图1
平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器，开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，也能顺利解决2005年全国高考试卷中的立体几何试题。 一、平面法向量的概念和求法
向量与平面垂直 如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。
平面的法向量 如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关 立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：
在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或
(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且 0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。有时为了需要，也求法
向量n 上的单位法向量0n ，则0n n n
=
。 例1 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中， 求平面1ACD 的法向量n 和单位法向量0n 。 解：建立空间直角坐标系，如图1，则(1,0,0)A ，
(0,1,0)C 。设平面1ACD 的法向量(,,1)n x y =。
得(1,1,0)AC =-
，1(1,0,1)AD =- 。
又n ⊥面1ACD ，得n AC ⊥ ，1n AD ⊥
。有(,,1)(1,1,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y ?-=??
?-=?，得1
1
x y =??=?。
∴(1,1,1)n =
，0n n n =
==。 二、平面法向量的三个引理
为了能方便地运用平面法向量解题，特介绍平面法向量的三个引理，以此为工具，可以 顺利地解决立体几何问题。
引理1 设向量0n 是平面α的单位法向量，点B 是平面α外一定点，点A 是α内任意一
图
2
图 3
点，则点B 到平面α的距离0d AB n =?
。 证明：如图2，过B 作BO 垂直平面α于O ，在
平面α上任取一点A ，则ABO ∠为AB
与n 的夹
角，设为θ。
在Rt ABO ?中，
BO d =
， 得0cos AB n AB n d AB AB AB n n AB n
θ??=?=?==??
。 例2 在例1中，求点1A 到平面1ACD 的距离。 解析：由例1的解答知，平面1ACD
的单位法向量0(
333
n =， 又1(0,0,1)AA =
，设点1A
到平面1ACD 的距离为d ，则
10(0,0,1)(,)3333
d AA n =?=?= 。
所以，点1A 到平面1ACD
。 说明：利用引理1求点到平面的距离比用传统的几何方法求距离简单得多，它省去了作图、证明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。 引理2 设AB 是平面α的斜线，BO 是平面α的垂线，AB 与平面α所成的角BAO θ∠=,
向量AB
与n 的夹角ABO ψ∠=（见图2），则sin cos AB n AB n
θψ?==?
。（证略） 例3 在例1中，求直线1AA 与平面1ACD 所成的角。
解析：由例1知，(1,1,1)n =，1(0,0,1)AA =
，
∴11sin AA n AA n
θ?===?
θ
=。 引理3 如图3，设向量1n 与2n 分别是二面角
l αβ--中的两个半平面α，β的法向量，
则向量1n 与2n 的夹角12,n n <>的大小就是
所求二面角或其补角的大小。（证略）
例4 在例1中，求二面角1D AC D --的大小。
解：由例1知，平面1ACD 的法向量是1(1,1,1)n =，平面DAC 的法向量是2(0,0,1)n =， 设二面角1D AC D --的大小为θ，则
1212cos 3n n n n θ?=
==
?
，得arccos 3θ=。 说明：由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量1n 与2n 的夹角可能等于所求二面角的平面角，如本例；也可能等于二面角的平面角的补角，如若2(0,0,1)n =-，
则121212cos ,cos 3
n n n n n n θ?<>=
=-=-?，
于是12,(n n θπππ=-<>=--=。 如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢？一靠经验：通过题目估计它
是钝角还是锐角，同类相等，异类互补；二用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱l 按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等， 若方向相反，则互补。
三、利用法向量解2005年高考立体几何试题 例5 （05江西 理）如图4，在长方体ABCD -
1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB
上移动。
（Ⅰ）证明：11D E A D ⊥；
（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到面
1ACD 的距离；
（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为
4
π。 分析 本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求解，也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AE a =，则1(1,0,1)
A ，1(0,0,1)D ，(1,,0)E a ，
(1,0,0)A ，(0,2,0)C 。
（Ⅰ）证明：由1(1
,0,1)DA = ，1(1,1,1)D E a =--
， 11(1,0,1)(1,1,1)110DA D E a ?=?--=-= ，有11DA D E ⊥
，于是11D E A D ⊥。
（Ⅱ）E 是AB 的中点，得(1,1,0)E 。
∴1(1,1,1)D E =- ，(1,2,0)AC =-
，1(1,0,1)AD =- 。
设平面1ACD 的法向量为(,,1)n x y =，单位法向量为0n ，
由100n AC n AD ??=???=?? ?(,,1)(1,2,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y ?-=???-=??2010x y x -+=??-+=?，解得112
x y =???=??。
于是1(1,,1)2n =
，有01
(1,,1)212(,,)333n ==。
设点E 到平面1ACD 的距离为d ，则
102121(1,1,1)(,,)3333
d D E n =?=-?= 。
所以点E 到平面1ACD 的距离为
1
3
。 （Ⅲ）平面DEC 的法向量1(0,0,1)n =，设平面1D EC 的法向量2(,,1)n x y =。 又(1,2,0)EC a =-- ，1
(0,2,1)DC =-
。 由22100
n EC n D C ??=???=??
