2020-2021学年高一数学必修二第8章《立体几何初步》
点线面练习题
1.如图所示，下列符号表示错误的是()
A.l∈α
B.P?l
C.l?α
D.P∈α
答案 A
解析观察图知，P?l，P∈α，l?α，则l∈α是错误的.
2.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()
A.平行
B.相交
C.垂直
D.互为异面直线
答案 C
3.直线在平面外是指()
A.直线与平面没有公共点
B.直线与平面相交
C.直线与平面平行
D.直线与平面最多只有一个公共点
答案 D
解析直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外，所以直线在平面外是指直线与平面最多只有一个公共点.
4.下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于另外两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等.
其中正确的命题的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.0
答案 C
解析根据面面平行的性质知①②③正确.
5.(多选)在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是()
A.平面P AB ⊥平面P AD
B.平面P AB ⊥平面PBC
C.平面PBC ⊥平面PCD
D.平面PCD ⊥平面P AD 答案 ABD
解析 对于A ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ?平面P AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∴平面P AB ⊥平面P AD ，故A 正确；对于B ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ?平面P AB ，∴BC ⊥平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PBC ，故B 正确；对于D ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥CD ，又CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ?平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴平面PCD ⊥平面P AD ，故D 正确.
6.互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分. 答案 8
解析 互不重合的三个平面将空间分成几部分有五种情形：当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分.即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分.所以最多将空间分成8部分.
7.一个正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点.过点P 将木块锯开，使截面PDEF 平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为________.
答案 a 24
解析 由于平面PDEF 与VB 和AC 都平行，所以PF ∥DE ，PF ＝12VB ，PD ∥EF ，PD ＝1
2AC ，
所以四边形PDEF 为平行四边形.又四面体为正四面体，所以VB ⊥AC ，且VB ＝AC ，所以PF ⊥EF ，且PF ＝FE ，则四边形PDEF 是边长为12a 的正方形，故其面积为a 2
4
.
8.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________.
答案 60°
解析 连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C 交BC 1于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，
则GH ∥AB 1∥EF .
设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ， 在△GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22
a ， 故两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.
9.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到三棱锥A －BCF ，其中BC ＝2
2
. (1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF .
证明 (1)在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ， ∴AD DB ＝AE EC
， 在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立，∴DE ∥BC . ∵DE ?平面BCF ，BC ?平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .
(2)在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥BC ，折叠后，AF ⊥CF .
∵在△BFC中，BC＝
2
2，BF＝CF＝
1
2，
∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.
又AF∩BF＝F，AF，BF?平面ABF，
∴CF⊥平面ABF.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点.
求证：(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
证明(1)如图，连接AC，CD1.
因为ABCD为正方形，N为BD的中点，所以N为AC的中点.
又M为AD1的中点，
所以MN∥CD1.
因为MN?平面CC1D1D，CD1?平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)连接BC1，C1D，
因为B1BCC1为正方形，P为B1C的中点，所以P为BC1的中点.
又N为BD的中点，所以PN∥C1D.
因为PN?平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，
所以PN∥平面CC1D1D.
由(1)知MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N，MN，PN?平面MNP，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
11.下列不能确定两个平面垂直的是()
A.两个平面相交，所成二面角是直二面角
B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C.一个平面经过另一个平面的一条垂线
D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
答案 D
解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.
12.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β. 其中正确结论的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 C
解析①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确结论的个数是2.
13.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD∥BE，AC∥DG∥EF，且AB＝DE，DG＝2EF，则下列说法中正确的是________.(填序号)
①BF∥平面ACGD；
②CF∥平面ABED；
③BC∥FG；
④平面ABED∥平面CGF.
答案①
解析∵EF∥DG，EF?平面ADGC，DG?平面ADGC，
∴EF∥平面ADGC，
同理，BE∥平面ADGC，
又∵BE∩EF＝E，
∴平面BEF∥平面ACGD，
∵BF?平面BEF，∴BF∥平面ACGD，故①正确；
由于DG＝2EF，则四边形EFGD是梯形，
GF的延长线必与直线DE相交，故④不正确；
选项②③不能推出.
14.如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ?α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________.
答案
3
4
解析 如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，
连接OB ，OC ，则OC ⊥l ，则∠ACO 为二面角α－l －β的平面角，∠ABC 为AB 与l 所成的角.
