导数证明不等式构造函数法类别(教师版)

导数证明不等式构造函数法类别

１、移项法构造函数

【例1】

已知函数x x x f -+=)1ln()(,求证:当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-

)1ln(1

1

1 分析:本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数11

1

)1ln()(-+++=x x x g ，

从其导数入手即可证明。

【解】1

111)(+-

=-+=

'x x

x x f ∴当01<<-x 时,0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时,0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞

于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时,0)0()(=≤f x f , 即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( (右面得证), 现证左面,令11

1

)1ln()(-++

+=x x x g ， 2

2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ,

∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011

1

)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ,综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11

1

,1有时

2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f +=

求证:在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33

2

)(x x g =的 图象的下方；

分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f

2

ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有

323

2

ln 21x x x <+成立,设)()()(x f x g x F -=,),1(+∞∈x ，考虑到06

1

)1(>=

F 要证不等式转化变为:当1>x 时,)1()(F x F >，这只要证明: )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。

【解】设)()()(x f x g x F -=,即x x x x F ln 2

132)(2

3--=

, 则x

x x x F 12)(2

--='=x x x x )

12)(1(2++- 当1>x 时,)(x F '=x x x x )12)(1(2++-

从而)(x F 在),1(∞+上为增函数,∴06

1

)1()(>=>F x F ∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ,即)()(x g x f <， 故在区间),1(∞+上,函数)(x f 的图象在函数3

3

2)(x x g =的图象的下方。

3、换元法构造函数证明

【例3】(20０７年，山东卷)证明:对任意的正整数n ，不等式321

1)11ln(n

n n ->+ 都成立. 分析：本题是山东卷的第(ＩI)问,从所证结构出发，只需令

x n

=1

,则问题转化为:当0>x 时，恒 有3

2

)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(2

3

++-=x x x x h ,求导即可达到证明。

【解】令)1ln()(2

3

++-=x x x x h ，则1

)1(31123)(2

32

+-+=++-='x x x x x x x h 在),0(+∞∈x 上恒正， 所以函数)(x h 在),0(+∞上单调递增，∴),0(+∞∈x 时,恒有，0)0()(=>h x h 即0)1ln(2

3

>++-x x x ，∴3

2

)1ln(x x x ->+ 对任意正整数n ，取321

1)11ln(),0(1n

n n n x ->++∞∈=

，则有 【警示启迪】当()F x 在[,]a b 上单调递增，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝()a ?,要证明当x a >时，()f x >()x ?，那么,只要令()F x ＝()f x －()x ?,就可以利用()F x 的单调增性来推导.也就是说，在()F x 可导的前提下,只要证明'()F x >０即可.

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式ｘ)(x f '>-)(x f 恒成立，且常数a ，ｂ满足ａ>b ，求证： a )(a f ＞b )(b f ??

【解】由已知 x )(x f '+)(x f >0 ∴构造函数 )()(x xf x F =,

则=)('

x F x )(x f '+)(x f >0， 从而)(x F 在R 上为增函数。

b a > ∴)()(b F a F > 即 a )(a f >b )(b f

【警示启迪】由条件移项后)()(x f x f x +'，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(x xf x F =，

求导即可完成证明。若题目中的条件改为)()(x f x f x >',则移项后)()(x f x f x -',要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。

5、主元法构造函数

例．(全国)已知函数x x x g x x x f ln )(,)1ln()(=-+= (1) 求函数)(x f 的最大值；

(2) 设b a <<0，证明 :2ln )()2

(2)()(0a b b

a g

b g a g -<+-+<. 证明:对x x x g ln )(=求导,则1ln )('

+=x x g . 在)2

(2)()(b a g b g a g +-+中以b 为主变元构造函数,

设)2

(

2)()()(x

a g x g a g x F +-+=,则2ln ln )]2(

[2)()('''x a x x a g x g x F +-=+-=． 当a x <<0时,0)('

当a x >时,0)('

>x F ,因此)(x F 在),(+∞a 上为增函数.

从而当a x =时, )(x F 有极小值)(a F .

因为,,0)(a b a F >=所以0)(>b F ，即.0)2

(2)()(>+-+b

a g

b g a g 又设2ln )()()(a x x F x G --=．则)ln(ln 2ln 2

ln

ln )('x a x x

a x x G +-=-+-=. 当0>x 时,0)('

=所以0)(

(2)()(a b b

a g

b g a g -<+-+.

