2019年漳州一中、龙海一中、漳浦一中自主招生考试
数 学 试 卷
（满分：150分；考试时间：120分钟）
亲爱的同学：
欢迎你参加本次考试！请细心审题，用心思考，耐心解答．祝你成功！答题时请注意．．：请将答案或解答过程写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不得分．
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有A 、B 、C 、D 四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确答案的代号填写在答题卷中相应的表格内，答对得4分，答错、不答或答案超过一个的得零分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. “明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨
B. 数据10，9，8，7，9，8的中位数是8
C. 要了解一批圆珠笔芯的使用寿命，应采用普查的方式
D. 甲、乙两人各进行10次射击，两人射击成绩的方差分别为22
2,4,S S ==甲乙则甲的射击成绩更稳定
【答案】D 【解析】 【分析】
根据概率的意义，众数、中位数的定义，以及全面调查与抽样调查的选择，方差的意义对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A 、“明天降雨的概率是50%”表示明天降雨和不降雨的可能性相等，不表示半天都在降雨，故A 选项错误；
B 、数据10，9，8，7，9，8的中位数是8.5，故B 选项错误；
C 、要了解一批圆珠笔芯的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故C 选项错误；
D 、∵22
2,4S S ==甲乙，
∴22
S S <甲乙，
∴甲的射击成绩更稳定正确，故D 选项正确． 故选：D ．
【点睛】本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念；用到的知识点为：不太容易做到的事要采用抽样调查；反映数据波动情况的量有极差、方差和标准差等．
2. 函数的自变量x满足1
2
3
x
≤≤时，函数值y满足
2
4
3
y
≤≤，则这个函数可以是( )
A.
4
3
y
x
= B.
3
4
y
x
= C.
3
2
y
x
= D.
2
3
y
x
=
【答案】A 【解析】【分析】
把
1
3
x=代入四个选项中的解析式可得y的值，再把x=2代入解析式可得y的值，然后可得答案．
【详解】解：A、在
4
3
y
x
=中，当
1
3
x=时，4
y=；当2
x=时，
2
3
y=；符合题意，故A正确；
B、在
3
4
y
x
=中，当
1
3
x=时，
9
4
y=；当2
x=时，
3
8
y=；不符合题意，故B错误；
C、在
3
2
y
x
=中，当
1
3
x=时，
9
2
y=；当2
x=时，
1
2
y=；不符合题意，故C错误；
D、在
2
3
y
x
=中，当
1
3
x=时，2
y=；当2
x=时，
1
3
y=；不符合题意，故D错误；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象的性质，关键是正确理解题意，根据自变量的值求出对应的函数值．
3. 顺次连接直角梯形四边中点所得的四边形一定
．．是( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，连接BD，根据三角形的中位线定理可推出EF∥GH，EF＝GH，进一步即可根据平行四边形的判定推出答案．
【详解】解：如图，四边形ABCD是直角梯形，连接BD，
∵E为AD中点，F为AB中点，
∴EF＝1
2
BD，EF∥BD，
同理GH＝1
2
BD，GH∥BD，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH 是平行四边形． 故选：A ．
【点睛】本题考查了直角梯形的概念、三角形的中位线和平行四边形的判定等知识，连接BD 、熟练掌握三角形的中位线和平行四边形的判定是解此题的关键． 4. 对于实数a 、b ，给出以下三个判断： ①若a b =，则
a b =
②若0a b +=，则 22()a b -=． ③若a b >，则 a b >． 其中正确的判断的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C 【解析】 【分析】
根据二次根式有意义的条件举出反例即可对①进行判断；
由0a b +=可得a 、b 互为相反数，再根据乘方的意义即可对②进行判断； 根据绝对值的性质举出反例即可对③进行判断，进而可得答案． 【详解】解：当a 、b 是负数时，负数没有算术平方根，所以①错误； 由0a b +=可得=-b a ，所以2
2
()a b -=，所以②正确； 当a =﹣3，b =﹣2时，a b >，但a ＜b ，所以③错误． 故选：C ．
【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值和相反数等实数的相关知识，属于基本题型，熟练掌握实数的基本知识是解题关键．
5. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积是（ ）.
