§5.1 等价关系与集合的划分
本节只做简单介绍，考试不考此部分，在以后抽象代数 中还会讲到。
§5.2 矩阵的相抵（也叫等价）
第一章§1已经证明，任何一个矩阵A
J 。如果再对J
那么能变成什么样的最简单的矩阵？看例子：
13213213212101101124601010000A ---?????? ? ? ?=--→-→- ? ? ? ? ? ?--??????
10101100
0?? ?→- ?
? ?
?
?
（以上行变换）； 再经过列变换100010000A ?? ?→ ?
???
。
最后这个矩阵非常简单，把它写成分块矩阵的形式就是：
2
00
0I ?? ??
?
。 任何一个矩阵经过初等行、列变换是否都可以化成
这种简单形呢？
定义1 数域K 上的矩阵A 经过一系列初等行变换和初等 列变换变成矩阵B ，则称A 与B 是相抵的或等价的，记作
A
B 相抵
，或A
B 等价
。
矩阵的相抵关系满足 1°反身性：A
A 相抵
, 即A 与自己相抵； 2°对称性：若A B 相抵，则B A 相抵
;
3°传递性：若A B 相抵
，B
C 相抵
, 则A C 相抵
.
因此，矩阵的相抵关系是一种等价关系。
事实 1 ?A 经过初等行变换和初等列变换变成矩阵B
?存在K 上的s 阶初等矩阵12,,
,t P P P 与n 阶初等
矩阵12,,,m Q Q Q , 使得
2112
t
m P P P AQ Q Q B =
（1）
定理1 设数域K 上的s n ?矩阵A 的秩为r 。如果0r >,
则A 相抵于下述形式的矩阵
00
0r
I ??
???
, （2）
称矩阵（2）为A的相抵标准形。
证明 如果0r >, 则A 经过一系列初等行变换化成的 简化行阶梯形矩阵J 有r 个非零行：
121000010000010000000000000
0n n rn c c c J ?? ? ? ? ? ?=
? ? ? ? ? ???
再经过适当的两列互换，可以变成下述形式：
11121211100001000
0010
00000000
0r n r n r r rn c c c c J c c +++?? ? ? ? ?= ?
? ? ? ??
?
，，，。 （3） 把1J 的第1列的1,11,,,r n c c +--倍分别加到第1,,r n +列上；接着 把1J 的第2列的2,12,,
,r n c c +--倍分别加到第1,,r n +列上; …，
最后把1J 的第r 列的,1,,,r r r n c c +--倍分别加到第1,,r n +列上，
便得到下述形式的矩阵：
00
0r
I ??
???。
因此，A 相抵于这个矩阵。 如果0r =，则0A =，从而0A
相抵
。
定理2 数域K 上两个s n ?的矩阵A 与B 相抵当且仅当它
们的秩相等。
证明 必要性。设A 与B 相抵，则A 经过初等行变换和初 等列变换变成矩阵B 。由于初等行变换和初等列变换不改 变矩阵的秩，所以A 与B 的秩相等。 充分性。设()()0rank rank A B r ==>，则 000r I A ?? ???相抵
， 000r I B ??
???
相抵。 从而A B 相抵
。如果0r =，则0A B ==， A 与B 相抵也相抵。
注：
它显然含有无穷多个矩阵。但由定理2，可以按矩阵的秩 把它们分成有限多个类：凡是秩相同的矩阵彼此相抵，把 它们分在同一类，称为一个相抵类，秩不相同的矩阵分在 不同的类，每一个矩阵都属于某个相抵类。由于
0min{,}r s n ≤≤，这样一共有1min{,}s n +个相抵类。
当s n =时，一共有1n +个相抵类。
推论5 设数域K 上的s n ?矩阵A 的秩为0r >，则存在K 上的s 阶可逆矩阵P 与n 阶可逆矩阵Q , 使得
00
0r
I A P Q ??
= ??
?
