9.16 分组分解法
上海市民办中芯学校 张莉莉 教学目标： 1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义．
2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理 的分组方案．
3．能综合运用各种方法完成因式分解．
教学重点： 理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 教学难点： 筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解
教学过程：
一 复习引入
1.什么是因式分解？
2.学过几种因式分解的方法？
3.思考：如何将多项式 by bx ay ax +++)1(分解因式？
二 新知探究
环节1
内容 ：因式分解 by bx ay ax +++)1(
教师：提出问题 指导学生一题多解 引入定义
学生：思考 回答 板书练习
意图：1.通过一题多解，培养学生的发散思维
2.使学生整体感悟因式分解的方法，再局部的把握知识。
3. 探索 讨论 总结分组的原则
要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有供四项式作
分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接
达到分解的目的．但如果分组后在局部分别分解，然后在组与
组直接再看看有没有公因式，就可以创造整体分解的机会．
试一试：分解因式（1） 22-+-y x xy （2）1+++ab b a
（4）y x y x 2422-+- （4）b a b a ---392
2 环节2
如何将多项式12)2(2
2-++b ab a 分解因式？
教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？
学生：尝试 探索 总结
意图：拓展学生的思维 再一次认识如何合理分组？
要点：组和组之间存在平方差的联系
巩固练习：
（1）y x y xy x 5251022-++- （2）b ab a a 332+-- （3）a a x x 222
2---
三课堂小结：引导学生从知识，技能，方法，整体等方面自主小结如何合理分组，教师点评，总结
四作业布置：练习册：9.16
补充思考题：
环节3 巩固练习：
1.多项式x xy y x 2+++运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）
A. x)(xy y)(x 2+++
B. x)y (xy)(x 2+++
C. x)xy y (x 2+++
D. x xy)y (x 2+++
2. 多项式12a -a -x 2
2-运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）
A. 1)-2a ()a -(x 22-+
B. 1)2a (a -x 22++
C. 12a)-a -(x 22-
D. 1)(-a 2a)-(x 22-+
3. 多项式 y y x x --+22运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）.A )()(22y y x x --++ B. )()(22y x y x -+-
C. )()(22x y y x +-+-
D. 22)(y y x x --+
5.因式分解.
（1）1+++ab b a （2）2
22b bc ac ab a ++++
（3）y y x x 2422--+ （4）2229124c bc b a -+-
教师：指导学生分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单. 学生：实践巩固 应用问题
意图：举一反三 触类旁通
注意：分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单.
三 归纳小结 渗透学法 四项多项式如何分组？?????-???差公式先完全平方公式后平方
三一分组分组符合平方差公式的两项按字母分组两两分组 作业布置：练习册9.16
补充思考题： （1）444y x + （2）4
224363y y x x ++
（3）4y -2x 4y 4xy -x 22++ （4）b a b a 2418321822+-- 提示：（3）是三项多项式，但不是完全平方式的形式，也不能用十字相乘法分解，
应该怎么处理？可以在原式的基础上增减项使得配成完全平方式的形式
）
的思路同（3)4(9)3612(936123632
242242242244224y x y y x x y x y y x x y y x x -++=-++=++
(1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性.
(2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单.
(3)分组时要用到添括号法则，注意添加带有“－”号的括号时，括号内每项的符号都要改变.
(4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项
式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
???
?????????+=++-+=-的多项式）十字相乘法（适用三项（适用三项的多项式）
完全平方公式（适用两项的多项式）平方差公式公式法提公因式法22222)(2:))((:¨b a b ab a b a b a b a
【分析】（1）这是一个四项式，它的各项没有公因式，而且也没有供四项式作分解的公式
可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的．但是，
如果分组后在局部分别分解，就可以创造整体分解的机会．
（2）符合公式的两项分组
（3）观察多项式，前三项符合完全平方公式
要点：分组后组间能分解因式
数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?
