伯努利方程的推导及其实际应用总结
楼主：西北荒城时间：2015-03-03 14:08:00 点击：1091 回复：0
一，伯努利方程的推导
1726年，荷兰科学家丹尼尔·伯努利提出了描述理想流体在稳流状态下运动规律伯努利原理，并用数学语言将之精确表达出来，即为伯努利方程。伯努利方程是流体力学领域里最重要的方程之一，学习伯努利方程有助于我们更深刻的理解流体的运动规律，并可以利用它对生活中的一些现象作出解释。同时，作为土建专业的学生，我们将来在实际工作中，很可能要与水、油、气等流体物质打交道，因此，学习伯努利方程也有一定的实际意义。作为将近300岁高龄的物理定律，伯努利方程的理论是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。在本文中，笔者只是想结合自己的理解，用自己的方式推导出伯努利方程，并应用伯努利方程解释或解决现实生活中的一些问题。
既然要推导伯努利方程，那么就首先要理解一个概念：理想流体。所谓理想流体，是指满足以下两个条件的流体：1，流体内部各部分之间无黏着性。2，流体体积不可压缩。需要指出的是，现实世界中的各种流体，其内部或多或少都存在黏着性，并且所有流体的体积都是可以压缩的，只是压缩的困难程度不同而已。因此，理想流体只是一种理想化的模型，其在现实世界中是不存在的。但为了对问题做简化处理，我们可以讲一些非常接近理想流体性质的流体视为理想流体。
假设有某理想流体在某细管中做稳定流动。如图，在细管中任取一面积为s1的截面，其与地面的相对高度h1,，流体在该截面上的流速为v1，并且该截面上的液压为p1。某一时刻，有流体流经s1截面，并在dt时间内发生位移dx1运动到新截面s2。由于细管中的水是整体移动的，现假设细管高度为h2处有一截面s3，其上流体在相同的时间内同步运动到了截面s4，流速为v2，共发生位移dx2。则有如下三个事实：
1：截面s1、s2之间流体的体积等于截面s3、s4之间流体的体积，即s1dx1=s2dx2
2：截面s1、s3之间流体的体积等于截面s2、s4之间流体的体积（由事实1可以推知）
3：细管中相应液体的机械能发生了变化。
事实1和事实2实际上是质量守恒的体现，事实3则须用能量守恒来解释，即外力对该段流体做功的总和等于该段流体机械能的变化。因截面s2、s3之间流体的运动状态没有变化，故全部流体机械能的变化实质上是截面s1、s2之间
流体和截面s3、s4之间流体的机械能之差。
因此，根据能量守恒得：
W总=?ρs１dx１v１2+ρs１dx１gh１-(?ρs２dx２v２2+ρs２dx２gh２) （ρ为该流体密度）
W总=p１s１dx１-p２s２dx２
联合两式得：
p２s２v2dt-p１s１v１dt =?ρs２dx２v２2+ρs２dx２gh２-（?ρs１dx１v １2+ρs１dx１gh１）
又有质量守恒：
s1dx1=s2v2dt= s1dx1=s2dx2
故左右两边可以同时消去质量：
p１- p２= ?ρv２2 +ρs２gh２- ?ρv１2-ρgh１
移向整理即得伯努利方程的标准形式：
p１+ ?ρv１2+ρgh１= p２+?ρv２2 +ρs２gh２
由于我们的截面是任意取的，所以这个规律对于细管中的任意两截面都是成立的，因此可以做一推广。即有对于细管中的任意截面，都有：
P+ ?ρv2+ρgh=c
其中c是一个与流体种类和该流体运动状态有关的常量。
推导完毕
二，伯努利方程的实际应用
1,飞机飞行的升力力从何而来？已知空气密度ρ，飞机背部气流速度v2和腹部气流速度v1，求飞机腹部和背部的压强差Δp。
在极短的时间内，飞机的高度h可以视为常数，故飞机背部和腹部的压强都只与气流速度有关。而飞机一般都是背部弯曲，腹部平坦，致使背部气流速度大于腹部气流速度，由伯努利方程可知，腹部向上的压强大于背部向下的压强，故飞机可以克服重力起飞并飞行。利用伯努利方程代入计算可得：Δp= ?ρv22-?ρv12
2,航行中的的两船为何不能靠的太近？
船在航行中之所以能保持平衡而不侧翻，是因为船两侧的压强等大反向，相互抵消的缘故。如果两船靠的太近，则夹在两船之间的水会在两船的作用下运动，致使船外侧压力大而内侧压力小，可能导致两船同时向中间侧翻，发生安全事故。故两艘航行中的船不能靠的太近。
３，风速太大会导致人呼吸困难吗？
会。当人们在荡秋千或者站在风口时，常会感到呼吸有略微的“困难”，这也是由于外部气流过大，导致外界压强略微降低，进而让空气进入人体肺部变得困难。
4，现有一批生产质量不同的水管，欲组成一座大楼的供水系统，仅考虑物理因素，怎样排列这些水管最合理?
