu-p)/(sqrt(sigma)/sqrt(k)); %hist(mu(2:end),1000) [f, x1] = ksdensity(mu(2:end)); plot(x1, f) hold on plot(x1,normpdf(x1,0,1),'r') hold off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 两点分布1以概率0.4发生
概率论中的大数定律及中心极限定理 唐南南 摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律的学科，概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质，特点和规律。它在自然科学，技术科学和社会科学等科学中有广泛的应用。而大数定律和中心极限定理的内容是概率论中极限理论极为重要的一部分内容。在这篇文章中，我们从贝努力试验中的频率出发，讨论了独立随机变量和分布的极限问题。在一定条件下，这些分布弱收敛于退化分布，这就是大数定律。在另一些条件下，这些分布弱收敛于N(0,1)分布,这一类收敛于N(0,1)分布的定理统称为中心极限定理.大数定律说明了随机现象都具有稳定性而中心极限定理是研究相互独立随机变量序列{}i x 的部分和∑== n i i n x S 1 的分布，在适当条件下向正态分布收放的问题。在这篇文章 里，我们只介绍了一些定理的提出，内容以证明以及在其他学科上的应用，而大数定律和中心极限定理还有许多更深入，更广泛的内容，限于篇幅这里就不再介绍了。掌握定理的结论是重要的，这些结论一方面使频率稳定于概率，n 次观察的算术平均值稳定于数学期望都有了明确的含义和理论依据；另一方面，又将给数理统计中大样本的统计推断等提供理论依据。 关键词 大数定律 中心极限定理 随机现象 随机变量 引言 大数定律和中心极限定理是概率论中重要的一部分内容，但对读者来说，多数人对于这部分内容感到很难掌握，这篇文章就是对这部分内容进行浅入的分析，但对其内容进行详细的说明，而且进行了归纳性的总结，指出了各定律之间的联系及其差别，希望通过本篇文章内容的介绍，能使读者对于这部分知识有一个清晰的印象，能整体地把握这部分内容。 一 、大数定律 （一）、问题的提法（大数定律的提法） 重复实验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表现。人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在；由频率的性质推断概率的性质，并在实际应用中（当n
中心极限定理证明)题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地 位。参考文献 [1]邓永录著应用概率及其理论基础.清华大学出版社。 [2]魏振军著概率论与数理统计三十三讲.中国统计出版社。 [3]程依明等著概率论与数理统计习题与解答.高等数学出版社。 第五篇：中心极限定理 中心极限定理 中心极限定理（central limit theorems） 什么是中心极限定理 大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。 中心极限定理的表现形式 中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理： （一）辛钦中心极限定理 设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则 随机变量，在n无限增大时，服从参数为a 和的正态分布即n→∞时， 将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理 设μn是n次独立试验中事件a发生的次数，事件a在每次试验中发生的概率为p，则当n无限大时，频率设μn / n 趋于服从参数为的正态分布。即： 该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。 （三）李亚普洛夫中心极限定理 设 差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方 。 记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞ 时， ，则对任意的x有： 该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。 （四）林德贝尔格定理 设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x ，有 。 中心极限定理案例分析 案例一：中心极限定理在商业管理中的应用 水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假
第四章 大数定律与中心极限定理答案 一、单项选择 1. 设)(x Φ为标准正态分布函数，?? ?=不发生， 事件发生； 事件A A X i ,0,1100,,2,1Λ=i ，且 8.0)(=A P ，10021,,,X X X Λ相互独立。令∑==1001 i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分 布函数)(y F 近似于（ ） （A ）)(y Φ （B ）Ф()y -80 4 （C ）)8016(+Φy （D ）)804(+Φy 答案：D 二、填空 1. 设X 的期望和方差分别为 μ和2σ，则由切比雪夫不等式可估计 )2(σμ<-X P 。 答案：34 ≥ 2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有≤≥+}6|{|Y X P ________． 答案： 12 1 3． 已知随机变量ξ的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计ξ落在6到18之间的概率为________．与3到21之间 解 由题意得，2212,3,E D ξξσ=== 由切比雪夫不等式得 222{618}{126}3311466 P P D ξξξ≤≤=-≤≥-=-= 3 {618}4 P ξ∴≤≤≥