例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+
例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠
分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（） 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 例2. 分解因式 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 2. 在几何学中的应用 例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足 证明：以a、b、c为三边能构成三角形 分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明： 3. 在方程中的应用 例：求方程的整数解
分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解 4、中考点拨 例1.分解因式：_____________。 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。 例2．分解因式：____________ 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。 例3. 分解因式：____________ 说明：分组的目的是能够继续分解。 5、题型展示： 例1. 分解因式： 说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。 例2. 已知：，求ab+cd的值。
9.16 分组分解法 上海市民办中芯学校 张莉莉 教学目标： 1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义． 2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理 的分组方案． 3．能综合运用各种方法完成因式分解． 教学重点： 理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 教学难点： 筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解 教学过程： 一 复习引入 1.什么是因式分解？ 2.学过几种因式分解的方法？ 3.思考：如何将多项式 by bx ay ax +++)1(分解因式？ 二 新知探究 环节1 内容 ：因式分解 by bx ay ax +++)1( 教师：提出问题 指导学生一题多解 引入定义 学生：思考 回答 板书练习 意图：1.通过一题多解，培养学生的发散思维 2.使学生整体感悟因式分解的方法，再局部的把握知识。 3. 探索 讨论 总结分组的原则 要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的．但如果分组后在局部分别分解，然后在组与组直接再看看有没有公因式，就可以创造整体分解的机会． 试一试：分解因式（1） 22-+-y x xy （2）1+++ab b a （4）y x y x 242 2-+- （4）b a b a ---3922 环节2 如何将多项式12)2(2 2-++b ab a 分解因式？ 教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？ 学生：尝试 探索 总结 意图：拓展学生的思维 再一次认识如何合理分组？ 要点：组和组之间存在平方差的联系 巩固练习： （1）y x y xy x 5251022-++- （2）b ab a a 332+-- （3）a a x x 222 2--- 三 课堂小结：引导学生从知识，技能，方法，整体等方面自主小结如何合理分组，教师点
数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(
（一）复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习： 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2．应用举例 例1．把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。 解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b) 3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b) 5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b) 7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx 9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2 ⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕3m－3y－ma＋ay ⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy
“分组分解”教学案例 用分组分解法分解因式，是初中数学的一个教学难点。每年教学到这个地方，我都特别重视，特别下劲。尽管我为此付出了很多，但是教学效果始终不尽人意，总有个别学生不能够灵活运用这种方法。 为了攻破这一教学难点，我除了反思自己的教学外，还积极到计算机网络上检索同仁们的教学录像，借鉴他们的教学方法，对我启发很大。 教学过程如下： 师：到现在为止，我们学习了哪两种因式分解的方法？生：提取公因式法，利用公式法。 师：怎样分解因式a(m＋n)＋b(m＋n)? 生：提取公因式（m＋n）得(a＋b)(m＋n)。 师：怎样分解下面这个因式？请同学们思考一下。 am＋an＋bm＋bn。 师：（少顿。做思考状）如果我们能够把它转化成a(m＋n)＋b(m＋n)，那么问题就迎刃而解了。而要达到这一目的，首先要做什么？谁能够勇敢地站起来说一说？ 学生甲：先把它分成两组,再提取公因式am＋an＋bm＋bn= (am＋an)＋(bm ＋bn)= a(m＋n)＋b(m＋n)。 师：说得很完整。到了这一步，再提取公因式(m＋n)，就得到了因式分解的最终结果(a＋b)(m＋n)。 （教师指着解题过程，面对学生，提高音量）这种先对因式分组，再进行分解的方法，就是我们这一节要研究的因式分解方法。（板书课题《分组分解法》）