由伯努利方程可知，高度越大的地方压强越小，水对管壁的压力也就越小。因此，越往底部，对水管生产质量的要求越高，所以将这些水管按质量好坏由低到高连接起来最合理。
伯努利方程 流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。 方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得： Zg+2 2 u P +ρ＝常数 式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为： ρ P u +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。 对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为： g u g P Z g u g P Z 2222 2 22111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速 度头）。 对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式： 121 12 22211ln 22P P P u gZ u gZ ρ++=+ 若为可逆绝热过程，方程可写为： 121 1222211ln 22P P P u gZ u gZ ρ++=+ 式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。 对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ， 若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为： α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。 方程的应用 伯努利方程阐明的位能、动能、静压能相互转换的原理，可用来分析计算一些实际问题，例如： ①计算流体从小孔流出的流速 设在容器中盛有液体，液面维持不变,距液面下h 处的容器壁面上开有一小孔，液体在重力作用下自小孔流出。据伯努利方程可以计算出液体由小孔流出时的平均流速为： gh Cd u 2= 式中C d 为孔流系数，其值由实验确定，约为0.61～0.62；g 为重力加速度。由上述速度及已知的小孔面积,可算出通过小孔的流量；或由这一关系，计算确定达到一定流量所必须维持的液面
根据流体运动方程P F dt V d ??+=ρ1 上式两端同时乘以速度矢量 ()V P V F V dt d ???+?=???? ??ρ 1 22 右端第二项展开—— () ()V P V P V F V dt d ???-???+?=???? ? ?ρρ1122 利用广义牛顿粘性假设张量P ，得出单位质量流体微团的动能方程 () E V div p V P div V F V dt d -+?+?=??? ? ?? ρρ1 22 右第三项是膨胀以及收缩在压力作用下引起的能量转化项（膨胀：动能增加<--内能减少） 右第四项是粘性耗散项：动能减少-->内能增加 热流量方程：用能量方程减去动能方程 反映内能变化率的热流量方程 ()() dt dq V P div V F V T c dt d +?+?=+ ρυ12/2 () E V div p V P div V F V dt d -+?+?=???? ? ? ρρ122 得到 ()()E V div p T c dt d dt dq dt dq E V div p T c dt d -+=++-= ρ ρυυ / 对于理想流体，热流量方程简化为： ()V d i v p T c dt d dt dq ρυ+= 这就是通常在大气科学中所用的“热力学第一定律”的形式。 由动能方程推导伯努利方程： 对于理想流体，动能方程简化为：() V div p V P div V F V dt d ρρ+?+?=??? ? ??122无热流量项。 又因为() V pdiv p V z pw y pv x pu V P div -??-=??? ???++-=???????)()()(故最终理想流体的动能方 程可以写成： p V V F V dt d ??-?=???? ? ?ρ 22 【理想流体动能的变化，仅仅是由质量力和压力梯度力对流体微团作功造成的，而与热能不 发生任何转换。】 假设质量力是有势力，且质量力位势为Φ，即满足：Φ-?=F 考虑Φ为一定常场，则有： dt d V V F Φ- =Φ??-=?
