河北冀州中学
2010—2011学年度高三一轮复习效果检测二
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1、复数2
(1)1i z i
+=-的共轭复数是
A 、1i --
B 、1i -+
C 、
11
22
i + D 、
1122
i - 2、设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且12010a =-，
20102008
220102008
S S -=，则2a =（ ） A 、2008 B 、2008- C 、2012 D 、2012-
3、已知函数23,0(),0x x f x a x -≠?=?=?
在0x =处连续，则222
1
n an lim a n n →∞+=+ A 、0
B 、1
C 、
13
D 、13
-
4、已知向量,m n 的夹角为
6
π
，且||3m =,||2n =，在?ABC 中，
,3AB m n AC m n =+=-，D 为BC 边的中点，则||AD = A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5、已知函数()log (01)a f x x a a =>≠且满足23()()f f a a >，则1
(1)0f x
->的解是
A 、01x <<
B 、1x <
C 、0x >
D 、1x >
6、若22ln 6ln (2)
,ln 2ln 3,44
a b c π==?=，则a ，b ，c 的大小关系是
A 、b a c <<
B 、a b c <<
C 、c b a <<
D 、c a b <<
7、函数()sin()(0,||)2
f x A x A π
ω??=+><
其中的图象如图所示，为了得到
()sin3g x x =的图象，则只要将()f x 的图象
A
、向右平移
4
π个单位长度 B 、向右平移12π
个单位长度
C 、向左平移4
π个单位长度D 、向左平移12π
个单位长度
8、1F 、2F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，A 是其右顶点，过2F 作x 轴的垂线
与双曲线的一个交点为P ，G 是0,2121=??F F GA F PF 若的重心，则双曲线的离心率是A 、2
B 、3
C 、2
D 、3
9、如右图所示，△ADP 为正三角形，四边形ABCD 为正方形， 平面PAD⊥平面ABC D ．点M 为平面ABCD 内的一个动点， 且满足MP=M C ．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为
10、已知函数()lg ,010,1
6,02
x x f x x x ?≤?=?-+??＜＞1若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==， 则a b c ??的取值范围是
A 、()1,10
B 、()5,6
C 、()10,12
D 、()
20,24[来
11、形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字
大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的个数为 A 、12 B 、24 C 、16 D 、20
12、已知函数)(x f y =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数x 、y ，等
式()()f x f y =()f x y +恒成立，若数列{}n a 满足1(0)a f =，且
11
()(2)
n n f a f a +=
--*()n N ∈，则2011a 的值为
A 、4017
B 、4018
C 、4019
D 、4021
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案直接答在答题纸上。
13、函数y=e 2x
图像上的点到直线2x －y －4=0距离的最小值是 。 14、如图，已知球O 的球面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，
,2AB BC DA AB BC ⊥===，则球O 的体积等于 。
15、直线(13)(32)8120()m x m y m m R ++-+-=∈与圆
222610x y x y +--+=的交点个数为 。
16、计算123
23n
n n n n C C C nC +++
+，可以采用以下方法：
构造恒等式0122
(1)n n
n n n n n C C x C x C x x ++++=+，两边对x 求导，
得1232
1
123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+，在上式中令1x =，得
1231232n
n n n n n C C C nC n -+++
+=?．类比上述计算方法，
计算12223
223n
n n n n C C C n C +++
+= ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（本小题满分10分） 已知函数()sin cos ,()f x x x f x '=+是()f x 的导函数。
（Ⅰ）求函数2
()()()()F x f x f x f x '=+的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）若()2()f x f x '=，求22
1sin cos sin cos x x x x
+-的值。 18、（本小题满分12分）