师：谁能够根据我们刚才的因式分解过程，给分组分解法下一个定义？请同学们思考1分钟。 教师从众多举手的学生中，指定一位站起来回答，自己板书定义：用分组来分解因式的方法，叫做分组分解法。 师：我们刚才为什么要把am＋an＋bm＋bn分成(am＋an)和(bm＋bn)呢？而没有分成其他组呢？这里有什么潜规则？（少顿）这就涉及到分组的原则问题。（板书“原则：”）请同学们观察分成的两个组，看它们有什么特点？我要指定学生回答。 学生乙：每个组都有公因式。 师：对。分解后，每个组都有可以提取的公因式。因为我们的目的是进行因式分解。如果所分的组没有公因式可提取，那么分解将无法进行，也就失去了分组的意义。所以，大家一定要记住，所分的组里要有公因式。（板书：原则1：分解后，每个组都有可以提取的公因式。） 师：看一看，想一想，分的组还有什么特点？ 生：组与组之间还有公因式。 师：只有当组与组之间还有公因式可提，分解因式的工作才能继续进行。所以，分组的第二个原则是“组与组之间还有公因式”（板书：原则2：组与组之间还有公因式。）请同学们用1分钟时间把这两个原则熟记下来。教师指定学生读这两个原则，指定不同程度的学生不看黑板叙述这两个原则。指出，今后用分组分解法分解因式的时候，首先要用这两个原则衡量自己的分组。所分的组符合这两个原则，分组的方法基本上是对的；所分的组违背了这两条原则，因式分解无法继续，要重新分组。 板书两道例题： 1、－ab＋ac－bc 2、2ax－10ay＋5by－bx 指定一个学生到黑板上做第一题，其他学生在自己的位置上做。
因式分解之分组分解法 1. 按字母特征分组（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc 2. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+- 3. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +-- 4.按公式特点分组（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+- 四．总结规律 1.合理分组（2+2型）； 2.组内分解（提公因式、平方差公式） 3.组间再分解（整体提因式） 4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就 选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化. 五．练习巩固 1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（ ） A ．1种B .2种C .3种D .4种 2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是（ ） 3．填空： （1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( ) （2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( ) （3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( ) 4．把下列各式分解因式 （4）9m 2－6m ＋2n －n 2 )2().()2().(222222bc c b a C bc b c a A ------) 2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--xy x y x 21565)1(2--+b a ab a 3217)2(2--+1243)3(22--+a x ax
错位相减法求和 如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 例1． 已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。 例2 求和S n = n n n n 2 12232252321132-+-++++- 例3：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。 例4设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且 1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．求数列n n a b ?????? 的前n 项和n S ．
例5.设数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3 n-1a n ＝ 3n ,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项; (2)设n n a n b = ,求数列{b n }的前n 项和S n . 分组求和 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1：S n =-1+3-5+7-…+(-1)n (2n-1) 例2已知数列{}n a 的前五项是111111,2,3,4,5,392781243 （1）写出该数列的一个通项公式； (2)求该数列的前n 项和n S . 例3 求下面数列的前n 项和： 1147(3n 2)＋，＋，＋，…，＋－，…11121a a a n -
例4 求数列:1223 131311,,31311,311,1n +++++++ 的前n 项的和. 例5求2222121234(1)n S n -=-+-+ +-（n N +∈） 例6、求和:??? ? ??+++???? ??++???? ?? +n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 例7 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
分组分解法教案
9.16 分组分解法 上海市民办中芯学校张莉莉 教学目标： 1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义． 2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理的分组方案． 3．能综合运用各种方法完成因式分解． 教学重点：理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 教学难点：筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解 教学过程： 一复习引入 1.什么是因式分解？ 2.学过几种因式分解的方法？ 3.思考：如何将多项式by + )1(分解因式？ + bx ay ax+ 二新知探究 环节1 内容：因式分解by + )1( + ax+ ay bx 教师：提出问题指导学生一题多解引入定义 学生：思考回答板书练习 意图：1.通过一题多解，培养学生的发散思维 2.使学生整体感悟因式分解的方法，再局部的把握知识。 3. 探索讨论总结分组的原则
要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有 供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过 的基本方法都无法直接达到分解的目的．但如果分 组后在局部分别分解，然后在组与组直接再看看有 没有公因式，就可以创造整体分解的机会． 试一试：分解因式（1） 22-+-y x xy （2）1+++ab b a （4）y x y x 2422-+- （4）b a b a ---3922 环节2 如何将多项式12)2(22-++b ab a 分解因式？ 教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？ 学生：尝试 探索 总结 意图：拓展学生的思维 再一次认识如何合理分组？ 要点：组和组之间存在平方差的联系 巩固练习： （1）y x y xy x 5251022-++- （2）b ab a a 332+-- （3）a a x x 2222--- 三 课堂小结：引导学生从知识，技能，方法，整体等方面自主小结如何 合理分组，教师点评，总结 四 作业布置：练习册：9.16 补充思考题：