，得(,,1)(1,2,0)0(,,1)(0,2,1)0x y a x y ?--=???-=? (2)0210x y a y -+-=???
-=?，解得12
1
2
a x y ?
=-????=??，于是21(1,,1)22a n =-。
设所求的二面角为θ，则4
π
θ=
。
有121
(0,0,1)(1,,1)cos cos ,2a DD n θ?-=<>=
= ，得21(1)1224a -++=。
解得2a =
所以，当
AE=2时，二面角1D EC D --的大小为4
π
。 例6 （05全国卷Ⅱ）如图5，四棱锥P ABCD -中，
底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ， E ，F 分别CD 、PB 的中点。 （Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）设
，求AC 与平面AEF 所成角的大小。 分析：本题考查的是立体几何的重点内容：直线与平面 垂直和直线与平面所成的角，考查空间想像能力和推理 论证能力，本题也是一题两法。
（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图5），设AD=
PD=1，AB=2a （0a >），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), 11(,
,)22
F a . 得11
(0,,)22
EF = ，(2,1,1)PB a =- ，(2,0,0)AB a = 。
由11
(0,,(2,0,0)022
EF AB a ?=?= ，得EF AB ⊥ ，即EF AB ⊥，
同理EF PB ⊥，又AB PB B = ， 所以，EF ⊥平面PAB 。
（Ⅱ）解：由AB =
，得2a =
a =
。
得E
，11,)22F
，C 。
有1,0)AC =-
，(
1,0)2
AE =- ，11(0,,22EF = 。 设平面AEF 的法向量为(,,1)n x y =，
A
B
C
D M P
图 6
由00
n EF n AE ??=???=??
11(,,1)(0,,)022(,,1)1,0)0x y x y ??=??????-=?
?1102
20y x y ?+=???-=
，解得1y x =-???=??
于是(1,1)n =-。
设AC 与面AEF 所成的角为θ，AC 与n 的夹角为,AC n <>
。
则sin cos ,AC n AC n AC n
θ?=<>===?
。
得arcsin
6
θ= 所以，AC 与平面AEF
所成角的大小为 说明：用传统的几何方法，在限定的时间内，很难找到AC 与平面AEF 所成的角。而利用平面的法向量解题，可顺利地避开这一切麻烦，只要找到平面的法向量n ，利用向量间的代数运算，可方便简捷地解决此题。
利用法向量也可顺利求解2005全国卷Ⅰ第18题： 如图6 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯 形，AB//DC ，0
90DAB ∠=，PA ⊥底面ABCD ，
且PA=AD=DC=1
12
AB =，M 是PB 的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；
（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。
解：（略）
说明：本题求二面角的大小，由于不易找到二面角的平面角，无论是用传统的几何方法还用一般的向量方法，都很不易解决，这也是造成立体几何解答题得分不高的原因之一，如果 采用平面的法向量解题，情况就大不相同了，请大家仔细体会。
以上介绍了平面的法向量及其几个引理，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可 弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。
（柯正摘自《试题与研究》2005/26 高考数学）
用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b
法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）．
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，
利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos
则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥
用向量方法求空间角和距离前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos | |||||a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方 向向量，n 是平面α的法向量， α所成的角α=arcsin ||||||l n l n 则斜线l 与平面 （３）求二面角 方法一：在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ --的平面角α=arccos |||| a b a b 12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的方法二：设 法向量，其方向 一个指向内侧，另一个指向外侧，则二的平面角α=1212arccos |||| n n n n 面角l αβ--2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到
α的距离|||||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示， 可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就 转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 方法二：在a 上取一点A, 在b 上 取一点B, 设a 、b 分别为异面直 线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）． 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是 棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离 解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α， 则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角， 图建立空间坐标系D xyz -， （II ）如1 1||||111111cos ||()()|||||| 222||,arccos DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴=
用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a r 、b r 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a b a b r r g r r （２）求线面角 设l r 是斜线l 的方向向量，n r 是平面α的法向量， 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n r r g r r 则斜线l （３）求二面角
方法一：在α内a r l ⊥，在β内b r l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角 α=arccos |||| a b a b r r g r r 方法二：设12,,n n u r u u r 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=1212arccos |||| n n n n u r u u r g u r u u r 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n r 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==u u u r r u u u r g r 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO uuu r ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a βP ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a r 、 b r 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设
向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量： 若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作 n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面α的法向量为(,,)n x y z =． ③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组0 n a n b ??=???=??. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. ⑵线面平行。设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明 a u ⊥，即0a u ?=. ⑶面面平行。若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ?=. ⑵线面垂直 ①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明