从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =中，抽取三个不同元素构成子集{}123,,a a a ． （Ⅰ）求对任意的i j ≠（,1,2,3i j =），满足2i j a a -≥的概率；
（Ⅱ）若123,,a a a 成等差数列，设其公差为()0ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望。
19、（本小题满分12分）
如图,侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 位于平行四边形ACDE
中,2AE =,14AC AA ==,
60=∠AED ,点B 为DE 中点。
（Ⅰ）求证:平面1A BC ⊥平面11A ABB ；
（Ⅱ）设二面角1A BC A --的大小为α,直线AC 与 平面1A BC 所成的角为β,求sin()αβ+的值。 20、（本小题满分12分） 已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈ （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1,0a b =≠且，函数3
1()3
g x bx bx =
-，
若对任意的1(1,2)x ∈，总存在2(1,2)x ∈，使12()()f x g x =，求实数b 的取值范围。 21、（本小题满分12分）
设12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E
相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列。
（Ⅰ）求E 的离心率； （Ⅱ）设点(0,1)P -满足PA PB =，求E 的方程。 22、（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足1*117, 328 . ()n n n a a a n n N -+==+-∈
（Ⅰ）欲求{}n a 的通项公式，若能找到一个函数()f n =1
2
n A -?B n +? C +（A 、B 、C 未必
常数），把递推关系变成1(1)n a f n +-+3[()]n a f n =-后，就容易求出{}n a 的通项了．请问：这样的()f n 存在吗？{}n a 的通项公式是什么？ （Ⅱ）记123n n S a a a a =+++
+，若不等式223n n S n p ->?对任意*n N ∈都成立，求
实数p 的取值范围。
高三年级一轮复习质量检测（二）
理科数学参考答案
一、选择题：ABDADA BDACCD 二、填空题：
13、 5 ； 14； 15、2； 16、2
(1)2n n n -+。
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）x x x f sin cos )(-=' ，
)()()()(2x f x f x f x F +'=∴x x x x cos sin 21sin cos 22++-=
)4
2sin(212cos 2sin 1π
+
+=++=x x x ……………………3分
)(8
2
24
2Z k k x k x ∈+
=?+
=+
∴π
ππ
ππ
当时，21)(max +=x F …………4分
最小正周期为ππ
==
2
2T ……………………5分 （Ⅱ）x x x x x f x f sin 2cos 2cos sin )(2)(-=+?'=
3
1
tan sin 3cos =?=∴x x x ……………………8分
x x x x x x x x x cos sin cos cos sin 2cos sin cos sin 12
2
2
22
-+=-+∴=.6113
2911
tan 11tan 22
==-+x
x …………10分 18、（Ⅰ）基本事件数为3
9C ，满足条件2i j a a -≥，及取出的元素不相邻，则用插空法，
有37
C 种。故所求事件的概率是3
7395
12
C P C == ………………6分
（Ⅱ）分析三数成等差的情况：
1ξ=的情况有7种，123，234，345，456，567，678，789 2ξ=的情况有5种，135，246，357，468，579 3ξ=的情况有3种，147，258，369 4ξ=的情况有1种，159
1234161616168
E ξ=?+?+?+?=． ………………12分
19、证明：（Ⅰ）∵2AE =,4AC =,
60=∠AED ,点B 为DE 中点．
∴2AB =,BC =,222
16AB BC AC +==，∴AB BC ⊥．
又1AA ⊥面ABC ,BC ?面ABC ，∴1AA BC ⊥,
而1
AA AB A =,∴BC ⊥平面11A ABB
∵BC ?平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面11A ABB ． ……5分
A
E
D
C
B A 1
B 1
C 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1A B BC ⊥,AB BC ⊥
∴1A BA ∠为二面角1A BC A --的平面角,即1A BA ∠=α
, 在1Rt A AB ?中,112,4,
AB AA A B ===
111sin sin 5
AA A BA A B α=∠=
=
,1cos 5AB A B α==． ……7分 以A 为原点,建立空间直角坐标系
A xyz -如图所示, 其中1(0,0,4)A ,,0)
B ,(0,4,0)
C ,(0,4,0)AC =,
1(3,1,4)A B =-,(BC =-,设(,,)n x y z =为平面
1A BC 的一个法向量,则
100n A B n BC ?