分组求和法 典题导入 [例1] (2011·山东高考)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [自主解答] (1)当a 1＝3时，不合题意； 当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意． 因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3，故a n ＝2·3n －1. (2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3， 所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n 2n ]ln 3＝2×1－32n 1－3 ＋n ln 3＝32n ＋n ln 3－1. 由题悟法 分组转化法求和的常见类型 (1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和． (2)通项公式为a n ＝????? b n ，n 为奇数， c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数 列，可采用分组求和法求和． 以题试法 1．(2013·威海模拟)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求： (1)p ，q 的值； (2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．
初二因式分解解读之六：编制人：平生曜曜 因式分解中的“分组分解法” 分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度，如何分组并非漫无目标地轮换重组，这需要讲究一些“可以掌控的”技巧，而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。 不废话！开始上菜，入席就吃。只要肯用心吃，终有一天会吃胖的！ （1）、分解因式：a2 x －b2 x －a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。 〈分析〉：原式由“①、a2 x，②、－b2 x，③、+ a2 y，④、+ b2 y”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”间有公因式，所以可考虑： 第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。 解：原式=（a2 x －b2 x）+（－a2 y + b2 y） = x（a2 －b2）－ y（a2 －b2） = （a2 －b2）（x －y） =（a + b）（a－b）（x －y） 第二种分组方式：①和③分为一组，②和④分为另一组。 解：原式=（a2 x －a2 y）+（－b2 x + b2 y） = a2（x － y ）－b2（x －y） =（x －y）（a2 －b2） = （x －y）（a－b）（a + b） （2）、分解因式：x2 －4 + y2－2xy …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。
〈分析〉：原式由“①：x2”、“②：－4”、“③： +y2”和“④：－2xy”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”若组合在一起，就可以暂时先用提取公因式法，或者运用公式法，来作第一步分解，所以值得尝试： 第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。 解：原式=（x2 －4）+（y2 －2x y） = （x － 2 ）（x + 2）－y（y －2x） 此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！ 第二种分组方式：①、③、④合为一组，②单独为另一组。 解：原式=（x2 + y2 －2x y ）+（－4） =（x － y）2 －（2）2 =（x － y + 2）（x － y － 2） （3）、分解因式：x2 + 3x －y2 －3y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。 〈分析〉： 第一种情况：尝试①、②合为一组，③、④合为另一组： 解：原式=（x2 + 3x ）+（－y2 －3y） = x（x + 3）－ y（y + 3） 此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！ 第二种情况：尝试①、③合为一组，②、④合为另一组： 解：原式=（x2 －y2）+（3x－3y） =（x + y）（x － y）+ 3（x － y） =（x － y）（x + y + 3） 〈总结技巧之一〉：形如“平方和”的项，宜与“相应的交叉项”暂时凑成一组，然
9.16分组分解法 教材解读： 本章主要介绍提公因式法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法和分组分解法四种最简单、最常用的分解因式的方法。本节内容分组分解法是为前面三种方法的运用创造条件，即把多项式各项适当分组，使之能够应用以上三种方法。分组的目的不仅要使各组“局部”能分解因式，而且要能对整体进一步进行因式分解。因式分解和整式的乘法运算都是整式的一种恒等变形，因式分解是整式乘法的一种逆向变形，也是今后学习分式的基础。课程标准要求：在因式分解中，所涉及的多项式不超过四项；不涉及添项、拆项等偏重技巧性的要求。用公式法分解因式时，只涉及平方差公式和完全平方公式。不要求掌握用十字相乘法对二次项系数不等于1的二次三项式进行因式分解；关于一般的二次三项式的因式分解，将通过后续学习主要掌握求根公式法。由于因式分解需要学生有较高的观察能力、分析能力和应用能力，因此要关注学生不同的思维方式，鼓励、引导学生积极思考，勇于探索，培养学生潜在的思维能力和创新能力。 教学目标： 1.理解分组分解法的概念. 2.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 3.经历分组分解法分解含有四项的多项式的过程，体会因式分解的基本方法之间的联系和区别，提高观察、分析和解决综合问题的能力? 重点：分组分解法分解含有四项的多项式难点:选择适当的分组方法，继续因式分解教学过程： 一.复习 师：我们已经学习了因式分解的哪几种基本方法？ 生：提公因式法、公式法、十字相乘法。 师：好，下面让我们试一试用这些基本方法来因式分解吧！ 分解因式，并归纳解题模块： 6a2 -6b2 归纳解题模块： 两项式的因式分解的解题模块：1?“提”取公因式2.“套”平方差公式 2 2 2a 4ab 2b 3a2-15a 18 归纳解题模块： 三项式的因式分解的解题模块：1?“提”取公因式 2.“套”完全平方公式或十字相乘法 设计意图：通过三道题目的练习，引导学生归纳出两项式和三项式因式分解的解题模块，训练学生的归纳能力。 二、新课探索 师：同学们已经掌握用提公因式法、公式法、十字相乘法这些解题工具来解二项式与三项式的因式分解的题目，那么还有哪些未知的题目有待我们去研究呢？问题一：