第一章 流体流动 【例1-1】 已知硫酸与水的密度分别为1830kg/m 3与998kg/m 3，试求含硫酸为60%（质量）的硫酸水溶液的密度为若干。 解：根据式1-4 9984.018306.01+= m ρ =（3.28+4.01）10-4=7.29×10-4 ρm =1372kg/m 3 【例1-2】 已知干空气的组成为：O 221%、N 278%和Ar1%（均为体积%），试求干空气在压力为9.81×104Pa 及温度为100℃时的密度。 解：首先将摄氏度换算成开尔文 100℃=273+100=373K 再求干空气的平均摩尔质量 M m =32×0.21+28×0.78+39.9×0.01 =28.96kg/m 3 根据式1-3a 气体的平均密度为： 3k g /m 916.0373314.896.281081.9=???=m ρ 【例1-3 】 本题附图所示的开口容器内盛有油和水。油层高度h 1=0.7m 、密度ρ1=800kg/m 3，水层高度h 2=0.6m 、密度ρ2=1000kg/m 3。 （1）判断下列两关系是否成立，即 p A =p'A p B =p'B （2）计算水在玻璃管内的高度h 。 解：（1）判断题给两关系式是否成立 p A =p'A 的关系成立。因A 与A '两点在静止的连通着的同一流体内，并在同一水平面上。所以截面A-A'称为等压面。 p B =p'B 的关系不能成立。因B 及B '两点虽在静止流体的同一水平面上，但不是连通着的同一种流体，即截面B-B '不是等压面。 （2）计算玻璃管内水的高度h 由上面讨论知，p A =p'A ，而p A =p'A 都可以用流体静力学基本方程式计算，即 p A =p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2 p A '=p a +ρ2gh 于是 p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2=p a +ρ2gh 简化上式并将已知值代入，得 800×0.7+1000×0.6=1000h 解得 h =1.16m 【例1-4】 如本题附图所示，在异径水平管段两截面（1-1'、2-2’）连一倒置U 管压差计，
公式及意义 由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。下面为气流伯努利方程： 气流的密度为ρ，外部空气的密度为ρa，p1、p2为1-1、2-1断面上的静压，ρυ1^2/2、ρυ2^2/2是动压， （ρa-ρ）g是单位体积气体所受的有效浮力，（z2-z1）是气体沿浮力方向升高的距离，（ρa-ρ）g（z2-z1）是1-1断面相对于2-2断面单位体积气体的位能（称为位压），pw是压强损失。 当气流的密度与外界空气的密度相同时或两计算点的高度相同时，上式可以简化为：其中静压和动压之和称为总压。 当气流的密度远大于外界空气的密度时，此时相当于液体总流前一式中的ρa可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，可以简化为： 注意事项 （1）动能修正系数 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。 （2）气流能量方程应采用压强量纲 能量方程用于液体时，因液体中水头概念很直观具体，采用长度量纲很方便。但是气体流动则不同，由于气体重度γ很小，压强一般比较大，水头概念不明确。所以一般采用压强量纲。 （3）气流能量方程应采用绝对压强 其原因是：方程中两个过流断面之间的高差比较大时，由于不同高度大气压强不同，而导致两断面相对压强的起算基准不同。因此，将总流能量方程的两端，直接代入该断面处得相对压强值进行计算，必定会产生误差。 有能量输入或输出的伯努利方程 总流伯努利方程是在两过流断面间除水头损失之外，再无能量输入或输出的条件下导出的。当两过流断面间有水泵、风机或水轮机等流体机械时，则存在机械能的输入或输出。在这种情况下，根据能量守恒原理，计入单位重量流体流经流体机械获得或失去的机械能Hm，总流能量方程便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程: 两断面间有分流或汇流的伯努利方程 恒定总流的伯努利方程是在两过流断面间无分流或汇流的条件下导出的，而实际的输水、供气管道，沿程大多都有分流或汇流。在这种情况下应用上下游断面之间全部重量流体的能量守恒原理写出能量方程。 非恒定总流伯努利方程 以上的总流的伯努利方程都是恒定总流，下面补充非恒定总流的伯努利方程。
伯努利方程的原理及其应用 摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程发展和原理应用 1.伯努利方程的发展及其原理： 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。 无黏性流体的运动微分方程： 无黏性元流的伯努利方程： 实际恒定总流的伯努利方程： z1++=z2+++h w