设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ.
由图象得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝3
4
.
15.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，点E ，F ，G ，H 分别为P A ，PD ，PC ，PB 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH ∥平面ABCD ； ②BC ∥平面P AD ； ③AB ∥平面PCD ； ④平面P AD ⊥平面P AB . 其中正确的有( )
A.①③
B.①④
C.①②③
D.②③ 答案 C
解析 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH ∥AB ，又EH ?平面ABCD ，AB ?平面ABCD ，所以EH ∥平面ABCD .同理可证EF ∥平面ABCD ，又EF ∩EH ＝E ，EF ，EH ?平面EFGH ，所以平面EFGH ∥平面ABCD ；平面P AD ，平面PBC ，平面P AB ，平面PDC 均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交.
∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD.同理BC∥平面P AD.
16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面P AC；
(2)求证：平面P AB⊥平面P AC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？请说明理由.
(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
∴PC⊥DC.
又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC?平面P AC，AC?平面P AC，∴CD⊥平面P AC.
(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面P AC，
∴AB⊥平面P AC，
又AB?平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AC.
(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.
证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，
又∵E为AB的中点，
∴EF为△P AB的中位线，∴EF∥P A.
又P A?平面CEF，EF?平面CEF，
∴P A∥平面CEF.
立体构成的基本形态要素---点、线、面、体 一、点的构成 1、造型中的点具有相对性。 2、点的构成方式很多，但点独立存在的构成少，多数情况下会存在其他形态要素。 3、点的视觉情感及特征 点的特征： a.与环境相比较，体积小 b.长度、宽度、高度近似 点的作用： a.起某种稳定图式、造型的作用 b.创造视觉焦点 c.创造运动感：设计作品中点的动感通常源于点的集群关系和点 与背景的图底关系。 二、线材的构成 1、线的形态与感情象征 直线与曲线是构成线的两大系统，也是决定一切由线构成的形的基本要素。一般来说，直线表示静，曲线表示动。 直线是一种无机线，它具有冷淡而坚强的表现力。其中垂直线具有生命、尊严、永恒、上升、下落等感情象征；水平线趋向于表示平静、安定、向上的感情象征；斜直线意味着运动、积极、阳性等感情色彩；向下的斜直线则有危险、消极、阴性等感觉特质。而曲折线则表示不安的象征性联想。
