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D2_3高阶导数

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高阶导数

高阶导数

记号 C(n)(I): 在I上具有n阶连续导数的函数全体
C()(I): 在I上具有任意阶导数的函数全体.
例1 设 y
f
1 x
,
其中
f
具有二阶导数,
求
d2 y dx2
.
2 隐函数的二阶导数 设方程F(x,y) = 0确定隐函数y = y(x), 则y"的求法有:
方法一 由隐函数求导法求出y', 再用求导法则对y' 关于x求导, 仍视y为隐函数y(x).
Chap3 ― 6
高阶导数
3.6.1 高阶导数的概念
1 定义 设y = f (x)在U(x0)可导, 则f (x)在点x0处的
二阶导数
def
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
➢ 二阶导数也可记为
y(x0 ),
d2 y dx2
d2 f ,
dx2
.
x x0
x x0
➢ 二阶导(函)数 f "(x) = (f '(x))'
例7 求下列函数的n阶导数
(1) y ln(1 x)
(2) y 1 , (a 0) ax b
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
y(n)
(1)n
a n n! (ax b)n1
.
3.6.2 Leibniz法则——高阶导数求法之二 定理 设函数u, v有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) = u(n) v(n)； (cu)(n) =cu(n), 其中c为常数
(2) (uv)(n) C0nu(n)v C1nu(n1)v Cnn1uv(n1) Cnnuv(n)

导数的基本公式与运算法则高阶求导

导数的基本公式与运算法则高阶求导

( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x),
y,
d2 dx
y
2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
d (dy) d x dx
y f (x) y f (x) y [ f (x)] f (x)
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
例
设 y arctan x, 求f (0), f (0).
( 1
1(xu21))
1(1u(112x2
x2 )2
)
解
y

1

y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法)
例. 设 y eax , 求 y(n). 解: y aeax ,
y a2 eax , y a3eax , , y(n) an eax
特别有: (e x )(n) e x
例 设 y ln(1 x), 求y(n) .
[([(11(112xx1)x)3)2]](1[2[1(x1()12 x(1)x)3]2x]) 22(13(1x)x3 )4

0,
求
d2 y d x2

高阶导数

高阶导数

①
e y y 1 xe
②
y
在① 两边再对 x 求导 , 得 (1 x e y ) y 2 e y y x e y ( y ) 2
2 e y y xe y ( y ) 2 y y 1 xe y y 2y e 2e xe y y y 2 1 xe 1 xe (1 xe )
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
1 (3) y 预习P177有理函数的分解 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
A ( x y x 2 x 1
y
(n) n
x2 x 1
1 1
1 1 ( 1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,
且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
n 2m ( m 0 , 1, 2 , ) (0) m m, n 2 m 1 ( 1) ((2 m 1) ! ( 2 m ) ! y ( 0 )
1) y ( 2 m ( 00 ) ,

D2_3多元函数微分学(32p)

D2_3多元函数微分学(32p)

处可微(全微分存在) 存在; (必要但不充分) 连续. (充分但不必要)
(2)全微分形式的不变性: 设 自变量还是中间变量都有 (3)可导函数z = f (x ,y) 在点 只需验证: 若等于零,则z 若等于零,则z = f (x , y) 在点 则z 若不等于零, = f (x , y) 在点
则不论u与v是
则称 z = f (x ,y) 在点
3.有界闭区域上二元连续函数的性质 最值定理、有界性定理、介值定理 4.偏导数的概念与计算法 (1) 概念:
(2) 计算法: 计算偏导函数 计算偏导函数 5.全微分
时把 y 当作常数, 时把 x 当作常数.
(1)二元函数z = f (x, y) 在点 必要条件: 在点 充分条件:在点 处 处
解得
或
根据几何意义,曲线 C 上存在距离 xoy 面最远的点和 最近的点. 故所求的点依次为(–5 ,–5 , 5) 和 (1 ,1 , 1). 注释 : 本题考查求条件极值的拉格朗日乘数法.
的极小值点, 极小值为z (9,3) = 3.
∂2z 1 ∂2z 1 类似地: 由于 A = 2 |(−9,−3,−3) =− , B = |(−9,−3,−3) = , ∂x 6 ∂x∂y 2
∂2z 5 C = 2 |(−9,−3,−3) =− . 所以 ∂y 3
从而点(–9,–3)是 z = z (x , y)的极大值点, 极大值为 z (–9,–3) = –3. 注释:本题考查方程决定的二元隐函数的极值点与 注释 极值. 解题的关键是求方程确定的隐函数的一阶与二 阶偏导数.
k = . 2 k 取不 x→ x + (kx)2 0 x→ y→ x + y 0, 0 1+ k xy k lim 同值时, 1+ k2 的值不同, 故极限 x→0, y→0 x2 + y2 不存在,

高等数学第二章高阶导数

高等数学第二章高阶导数
§2.3 高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
y

x2

1 3x

2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)

