2019年初三数学下期中试题(及答案)(1)
一、选择题
1．已知4A 纸的宽度为21cm ，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则4A 纸的高度约为（ ）
A ．29.7cm
B ．26.7cm
C ．24.8cm
D ．无法确定 2．如果反比例函数y =k x （k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则它一定还经过（ ） A ．（﹣
12，8） B ．（﹣3，﹣2） C ．（12
，12） D ．（1，﹣6） 3．如图所示，在△ABC 中， cos B ＝22
，sin C ＝35，BC ＝7，则△ABC 的面积是( )
A ．212
B ．12
C ．14
D ．21
4．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）
A ．各边的长度
B ．各内角的度数
C ．五边形的周长
D ．五边形的面积
5．若
35x x y =+，则x y 等于 （ ） A ．32 B ．38 C ．23 D ．85
6．如图，直线12
y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x =-<交于点B ，若2AOB S ?=，则b 的值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论正
确的是（）
A．AB2＝AC?BC B．BC2＝AC?BC C．AC＝51
-
BC D．BC＝
51
-
AC
8．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（）
A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m
9．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）
A．
B．
C．
D．
10．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于
A ．3∶2∶1
B ．4∶2∶1
C ．5∶3∶2
D ．5∶2∶1
12．制作一块3m×
2m 长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ） A ．360元 B ．720元 C ．1080元 D ．2160元
二、填空题
13．如图,在一段坡度为1∶2的山坡上种树,要求株距(即相邻两株树之间的水平距离)为6米,那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为____米.
14．计算：cos 245°
-tan30°sin60°=______． 15．利用标杆CD 测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E ．若标杆CD 的高为1.5米，测得DE ＝2米，BD ＝16米，则建筑物的高AB 为_____米．
16．已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23
，AD ＝10，则AO ＝____.
17．如图，Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，直线EF BD P ，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交
AD 于点F ，若13AEG EBCG S S V 四边形，=则CF AD
= ．
18．如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值为_____．
19．若a
b
＝
3
4
，则
a b
b
+
＝__________.
20．已知一个反比例函数的图象经过点(2,3)
--，则这个反比例函数的表达式为________.
三、解答题
21．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
22．如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD 切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
23．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB=°，AB=．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥AD ，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°，BO ：OD=1：3，求DC 的长．
24．如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱．AB ＝6m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC ＝4m
（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影．
（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为9m ，请你计算DE 的长．
25．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，
23
AD AB ，M 为BC 上一点，AM 交DE 于N. (1)若AE ＝4，求EC 的长； (2)若M 为BC 的中点，S △ABC ＝36，求S △ADN 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
设A4纸的高度为xcm ，对折后的矩形高度为
2
x cm ，然后根据相似多边形的对应边成比例列方程求解.
【详解】
设A4纸的高度为xcm ，则对折后的矩形高度为
2
x cm ， ∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似， ∴21=212x x
解得29.7=≈x
故选A.
【点睛】
本题考查相似多边形的性质，熟记相似多边形对应边成比例，找到对应边列出方程是关键. 2．D
解析：D
【解析】
【分析】
分别计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】
∵反比例函数y=
k x
(k≠0)的图象经过点(?3,2)， ∴k=?3×2=?6， ∵?
12
×8=?4≠?6， ?3×(?2)=6≠?6， 12
×12=6≠?6， 1×(?6)=?6，
则它一定还经过(1,?6).
故答案选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握反比例函数图象上点的坐标特征.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：过点A 作AD ⊥BC ，∵△ABC 中，
cosB=2
，sinC=35，AC=5，∴
BD AB ，∴∠B=45°，∵sinC=35=AD AC =5AD ，∴AD=3，∴CD=4，∴BD=3，则
△ABC 的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212
．故选A ．
考点：1．解直角三角形；2．压轴题．
4．B
解析：B
【解析】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误；
∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B 正确；．
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C 选项错误；
∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D 选项错误．
故选B ．
点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比．
5．A 解析：A
【解析】
【分析】先根据比例的基本性质进行变形，得到2x=3y ，再根据比例的基本性质转化成比例式即可得.
【详解】根据比例的基本性质得：
5x=3（x+y ），即2x=3y ，
即得32
x y =， 故选A ．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解本题的关键.