?=???
=??,∴4030
y z y
+-=+=??即x z y ?
=??=??
令1y =,得平面1A BC 的一个法向量(3,1,1)n
=,则||sin 5||||4AC n AC n β?=
==
?, 又02
π
β<<
, ∴cos
5
β==
, ………………10分
∴sin()sin cos cos sin 15555
αβαβαβ+=+=
+=． …………12分 20、解：（Ⅰ）()ln f x x ax =-，0x ∴>， a x
x f -='1
)(
∴当0a ≤时，0)(>'x f ，()f x 在（0，+∞）上是增函数 ………………2分
当x a x a x ax x f a )
1
(1)(,0--=-='>时 由0)(>'x f 得a x 1<，由0)(<'x f 得a
x 1
>
即当0a >时1()(0,)f x a 在上是增函数，在1
(,)a
+∞上是减函数．………………4分
（Ⅱ）设()f x 的值域为A ，()g x 的值域为B ，则由已知得B A ?…………… 5分
由（1）知1,()(1,)a f x =+∞时在上是减函数，)(x f ∴在（1,2）上单调递减，
()f x ∴的值域为(ln 22,1)A =-- …………………7分
2()(1)(1)g x bx b b x x '=-=-+
∴（Ⅰ）0,()b g x <当时在（1，2）上是减函数，此时，()g x 的值域为22
(,)33
B b b =- 为满足1032,->>-
?b B A 2ln 2 2.3b ∴≤-即3
ln 2 3.2
b ≤- …………… 9分 （2）当0b >时，()g x 在（1，2）上是单调递增函数，
此时，()g x 的值域为22,33B b b ??
=-
???
为满足1032,->>?b B A
2ln 223b ∴-≤- 33
(ln 22)3ln 2,22
b ∴≥--=- ……………11分
综上可知b 的取值范围是33,
ln 233ln 2,22?
???
-∞--+∞ ???????
……………12分 21、解：（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=， 又222AB AF BF =+
，得4
3
AB a =
……………2分 l 的方程为y x c =+，其中c =
设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组22
221y x c
x y a b
=+???+=?? 化简得()()
222222220a b x a cx a c b +++-=
则()222212122222
2,a c b a c
x x x x a b a
b --+==
++
……………4分 因为直线AB 斜率为1，所以AB =
21x -=得222
44,3ab a
a b =+故22
2a b =， 所以E 的离心率2c e a a ===
…………7分 （Ⅱ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知212022
223x x a c x c a b +-===-+，003
c
y x c =+=。
由PA PB =，得1PN k =-，即
00
1
1y
x +=- 得3c =
，从而32,3a b == 故椭圆E 的方程为
22
1189
x y +=。 ……………………12分 22、（Ⅰ）
1(1)3[()]n n a f n a f n +-+=- 13(1)3()n n a a f n f n +∴=++-,
所以只需1
(1)3()28n f n f n n -+-=-,
1(1)3()22(2)n f n f n A Bn B C -+-=-?-+-,1,28,20A B B C ∴-=-=--=,
∴1,4,2A B C =-==。故假设的()f n 存在，1
()242n f n n -=-++。
∴
∴……………………5分
（
Ⅱ
）
∴ ……………………7分
11124(1)241133n n n n n n n n b b +++-+--=--+11
28424(21)
33n n n n n n ++-+--==,
当6n ≥时，2
212
32
22222
(11)1n n n n n n n n C C C C --------=+≥+++
++
(2)(3)
2(12)222(3)48212
n n n n n n n --≥+-+
≥-+-=->-,
（用数学归纳法证也行） 6n ∴≥时， 1n n b b +>． 容易验证 ,15n ≤≤时,|1n n b b +<,min ()n p b ∴<6689
729
b ==, p ∴的取值范围为 689
(,)729-∞． ……………………………………12分
（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）