分组分解因式分解练习题 1. 按字母特征分组a?b?ab?1 a2－ab＋ac－bc 2. 按系数特征分组7x2?3y?xy?21x ac?6ad 3. 按指数特点分组a2?9b2?2a?6bx2?x?4y2?2y 2224.按公式特点分组a－2ab＋b－c a2?4b2?12bc?9c2 四．总结规律 1.合理分组； 2.组内分解 3.组间再分解 4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化. 五．练习巩固 1．用分组分解法把ab－c＋b－ac分解因式分组的方法有 A．1种B.2种C.3种D.4种 2. 用分组分解a2－b2－c2＋2bc的因式，分组正确的是 A.?bc) C.?222222?bc?3bd B.?2bc D.a?222222 3．填空：
ax＋ay－bx－by=－ = x2－2y－4y2＋x= ＋ = 4a2－b2－4c2＋4bc= － = 4．把下列各式分解因式 ax25x?6y?15x?2xy ?3x?4a?1227a?ab?21a?3bm2－6m ＋2n－n2 4x－4xy－a＋y22 1―m―n＋2mn2 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 242a???aa1 例1. 把多项式2分解因式，所得的结果为 3254 式后，再进一步分解；此题也可把x，x分别看作一组，
1.求数列的前n 项和： ,231,,71,41, 1112-++++-n a a a n 2.数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2012等于( ) A. 1006 B. 2012 C. 503 D. 0 3.设f (x )＝12x ＋2 ，则f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)的值为________． 4.求?+?+???+?+?+?89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222的值。 5.求数列13521,,,,,2482n n -的前n 项的和。
6.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上． (1)求r 的值； (2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n (n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n . 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S n +=22，n ∈N*，数列{}n b 满足 3log 42+=n n b a ，n ∈N*. (1)求n n b a ,； (2)求数列{}n n b a ?的前n 项和Tn. 8.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1 a n ＝n 3，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项； (2)设b n ＝n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 9.求和 )2(1 531 421 311+++?+?+?n n
§9.16 分组分解法 教学目标：1、理解分组分解法的概念，能用分组分解的方法分解含四项的多项式； 2、经历探索含四项的多项式分组分解的过程，进一步树立勇于尝试，不怕失败的 精神，并且体验善于归纳、善于总结的方法。 教学重点：归纳含四项的多项式分组分解的方法和规律 教学难点：正确合理地分组，解决含四项的多项式因式分解的问题。 教学过程： 复习： 1、什么是因式分解？ 我们学过哪些因式分解的方法？ 2、快速口答： 因式分解：1、 2、 3、+2ab+ 4、 5、 【设计意图：通过简单的5道分解因式，不仅让同学们复习所学过的几种分解因式的方法，还利用上面的1、2、3这三道题目通过变式引出思考】 3、归纳：分解一个多项式的一般步骤 二、新授：
变式思考：观察，和，你会分解吗？ 分析1：这三个多项式能否直接用我们前面所学过的三种方法分解因式？它们有什么特征？ 共同点：这几个多项式都是四项式，并且它们各项没有公因式。那么你们能否开动脑筋、想办法把它们分解因式？ 分析2：观察多项式，可见前面两项有公因式a，后面两项有公因式b； 所以我们把多项式分成与两组。前一组提取a，得到另一个因式(x+y)，后一组提取b，得到另一个因式也是(x+y)，然后继续提取公因式（x+y）。这样就可以把这个多项式分解因式。 即：=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b) 问：还没有没其它分组方法？ 我们把多项式分成与两组。前一组提取x，得到另一个因式(a+b)，后一组提取y，得到另一个因式也是(a+b)，然后继续提取公因式（a+b）。这样就可以把这个多项式因式分解。 注意：分组的目的是获得新的公因式 概念：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 分析3：观察，我们再使用两两分组行吗？ 前面三项为完全平方式，所以我们把多项式分成与两组，然后再用平方差公式进行分解。 即：
完全平方公式（提高）巩固练习 【巩固练习】 一.选择题 1. 多项式22 3x xy ay -+可分解为()()5x y x by --，则a b 、的值为( ). A.a ＝10，b ＝－2 B.a ＝－10，b ＝－2 C.a ＝10，b ＝2 D.a ＝－10，b ＝2 2. 若()2230x a b x ab x x +++=--，且b a <，则b 的值为( ). A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 将()()2 56x y x y +-+-因式分解的结果是( ). A.()()23x y x y +++- B. ()()23x y x y +-++ C.()()61x y x y +-++ D. ()()61x y x y +++- 4．分解结果等于()()4225x y x y +-+-的多项式是 ( ) A ．
B ． C ． D ． 5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )
A. 22(42)(93)x x y y ++-- B. 22(49)(23)x y x y -+- C. 22(43)(29)x y x y -+- D. 22(423)9x x y y +-- 6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，那么m 的值是（ ） A. －9 B.9 C.－1 D.1 二.填空题 7. 分解因式： 3223636a a b a c abc +--； 8. 分解因式：224202536a ab b -+-； 9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________. 10. 如果代数式 有一因式，则a 的值为_________． 11．若3223a a b ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________.