A. 40π
B. 24π
C. 20 π
D. 12π
【答案】C 【解析】 【分析】
先利用三视图得到底面圆的半径为4cm ，圆锥的高为3cm ，再根据勾股定理计算出母线长为5cm ，然后根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为8cm ，即底面圆的半径为4cm ，圆锥的高为3cm ，所以圆锥的母线长=22435，所以这个圆锥的侧面积=
1
2
×2π×4×5=20π(cm2). 故选C.
6. 如下图，先把长为8cm 的矩形按虚线对折，然后按虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为26cm ，则打开后梯形的面积是( )
A. 25cm
B. 29cm
C. 210cm
D. 220cm
【答案】C 【解析】 【分析】
根据剪去的三角形的面积可得矩形的宽，得到梯形上底，下底以及高的长度，即可求得． 【详解】解：∵剪掉部分的面积为6cm 2， ∴矩形的宽为2cm ，
易得梯形的下底为矩形的长8cm ，上底为(8÷2?3)×2＝2cm ， ∴梯形面积为：1
(28)22
+?=210cm ， 故选：C
【点睛】此题主要考查了学生对等腰梯形的性质及翻折掌握情况，解决本题的关键是根据折叠的性质得到等腰梯形的各边长．
7. 已知过点(1,4)-的直线(0)y ax b a =+≠不经过第一象限．设3t a b =-，则t 的取值范围是( ) A. 124t -≤< B. 85t -≤<
C. 104t -≤<
D. 123t -≤<
【答案】A 【解析】 【分析】
利用函数及方程得到a=44t -，b=1
34
t --，根据一次函数的性质得到a<0，b<0，构建不等式组求出t 的取值范围.
【详解】将点(1,4)-代入(0)y ax b a =+≠中，得a+b=-4， ∴a=-4-b ， ∵3t a b =-， ∴a+4=t-3a ，
得a=
4
4
t -， ∴b=a+4=1
34
t --，
∵直线(0)y ax b a =+≠不经过第一象限． ∴a<0，b<0，
∴4
04
1304
t t -?
解得124t -≤<， 故选：A.
【点睛】此题考查一次函数图象的点坐标，利用一次函数经过的象限确定参数的符号，解不等式组，正确理解一次函数的性质是解题的关键.
8. 已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，
给出下列四个结论：①24ac b <；②320b c +<；③42a b c <-；④()(1)m am b a b m +<-≠-．其中正确结论的个数是( )
A .
1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二次函数图象与函数系数的联系逐一判断即可． 【详解】①抛物线与x 轴有两个交点， ∴?＞0，
∴24ac b <，故①正确； ②由题意可知：2b
a
-=﹣1， ∴2a=b ， 当x=1时，y>0， ∴a+b+c>0， ∴
2
b
+b+c>0， ∴3b+2c>0，故②错误； ③由于对称轴为x=﹣1，
∴（0，0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣2，0）， ∵当x=0时，y<0 ∴当x=﹣2时，y<0， ∴4a ﹣2b+c<0， ∴42a b c <- ∴故③正确；
④由于该抛物线的顶点横坐标为﹣1，此时y=a ﹣b+c 是最小值， ∴am 2+bm+c>a ﹣b+c （m≠﹣1），
∴m （am+b ）>a ﹣b （m≠﹣1），故④错误； 故选B ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状,对称轴,特殊点的关系．
9. 方程2410x x -=+的根可视为函数4y x =+的图象与函数1
y x
=
的图象交点的横坐标，则方程3310x x +-=的实根0x 所在的范围是( )
A.
01132
x << B.
01
12
x << C. 0104
x <<
D.
