上海市某重点高中２０11－2012学年度第一学期
高二数学期终答案
（满分１00分,９０分钟完成,允许使用计算器,答案一律写在答题纸上）
一、填空题:本大题共1２题,满分３６分。请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。每题填写
正确得3分,否则一律得0分。
1、 过点(23)A ，，且垂直于OA 的直线方程为___＿___＿_______。
解：一个法向量(23)n =，，所以方程为2(2)3(3)0x y -+-=，即23130x y +-=。▋
2、 直线l 的一个法向量(cos 1)n θ=，(θ∈R ），则直线ｌ倾角α的取值范围是_______。
解：tan cos [11]αθ=∈-，，所以倾角α的取值范围是3[0][)44
ππ
π，，。▋
3、 已知直线1l :(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是__＿
____＿__＿_。 解：
342(3)(5)02(3)2
k k
k k k --=--=--，所以3k =或5k =。
当3k =时，二直线分别为1l :10y +=,2l :230y -=,平行;
当5k =时,二直线分别为1l ：210x y -+=,2l :4230x y -+=，平行。▋
4、 直线l 的一个方向向量(12)d =，，则l 与0x y -=的夹角大小为___＿_＿___＿。（用反
三角函数表示）
解：
1(1
1)d =，,所以夹角θ满足cos θ=
,所以夹角为。▋
5、 已知圆Ｃ与直线0x y -=及40x y --=都相切,圆心在直线0x y +=上,则圆C 的方程为
_＿_＿_＿_＿＿__＿____＿__＿____。 解:22(1)(1)2x y -++=。▋
6、 等轴双曲线C 与椭圆22
1106
x y +=有公共的焦点,则双曲线Ｃ的方程为_____＿＿__＿＿
＿。
解:椭圆的焦点坐标为1(20)F -，，2(20)F ，。
由2
2
2
24a a +==,所以2
2a =。所以,双曲线Ｃ的方程为22
122
x y -=。▋
7、 有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2
点,水位下降了1米，桥下的水面宽_＿_______米。 解:设抛物线方程为22x py =-，其过点(22)-，,
所以1p =，22x y =-，当3y =-时,x =所以桥下的水面宽
8、 直线1l ：31y x =-绕原点逆时针旋转90的直线2l ，则1l 与2l 的交点坐标为___＿_＿_。
解：2l ：1(1)3y x =--，与31y x =-联立，解得交点为21
()55，。▋
9、 已知方程2222(2)(2)(22)340ax a y a x a y a +-+++-++=表示圆，则a =__＿_____＿＿
_。
解:令22a a =-,解得1a =-或2a =。
（1)当1a =-时，方程化为2210x y x +--=,方程表示圆；
（2)当2a =时,方程化为222350x y x y ++++=，判别式2223450+-?<,方程不表示圆。 所以1a =-。▋
10、 已知过抛物线C :22y px =（0p >)焦点F 的直线l 和y 轴正半轴交于点A ，并且l 与Ｃ在
第一象限内的交点M 恰好为A 、F 的中点，则直线的斜率k =___＿__＿＿_＿＿__。
解:22y px =的焦点为(0)2p F ，,设(0)A a ，（0a >）,所以()42p a
M ，,
将()42
p a
M ，代入22y px =，得a =，
所以直线的斜率0202
a a
k p p -=
=-=--
11、 （2００９上海市秋季高考文科第１２题)
已知1F 、2F 是椭圆C :22
221x y a b +=（0a b >>)的两个焦点，Ｐ为椭圆C 上的一点,且
120PF PF ?=。若12PF F ?的面积为9，则b =＿___＿＿__＿。
解:有121222212||||2||||18||||4PF PF a
PF PF PF PF c
?+=?
?=??+=?，可得224364c a +=,即229a c -=,故有3b =。▋
12、 已知圆O 的半径为１,PA 、ＰＢ为该圆的两条切线，A 、B 为切点，那么PA PB ?的最小值
为_＿____＿_＿____。
解:设PA PB x ==(0x >）,APO α∠=，则2APB α∠=，
所以PO =
sin α=
||||cos 2PA PB PA PB α?=??2222
2(1)
(12sin )1
x x x x α-=?-=+
令21x t +=，所以1t ≥,
所以(1)(2)2
33t t PA PB t t t --?==+--+≥当且仅当2
t t
=
,
即t =
x =
所以PA PB ?