(1)n
n!
( x
1 2)n1

(x
1

1)
n1

18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作

2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2

求导法则 高阶导数

求导法则 高阶导数
2 e 20 2 x x 2 20 2 e 19 2 x 2 x 20 19 2 e 18 2 x 2 2!
220 e2x ( x2 20x 95)
3.间接法 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.
常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0)
高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法：1.直接法;
2.间接法.
练习题
一、填空题： 1、设 y sin t 则y =_________. et 2、设 y tan x ,则y =_________. 3、设 y (1 x 2 )arctan x ，则y =________. 4、设 y xe x2 ,则y =_________. 5、设 y f ( x 2 ), f ( x) 存在，则y =_________. 6、设 f ( x) ( x 10)6,则 f (2) =_________. 7、设 x n a1 x n1 a2 x n2 an1 x an (a1 , a2 ,, an 都是常数)，则y(n) =___________. 8、设 f ( x) x( x 1)( x 2)( x n), 则 f (n1) ( x)=____________.
解 y 1 1( 1 1 ) x2 1 2 x 1 x 1
y(5) 1 [ 5! 5! ] 2 ( x 1)6 ( x 1)6
1
1
60[
]
( x 1)6 ( x 1)6
例
设
y
x2
1 3x
, 2
求y(n) .
例8 y xn 求y(n) 1 x
例9 设 y sin6 x cos6 x, 求y(n) .

高阶导数与高阶偏导数


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三阶导数的导数称为四阶导数,
f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一 般 地 ,函 数 f(x)的 n1阶 导 数 的 导 数 称 为
函 数 f(x)的 n 阶 导 数 ,记 作
f(n)(x), y(n), d dx ny n或 dn dfx(nx).
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
fy(x,y)x2x 3y2(x2 2x 3y y2 2)2,
湘潭大学数学与计算科学学院
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当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )lxi m00x 0,
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
d2 y dxn

f (n) x.
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注 (1) d x n (d x )n ， d x n d (x n ) ， (dx)n表 示 微 分 的 幂 ， 简记为dxn；
d(xn)指 幂 的 微 分 ， 即 d(xn)n xn 1dx ； 而 d n x 是 x 的 n 阶 微 分 .
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导
导二 函阶
函
数混
数 图
图合 形偏
形
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例 3 设u eax cosby，求二阶偏导数.

解析函数的高阶导数


证 (1) 任取正数r 2 , (注意 f (z) 在| z | 2 上的性态不知
道) 则函数 f (z) 在| z | r
内解析由，高阶导数公式有
f (0) 1
2πi
|z| r
f (z) z2
dz
,
| f (0)|
1 2πi
|z| r
f (z) z z z2
dz
,
| f (0)| 1
|z| r |z|
1
2π
|z| r
| z |2
1 (2 | z |)
ds
1 2πr , 2πr
|
f (0)|
1 2πr2(2 r)
2πr 1,
证
(1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
(2) | f (0)|
1 2πr2(2 r)
2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds,
证
(1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
(2) 由| f (z) z | 1 , 有 |2 z|
| f (0)| 1
2π
|z| r
| z |2
1 |2 z|
ds
1 2π
1 ds
，
z f (z) 在 | z | 2
f (z)
内解析；
证 (3) 根据柯西积分公式有
1
(z f (z) ) dz 2πi 1 (z f (z) )
πi |z| 1

高数(上)第二章第三节高阶导数


f '"( x ) 2 3[ f ( x )]2 f '( x ) 3![ f ( x )]4 ,
故 f ( n) ( x ) n![ f ( x )]n1
已知 f ( x ) 存在，且 f ( x ) 0, y ln[ f ( x )],
d2 y 求 . 2 dx
v ' 2 x , v '' 2 , v ( n) 0(n 3)
由莱布尼兹公式
0 (10) (0) 1 (9) ' 2 (8) '' y (10) C10 u v C10 u v C10 u v 10 9 2 x sin( x 10 ) 10 2 x sin( x 9 ) 2 sin( x 8 ) 2 2 2 2
同理二阶导数的导数称为三阶导数. 记为
y, f ( x ), d3 y , 3 dx d3 f dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数.记为
y
(4)
,
f
(4)
( x ),
d4 y , 4 dx
d4 f dx 4
f ( x x ) f ( x ) 即 f ( x ) lim x 0 x
( n)
= (-1)
n-1
( n 1)! xn
1 ( n) n n! ( ) = (-1) n1 x x
( n 1)! (6) (ln （ 1 x ） ) (-1) n （ 1 x ）
( n) n-1
1 ( n) n! n ( ) = (-1) n1 1 x （1 x）
1 ( n) n! ( ) = n 1 1 x （1 x）