。 （2）
应用举例：P163第3,4题
§3 广义逆矩阵
广义逆矩阵是前面一般逆矩阵的推广：一般逆矩阵要求 矩阵是方阵，且行列式不能为0，去掉这两个条件之后的 矩阵的逆矩阵就是所谓的广义逆矩阵。但是几乎所有的 高等代数教材都没有此部分，它超出了高等代数的内容， 所以我们不打算讲，也不考试。
§4 矩阵的相似
设A 是方阵，怎么求A 的幂m A ？如果有可逆矩阵P ，使 得1P AP D -=，并且m D 容易计算，则
11111()()()()m m m A PDP PDP PDP PDP PD P -----===， 于是m A 也就容易计算了。
为了寻找较简单的矩阵D （m D 容易计算），就需要研究 形如1P AP -的矩阵，并寻找适当的逆矩阵P ，使得1P AP -最 简单。为此引入
1．矩阵相似的定义：设A 与B 都是数域K 上的n 阶矩阵， 如果存在数域K 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得
1P AP B -=
则称A 与B 相似，记作A B 。
例如，设
1214A ??= ?-??，2111P ??= ???，2003D ??
= ???
，
则
1
P AP D AP PD -=?=，
即A 与D 相似。
由定义容易得出，矩阵的相抵关系也是一种等价关系。 1°反身性：A A , 即A 与自己相似； 2°对称性：若A B ，则B A ; 3°传递性：若A B ，B C , 则A C .
命题1 如果111P A P B -=，122P A P B -=，则 11212()P A A P B B -+=+， 11212()P A A P B B -=，
111m m P A P B -=。
相似的矩阵有许多共同的性质：
性质1°相似的矩阵有相同的行列式。
证明 设A B ，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=。
从而111||||||||||||||||||B P AP P A P P A P A ---====。
性质2°相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当
它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。
证明 由性质1°即得结论的前半部分。
现在设A B ，且A 可逆。则存在可逆矩阵P ，使得
1P AP B -=。从而11111
()B P AP P A P -----==，因此1
1A B --。
性质3° 相似的矩阵有相同的秩。
证明 设A B ，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=。从而
A 与
B 相抵，因此A 与B 有相同的秩。
n 阶矩阵A 的主对角线上的元素之和称为
A 的迹（trace ），记作()tr A 。即11221()tr n
nn ii i A a a a a ==++
+=∑。
矩阵的迹具有下列性质：
()()()tr tr tr A B A B +=+； （5） ()()tr tr kA k A =； （6）
()()tr tr AB BA =。 （7）
（5）（6）由定义很容易验证。（7）的证明如下： 设(),()ij ij A a B b ==，则 1
1
1
()()()tr n
n
n
ii ik ki i i k AB AB a b =====∑∑∑，
1
1
1
1
1
()()()()tr n n n n n
kk ki ik ik ki k k i i k BA BA b a a b ========∑∑∑∑∑，
因此，()()tr tr AB BA =。
性质4° 相似的矩阵有相同的迹。
证明 设A B ，则有可逆矩阵P ，使得1P AP B -=。于是 111()()(())(())()tr tr tr tr tr B P AP P AP AP P A ---====。
本节开头指出，如果A 能相似于一个比较简单的矩阵D ， 譬如说对角矩阵D ，则m A 就容易计算了。是不是任何一个 方阵都能相似于一个对角矩阵？（答案是否定的）。 当能够相似于对角矩阵时，如何求对角矩阵D 和可逆矩 阵P ？
数域K 上的n 阶矩阵A 相似于对角矩阵12{,,,}diag n D λλλ= ?存在数域K 上的n 阶可逆矩阵12(,,,)n P ααα=，使得
1P AP D -=，即AP PD =，即 1212(,,,)(,,
,)n n A D αααααα=，即
121122(,,
,)(,,
,)n n n A A A αααλαλαλα=
?n K
111A αλα=，222A αλα=，，n n n A αλα=。
总结成下面的定理就是
定理2 数域K 上的n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充分必
要条件是：n K 中存在n 个线性无关的向量12,,,n ααα， 以及K 中有n 个数12,,,n λλλ（可以相同），使得
111A αλα=，222A αλα=，
，n n n A αλα=。 （8）
这时，令12(,,,)n P ααα=，则112{,,
,}diag n P AP λλλ-=。
n 阶矩阵A 能够和一个对 角矩阵D 相似，则称A 可对角化，把D 叫做A 的相似标准形。
§5 矩阵的特征值与特征向量
上一节最后指出, 对于一个n 阶矩阵A ，能不能找到一个
n 阶可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵，关键在于能不能
找到n 个线性无关的向量12,,,n ααα，满足 111A αλα=，222A αλα=，，n n n A αλα=。
由此抽象出特征值与特征向量的概念。
定义1 设A 是数域K 上的n 阶矩阵，如果n K 中有非零向量
α，使得
0A αλα=，且K α∈， （1）
向量。 例如，设