4． 已知随机变量ξ的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计ξ落在3到21之间的概率为________． 解 由题意得，2212,3,E D ξξσ=== 由切比雪夫不等式得 222{321}{129}3811999 P P D ξξξ≤≤=-≤≥-=-= 8 {321}9 P ξ∴≤≤≥ 5．假定生男孩、生女孩的概率均为0.5，用切比雪夫不等式估计200个新生婴儿中男孩在80个到120个之间的概率为________． 解 设ξ表示在200个新生婴儿中男孩的个数, 则~(,),B n p ξ 其中0.5p 200,n ==, 则 ()2000.5100,E np ξ==?= ()(1)2000.5(10.5)50.D np p ξ=-=??-= 由切比雪夫不等式得 22{80120}{10020}507 118 2020P P D ξξξ≤≤=-≤≥- =-= 6．用切比雪夫不等式估计下题的概率: 废品率为0.03, 求1000个产品中废品多 于20个且少于40个的概率为________. 答案：0.709 7．用切比雪夫不等式估计下题的概率: 求200个新生婴儿中, 男孩多于80个且少于120个的概率为________. (假定生女孩和生男孩的概率均为0.5.) 答案： 0.875
中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此
故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有的把握使出现六点的概率与之差不超过,问需要抛掷多少次 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多. 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布: 的随机变量.求. 解:
第五章 中心极限定理 教学要求 1．掌握切比雪夫不等式． 2．了解切比雪夫、伯努里、辛钦大数定律成立的条件及结论理解其直观意义． 3．掌握棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理和列维—林德伯格叫心极限定理(独立同分布中心极限定理)的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率． ? 本章重点：运用中心极限定理近似计算有关随机事件的概率 ? 教学手段：讲练结合 ? 课时分配：4课时 本课程一开始引入事件与概率的概念时，我们就知道就一次试验而言，一个随机事件可以出现也可不出现，但作大量的重复试验则呈现出明显的规律性——统计规律性。即，任一事件出现的频率是稳定于某一固定数的，这固定数就是该事件在一次试验下发生的概率，这里说的“频率稳定于概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率，“大数定律”就是解释这一问题的。 另外在前一章介绍正态分布时，我们一再强调正态分布在概率统计中的重要地位和作用，为什么实际上有许多随机现象会遵循正态分布？这仅仅是一些人的经验猜测还是确有理论依据，“中心极限定理”正是讨论这一问题的。 §5.1随机变量序列的两种收敛性 假设 ),(,),(),(21ωηωηωηn 是定义在同一概率空间（Ω，F , P ）上的一列随机变量，显然，其中每个r .v ，)(ωηk 可以看成是定义在概率空间上的一个有限可测函数，因此，我们可以象在实变函数论中对可测函数列定义收敛性一样，给出随机变量列{)(ωηk }的收敛性概念。 以下我们讨论时，总假定r .v 列{n η}和r .v .η都是定义在同一概率空间（Ω，F ,P ）上的，对于某样本点Ω∈0ω，显然{)(0ωηn }可视为一普通实数列，)(0ωη则可看作一实数，此时若有)()(lim 00ωηωη=∞ →n n ，则称随机变量列{n η}在点0ω收敛到η。若对任意 Ω∈ω，均有 )()(lim ωηωη=∞ →n n ，则称{n η}在Ω上点点收敛到η。但在本章的讨论中，我们没有必 要对{n η}要求这么高，一般是考虑下面给出的收敛形式。 定义5.1 设有一列随机变量 ,,,21ηηη，如对任意的ε＞0，有 0})()(:{lim =≥-∞ →εωηωηωn n P （5.1） 则称{n η}依概率收敛到η，并记作 ηη?→?∞ →P n n lim （5.2） 或 ,ηη?→?P n ∞→η （5.3） （5.1）式也等价于0}}{lim =≥-∞ →εηηn n P 从定义可见，依概率收敛就是实函中的依测度收敛。
《概率论与数理统计》大作业 题目：还原正态分布之高斯推导过程 学院：化学工程学院 姓名：赵振华 学号： 班级序号：14 专业班级：装控1407 任课教师：李明 2016年4月27日还原正态分布之高斯推导过程 摘要：正态分布是概率中最重要的分布，其发现极大的促进了概率论和数理统计的发展，虽然正态分布的获得过程本身包含着大量的数理统计思想，对之有详尽的了解有益于对其他理论的理解，但其推导过程一般少见于统计着作，因此本文将正态分布函数形式的推导过程还原与众，弥补众多着作的正态分布的发现和推导过程。
