初中数学圆的基础测试题及答案
一、选择题
1．已知线段AB 如图，
(1)以线段AB 为直径作半圆弧?AB ，点O 为圆心；
(2)过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，交?AB 于点E F 、；
(3)连接,OE OF ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )
A ．CE DF =
B ．??AE BF =
C ．60EOF ∠=?
D ． =2C
E CO
【答案】D
【解析】
【分析】 根据作图可知AC CO OD DB ===,据此对每个选项逐一判断即可.
【详解】
根据HL 可判定ECO FDO ?V V ,得CE DF =，A 正确；
∵过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，连接AE ，
CE 为OA 的中垂线，AE OE =
在半圆中，OA OE =
∴OA OE AE ==,AEO △为等边三角形，60EOF =o ∠AOE=∠FOD=∠, C 正确；
∴圆心角相等，所对应的弧长度也相等，??AE BF
=，B 正确 ∵60,90EOC =o o ∠AOE=∠, ∴=3CE CO ，D 错误
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于证明60o ∠AOE=.
2．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB=22，则?AB 的长是（ ）
A．πB．3
2
πC．2πD．
1
2
π
【答案】A
【解析】
【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【详解】连接OA、OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴????
AB BC CD DA
===，
∴∠AOB=1
4
×360°=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，
∴?AB的长为902 180
π′
=π，
故选A．
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
3．已知下列命题：
①若a＞b，则ac＞bc；
②若a=1a；
③内错角相等；
④90°的圆周角所对的弦是直径．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．
【详解】
解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；
②若a=1，则a=a是真命题，逆命题是假命题；
③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；
④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；
故选A．
点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．
【详解】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握
三角形的内心是角平分线的交点是关键．
5．如图，ABC ?是O e 的内接三角形，45A ∠=?，1BC =，把ABC ?绕圆心O 按逆时针方向旋转90?得到DEB ?，点A 的对应点为点D ，则点A ，D 之间的距离是（）
A ．1
B ．
2 C ．
3 D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】 连接AD ，构造△ADB ，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB 和△DBE 全等，从而得到AD=BE=BC=1.
【详解】
如图，连接AD ，AO ，DO
∵ABC ?绕圆心O 按逆时针方向旋转90?得到DEB ?，
∴AB=DE ，90AOD ∠=?，45CAB BDE ∠=∠=?
∴1452
ABD AOD ∠=
∠=?（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半）， 即45ABD EDB ∠=∠=?，
又∵DB=BD ，∴DAB BED ∠=∠（同弧所对应的圆周角相等），
在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB ED
DAB BED ∠=∠??=??∠=∠?
∴△ADB ≌△EBD （ASA ）,
∴AD=EB=BC=1.
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（）
A．50°B．60°C．80°D．90°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：··
=，则∠
CM DM
DBC=2∠EAD=80°．
【详解】
如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠GBC=∠ADC=50°．
∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠EAD=90°﹣50°=40°，延长AE交⊙O于点M．
∵AO⊥CD，∴··
=，∴∠DBC=2∠EAD=80°．
CM DM
故选C．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题．
7．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）
A．25cm B．45 cm C．25cm或45cm D．23cm或
43cm
【答案】C
【解析】
连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=1
2
AB=
1
2
×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=2222
54
OA AM
-=-=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=2222
4845
AM CM
+=+=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5?3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=2222
4225
AM CM
+=+=cm.
故选C.
8．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）
A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【答案】B
【解析】
【分析】
先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】
根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为
12cm，
所以圆锥的母线长=22
5+12=13，
所以这个圆锥的侧面积=1
2
×2π×5×13=65π（cm2）．
故选B．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
9．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（）
A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，
∴OA⊥CA，OB⊥BC，
又∵∠C=90°，OA=OB，
∴四边形AOBC是正方形，
∴OA=AC=4，故A，B正确；
∴?AB的长度为：904
180
π
?
=2π，故C错误；
S扇形OAB=
2
904
360
π?
=4π，故D正确．
故选C．
【点睛】
本题考查切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．
10．如图，点E 为ABC ?的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）
A ．3．5
B ．4
C ．5
D ．5．5
【答案】B
【解析】
【分析】 连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56
MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．
【详解】
连接EB 、EC ，如图，
∵点E 为△ABC 的内心，
∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，
∴∠1=∠2，
∵MN ∥BC ，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BM=ME ，
同理可得NC=NE ，
∵MN ∥BC ，
∴△AMN ∽△ABC ，
∴MN AM BC AB = ，即767MN BM -=，则BM=7-76
MN①， 同理可得CN=5-56
MN②，
①+②得MN=12-2MN，
∴MN=4．
故选：B．
【点睛】
此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
11．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【解析】
分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）?180°=540°，∴正五边形的每一个内角为
540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10．∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．
故选D．
点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
12．一个圆锥的底面半径是5，高为12，则这个圆锥的全面积是（）
A．60πB．65πC．85πD．90π
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的全面积=底面积+侧面积求出答案.