６、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例．已知函数21()2

x

f x ae x =-

(1)若f(x)在R 上为增函数,求a 的取值范围; (２)若ａ=1,求证:x>０时,f(x)>1+x

解：(1)f ′(x)= a ｅx

－ｘ， ∵f （ｘ）在R 上为增函数,∴f ′（x)≥0对ｘ∈Ｒ恒成立，

即ａ≥ｘｅ-x 对ｘ∈Ｒ恒成立 记g （x ）＝xe -ｘ，则g ′（ｘ)=e －x -ｘe -x =(1-x)ｅ-x

, 当ｘ＞1时，g ′(x ）＜0，当ｘ＜１时,ｇ′（ｘ）＞0．

知ｇ(ｘ)在（-∞，1)上为增函数，在（１,+ ∞)上为减函数,

∴ｇ(ｘ)在x=1时,取得最大值，即g(x ）m ａx=g(1）=1/e, ∴a ≥１／e, 即a 的取值范围是[1/e, + ∞)

（2)记F(X)=ｆ(x) -(1+x) ＝)0(12

12

>---

x x x e x

则F ′(x)=e x

-1－x ， 令ｈ(ｘ)= F ′(x)＝e x

－1－x,则ｈ′（x)=e ｘ

-1

当x ＞0时, h ′（x)>0, ∴h(ｘ)在(0,+ ∞)上为增函数, 又h(x)在ｘ=0处连续, ∴h(ｘ)＞h(０)＝０

即F ′(x ）>０ ,∴F （x) 在(0,+ ∞）上为增函数,又F(x)在x ＝0处连续,

∴F(x ）>F （０)=0,即ｆ(x)>1+x ．

７.对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式） 例：证明当2

111)

1(,0x x

e

x x +

+<+>时

8.构造形似函数

例:证明当a

b

b a e a b >>>证明,

例:已知m 、ｎ都是正整数，且,1n m <<证明:m

n

n m )1()1(+>+

【思维挑战】

1、设x a x x x f a ln 2ln 1)(,02+--=≥ 求证：当1>x 时，恒有1ln 2ln 2

+->x a x x

２、已知定义在正实数集上的函数

,

ln 3)(,22

1)(2

2b x a x g ax x x f +=+=其中ａ>0,且a a a b ln 32522-=, 求证：)()(x g x f ≥ 3、已知函数x x x x f +-

+=1)1ln()(，求证:对任意的正数a 、b ，恒有.1ln ln a

b

b a -≥- 4、)(x f 是定义在（0,+∞）上的非负可导函数,且满足)()(x f x f x -'≤0,对任意正数a 、ｂ，若a < b ， 则必有 （ ） ?（Ａ)af (b )≤bf （a )?（B ）bf (a )≤af (ｂ) (C ）ａf （ａ)≤f (b )??(Ｄ）ｂf （b ）≤ｆ (a )

【答案咨询】

1、提示：x

a x x x f 2ln 21)(+

-=',当1>x ，0≥a 时,不难证明1ln 2

∴0)(>'x f ，即)(x f 在),0(+∞内单调递增,故当1>x 时,

0)1()(=>f x f ，∴当1>x 时,恒有1ln 2ln 2

+->x a x x

2、提示：设b x a ax x x f x g x F --+=-=ln 322

1)()()(2

2则x a a x x F 232)(-+='

＝x

a x a x )

3)((+- )0(>x 0>a ,∴ 当a x =时，0)(='x F ，

故)(x F 在),0(a 上为减函数,在),(+∞a 上为增函数，于是函数)(x F 在),0(+∞上的最小

值是0)()()(=-=a g a f a F ，故当0>x 时，有0)()(≥-x g x f ,即)()(x g x f ≥

3、提示:函数)(x f 的定义域为),1(+∞-,2

2)

1()1(111)(x x x x x f +=+-+=

' ∴当01<<-x 时，0)(<'x f ,即)(x f 在)0,1(-∈x 上为减函数

当0>x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为增函数

因此在)(,0x f x 时=取得极小值0)0(=f ,而且是最小值

于是x x x f x f +≥+=≥1)1ln(,0)0()(从而,即x

x +-≥+111)1ln( 令a b x b a x -=+->=+1111,01则 于是a

b

b a -≥1ln

因此a

b

b a -≥-1ln ln

4、提示:x x f x F )()(=，0)()()(2

'≤-='x x f x xf x F ，故x

x f x F )

()(=在(0，+∞)上是减函数，由b a < 有

b

b f a a f )

()(≥? af (b ）≤ｂｆ (a ) 故选（A ）