背景前言 正态分布又称高斯分布，是由数学家棣莫弗和数学王子高斯各自独立发现的，1733年，棣莫弗有二项分布的逼近推导出正态分布，1809年高斯在推导误差分布函数是发现正态分布，两位数学家在不同的数学文化背景下，采用不同的方式得到相同的正态分布，可谓知识都是相同的，两种方式可相互证明，更体现正态分布的客观性和科学性。中心极限定理表明：“任何随机分布当样本足够大时，都会逼近正态分布。”正态分布在数理统计研究历史上具有里程碑式的意义。但是正态分布的推导过程能被统计学着作提到的少之又少，又有许多想本人一样的学生对正太分布的来源和其推导过程有着强烈的兴趣，于是几费周折在陈希孺院士《数理统计学简史》一书上找到一两百字的有关介绍，再结合其他资料整理得到两种推导过程，但是本人还是大二，目前只能理解和深入研究高斯的推导过程，故本主要介绍了高斯的正态分布的推导过程。 1、高斯正态分布之推导 最初的高斯密度分布函数思想动机来源于对误差规律的认识。众所周知，随机误差属于一种典型的随机变量。直觉上，对一个物体的测量，用多次测量的结果的算术平均数作为总体平均真值的估计肯定优于用单次测量结果作为其估计值，而且似乎并不存在其它更好的估计量。那么误差随机变量所服从的分布或者说其密度函数一定是这么一个“周密”的函数，它总能使样本的算术平均数成为总体真值估计量
题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。
关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()),2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()),2,1(0,2 ???=>==k X D X E k k k k σμ，
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第五章 大数定律与中心极限定理 一、选择题： 1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {}n n P p n με→∞-≥ [ A ] （A ）0= （B ）1= （C ）0> （D ）不存在 2．设随机变量X ，若2() 1.1,()0.1E X D X ==，则一定有 [ B ] （A ）{11}0.9P X -<<≥ （B ）{02}0.9P X <<≥ （C ）{|1|1}0.9P X +≥≤ （D ）{|}1}0.1P X ≥≤ 3．121000,,,X X X L 是同分布相互独立的随机变量，~(1,)i X B p ，则下列不正确的是 [ D ] （A ）1000111000i i X p =≈∑ （B ）10001 {}i i P a X b =<<≈Φ-Φ∑ （C ）10001~(1000,)i i X B p =∑ （D ）1000 1{}()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑ 二、填空题： 1．对于随机变量X ，仅知其1()3,()25 E X D X ==，则可知{|3|3}P X -<≥ 2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据契比雪夫不等式{}6P X Y +≥≤ 三、计算题： 1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg ，均方差为0.1kg ，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少 解：设第i 件零件的重量为随机变量i X ，根据题意得0.1.i EX ==
1、用数学实验的方法说明大数定律和中心极限定理的结论。（一）、验证中心极限定理： 1、实验原理： 证明中心极限定理即证明N个独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布。 2、实验步骤： ①利用matlab软件生成随机数，选取100个随机变量； ②通过matlab软件作出其直方图(如下图1)； ③观察得出，当N足够大时，其密度函数服从正态分布，即满 足中心极限定理。 图1 从图1中可以直观的看出100个随机变量的和近似服从正态分布。
（二）、验证大数定理： 1、实验原理： 证明大数定理即证明样本均值趋近于总体均值。 2、实验步骤： ①利用excel选取1000个随机数 ②选择样本的前50个，前100个，前150个…前1000个，分 别求出均值。 ③利用excel作出上述求出值的折线图(如下图2)：
图2 从图2中可以看出样本均值最终趋于水平，即趋于总体均值，得证。 2.用一统计软件产生来自某一个特殊分布的随机数,作出相应的理论分布函数图形与经验分布函数图形,理论密度函数图形与直方图。 （一）、实验原理： 选用R软件进行这个实验，输入rnorm（n,mean,sd）产生随机数,其中n为随机数个数，mean为所产生随机数的总体所具有的均值，sd是所产生的随机数的总体所具有的标准差。此次实验用R软件产生了100正态随机数，该正态分布为X~N（0，1）均值为0 ，标准差为1，方差为1. （二）、实验步骤： ①>rnorm(n=100,mean=0,sd=1) 以下是产生的个随机数据
图3 ②> plot(ecdf(sort(x))) 出现经验分布函数 图4
中心极限定理证明 中心极限定理证明 中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此 故服从中心极限定理.