【详解】
∵圆锥的底面半径是5，高为12，
13=，
∵圆锥的侧面积=51365ππ??=，
圆锥的底面积=2525ππ?=，
∴圆锥的全面积=652590πππ+=，
故选：D.
【点睛】
此题考查圆锥的全面积，圆锥侧面母线长与底面圆的半径、圆锥的高的关系，熟记计算公式是解题的关键.
13．下列命题中哪一个是假命题（ ）
A ．8的立方根是2
B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大
C ．菱形的对角线相等且平分
D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【答案】C
【解析】
【分析】
利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A 、8的立方根是2，正确，是真命题；
B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；
C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；
D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，
故选C ．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．
14．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝68°，则∠OBC 的大小是( )
A ．22°
B ．26°
C ．32°
D ．68°
【答案】A
【解析】 试题分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍，则∠BOC=2∠A=136°，则根据三角形内角和定理可得：∠OBC+∠OCB=44°，根据OB=OC 可得：∠OBC=∠OCB=22°. 考点：圆周角的计算
15．下列命题中正确的个数是（ ）
①过三点可以确定一个圆
②直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5
③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米
④三角形的重心到三角形三边的距离相等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据圆的作法即可判断；
②先利用勾股定理求出斜边的长度，然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断；
③根据圆与圆的位置关系即可得出答案；
④根据重心的概念即可得出答案．
【详解】
①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故错误；
②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12， 2251213+= , ∴它的外接圆半径为.113652
?=，故正确；
③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米或1厘米，故错误； ④三角形的内心到三角形三边的距离相等，故错误；
所以正确的只有1个，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查直角三角形外接圆半径，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念，掌握直角三角形外接圆半径的求法，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，DA DC =，50CBE ∠=?，AOD ∠的大小为（ ）
A ．130°
B ．100°
C ．20°
D ．10°
【答案】A
【解析】
【分析】 先求出∠ABC 的大小，根据内接四边形角度关系，得到∠ADC 的大小，从而得出∠C 的大小，最后利用圆周角与圆心角的关系得∠AOD 的大小.
【详解】
∵∠CBE=50°
∴∠ABC=130°
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴∠ADC=50°
∵AD=DC
∴在△ADC 中，∠C=∠DAC=65°
∴∠AOD=2∠C=130°
故选：A
【点睛】
本题考查圆的性质，主要是内接四边形对角互补和同弧对应圆心角是圆周角2倍，解题中，我们要充分利用圆的性质进行角度转换，以便得到我们需要的角度.
17．如图，已知⊙O 的半径是4，点A,B,C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
A．8
83
3
π-B．
16
83
3
π-C．
16
43
3
π-D．
8
43
3
π-
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．
【详解】
连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为4，
OB=OA=OC=4，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD=1
2
OB=2，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：22
4223,243
AC CD
-===
∵sin∠COD=
3 CD
OC
=
∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，
∴S菱形ABCO=11
44383 22
OB AC
?=??=
∴S扇形=
2 120416
3603
π
π
??
=,
则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=16
83 3
π-.
故选B.【点睛】
考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=1
2
a?b（a、b是两条
对角线的长度）；扇形的面积=2360n r π.
18．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m 的半圆，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（ ）
A ．3m
B ．33m
C ．35m
D ．4m
【答案】C
【解析】
【分析】 【详解】 如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.
BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=
故小猫经过的最短距离是35.m
故选C.
19．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，OA=4，以OB 为直径作半圆，圆心为点C ，过点C 作OA 的平行线分别交两弧点D 、E ，则阴影部分的面积为（ ）
A ．53
π﹣3 B ．533C ．3π D 353
π 【答案】A
【解析】
连接OE.可得S 阴影=S 扇形BOE-S 扇形BCD-S △OCE.根据已知
条件易求得BC=OC=CD=2,BO=OE=4.∠BOE=60o ,CE=23,所以由扇形面积公式、 三角形面积公式进行解答即可. 【详解】 解：连接OE ，可得S 阴影=S 扇形BOE-S 扇形BCD-S △OCE ，
由已知条件可得，BC=OC=CD=2，又,BO=OE=4， ∴∠BOE=o 60，可得CE=23，
S 扇形BOE=2604360
π??8=3π， S 扇形BCD 2902==360
ππ??， S △OCE=1=223=232
??， ∴S 阴影=S 扇形BOE-S 扇形BCD-S △OCE=8--233ππ=5-233
π， 故选A.
【点睛】
本题主要考查扇形面积公式、 三角形面积公式，牢记公式并灵活运用可求得答案.
20．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=?，30A ∠=?，2BC =．将ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）
A ．302，
B ．602，
C ．360，
D ．603，
【解析】
试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot ∠AB=2BC=4，
∵△EDC 是△ABC 旋转而成，
∴BC=CD=BD=
12AB=2， ∵∠B=60°，
∴△BCD 是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE ⊥AC ，
∴DE ∥BC ，
∵BD=12
AB=2， ∴DF 是△ABC 的中位线，
∴DF=
12BC=12×2=1，CF=12AC=12
∴S 阴影=12DF×CF=12 故选C ．
考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．