a ∥u ，即a u λ=. ②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、 ，若0 ,.0 a m l a n α??=?⊥? ?=??则 ⑶面面垂直。 若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ?=. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BD θ?= ⑵求直线和平面所成的角 求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为?， 则θ为?的余角或?的补角 的余角.即有：cos s .in a u a u ?θ?== ⑶求二面角 二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角. 如图： 求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、 ，再设m n 、的夹角为?，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、 的夹角?或其补角.π?- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： 如果θ是锐角，则cos cos m n m n θ??== ， 即arccos m n m n θ?=； O A B O A B l
法向量解立体几何专题训练 一、运用法向量求空间角 1、向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不 需要用法向量。 2、设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为sin θ= cos( 2π -θ) = |cos
1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥ 四、应用举例： 例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系， 则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2) 于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有 1330 1320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=? ?==-++=⊥?? ???? ?? 11111(1,1,2), (0,0,2), cos 3 ||||1tan 2n AA CDE n AA C DE C n AA n AA θθθ∴=--=∴--?== = ?∴= 向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 （II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则 1111cos 14 |||| 1EC FD EC FD β?= = = ? 例2：（高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。 （1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD 是菱形，∠DAB=600， ∴△ABD 是等边三角形，又E 是AB 中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，
立体几何（向量法）—建系难 例1 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中 点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】 解：(1)如图，联结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP → 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π 3＝3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)． 因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，得F ????0，－1，z 2，又AF → ＝????0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 2 2 ＝0，z ＝2 3(舍去－2 3)，所以|P A → |＝2 3. (2)由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF → ＝(0，2，3)．设平面F AD 的法
向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)． 由1·AD →＝0，1·AF →＝0，得 ?? ?－3x 1＋3y 1＝0， 2y 1＋3z 1＝0， 因此可取1＝(3，3，－2)． 由2·AB →＝0，2·AF →＝0，得 ?? ?3x 2＋3y 2＝0， 2y 2＋3z 2＝0， 故可取2＝(3，－3，2)． 从而向量1，2的夹角的余弦值为 cos 〈1，2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1 8 . 故二面角B －AF －D 的正弦值为3 7 8 . 例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四 棱锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?o ，与PAD ?都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小. 【答案】解：(1)取BC 的中点E ，联结DE ，则四边形ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 联结OA ，OB ，OD ，OE . 由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE . 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .
用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .
利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥
（3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?== （2）线面角：cos ,sin a m a m a m θ?= = （3）二面角：cos cos ,m n m n m n θ?==或cos cos ,m n m n m n θ?=-=- （视平面角与 法向量夹角关系而定） （4）点到平面距离：设A 为平面α外一点，P 为平面α上任意一点，则A 到平面 α的距离为A AP n d n α-?= ，即AP 在法向量n 上投影的绝对值。 （三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧 1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标(),,x y z ，再想办法利用条件求出坐标 2、解题关键：减少变量数量——(),,x y z 可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：
用基底建模向量法解决立体几何问题 空间向量是高中数学新教材中一项基本内容，它的引入有利于处理立体几何问题，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，有利于丰富学生的思维结构，利用空间向量的坐标运算解立体几何问题，可把抽 象的几何问题转化为代数计算问题，并具有很强的规律性和可操作性，而利 用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系有时要受到图形的制约，在立体几何问题中很难普遍使用，其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底，一般情况下，我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底，然后将所需的向量用此基底表示出来，再利用向量的运算进行求解或证明，这就是基底建模法.它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法。 基向量法在解决立体几何的证明、求解问题中有着很特殊的妙用。 空间向量基本定理及应用 空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p存在惟一的有序实数组x、y、乙使p=x a+ y b+ z c. 1、已知空间四边形OAB（中, Z AOB Z BOC / AOC且OA=OB=OCM N分别是OA BC的中点，G是MN的中点. 求证：OGL BC 【解前点津】要证OGL BC只须证明OG?BC 0即可. 而要证OG?BC 0,必须把0G、BC用一组已知的空间基向量来表示 .又已知条件为Z AOB Z BOC Z AOC且OA=O母OC因此可选OA,OB,OC为已知的基向量.