三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计: . 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次? 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得. 由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多. 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布: 的随机变量.求. 解: 因为很大,于是 所以 利用标准正态分布表,就可以求出的值.
随机信号大作业 题目：产生随机数，并实现0—1分布，验证中心极限定理，实现标准正态分布，并画出分布直方图。 一．思路 1. 产生随机数。首先要确保数的随机性，利用时间的随机性来实现。 2. 产生0—1分布。随机数是在一定范围内产生的，利用数值x ∈(a,b),a b x -得到0-1均匀分布。 3. 产生高斯分布。利用中心极限定理——设从均值为μ、方差为δ²（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n 的样本，当n 充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为δ²/n 的正态分布。 二．实现方法。 1. 利用函数来调用系统的时间，产生初值——随机数种子Seed ，利用乘同余法产生随机数列： ???==+n n n n x x M x r λ1/ 2. 产生0—1分布。a[i]=seed/M 产生0—1分布数。在这里要注意处理溢出情况，当Seed<0时，用seed=seed+M 来消除溢出。 3. 利用中心极限定理将0—1分布实现标准正态分布。算法实现步骤如下： 随机选取n 个随机数，利用下公式： 12/)2(1n n r x n i i ∑=-=
在这里我们取n=12来化简计算： 标准正态分布数y=x。 代码如下： int seed; float a[100],b[100]={0}; seed=sys.wMilliseconds; //随机种子输入 int i,j,w,k; float x,y; for(w=0;w<5000;w++) { x=0;y=0; for(i=0;i<100;i++) { seed=16807*(seed%127773); //利用乘同余法产生其他随机数 if (seed<0) seed += 2147483647; //处理溢出的情况 a[i]=seed/2147483647.0; //a即为-1均匀分布数 }; for(j=20;j<32;j++) { x=a[j]+x; //取其中的个数的和，方便计算 }; y=x-6; //产生正态分布随机数 printf("%lf",y); for(j=0;j<100;j++) { if(-3+0.2*j
第四章 大数定律和中心极限定理 教学内容：本章主要讲述契比雪夫不等式，契比雪夫大数定律，贝努里大数定律和中心极限定理等内容． 教学重点：讲清大数定律的条件、结论和中心极限定理的条件、结论。 教学难点：随机变量序列的两种收敛性及大数定律和中心极限定理的应用。 在本课程一开始引入概率这个概念时，我们曾经指出，频率是概率的反映，随着观察次数n 的增大，频率将会逐渐稳定到概率。还曾经指出，当n 很大时，频率会概率是会非常“靠近”的，某些读者可能早就有了疑问：这里说的“逐渐稳定”和非常“靠近”究竟是什么意思？与数学分析中的极限概念有关系吗？这个问题提得非常好，前面提到的“逐渐稳定”和非常“靠近”都只是一种直观的说法，它的严格的数学家意义确实需要我们进一步阐明，本章就是要讨论这一类问题。 第一节 切比雪夫不等式 一、 契比雪夫不等式（Chebyshev inequality ） 设随机变量X 的均值()E X 及方差()D X 存在，则对于任意正数ε，有不等式 22 }|)X (E X {|P εσ≤ε≥- 或22 1}|)X (E X {|P ε σ-≥ε<- 成立。 我们称该不等式为契比雪夫（Chebyshev ）不等式。 证明：（我们仅对连续性的随机变量进行证明）设()f x 为X 的密度函数，记μ=)X (E ， 2)(σ=X D 则 ??≥-≥ --≤= ≥-ε μ εμεμεx x dx x f x dx x f X E X P )()()(}|)({|2 2 2 22 22 ) (1 )()(1 εσεμεX D dx x f x = ?≤ -≤ ? ∞ +∞ - 从定理中看出，如果()D X 越小，那么随机变量X 取值于开区间((),())E X E X εε-+中的概率就越大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心(distribution center)()E X 的集中程度的数量指标。 利用契比雪夫不等式，我们可以在随机变量X 的分布未知的情况下估算事件 {}()X E X ε-<的概率。