处可微(全微分存在) 存在; (必要但不充分) 连续. (充分但不必要)
(2)全微分形式的不变性: 设 自变量还是中间变量都有 (3)可导函数z = f (x ,y) 在点 只需验证: 若等于零,则z 若等于零,则z = f (x , y) 在点 则z 若不等于零, = f (x , y) 在点
则不论u与v是
则称 z = f (x ,y) 在点
3.有界闭区域上二元连续函数的性质 最值定理、有界性定理、介值定理 4.偏导数的概念与计算法 (1) 概念:
(2) 计算法: 计算偏导函数 计算偏导函数 5.全微分
时把 y 当作常数, 时把 x 当作常数.
(1)二元函数z = f (x, y) 在点 必要条件: 在点 充分条件:在点 处 处
解得
或
根据几何意义,曲线 C 上存在距离 xoy 面最远的点和 最近的点. 故所求的点依次为(–5 ,–5 , 5) 和 (1 ,1 , 1). 注释 : 本题考查求条件极值的拉格朗日乘数法.
的极小值点, 极小值为z (9,3) = 3.
∂2z 1 ∂2z 1 类似地: 由于 A = 2 |(−9,−3,−3) =− , B = |(−9,−3,−3) = , ∂x 6 ∂x∂y 2
∂2z 5 C = 2 |(−9,−3,−3) =− . 所以 ∂y 3
从而点(–9,–3)是 z = z (x , y)的极大值点, 极大值为 z (–9,–3) = –3. 注释:本题考查方程决定的二元隐函数的极值点与 注释 极值. 解题的关键是求方程确定的隐函数的一阶与二 阶偏导数.
k = . 2 k 取不 x→ x + (kx)2 0 x→ y→ x + y 0, 0 1+ k xy k lim 同值时, 1+ k2 的值不同, 故极限 x→0, y→0 x2 + y2 不存在,