01143
x << 【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据题意推断方程331=0x x +-的实根是函数2
3y x =+与1
y x
=
的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程331=0x x +-的实根x 所在范围． 【详解】解：331=0x x +-的实根是函数2
3y x =+与1
y x
=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当0x =时，2
33y x =+=，1
y x
=
无意义，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当14
x =
时，2
113331616y x =+=
+=，14y x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当13x =
时，2
113399y x =+=+=，1
3y x ，此时抛物线
图象在反比例函数上方；
当12x =
时，2
1133344
y x =+=+=，12y x
，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当1x =时，23134y x =+=+=，1
1y x
==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 故选D ．
【点睛】此题考查了函数与方程关系，类比学习能力，从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
10. 设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C ∠∠∠的对边，且满足22b a ac -=，则A ∠与B 的关系是( ) A. 2B A ∠>∠ B. 2B A ∠=∠
C. 2B A ∠<∠
D. 不确定
【答案】B 【解析】 【分析】
在CB 延长线上取BD=BA=c ，则∠D=∠BAD ，由已知得到
a b b a c
=+，然后得到△ABC ∽△DAC ，根据相似三角形的性质，∠D=∠BAC ，通过外角性质和等量代换，即可得到答案． 【详解】解：如图，在CB 延长线上取BD=BA=c ，则∠D=∠BAD ，
∵22b a ac -=，
∴2
2
()b a ac a a c =++=， ∴
a b b a c
=+， ∵BC a =，AC b =，CD a c =+， ∴
BC AC
AC CD
=， ∵C C ∠=∠， ∴△ABC ∽△DAC ，
∴∠D=∠BAC ， ∵∠D=∠BAD ， ∴∠ABC=2∠D ， ∴∠ABC=2∠BAC ， 即2B A ∠=∠； 故选：B ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是正确得到边的比例关系，证明△ABC ∽△DAC ．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分．请将正确的答案直接填写在答题卷中相应的横线上）
11. 计算：1
|4sin 60|3(cos30)π--?-??=________．
【答案】π- 【解析】 【分析】
由特殊角的三角函数值进行计算，然后计算绝对值和负整数指数幂，再合并同类型，即可得到答案． 【详解】解：1|4sin 60|3(cos30)π--?-??
1|4|3)22
π-=-?
-?
|33
π=--?
π=-π=-；
故答案为：π-．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的加减运算，负整数指数幂，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 12. 已知关于x 的方程
341
x m
x +=-的解是正数，则m 的取值范围为__________． 【答案】4m >-且3m ≠- 【解析】 分析】
先解关于x 的分式方程，求得x 值，然后依据“解是正数”得出关于m 的不等式，解之即可. 【详解】原方程整理得：34(1)x m x +=-， 解得：4x m =+， ∵x ﹥0， ∴m+4﹥0， ∴m ﹥-4， 又∵x-1≠0, ∴m+4-1≠0, ∴m ≠-3，
∴m 的取值范围为4m >-且3m ≠-， 故答案为：4m >-且3m ≠-.
【点睛】本题考查了分式方程的解，正确理解分式方程的解的定义是解答的关键. 13. 先找规律，再确定m 的值：111111111111,,,1223421256330+
-=+-=+-=1111
,,78456
+-=
1111
2015201620152016
m +-=?，则m =______． 【答案】1008 【解析】 【分析】
通过观察找出规律，即每个算式第一个加数的分母依次是1,3,5,7，…，第二个加上分母依次为2,4,6,8，…每个算式的减数的分母依次是1,2,3,4，…即是第几个算式，问题得解．
【详解】解：通过观察找出规律，即每个算式第一个加数的分母依次是1,3,5,7，…，第二个加上分母依次为2,4,6,8，…每个算式的减数的分母依次是1,2,3,4，…即是第几个算式， ∴2m -1=2015， ∴m =1008． 故答案为：1008
【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，观察前几个算式找到规律是解题的关键．
14. 如图，已知1145,17,AOB OO O ∠==半径为8，点2O 在射线OB 上运动，且2O 始终与OA 相切，当2O 和
1O 相切时，2O 的半径等于_____．
【答案】5或45 【解析】 【分析】
设2O 的半径为x ，2O 与OA 相切于点M ，分两种情况：当
1O 与2O 在2O 左侧相切时，当1O 与
2O 在2O 右侧相切时，利用勾股定理求出x.