高阶导数的讲解

dx
f ′( x ) − f ′( x 0 ) lim = f ′′ ( x 0 ), x → x0 x − x0
dx
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n 为正整数） 例１ 求幂函数 y = x（n为正整数）的各阶导数. 为正整数 的各阶导数.
解 由函数的求导公式得
y′ = nx n −1 ,
y′′ = n( n − 1) x n − 2 ,
x
x x
π
π
首页
×
问题 解答 （1） （2）
试总结函数的高阶导数的常用求法？ 试总结函数的高阶导数的常用求法？ 利用基本高阶导数公式表； 利用基本高阶导数公式表； 应用莱布尼兹公式； 应用莱布尼兹公式；
应用数学归纳法求函数的n阶导数 阶导数； （3） 应用数学归纳法求函数的 阶导数； （4） 先简化分式，然后利用高阶导数求导公式； 先简化分式，然后利用高阶导数求导公式； 证明需求导数的函数满足一个微分方程， （5） 证明需求导数的函数满足一个微分方程，然后利用 递推公式求高阶导数； 递推公式求高阶导数； 利用复数运算和欧拉公式，求函数的n阶导数 阶导数. （6） 利用复数运算和欧拉公式，求函数的 阶导数.
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的各阶导数． 例２ 求 y = sin x 和 y = cos x的各阶导数． 解 对于 y = sin x 由三角函数的求导公式得
), y′′ = − sin x = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2 π y ( 4 ) = sin x = sin( x + 4 ⋅ π ), y′′′ = − cos x = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地， 一般地，可推得 π ( n) sin x = sin( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 类似地有 π ( n) cos x = cos( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 x 的各阶导数． 例３ 求 y = e 的各阶导数． (e x )′ = e x ,所以 解 因为
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依次类推 , 可得
y
( n)
n! a n
(n) 例2. 设 y e a x , 求 y .
解:
2 ax 3 ax y a e , y a e , y a e , , ax
y
例3. 设
( n)
a e
n ax
特别有: (e x ) ( n) e x 求 解: y
第三节
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义. 若函数 y f ( x) 的导数 y f ( x) 可导, 则称
的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作 或 即
y ( y)
π π) y cos( x π ) sin( x 2 2 2
sin( x 2 π ) 2
π) y cos( x 2 π ) sin( x 3 2 2
一般地 , 类似可证:
) (sin x) ( n ) sin( x n π 2
(1 x 2 )
令 由 由 即y
(n)
2x
得 得
2
y ( 2 m) (0) 0
得 y ( 2 m 1) (0) (1) m (2m) ! y (0)
n 2m (m 0,1, 2,) (0) m m ( 1) (( 2 m , ( 2m n (0 1) ! ) !2 ym )1
d2 y d dy 或 ( ) 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
例1. 设
解:
求
y a1 2a2 x 3a3 x 2 nan x n 1 y 2 1a2 3 2a3 x n(n 1)an x n 2
(4) 利用莱布尼茨公式
a
cos
sin
b arctan ) a
(n) f (0) 存在的最高 求使 例6. 设 f ( x) 3x x x , 2 阶数
3 2
分析:
4 x3 , f ( x) 2 x3 ,
x0 x0
2 x3 0 (0) lim f 2 0 12 x , x x 0 f ( x) 3 2 4x 0 6 x , f (0) lim 0 x x 0 6 x2 0 (0) lim 又 f 24 x , 0 x x 0 f ( x) 12 x , 12 x 2 0 (0) lim f 0 x x 0 (0) 24 , f (0) 不存在 . 但是 f (0) 12 , f
x0 x0 x0 x0
二、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则
(C为常数)
n(n 1) 2! n(n 1) (n k 1) k!
规律
莱布尼茨(Leibniz) 公式
规律
例7.
2x
求
2
解: 设 u e , v x , 则
u ( k ) 2 k e 2 x ( k 1 , 2 ,, 20 ) v 2 x , v 2 ,
(cos x)
( n)
) cos( x n π 2
(n) ax 例5 . 设 y e sin bx (a , b 为常数 ) , 求 y .
解: y a e a x sin bx b e a x cos bx
e (a sin bx b cos bx)
ax
e
ax
a b sin(bx )
1 y 1 x
1 y (1 x) 2
1 1 2 1 2 , y (1) , , y 2 3 1 x (1 x) (1 x),y来自(n) (1)
n 1
(n 1)!
(1 x) n
例4. 设
求
解:
y cos x sin( x π ) 2
2 2
b ( arctan ) a
y a 2 b 2
a 2 b 2 e a x a 2 b 2 sin(bx 2 )
a ( n b) ( y
2

2
b n sin b x cos b x ) a x 2 2 2 2 ) ( (a b2 ) e sin(bx a2 a 2 n b
1) y ( 2 m (00 ) ,
内容小结
高阶导数的求法 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 如下列公式 ) (sin x) ( n ) sin( x n π 2
) (cos x) ( n) cos( x n π 2 n! 1 (n) n (1) ax (a x) n 1
v (k ) 0
y
( 20)
(k 3 ,, 20)
2
代入莱布尼茨公式 , 得
2
20 2 x
20 19 18 2 x e x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
19 2 x
例8. 设
求
1 2 1 ( 1 x ) y y , 即 解: 2 1 x 用莱布尼茨公式求 n 阶导数