6．D
解析：D 【解析】
因为直线12y x b =-+与x 轴交于点A ,所以令y =0,可得:1 02
x b -+=,解得2x b =, 则OA =2b ,又因为2AOB S ?=,所以B 点纵坐标是:
2b ,因为B 点在4(0)y x x =-<,所以B 点坐标为(－2b ,2
b ),又因为B 点在直线12y x b =-+上,所以()2122
b b b =-?-+,解得1b =±,因为直线12
y x b =-+与y 轴交于正半轴,所以0b >,所以1b =,故选D.
解析：D 【解析】【分析】
根据黄金分割的定义得出
1
2
BC AC
AC AB
==，从而判断各选项．
【详解】
∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴
1
2
BC AC
AC AB
==，即AC2=BC?AB，故A、B错误；
AB，故C错误；
AC，故D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【详解】
∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴BC DC EF DE
=，
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，
∴
20 0.30.4 BC
=，
∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．
故答案为16.5m．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．9．C
【解析】
【分析】
【详解】 利用如图所示的计算器计算2cos55°，
按键顺序正确的是
．
故答案选C ． 10．D
解析：D
【解析】
解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；
②球的主视图与左视图都是圆；
③圆锥主视图与左视图都是三角形；
④圆柱的主视图和左视图都是长方形；
故选D ．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设BC=3a ，则BP=PQ=QC=a ；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD 、BE 、BM 的长度，再来求BD ，DE ，EM 三条线段的长度，即可求得答案．
【详解】
过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设3BC a =，
则BP PQ QC a ===；
∵AM CM =，AF ∥BC ，
∴1AF AM BC CM
==， ∴3AF BC a ==，
∵AF ∥BP ，
∴133
BD BP a DF AF a ===，
∴34
DF BF BD =
=， ∵AF ∥BQ ， ∴2233
BE BQ a EF AF a ===， ∴23EF BE =，即25BF BE =， ∵AF ∥BC ， ∴313BM BC a MF AF a
===， ∴BM MF =，即2BF BM =
， ∴235420BF BF BF DE BE BD =-=
-=，22510BF BF BF EM BM BE =-=-=， ∴3::::?53242010
BF BF BF BD DE EM =
=：：． 故选：C ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
【详解】
3m×2m=6m 2，
∴长方形广告牌的成本是120÷
6=20元/m 2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×
6=54m 2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是54×
20=1080元， 故选C ．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
二、填空题
13．3米【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比
把相应的数值代入即可【详解】解：∵坡度为1：2且株距为6米∴株距：坡面距离=2：∴坡面距离=株距×（米）【点睛】本题是将实际问题转化为
解析：
【解析】
【分析】
利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可．
【详解】
解：∵坡度为1：2=6米，
∴株距：坡面距离=2
∴坡面距离=株距×
2
=
【点睛】
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意坡度是坡角的正切函数．
14．0【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案【详解】=故答案为0【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值正确记忆相关数据是解题关键
解析：0
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
【详解】
2
cos45tan30sin60
?-??=211
23222
-=-=.
故答案为0.
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
15．5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可【详解】解：∵AB∥CD∴△EBA∽△ECD∴即∴AB＝135（米）故答案为：135【点睛】此题主要考查相似三角形的性质解题
解析：5
【解析】
【分析】
根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴△EBA∽△ECD，
∴
CD ED AB EB =，即1.52216
AB =+， ∴AB ＝13.5（米）．
故答案为：13.5
【点睛】 此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.
16．【解析】∵AB ∥CD 解得AO=4故答案是：4【点睛】运用了平行线分线段成比例定理灵活运用定理找准对应关系是解题的关键
解析：【解析】
∵AB ∥CD ，
223103
AO BO AO OD OC AO ∴===-，即， 解得，AO=4，
故答案是：4．
【点睛】运用了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17．【解析】【分析】先证△AEG∽△ABC△AGF∽△ACD 再利用相似三角形的对应边成比例求解【详解】解：
∵EF∥BD∴∠AEG=∠ABC∠AGE=∠ACB∴△AEG∽△ABC 且S△AEG=S 四边形EB 解析：12
【解析】
【分析】
先证△AEG ∽△ABC ，△AGF ∽△ACD 再利用相似三角形的对应边成比例求解.