【详解】设2O 的半径为x ，2O 与OA 相切于点M ， 当
1O 与2O 在2O 左侧相切时，如图1，连接2O M ，则∠2O M 1O =∠2O MO=90°，
∵45AOB ∠=，
∴∠O 2O M=45AOB ∠=， ∴O 2O =OM=x ， ∴M 1O =O 1O -OM=17-x ，
∵222
1212MO O M O O +=，128O O x =+ ，
∴222
(17)(8)x x x -+=+， 解得x 1=5，x 2=45（舍去）， 当
1O 与2O 在2O 右侧相切时，如图2，连接2O M ，则∠2O MO=90°，
∵45AOB ∠=，
∴∠O 2O M=45AOB ∠=， ∴2O M=OM=x ， ∴M 1O =OM-O 1O =x-17，
∵222
1212MO O M O O +=，128O O x =+ ，
∴222
(17)(8)x x x -+=+， 解得x 1=5（舍去），x 2=45， ∴2O 的半径等于5或45，
故答案为：5或45.
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，两圆相切的性质，勾股定理，等腰三角形等角对等边的性质，正确掌握切线的性质定理及两圆相切的性质是解题的关键.
15. 设12,x x 是方程220150x x --=的两实数根，则3
1220162015x x +-=_________．
【答案】2016 【解析】 【分析】
先将1x 代入方程得到2112015x x =+，推出3
1120162015x x =+，将其代入所求代数式中得
31220162015x x +-=122016()x x +，根据根与系数关系式求得121x x =+，即可得到答案.
【详解】∵12,x x 是方程220150x x --=的两实数根，
∴2
1120150x x --=, ∴2
112015x x =+,
∴32
11111120152015201520162015x x x x x x =+=++=+,
∴3
1220162015x x +-=121220162015201620152016()x x x x ++-=+,
∵12,x x 是方程220150x x --=的两实数根， ∴121x x =+,
∴3
1220162015x x +-=2016，
故答案为：2016.
【点睛】此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出
31220162015x x +-=122016()x x +是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处
.
16. 在ABC ?中，4
45,tanC 3
B ∠==，8AB =，则该三角形的内切圆半径为_________． 【答案】322- 【解析】 【
分析】
根据4
45,tanC 3
B ∠==
判断三角形为锐角三角形，求出各边长，根据内接圆公式即可算出. 【详解】解：如图，过A 作AD 垂直BC 于D ，
∵4tan =1=tan 453
C ?＞
，45B ∠=?， ∴A ∠?＜90，三角形ABC 为锐角三角形， ∴在Rt △ADB 中，AB=8，AD=BD ， ∴AD=BD=2
在Rt △ACD 中，4
tan 3
C =， ∴CD=
32tan AD
C
=AC=52 ∴BC=CD+BD=2，
∴S △ABC =
11
42722822AD BC ?=?=， ∵S △ABC =1
()2r AB AC BC ++，
∴1
(87252)282
r +=， 解得：r=322， 故答案为：322.
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，需要熟练掌握内切圆的性质以及求内切圆半径的公式.
17. 定义一种新运算3(,)2x y F x y x y +=
-(其中,x y 为实数)，例如：30111
(0,1)0122
F ?+?=
=--?．若关于m 的不等式组()(
)2,332,1F m m F m m t ?-≥?
?
--
【答案】
27
172
t <≤ 【解析】 【分析】
根据新定义的运算方法，求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出t 的范围． 【详解】解：∵3(,)2x y
F x y x y
+=
-， ∴32373
(2,3)322(3)6
m m m F m m m m ?+---=
=≥-?-①，
()()()
32171
2,12212
m m m F m m t m m ?-+--+--=
=
<--?--②， 由不等式①，得：3m ≥， 由不等式②，得：21
7
t m +<， ∴21
37
t m +≤<
∵m 恰好有2个整数解， ∴21
457
t +<
≤， 解得：
27
172
t <≤； 故答案为：
27
172
t <≤． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，新定义的混合运算，能求出m 的取值范围是解此题的关键． 18. 已知ABC ?的三条边长分别为6,8,12，
在ABC ?所在平面内画一条直线，将ABC ?分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画_______ 条． 【答案】7． 【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质分别利用AB 、AC 为底、为腰画出图形和AB 、AC 不为底和腰画出图形，然后统计即可．
【详解】解：如图：当AB 为底时，BC 1=AC 1，即能画出等腰三角形； 当AB 为腰时，AB=BC 3，AB=BC 5，AB=BC 6，即能画出等腰三角形； 当以AC 为底时，AC 4=CC 4，即能画出等腰三角形； 当以AC 为腰时，AC=CC 2，即能画出等腰三角形；
当AB 、AC 不为底和腰时，有BC 7=CC 7，即能画出等腰三角形． 故答案为7．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，掌握根据图形分类讨论是解答本题的关键．.
