福州市中考数学试题含
答案
YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】
二O一四年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试
数学试卷
（全卷共4页，三大题，22小题，满分150分；考试时间120分钟）
友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无
效。
毕业学校姓名考生号
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选
项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．?5的相反数是
A．?5 B．5 C．1
5 D．?1
5
【答案】B
2．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记者数法表示为
A．11?104 B．?105 C．?104 D．?106
【答案】B
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是
A．三棱柱 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥
【答案】D
4．下列计算正确的是
A．x4·x4?x16 B．(a3)2?a5 C．(ab2)3?ab6 D．a?2a?3a 【答案】D
5．若7名学生的体重（单位：kg ）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是
A ．44
B ．45
C ．46
D ．47 【答案】C
6．下列命题中，假命题是
A ．对顶角相等
B ．三角形两边的和小于第三边
C ．菱形的四条边都相等
D ．多边形的外角和等于360? 【答案】B
7．若(m ?1)2? 2n +?0，则m ?n 的值是
A ．?1
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】A
8．某工厂现在平均每天比原计算多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是 A ．
60045050x x =+ B ．600450
50x x =
- C ．
60045050x x =+ D ．600450
50
x x =
- 【答案】A
9．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为
A ．45?
B ．55?
C ．60?
D ．75?
【答案】C
10．如图，已知直线y??x?2分别与x轴， y轴交于A，B两点，与双曲线y?k
x 交于E，F两点，若AB?2EF，则k的值是
A．?1 B．1 C．1
2 D．3
4
【答案】D
二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）
11．分解因式：ma?mb? .
【答案】m(a?b)
12．若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是 .
【答案】1
5
13212?1）? .
【答案】1
14．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD?6，BE?2，则□ABCD的周长是 .
【答案】20
15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ?90?，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，
延长BC 到点F ，使CF ?12
BC .若AB ?10，则EF 的长是 .
【答案】5
三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑） 16．（每小题7分，共14分）
（19?1
2014?? ???
?|?1|.
【答案】解：原式?3?1?1?5.
（2）先化简，再求值：(x ?2)2?x (2?x )，其中x ?13
.
【答案】解：原式?x 2?4x ?4?2x ?x 2 ?6x ?4. 当x ?13
时， 原式?6?13?4?6.
17．（每小题7分，共14分）
（1）如图，点E ，F 在BC 上，BE ?CF ，AB ?DC ，∠B ?∠C .求证：∠A ?∠D .
【答案】证明：∵BE ?CF ， ∴BE ?EF ?CF ?EF 即BF ?CE .
又∵AB ?DC ，∠B ?∠C ， ∴△ABF ≌△DCE .
∴∠A ?∠E .
（2）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上.
①sin B 的值是 ；
②画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1（A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1相对
应）.连接AA 1，BB 1，并计算梯形AA 1B 1B 的面积.
【答案】①35
； ②如图所示.
由轴对称的性质可得，AA 1?2，BB 1?8，高是4. ∴1
1
AA B B S 梯形 ?12
(AA 1?BB 1)?4?20.
18．（满分12分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分.规定：85≤x≤100为A级，75≤x<85为B级，60≤x<75为C级，x<60为D 级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，a? %；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为度；
（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
【答案】解：（1）50，24；
（2）如图所示；
（3）72；
?160人.
（4）该校D级学生有：2000?4
50
19．（满分12分）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品共用了160元.
（1）求A，B两种商品每件多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
【答案】解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元.
依题意，得
290 32160.
x y
x y
+=
?
?
+=
?
，
解得
20
50. x
y
=
?
?
=
?
，
答：A商口每件20元，B商品每件50元.
（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品(10?a)件.
依题意，得
2050(10)300 2050(10)350.
a a
a a
+-≥
?
?
+-≤
?
，
解得5≤a≤62
3
.
根据题意，a的值应为整数，所以a?5或a?6.
方案一：当a?5时，购买费用为20?5?50?(10?5)?350元；
方案二：当a?6时，购买费用为20?6?50?(10?6)?320元.
∵350>320，
∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低.
答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件.其中方案二费用最低.
20．（满分11分）如图，在△ABC中，∠B?45?，∠ACB?60?，AB?2D 为BA延长线上的一点，且∠D?∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆.
（1）求BC 的长； （2）求⊙O 的半径.
【答案】解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E . ∴∠AEB ?∠AEC ?90?. 在Rt △ABE 中，∵sin B ?
AE
AB
， ∴AB ?AB ·sin B ?32·sin45?? 32·2
2
?3. ∵∠B ?45?， ∴∠BAE ?45?. ∴BE ?AE ?3.
在Rt △ACE 中，∵tan ∠ACB ?AE
EC
， ∴EC ?
33tan tan 603
AE ACB ===∠?.
∴BC ?BE ?EC ?3?3.
（2）由（1）得，在Rt △ACE 中，∵∠EAC ?30?，EC 3 ∴AC ?3解法一：连接AO 并延长交⊙O 于M ，连接CM . ∵AM 为直径， ∴∠ACM ?90?.
在Rt △ACM 中，∵∠M ?∠D ?∠ACB ?60?，sin M ?AC
AM
， ∴AM ?
sin AC M ?23?4. ∴⊙O 的半径为2.