2、材料的连接点称为节点，节点有三种 滑节——可以在接触面上自由滑动或滚动。 铰节——像铰链一样可以上下左右旋转，但不能移动，具有各方向受力的特性。刚节——完全固定死的。 线材构成中，线材大致可分为软质线材(又称拉力材)和硬质线材(又称压缩材)两大类。 软质线材包括棉、麻、丝、绳、化纤等软线，还有铁、钢、铝丝等可弯曲变形的金属线材；硬质线材有木、塑料及其他金属条材等。 (1)软质线材的构成 利用棉、麻、丝、化纤等软线、软绳。在构成中，按意图制作造型框架。其结构可选用正方体、三角柱、三角锥、五棱柱、六棱柱等造型;也可采用正圆、半圆或渐伸涡线形等、并在框架上面竖立支柱，以小钉为连点进行连接构成。 (2)硬质线材构成 木条、金属条、塑料细管、玻璃柱等线材均可用以组合而成为立体造型。在构成前，先确定好支架。构成后，部分撤掉，只保留硬质线材构成的部分。 常见的造型方法有： a．垒积构造 只把材料重叠起来做成立体的构造物，叫做累积形式的构成。 在制作时应该注意： (1)接触面过分倾斜易引起滑动；整体的重心若超过底部的支撑面则 构造物将因失去平衡而倒塌。 (2)与用线材做立体构成—样，不要忘记使空隙大小具有韵律。 (3)作为垒积构造的变形，可以在结合部施以简单的防滑处理(如缺口 等)，这样将出现更多的变化。
平面构成入门 点的构成形式 AKI 越小的形体越能给人以点的感觉 (1) 不同大小、疏密的混合排列，使之成为 一种散点式的构成形式 (2)将大小一致的点按一定的方向进行有规 律的排列，给人的视觉留下一种由点的移动 而产生线化的感觉 (3)以由大到小的点按一定的轨迹、方向进 行变化，使之产生一种优美的韵律感 (4)把点以大小不同的形式，既密集、又分 散的进行有目的的排列，产生点的面化感觉 (5)将大小一致的点以相对的方向，逐渐重 合，产生微妙的动态视觉 (6)不规则点的视觉效果 线的构成形式 AKI 线是点移动的轨迹 (1) 面化的线（等距的密集排列） (2)疏密变化的线（按不同距离排列）透 视空间的视觉效果 (3)粗细变化空间,虚实空间的视觉效果
(4)错觉化的线（将原来较为规的线条 排列作一些切换变化） (5)立体化的线 (6)不规则的线 面的构成形式 AKI 它体现了充实、厚重、整体、稳定的视觉效果 (1) 几何形的面，表现规则、平稳、较为理 性的视觉效果 (2)自然形的面，不同外形的物体以面的形 式出现后，给人以更为生动、厚实的视觉效 果 (3)徒手的面 (4)有机形的面，得出柔和、自然、抽象的 面的形态 (5)偶然形的面，自由、活泼而富有哲理性 (6)人造形的面，较为理性的人文特点 单形的构成 AKI (1) 几何单形的相互构成（以圆形、方形、三角形为基本形体，将它们分别以连接、重合、重叠、透叠等形式，构成不同形象特点的造型）
(2)分割所构成的形体（训练设计者灵活的造型能力） (3)重合所构成的形体，（形体间相互重合、添加派生出各种形态各异的造型） (4)自然形单形的构成（把自然物的基本形以真实、自然、概括的形式表现出来，使用到构成设计中去） 平面构成的形式 AKI 1.平面构成的基本格式（基本格式大体分为：90度排列格式、45度排列格式、弧线排列格式、折线排列格式） 2.重复构成形式（以一个基本单形为主体在基本格式重复排列，排列时可作方向、位置变化，具有很强的形式美感） －简单重复构成 －多元重复 3.近似构成形式（有相似之处形体之间的构成，寓“变化”于“统一”之中是近似构成的特征，在设计中，一般采用基本形体之间的相加或相减来求得近似的基本形） 4.渐变构成形式（把基本形体按大小、方向、虚实、色彩等关系进行渐次变化排列的构成形式）
第四章几何图形初步 4.1几何图形 4.1.2点、线、面、体 学习目标 1.通过具体的几何体进一步认识点、线、面、体的几何特征,感受它们之间的关系. 2.通过学习点、线、面、体的运动轨迹,进一步发展抽象能力和形象思维的能力. 3.养成积极主动的学习态度和自主学习的方式. 学习过程 一、自主预习 1.请同学们认真观察一个长方体模型(课本第119页图4.110),思考回答: 这个长方体有几个面?.面和面相交成了几条线?.线和线相交成几个点?. 2.自学交流的方式和要求:(1)经过独立思考,然后在小组中进行交流,在小组讨论中,评价并修正自己的结论.(2)各小组学生公布自己小组讨论后的结论. 3.几何体(看课本第119页说出几何体的概念) (1)长方体是一个几何体,我们还学过哪些几何体? . (2)你知道这些几何体是由什么围成的吗? (3)看一看:如下图中的图形分别有哪些面?这些面有什么不同吗? 结论:面分为面和面. (4)练一练:如下图,围成这些立体图形的各个面中,哪些面是平的?哪些面是曲的? (5)观察我们的周围,举出一些实际生活中“面”的例子,并指出哪些面是平的,哪些面是曲的.. 二、合作探究 1.利用上面“练一练”中的图形,结合下列问题小组合作探究: (1)面和面相交的地方形成了什么?它们有什么不同吗? . (2)线和线相交处又形成了什么? . 2.举出生活中体、面、线、点的例子. 三、动手操作,探索关系 问题1:(1)笔尖可以看作是一个点,这个点在纸上运动时,形成了什么?.