三、解答题（本大题共有6小题，共78分．其中第19题8分，第20、21题各12分，第22题14分，第23、24题各16分．请将解答过程写在答题卷的相应位置上）
19. 先化简，再求值：22
11144a a a a a -??-? ?--+??
，其中23a =- 【答案】
2a a -，33
3
【解析】 【分析】
先根据分式的混合运算法则化简原式，再把分母有理化后a 的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：原式()()21212
2a a a a
a a a --==---，
当2323
a =
=+-
原式33233
32323
==
+-． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，属于基础题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20. 袋中有四张卡片，其中两张红色卡片12,a a ，标号分别为1,2；两张蓝色卡片12,b b ，标号分别为1,2． （1）从以上四张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
（2）向袋中再放入一张绿色卡片0c ，标号记为0，从这五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率． 【答案】（1）1
2；（2）710
【解析】 【分析】
(1)列举所有可能的情况，确定这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的结果有111221,,a b a b a b 共3种，即可利用公式求出概率；
(2) 列举所有可能的情况，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的结果有
11122101020102,,,,,,a b a b a b c a c a c b c b 共7种，利用公式求出概率.
【详解】解：（1）从装有四张卡片的袋中任取两张的所有结果有： 121112212212,,,,,a a a b a b a b a b b b 共6种，且每种结果出现的可能性都相同，
其中这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的结果有111221,,a b a b a b 共3种，
∴所求的概率为
31
62
= ； (2)
向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片0c ，从这五张卡片中任取两张的所有结果有：
12111221221201020102,,,,,,,,,a a a b a b a b a b b b c a c a c b c b 共10种，
其中这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的结果有11122101020102,,,,,,a b a b a b c a c a c b c b 共7种，
∴所求的概率为
710
. 【点睛】此题考查列举法求事件的概率，正确理解题意，列举所有可能的情况，解答此类问题中需注意该事件是属于放回事件还是不放回事件. 21. 先阅读材料，再解答问题：
已知点
00(,)P x y 和直线y kx b =+，则点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式d =计算．例
如：求点(2,1)P -到直线23y x =+的距离． 解：由直线23y x =+可知：2,3k b ==．
所以点(2,1)P -到直线23y x =+
的距离为d =
=
5=
求：（1）已知直线21y x =+与25y x =-平行，求这两条平行线之间的距离； （2）已知直线4
43
y x =-
-分别交,x y 轴于,A B 两点，C 是以(2,2)C 为圆心，2为半径的圆，P 为C 上的动点，试求PAB ?面积的最大值． 【答案】（1
（2）18 【解析】 【分析】
（1）在直线21y x =+上任取一点(0,1)P ，由直线21y x =+与25y x =-平行，则两直线间的距离即为点P 到25y x =-的距离；再根据题干所给距离公式解答即可；
（2）分别令x=0、y=0求得对应的y 和x ，进而确定点A 、B 的坐标和AB 的长度；设圆心(2,2)C 到直线
443
y x =--即4
403x y ---=的距离为d ，C 的半经为R ，然后根据题干所给距离公式求得半径R ，
然后再根据直线与圆的位置关系列出不等式，求得点P 到直线4
43
y x =--的距离的最大值，最后运用圆
的面积公式求解即可．
【详解】解：（1）在直线21y x =+上任取一点(0,1)P ， 直线21y x =+与25y x =-平行，