的最小值为3-+
二、选择题：本大题共4题,满分１6分。请选择你认为最正确的答案（每小题有且只有一个）写在括号内。
每题填写正确得4分,否则得0分。
13、 （２009海南宁夏秋季高考文科第5题)
已知圆1C :22(1)(1)1x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称,则圆2C 的方程为?? ?
?
?? ??
?? (??）
（A) 22(2)(2)1x y ++-=???(B) 22(2)(2)1x y -++= (C)?22(2)(2)1x y +++=?? (D)?22(2)(2)1x y -+-=
解:设圆2C 的圆心为()a b ，,则依题意,有11
1022
111
a b b a -+?--=???-?=-?+?，解得：22a b =??=-?,
对称圆的半径不变，为1，故选(B)。▋
14、 (２010湖北省秋季高考理科第9题、文科第9题）
若直线y x b =+
与曲线3y =,则ｂ的取值范围是 ?（??) (Ａ)
[1
1-+， ?? (B ）
[11-+ (C)
[13]-? ??(D ）
[13]-
解:曲线方程可化简为22(2)(3)4x y -+-=（13y ≤≤)，即表示圆心为(23)，，半径为２的半圆。
依据数形结合，直线y x b =+与此半圆相切，即圆心(23)，到直线y x b =+距离等于2，
解得1b =+
1b =-
当直线过(03)，时，解得3b =
，故13b -≤,所以选(Ｃ)。▋
15、 给出下列3个命题：①在平面内，若动点M 到1(10)F -，、2(10)F ，两点的距离之和等于
２,则动点Ｍ的轨迹是椭圆;②在平面内，给出点1(50)F -，、2(50)F ，,若动点P 满足12||||8PF PF -=,则动点P 的轨迹是双曲线;③在平面内,若动点Q 到点(10)A ，和到直线
220x y --=的距离相等,则动点Ｑ的轨迹是抛物线。其中正确的命题有( )
（A ） 0个? ?(B)?1个 ??(Ｃ) 2个 (D) 3个
解:选（A)。▋
16、 已知直线l :y =ｋ（x ＋２)(k >０）与抛物线C ：28y x =相交于A 、B 两点，F 为Ｃ的焦点，
若||2||FA FB =,则k =?? ?
?
?? (? ) (Ａ)
1
3
? (B)
? (C)
23
?? (D)
解:设抛物线C :28y x =的准线为2x =-，直线y =k （x +２)(k >0)恒过定点(20)P -，。
如图过Ａ、Ｂ分别作A Ｍ⊥ｌ于M ,BN ⊥l 于N ,
由|F Ａ|＝2|FB ｜,则|AM |=2｜ＢN ｜，点Ｂ为AP 的中点。连结OB ,则1
||||2
OB AF =，∴|OB |=|BF ｜，
点B 的横坐标为1，故点Ｂ的坐标为(1，∴k ==，∴选（D ）。▋
三、解答题:本大题共5题,满分4８分。请在题后空处写出必要的推理计算过程。 17、 （本题满分8分)
已知直线ｌ:20x +-=与ｘ轴交于点A ;以O 为圆心,过A 的圆记为圆O 。求圆O 截l 所得弦AB 的长。
解：在20x -=中，令0y =，得(20)A ，,所以圆C 的半径2r =,?……2分 圆心O 到直线l 的距离1
d =
=。
?? ……3分
所以弦长||AB ==?????? ?
……3分
18、 (本题满分8分)
已知双曲线C 关于两条坐标轴都对称,且过点(21)P ，,直线1PA 与2PA (1A ,2A 为双曲线Ｃ的两个顶点）的斜率之积121PA PA k k ?=,求双曲线Ｃ的标准方程。
解:(1）当双曲线的焦点位于x 轴上时,设Ｃ：22
221x y a b -=，
所以1(0)A a -，，2(0)A a ，,122111
1224PA PA k k a a a ?=?==+--,
解得23a =。
?
?
?
??……２分
将23a =，(21)P ，代入双曲线方程，得
241
13b
-=,解得23b =。?……２分 所以双曲线C 的标准方程为22
133
x y -=。?? ?
?