【规范解答】连ON由线段中点公式得:
又 BC OC OB , 【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力 【例2】 在棱长为a 的正方体ABC —ABCD 中，求：异面直线 BA 与AC 所成的角. ■ 1 ■ 2 1 ■ 2 BB 1 ? BC 0,BA?AB =-a .所以 BA ^ ? AC =- a . OG OM ON) 彳 ] 彳 El I ： 丄 OA 丄(OB OC) 2 2 O B O C ), 所以 O G ? O B 1(O A 4 OB OC)?(OC OB) 丄(OA ?O C 4 OB?OC OC 2 OA?OB OB 2 OC?OB ) 1 = 4(O A? OC OA ?OB 2 2 OC 2 OB 2 ). 因为O A ?O C OA ? OC ? cos AOC OA?OB OA ? OB ? cos AOB 且 OC OB OA ，/ AOB Z AOC 所以 OG ? BC =0,即 OGL BC 【解前点津】 利用BA 1?AC BA 1 ? AC cos B AH , A C ,求出向量BA 1与AC 的夹角〈BA 1 , AC >, 再根据异面直线 BA , AC 所成角的范围确定异面直线所成角 【规范解答】 因为 BA 1 BA BB 1, AC AB 所以BA ] ?AC (BA BB 1)?(AB BC)= BA? AB 因为ABL BC BB L AB BB L BC 又 BA ] ? AC BA 1 ? AC ?cos BA ，AC , cos BA, AC a 2 所以〈B A],A C > =120° . 所以异面直线BA 与AC 所成的角为60°. 【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直 积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示 线上两向量的数量积， 而要求两向量的数量 例 3:如图，在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中, / ABC=6(o,PA L 面 ABCD , PA=AC=a,PB=PD= 2a , 点E 在PD 上，且PE:PD=2:1.在棱PC 上是否存在一点 F ,使BF //平面AEC ?证明你的结论. uuu uuir uuu 解析：我们可选取AB,AD,AP 作为一组空间基底 D L C L BC , BA?BC BB 1 ?AB BB 1 ?BC 所以BA?BC 0,BB<| ?AB =0, D
向量法解决立体几何问题 一．知识梳理 1、 平行问题 （1） ////l m a b ?，其中,a b 为直线,l m 的方向向量 （2） //l a n α?⊥，其中a 为直线l 的方向向量，n 为面α的法向量 //=+l a xb yc α?，其中a 为直线l 的方向向量，,b c 为面α内的两不共线向量 （3）12////n n αβ?，其中12,n n 分别为面α，β的法向量 2、垂直问题 （1）l m a b ⊥?⊥，其中,a b 为直线,l m 的方向向量 （2）//l a n α⊥?，其中a 为直线l 的方向向量，n 为面α的法向量 l a b a c α⊥?⊥⊥且，其中a 为直线l 的方向向量，,b c 为面α内的两不共线向量 （3）12n n αβ⊥?⊥，其中12,n n 分别为面α，β的法向量 3、角度问题 （1）线线角：cos cos ,a b θ=<>，其中,a b 为两直线的方向向量 （2）线面角：sin cos ,a n θ=<>，其中a 为直线方向向量，n 为面的法向量 （3）二面角：12cos cos ,n n θ=<>，其符号由图像而定 4、距离问题 （1）点点距：(AB x = （2）点线距：利用向量共线转化为点点距处理 （3）点面距：PA n d n ?=，其中P 为面外某点，A 为面内任何一点，n 为面的法向量，所求d 为面 外某点P 到面的距离 另外，平行线的距离转化为点线距，异面直线的距离转化为点面距，线面距和面面距都可化为点面距来处理 5、向量的坐标运算 （1）121212a b x x y y z z ?=++ （2）2a x = +（3）111222 //x y z a b x y z ? ==
立体几何向量法练习答案 一、选择题 1. 如图所示,在空间四边形中,点为中点,点在上,且,则 等于( ) A. B. C. D. 【解析】在空间四边形中,点为线段的中点,.∴ .故选D. 2. 在正三棱柱中，已知，则异面直线和所成角的余弦值为（）. A. B. C. D. 【解析】解：∵在正三棱柱中，，∴以为 原点，在平面中过作的垂直为轴，以为轴，为轴，建立空 间直角坐标系，则，，，， ，，设异面直线和所成角为，则 ，∴异面直线和所成角的余 弦值为．故选：D． 3. 在正方体中,,分别为棱和的中点,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图,设正方体的棱长为,以点为坐标原点,所在直线为轴, 所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,可知,, ,,∴,, ∴,∴. 4. 如图，长方体中，，为的中点， 则异面直线与所成角的正切值为( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：以原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角系，设 ，则，，，，