∴这两条平行线之间的距离等于点(0,1)P 到直线25y x =-的距离．
直线25y x =-可变形为250x y --=，其中2,5k b ==-．
∴点(0,1)P 到直线25y x =-
的距离d ==
=
∴
； （2）令0x =得4y =-；令0y =得3x =-
∴(0,4)B -，(3,0)A -．5AB =
设圆心(2,2)C 到直线443
y x =-
-即4
403x y ---=的距离为d ，C 的半经为R
∴2
4
224
263
541()
3
d -?--==+-，即：2R = 又∵
C 上任意点P 到直线443y x =--的距离h≤2636
255d R +=+=，
∴
C 上任意点P 到直线443y x =--的距离的最大值h max =36
5
d R +=
所以PAB ?的面积的最大值为：
11126
()5()5(2)182225
AB d R d R ?+=??+=??+=． 【点睛】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式，直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、平行线的性质等知识，弄清题意，明确所给“点到直线的距离公式”的内涵是解答本题的关键． 22. 如图，已知AB 为
O 的直径，P 为AB 延长线上的动点，过点P 作O 的切线PC ，C 为切点， M
为AC 上的动点，连接PM 交BC 于点E ．
（1）当PM 平分APC ∠时，求证：45CMP ∠=； （2）当M 是AC 的中点时，求证：
PB BE
PA CE
=； （3）当2PB OB ==，且ABC ?的周长被PM 平分时，设CM x =，试求2x 的值．
【答案】（1）45°；（2）详见解析；（3）333+【解析】 【分析】
（1）连接OC ．根据切线定义可得：90COP OPC ∠+∠=，由角平分线的性质可得：1
2
MPA OPC ∠=
∠，
再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得：1
2
A COP ∠=
∠，根据角的和差即可得出结论； （2）过B 作//BF AC 交PM 于F ．由//BF AC ，得到,PBF PAM BEF CEM △∽△△∽△，由相似三角形的性质可得：
,PB BF BE BF
PA AM CE CM
==．根据中点的定义及等量代换即可得出结论； （3）设CM x =，则22CM x =．由余弦的定义求出∠COP =60°，从而得到△OBC 为等边三角形，进而求出BC 、AC 的长，得到△ABC 的周长，根据ABC ?的周长被PM 平分，表示出CE ，BE ，AM ，由（2）知，
,PB BF BE BF
PA AM CE CM
==，从而求出2x ． 【详解】（1）连接OC ．
PC 切O 于C ，90o OCP ∴∠=，
∴90COP OPC ∠+∠=． ∵PM 平分APC ∠，
1
2
MPA OPC ∴∠=∠．
OA OC =，A OCA ∴∠=∠．
COP A ACO ∠=∠+∠，1
2
A COP ∴∠=∠，
11
()904522
o CMP A MPA COP OPC ∴∠=∠+∠=∠+∠=?=．
（2）过B 作//BF AC 交PM 于F ．
//BF AC ，,PBF PAM BEF CEM ∴
△∽△△∽△， ,PB BF BE BF
PA AM CE CM
∴
==．
M 为AC 的中点，AM CM ∴=，PB BE
PA CE
∴
=， （3）设CM x =，则22CM x =．
,90PB OB OC OCP ==∠=，
1
cos 2
OC COP PO ∴∠=
=，60COP ∴∠=， OBC ∴?为等边三角形，
2,BC OB AC ∴===
6ABC C ?∴=+
ABC ?的周长被PM 平分，3CM CE ∴+=，即3CE x =+，
1BE BC CE x =-=-AM x =，
由（2）知，
,PB BF BE BF
PA AM CE CM
==，
PB AM BF PA ?∴=
==
BE CM BF CE ?=
=
，
即
3x =
，
23x ∴=+23CM =+
【点睛】本题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质．用含x 的式子表示出CE 、BE 、AM 的长是解答第（3）问的关键．
23. 如图，等边三角形OAB 的边长为2
(0)y ax a =>上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过原点O 的直线y kx =与直线1
=-y x k
分别交抛物线2y ax =于点C 、D ， ①当1
2
k =
时，试求COD ?的面积； ②试证明：不论实数k 取何值，直线CD 总是经过一定点．