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知 识点归纳 ★★ 知识体系梳理 ◆ 分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆ 十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下：
◆ 因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆ 因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★ 典型例题、解法导航 ◆ 考点一：十字相乘法 、型三项式的分解 【例1】计算：
（1） （2） （3） （4） 运用上面的结果分解因式： ①、 ②、 ③、 ④、 方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。 ◎变式议练一： 、 2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数为（ ） 、个 、个 、个 、个 3、把下列各式分解因式： ①、
9.16 分组分解法 一、教学目标 理解分组分解法的意义；进一步理解因式分解的意义；初步掌握分组后能直接提公因式分解因式的方法。尝试中获得合作的成功，感受一下成功的喜悦。 二、教学重点、难点 掌握分组分解法的分组原则；如何分组才能达到因式分解的目的；选择分组方法。 三、教学流程设计 四、教学过程
（一）复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入 提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明： 如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习： 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) (三)．应用举例 例1．把a2-ab+ac-bc分解因式
分析 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。 解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析： 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可以继续提公因式。 解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问： 这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？ (四)、练习： 把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n
数列求和的三种特殊求法 例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和 例2、求下列数列的前n 项和： （1）211，412 ，813，……n n 2 1+，…… （2）1，211+，3211++……n +??+++3211…… （3）5，55，555．……，55……5，……（4）0.5,0.55,0.555，……，0.55……5，…… 例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和： （1） )1(1+=n n a n （2）) 2(1 +=n n b n （3）{a n }满足a n =1 1 ++n n ，求S n （4）求和：+?+?=5343122 2n S ……+)12)(12()2(2+-n n n （5）求和) 2)(1(1 43213211+++??+??+??= n n n S n 例4、求数列ΛΛ,,,3,2,3 2 n na a a a （a 为常数）的前n 项和n S 。 练习：求和： 21，223，32 5，……n n 21 2-，……
知识演练： 1. （2009年广东第4题）已知等比数列}{n a 满足)3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n n n 且Λ， 则当1≥n 时，=+++-1221212log log log n a a a Λ A ．)12(-n n B ．2 )1(+n C ．2n D ．2 )1(-n 2. （2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 3. （2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且 .)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和T n 小结：数列求和的方法 分组求和，裂项相消（分式、根式），错位相减（差比数列） 数列求和的思维策略： 从通项入手，寻找数列特点
2019-2020年八年级数学分组分解法教案(I)新课标人教版 教学目的： 1.使学生掌握分组分解法中，分组后运用公式把多项式分解因式。 2.通过一题多解，培养学生探索和创新能力。 教学重点：熟练掌握把四项式进行适当分组，并运用公式法分解因式。 教学难点：掌握分组的原则，使其能够在组内或在组与组之间用公式法分解因式。 教学过程： 一、复习提问： 1.通过讲评作业，复习运用分组分解法进行因式分解。 2.强调：我们在利用分组分解时，在分组时要预先观察和想到分组后两组各有的公因式，而且两组之间还能继续提取公因式。分组不是最后的目的，而是通过分组后把问题转化到两组之间还可以再分解因式，这样选择分组方法是分组分解法的关键。 二、讲解新课： 1.例1：把分解因式。 分析：引导学生观察分析，如果把前两两项分成一组，虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中有一个因式是，后两项分成一组，通过提取公因式，也有一个因式是，这样两组之间可再通过提取公因式进行因式分解。这就是分组后能直接运用公式进行因式分解。
解： )())((y x a y x y x ++-+= 2. 例2：把分解因式。 分析：引导学生观察分析，用两种方法进行因式分解。总结出解题思路：无论采取哪一种分组的方法，最后两组之间一定要能再分解才行。最后相同因式相乘要写成乘方的形式。 解法一： )()(3 223y xy y x x --++= 解法二： )()(3 223y y x xy x -+-= )()(2222y x y y x x -+-= 3. 练习：P30练习1，2，4。 4. 例3：把分解因式。 分析：引导学生观察讨论，此题若按前面二二分组的方法进行分组，能否分解？若不行，怎么办？进一步观察分析这个多项式的特征，前三项是一个完全平方式，它与第四项组成平方差公式，可以继续分解因式。这种分组的方法叫“三一分组”，三项是完全平方式，两组