，，设异面直线与所成角为，则 ,, ∴, ∴异面直线与所成角的正切值为. 故选：C． 5. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小是（）. A. B. C. D. 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体 中棱长为，则，，，，，，设异面直线与所成角为，则，∴．∴异面直线与所成角的大小是．故选：D． 6. 已知空间四面体的每条棱长都等于,点,分别是,的中点,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意知,故. 7. 已知空间向量,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】∵,,∴,∴. 8. 在正方体中,是的中点,则直线与平面所成角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为,则, ,,,则,,. 设平面的法向量为 ,因为,,所以,即,令,则为平面的一个法向量, 于是,则直线与平面所成角的正弦值为.
用向量方法求空间角和距离 前言: 在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、 证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点?向量进入高中教材，为立体 几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1. 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角； 直线和平面所成的角；(平面和平面所成的角)二面 角. (1)求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, r r 则两异面直线所成的角 =arccos| $啤| |a||b| =arccos 1?唏 |n i ||n 21 ，n 是平面的法向量, =arcsin | r 1 那 | 在内b l ，其方向如图，则二 agb =arccos |a||b 的两个半平面的法向量，其方向 ，则二面角 l 的平面角 平面角 a l ，
2. 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 (II )求BC i 和面EFBD 所成的角; (III )求B 到面EFBD 的距离 解：(I)记异面直线DE 与F?所成的角为 ， uuu uuur 则等于向量DE 与FC 1的夹角或其补角, 方法一：设n 是平面 uur 的距离d |AB||cos 的法向量，在 uuu r | 冲| |n| 内取一点B,则A 到 和点0在 内 uuu 的向量表示，可确定点 0的位置，从而求出|A0| . 方法二：设AO 于O,利用AO 方法一：找平面 使b 且a P ，则异面直线a 、b 的距离就 转化为直线a 到平面 的距离，又转化为点A 到平面 的距离. 方法二：在a 上取一点A,在b 上 uuu r d | AB || cos | ft n a 取一点B,设a 、b 分别为异面直 n b )，则异面直线a 、b 的距离 例1.如图，在棱长为2的正方体 棱AD i ,AB ,的中点. 移植于点面距离的求法). (I)求异面直线DE 与FC i 所成的角; a 线a 、b 的方向向量,求n (n a , B ABCD A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别是 D . C 二 B
向量法解立体几何 1、四川19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ． （Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1； （Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值； 2. (全国大纲文)如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形， 2,1AB BC CD SD ====． （I ）证明：SD ⊥平面SAB ； （II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 3、重庆文．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ， ,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积； （Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。 4、 . （湖北文）如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为3， 点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱 1B B 上，且A E =,BF = （I ） 求证：1C F C E ⊥；（II ） 求二面角1E C F C --的大小。 5、、（2006年高考题）如图1，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，M N 是它们的公垂线，点A 、B 在1 l 上，C 在2l 上，MN MB AM ==。证明：NB AC ⊥。 6、如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D 、E 分别是BC 、A 1B 1的中点. （1）证明：BE//平面A 1DC 1； （2）若AB=BC=AA 1=1，∠ABC=90°求二面角B 1—BC 1—E 的正切值. 7、、如图，四棱锥ABCD P -的侧面PAD 垂直于底面ABCD ,090=∠=∠BCD ADC ,22====BC AD PD PA ,3=CD , M 在棱PC 上，N 是AD 的中点，二面角C BN M --为030。 （1）求 MC PM 的值；（2）求直线PB 与平面BMN 所成角的大小。 8、如图，在四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为平行四边形， SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==SB =,120,BAD E ∠=在棱SD 上，且3SE ED =． （I ）求证：SD ⊥平面;AEC （II ）求直线AD 与平面SCD 所成角的大小 9、如图所示，三棱柱'''C B A ABC -中，四边形''B BCC 为菱形，o BCC 60'=∠，ABC ?为等边三角形，面 ⊥ABC 面''B BCC ，F E 、分别为棱'CC AB 、的中点； （Ⅰ）求证：//EF 面BC A '＇；（Ⅱ）求二面角B AA C --'的大小。
1 ?如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABC助正方形，平面PADL平面ABCD点 M在线段PB上, PD//平面MAC PA=PD^, AB=4 (1)求证：M为PB的中点； (2)求二面角B- PD- A的大小； (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【分析】(1)设ACH BD=O则0为BD的中点，连接0M利用线面平行的性质证明OM/ PD再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； (2)取AD中点G,可得PGLAD,再由面面垂直的性质可得PGL平面ABCD贝U PGLAD，连接0G则PGL0G再证明OGLAD.以G为坐标原点，分别以GD GO GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B- PD- A的大小； (3)求出门；的坐标，由："与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直 线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【解答】(1)证明：如图，设ACH BD=O ??? ABCD^正方形，二O为BD的中点，连接OM ??? PD//平面MAC PD?平面PBD 平面PBDH 平面AMC=OM ??? PD// OM则一-—，即卩M为PB的中点; BD BP (2)解：取AD中点G, ??? PA=PD- PGL AD ???平面PADL平面ABCD且平面PADH平面ABCD=AD ??? PG!平面ABCD 贝U PG!AD,连接OG 贝U PG1OG 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG/ DC贝U OGLAD.
以G为坐标原点，分别以GD GO GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标
巧用向量的方法解立体几何题 现在考查立体几何的热点之一是空间角与距离问题，空间角包括三种角：两条直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；距离包括六种距离：点到点的距离、点到直线的距离、点到面的距离、两条平行直线的距离、直线与平行平面的距离、两个平行平面之间的距离。六种距离中着重测试点到面的距离。试题中往往先给出柱、锥具体几何图形或不规则图形，在特定的图形环境中测试有关空间角与距离问题，从而达到考查学生空间想象能力和逻辑推理能力以及计算表达能力的目的。解决这类问题除了常规方法外，如果能比较巧妙地建立三维空间直角坐标系，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，即利用向量的方法解决此类问题将能化繁为简，化抽象为具体，从而大大降低因空间想象能力的障碍影响解题，提高解题的速度和得分率。 下面谈谈几种应用向量解决考题中有关空间角与距离问题的方法： 一：利用向量数量积定义式求异面直线的夹角（或夹角的余弦值） 向量数量积定义 ：若a 和b 是空间中两个向量， a =（ x 1 , y 1 , z 1 ），b =（ x 2 , y 2 , z 2 ）则 a · b = │a │·│b │cos ＜a ，b ＞，.把公式变形得 cos ＜a ，b ＞ = a b a b ?=? 例1．已知：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为AA 1，BB 1的中点， 求CM 和D 1M 所成角的余弦值。 分析：要想利用向量定义式求异面直线的夹角，首先得建立适当的空间直角坐标系，再找出 对应C 、M 、D 1、、M 点的坐标，从而找出CM 和1D N 的坐标，最后利用上述公式求解。 解：建立以D 为坐标原点 ，DA 为x 轴 ， DC 为y 轴 ，DD 1为Z 轴的直角坐标系 ∵正方体的棱长为2 ∴C （ 0，2，0 ），M （2，0，1） D 1（0，0，2 ），N （2，2，1） 则CM = （2，－2 ，1）， 1D N = （2，2，－1） ∴cos ＜CM ， 1D N ＞=4411 99 --=- ∵两条直线的夹角取值范围是［ 0°，90°］，其余弦值为非负 ∴CM 与1D N 所成的余弦值为1 9 例2．已知长方体1111,ABCD A B C D -12,1,AB AA ==直线 D 1 A A 1 B C1 M