【详解】
解：∵EF ∥BD
∴∠AEG=∠ABC ，∠AGE=∠ACB ，
∴△AEG ∽△ABC ，且S △AEG=
13S 四边形EBCG ∴S △AEG ：S △ABC =1：4，
∴AG ：AC=1：2，
又EF ∥BD
∴∠AGF=∠ACD ，∠AFG=∠ADC ，
∴△AGF ∽△ACD ，且相似比为1：2，
∴S △AFG ：S △ACD =1：4，
∴S △AFG 1=3S 四边形FDCG
S △AFG 1=4
S △ADC ∵AF ：AD=GF ：CD=AG ：AC=1：2
∵∠ACD=90°
∴AF=CF=DF
∴CF：AD=1：2．
18．【解析】【分析】如图所示连接BD过点D作DE垂直于BC的延长线于点E 构造直角三角形将∠CBD置于直角三角形中设CE为x根据特殊直角三角形分别求得线段CDACBC从而按正切函数的定义可解【详解】解：如
解析：31 2 -
【解析】
【分析】
如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD置于直角三角形中，设CE为x，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．
【详解】
解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E,
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°
∴∠DCE＝45°，
∵DE⊥CE
∴∠CEB＝90°，∠CDE＝45°
∴设DE＝CE＝x，则CD2x，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴tan∠3CD
AC
，
则AC6x，
在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°∴BC3，
∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝DE
BE(13)x
+
＝
31
2
故答案为：31 2
．
【点睛】
本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．
19．【解析】【分析】由比例的性质即可解答此题【详解】∵∴a=b∴=故答案为【点睛】此题考查了比例的基本性质熟练掌握这个性质是解答此题的关键 解析：74
【解析】
【分析】
由比例的性质即可解答此题.
【详解】 ∵34
a b =， ∴a=
34b ， ∴a b b +=3744b b b b b
+= ， 故答案为
74
【点睛】 此题考查了比例的基本性质，熟练掌握这个性质是解答此题的关键.
20．【解析】【分析】把已知点的坐标代入可求出k 值即得到反比例函数的解析式【详解】设这个反比例函数的表达式为了则所以这个反比例函数的表达式为故答案是：【点睛】考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式解题关 解析：6y x =
【解析】
【分析】
把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式．
【详解】 设这个反比例函数的表达式为了(0)k y k x
=≠，则 (2)(3)6k =-?-=， 所以这个反比例函数的表达式为6y x =
. 故答案是：6y x
=
. 【点睛】
考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，解题关键是设关系式、再将已知点坐标代入，从而求解即可．
三、解答题
21．CE的长为（4+）米
【解析】
【分析】
由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而
CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【详解】
过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=CH AH
，
∴CH=AH?tan∠CAH，
∴CH=AH?tan∠CAH=6tan30°=6×3
=23（米），
∵DH=1.5，
∴CD=23+1.5，在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=CD CE
，
∴CE=23 1.5
3
=（4+3）（米），
答：拉线CE的长为（4+）米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题22．(1)证明见解析；3
【解析】
【分析】
(1)根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线，再利用切线长定理证明即可；
(2)根据含30°的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．
【详解】
(1)∵AB是⊙O直径，BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线，
∵CD切⊙O于点D，
∴BC＝CD；
(2)连接BD，
∵BC＝CD，∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝3，∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝BD?tan∠ABD＝3．
【点睛】
本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23．（1）75；32）13
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出
△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出3
解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出3Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．【详解】
解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴
1
3 OD OB
OA OC
==．
又∵AO=33，
∴OD=1
3
AO=3，
∴AD=AO+OD=43．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=43．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴BO EO BE DO AO DA
==．
∵BO：OD=1：3，
∴
1
3 EO BE
AO DA
==．
∵3，
∴3
∴3
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（32+BE2=（2BE）2，解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，
解得：13
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
24．（1）见解析；（2）13.5m.
【解析】
【分析】
（1）直接利用平行投影的性质得出答案；
（2）利用同一时刻实际物体的影子与物体的高度比值相同进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：EF即为所求；
（2）∵AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为9m，
∴6
4
＝
DE
9
，
解得：DE＝13.5m，
答：DE的长为13.5m．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题法的关键是熟知平行线的性质.
25．（1）2（2）8
【解析】
【分析】
（1）首先根据DE∥BC得到△ADE和△ABC相似，求出AC的长度，然后根据CE=AC－AE求出长度；（2）根据△ABC的面积求出△ABM的面积，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ADN的面积．
【详解】
解:（1）∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
2
3 AE AD AC AB
==
∵AE=4
∴AC=6
∴EC=AC－AE=6－4=2
(2)∵△ABC的面积为36,点M为BC的中点∴△ABM的面积为：36÷2=18
∵△ADN 和△ABM 的相似比为23
∴:4:9ADN ABM S S ??= ∴ADN S V =8 考点： 相似三角形的判定与性质