解法二：连接OA ，OC ，过点O 作OF ⊥AC ，垂足为F ， 则AF ?12
AC ?3. ∵∠D ?∠ACB ?60?， ∴∠AOC ?120?. ∴∠AOF ?12∠AOC ?60?. 在Rt △OAF 中，sin ∠AOF ?AF
AO
， ∴AO ?
sin AF
AOF
∠?2，即⊙O 的半径为2.
21．（满分13分）如图1，点O 在线段AB 上，AO ?2，OB ?1，OC 为射线，且
∠BOC ?60?，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒.
（1）当t ?12
秒时，则OP ? ，S △ABP ? ； （2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；
（3）如图2，当AP ?AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP ?∠B ，求证：AQ ·BP ?3.
；
【答案】解：（1）1，33
4
（2）①∵∠A<∠BOC?60?，
∴∠A不可能是直角.
②当∠ABP?90?时，
∵∠BOC?60?，
∴∠OPB?30?.
∴OP?2OB，即2t?2.
∴t?1.
③当∠APB?90?时，作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP?∠PDB?90?. ∵OP?2t，
∴OD?t，PD?3t，AD?2?t，BD?1?t（△BOP是锐角三角形）.
解法一：∴BP2?（1?t）2?3t2，AP2?(2?t)2?3t2.
∵BP2?AP2?AB2，
∴(1?t)2?3t2?(2?t)2?3t2?9，
即4t2?t?2?0.
解得t 1?
133-+，t 2? 133
--（舍去）. 解法二：∵∠APD ?∠BPD ?90?，∠B ?∠BPD ?90?， ∴∠APD ?∠B . ∴△APD ∽△PBD . ∴
.AD PD PD BD
= ∴PD 2?AD ·BD .
于是3)2?(2?t )(1?t )，即 4t 2?t ?2?0. 解得t 1133-+t 2?133
--. 综上，当△ABP 为直角三角形时，t ?1133
-+（3）解法一：∵AP ?AB ， ∴∠APB ?∠B .
作OE ∥AP ，交BP 于点E ， ∴∠OEB ?∠APB ?∠B . ∵AQ ∥BP ， ∴∠QAB ?∠B ?180?. 又∵∠3?∠OEB ?180?， ∴∠3?∠QAB .
又∵∠AOC ?∠2?∠B ?∠1?∠QOP ， 已知∠B ?∠QOP ， ∴∠1?∠2. ∴△QAO ∽△OEP . ∴
AQ AO
EO EP
=
，即AQ ·EP ?EO ·AO .
∵OE ∥AP ， ∴△OBE ∽△ABP . ∴
1
3
OE BE BO AP BP BA ===. ∴OE ?13AP ?1，BP ?32
EP .
∴AQ ·BP ?AQ ·32
EP ?32
AO ·OE ?32
?2?1?3.
解法二：连接PQ ，设AP 与OQ 相交于点F . ∵AQ ∥BP ， ∴∠QAP ?∠APB . ∵AP ?AB ， ∴∠APB ?∠B . ∴∠QAP ?∠B . 又∵∠QOP ?∠B ， ∴∠QAP ?∠QOP . ∵∠QFA ?∠PFO ， ∴△QFA ∽△PFO . ∴
FQ FA FP FO =，即FQ FP
FA FO
=
. 又∵∠PFQ ?∠OFA ， ∴△PFQ ∽△OFA . ∴∠3?∠1.
∵∠AOC ?∠2?∠B ?∠1?∠QOP ，
已知∠B?∠QOP，
∴∠1?∠2.
∴∠2?∠3.
∴△APQ∽△BPO.
∴AQ AP
=.
BO BP
∴AQ·BP?AP·BO?3?1?3.
(x?3)2?1与x轴交于A，B两点（点A在点22.（满分14分）如图，抛物线y?1
2
B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了.
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO?∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.
【答案】（1）顶点D的坐标为（3，?1）.
令y?0，得1
2
(x?3)2?1?0，
解得x1?3?2，x2?3?2.
∵点A在点B的左侧，
∴A点坐标(3?2，0)，B点坐标（3?2，0）. （2）过D作DG⊥y轴，垂足为G.
则G（0，?1），GD?3.
令x?0，则y?7
2，∴C点坐标为（0，7
2
）.
∴GC?7
2?(?1)?9
2
.
设对称轴交x轴于点M.
∵OE⊥CD，
∴∠GCD?∠COH?90?.
∵∠MOE?∠COH?90?，∴∠MOE?∠GCD.
又∵∠CGD?∠OMN?90?，∴△DCG∽△EOM.
∴
9
3
2
3
CG DG
OM EM EM
==
，即.
∴EM?2，即点E坐标为(3，2)，ED?3. 由勾股定理，得AE2?6，AD2?3，
∴AE2?AD2?6?3?9?ED2.
∴△AED是直角三角形，即∠DAE?90?. 设AE交CD于点F.
∴∠ADC?∠AFD?90?.
又∵∠AEO?∠HFE?90?，
∴∠AFD?∠HFE，
∴∠AEO?∠ADC.
（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2?EP2?1. 要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小.
设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2?(x?3)2?(y?2)2. ∵y?1
2
(x?3)2?1，
∴(x?3)2?2y?2.
∴EP2?2y?2?y2?4y?4
?(y?1)2?5.
当y?1时，EP2最小值为5.
把y?1代入y?1
2(x?3)2?1，得1
2
(x?3)2?1?1，
解得x1?1，x2?5.
又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1?1舍去.
∴点P坐标为(5，1).
此时Q点坐标为（3，1）或(1913
55
，).