……2分
（2）当双曲线的焦点位于y 轴上时,设Ｃ:22
221y x a b -=，
所以1(0)A a -，，2(0)A a ，,122224
1111PA PA k k a a a ?=?==+--,
解得23a =-(舍去）。?
??
??? ……2分
综上，所求双曲线C 的标准方程为22133
x y -=。▋
19、 (本题满分１0分）
过点(42)P ，作直线l 交ｘ轴于A 点、交ｙ轴于B 点，且Ｐ位于A Ｂ两点之间。 (Ⅰ）3AP PB =,求直线l 的方程；
(Ⅱ）求当AP PB ?取得最小值时直线ｌ的方程。 解:显然直线l 的斜率k 存在且0k ≠，
设l :(4)2y k x =-+,得2
(40)A k -，，(024)B k -，。?
??……２分
因为P 位于AB 两点之间，所以2
44k
-
>且242k ->，所以0k <。 2
(2)AP k =，，(44)PB k =--，。?
????
……2分
（Ⅰ)3AP PB =，所以
23(4)k =?-，所以16
k =-。 直线ｌ的方程为6160x y +-=。
?????????……３分
(Ⅱ）18(()())16AP PB k k ?=-+-≥,当1
k k -=-即1k =-时,等号成立。
所以当AP PB ?取得最小值时直线l 的方程为60x y +-=。▋? ?……3分 20、 (本题满分10分）
已知曲线C 在ｙ轴右边,Ｃ上每一点到点F (1，0)的距离减去它到ｙ轴距离的差是1。 (Ⅰ)求曲线C 的方程；
（Ⅱ)过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点Ａ关于x 轴的对称点为D 。证明:点Ｆ在直线ＢD 上;
解：(Ⅰ）根据题意知，Ｃ上每一点到点Ｆ（1,0)的距离等于它到直线1x =-的距离。 所以，曲线C 上每一点在开口向右的抛物线上， ?
?……2分
其中2p =，所以抛物线方程为24y x =。
又因为曲线C 在ｙ轴的右边,所以，曲线C 的方程为24y x =（0x >)。
……2分
(Ⅱ）设A (ｘ１，ｙ1),B (x 2,y 2）,∴D (x 1，-ｙ１)，l 的方程为1x my =-（ｍ≠0)。 将1x my =-代人24y x =,整理得2440y my -+=, ∴从而124y y m +=,124y y =。 ?? ? ?
?……2分
直线B Ｄ的方程为212221
()
()y y y y x x x x ---=
?--，
即222214
()4
y y y x y y -=
?--,? ??? ? ……２分
令y =0，得12
14
y y x ==，所以点F （1，0)在直线BD 上。▋????……2分
21、 (本题满分12分）
已知1m >,直线ｌ：202m x my --=，椭圆Ｃ：2
221x y m +=，1F ，2F 分别为椭圆Ｃ的左、
右焦点。
（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时,求直线ｌ的方程; (Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A ，Ｂ两点。 （ⅰ）求线段A Ｂ长度的最大值；
(ⅱ）12AF F ，12BF F 的重心分别为Ｇ,Ｈ。若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范围。
解:（Ⅰ)因为直线ｌ：2
02m x my --=经过22(10)F m -，，
2
2
12
m m -,得22m =,
又因为1m >，所以2m =l 的方程为210x y -=。 ??……４分 (Ⅱ）设11()A x y ，,22()B x y ，。
由222221m x my x y m
?=+????+=??,消去x 得22
2104m y my ++-=,
则由2
2
28(1)804
m m m ?=--=-+>，知28m <,
且有122
m
y y +=-，212182m y y ?=-。??
???……2分
(ⅰ)222212121212||()()(1)(()4)AB x x y y m y y y y -+-=++-22
22222111817
(1)(()4())(1)(8)()2822242
m m m m m m =+--?-=+---?……2分
所以,当272m =
时，max 9
||4
AB =。?????? ?……１分
（ⅱ）由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，可知11()33x y G ，,22()33
x y
H ，，
因为原点O 在以线段ＧH 为直径的圆内,所以0OH OG ?<，即12120x x y y +<，
所以2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++22
1(1()082m m =+-<）,? ……2分
解得24m <（符合28m <）又因为1m >，所以m 的取值范围是(12)，。▋……1分