(2)通过上述运动你得出了什么结论?. (3)你能举出生活中的一些实例进一步说明这一结论吗?. 问题2:(1)汽车雨刷可以看作是一条线,它在挡风玻璃上运动时有什么现象? (2)通过对上面现象的分析你得出了什么结论? (3)你能举出生活中的一些实例进一步说明这一结论吗? 问题3:(1)既然“点动成线”“线动成面”,那么请同学们想一想:当面运动时又会形成什么图形? (2)长方形纸片绕它的一边旋转,形成了什么图形?. (3)通过对上面现象的分析你得出了什么结论?. (4)你能举出一些例子进一步说明这一结论吗? 四、课堂练习,深化提高 1.人在雪地上走,他的脚印形成一条,这说明了的数学原理. 2.围成下面这些立体图形的各个面中,哪些面是平的?哪些面是曲的? 3.如下图,上面的平面图形绕轴旋转一周,可以得到下面的立体图形,把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来. 五、联系生活,探究本质 (1)分析研究下列现象: ①为什么在世界地图上,北京只是一点,而在北京地图上,北京几乎占了整个面? ②飞机是一个庞然大物,但它升空后,逐渐在我们的视野里缩小为一个点; ③大型体育馆观众席上,观众按设计者要求着装或造型,都能组成美丽的背景图案. 请你根据自己对点的初步认识,谈谈点所具有的特性,点与图形世界的相互关系. (2)你还能举出一些符合这一观点的例子吗? 六、小结反思 本节课我们遵循着三条线索认识了点、线、面、体,回顾本节课的学习: 1.谈一谈你认识到的点、线、面、体及它们之间的关系. 2.说一说通过今天的学习你对周围环境有了哪些新的认识. 3.想一想在获得一个结论的过程中,我们都经历哪几个环节?这对你将来探索新知识有何帮助? 结合下列题目进行梳理
一、点的构成 1、造型中的点具有相对性。 2、点的构成方式很多，但点独立存在的构成少，多数情况下会存在其他形态要素。 3、点的视觉情感及特征 点的特征： a.与环境相比较，体积小 b.长度、宽度、高度近似 点的作用： a.起某种稳定图式、造型的作用 b.创造视觉焦点 c.创造运动感：设计作品中点的动感通常源于点的集群关系和点 与背景的图底关系。 二、线材的构成 1、线的形态与感情象征 直线与曲线是构成线的两大系统，也是决定一切由线构成的形的基本要
素。一般来说，直线表示静，曲线表示动。 直线是一种无机线，它具有冷淡而坚强的表现力。其中垂直线具有生命、尊严、永恒、上升、下落等感情象征；水平线趋向于表示平静、安定、向上的感情象征；斜直线意味着运动、积极、阳性等感情色彩；向下的斜直线则有危险、消极、阴性等感觉特质。而曲折线则表示不安的象征性联想。 2、材料的连接点称为节点，节点有三种 滑节——可以在接触面上自由滑动或滚动。 铰节——像铰链一样可以上下左右旋转，但不能移动，具有各方向受力的特性。刚节——完全固定死的。 线材构成中，线材大致可分为软质线材(又称拉力材)和硬质线材(又称压缩材)两大类。 软质线材包括棉、麻、丝、绳、化纤等软线，还有铁、钢、铝丝等可弯曲变形的金属线材；硬质线材有木、塑料及其他金属条材等。 (1)软质线材的构成 利用棉、麻、丝、化纤等软线、软绳。在构成中，按意图制作造型框架。其结构可选用正方体、三角柱、三角锥、五棱柱、六棱柱等造型;也可采用正圆、半圆或渐伸涡线形等、并在框架上面竖立支柱，以小钉为连点进行连接构成。
(2)硬质线材构成 木条、金属条、塑料细管、玻璃柱等线材均可用以组合而成为立体造型。在构成前，先确定好支架。构成后，部分撤掉，只保留硬质线材构成的部分。 常见的造型方法有： a．垒积构造 只把材料重叠起来做成立体的构造物，叫做累积形式的构成。 在制作时应该注意： (1)接触面过分倾斜易引起滑动；整体的重心若超过底部的支撑面则 构造物将因失去平衡而倒塌。 (2)与用线材做立体构成—样，不要忘记使空隙大小具有韵律。 (3)作为垒积构造的变形，可以在结合部施以简单的防滑处理(如缺口 等)，这样将出现更多的变化。 (4)为了利于保存，可以用粘接剂将节点固定成刚性节点，但是必须 要求不粘接也能维持形态。 b．椼架构造