总流伯努利方程的物理意义和几何意义： Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头； ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头； ----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。 总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。 2.伯努利方程的应用: 伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：
气体的流速计算伯努利方 程 Revised by Hanlin on 10 January 2021
公式及意义 由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。下面为气流伯努利方程： 气流的密度为ρ，外部空气的密度为ρa，p1、p2为1-1、2-1断面上的静压， ρυ1^2/2、ρυ2^2/2是动压， （ρa-ρ）g是单位体积气体所受的有效浮力，（z2-z1）是气体沿浮力方向升高的距离，（ρa-ρ）g（z2-z1）是1-1断面相对于2-2断面单位体积气体的位能（称为位压），pw是压强损失。 当气流的密度与外界空气的密度相同时或两计算点的高度相同时，上式可以简化为： 其中静压和动压之和称为总压。 当气流的密度远大于外界空气的密度时，此时相当于液体总流前一式中的ρa可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，可以简化为： 注意事项 （1）动能修正系数 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。 （2）气流能量方程应采用压强量纲
能量方程用于液体时，因液体中水头概念很直观具体，采用长度量纲很方便。但是气体流动则不同，由于气体重度γ很小，压强一般比较大，水头概念不明确。所以一般采用压强量纲。 （3）气流能量方程应采用绝对压强 其原因是：方程中两个过流断面之间的高差比较大时，由于不同高度大气压强不同，而导致两断面相对压强的起算基准不同。因此，将总流能量方程的两端，直接代入该断面处得相对压强值进行计算，必定会产生误差。 有能量输入或输出的伯努利方程 总流伯努利方程是在两过流断面间除水头损失之外，再无能量输入或输出的条件下导出的。当两过流断面间有水泵、风机或水轮机等流体机械时，则存在机械能的输入或输出。在这种情况下，根据能量守恒原理，计入单位重量流体流经流体机械获得或失去的机械能Hm，总流能量方程便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程: 两断面间有分流或汇流的伯努利方程 恒定总流的伯努利方程是在两过流断面间无分流或汇流的条件下导出的，而实际的输水、供气管道，沿程大多都有分流或汇流。在这种情况下应用上下游断面之间全部重量流体的能量守恒原理写出能量方程。 非恒定总流伯努利方程 以上的总流的伯努利方程都是恒定总流，下面补充非恒定总流的伯努利方程。 hw为非恒定总流的水头损失，hi是单位重量流体的惯性水头。
第八节伯努利方程 ●本节教材分析 本节属于选学内容，但对于一些生活现象的解释，伯努利方程是相当重要的．本节主要讲述了理想流体，理想流体的定常流动，然后结合功和能的关系推导出伯努利方程，最后运用伯努利方程来解释有关现象． ●教学目标 一、知识目标 1知道什么是理想流体，知道什么是流体的定常流动． 2知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的． 二、能力目标 学会用伯努利方程来解释现象． 三、德育目标 通过演示，渗透实践是检验真理的惟一标准的思想. ●教学重点 1.伯努利方程的推导. 2.用伯努利方程来解释现象． ●教学难点 用伯努利方程来解释现象． ●教学方法 实验演示法、归纳法、阅读法、电教法 ●教学用具 投影片、多媒体课件、漏斗、乒乓球、两张纸 ●教学过程 用投影片出示本节课的学习目标： 1.知道什么是理想气体. 2.知道什么是流体的定常流动. 3.知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的，会用它解释一些现象． 学习目标完成过程： 一、导入新课 1.用多媒体介绍实验装置 把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间 2.问：如果向漏斗口和两张纸中间吹气，会出现什么现象? 学生猜想： ①乒乓球会被吹跑； ②两张纸会被吹得分开． 3.实际演示： ①把乒乓球放在倒置的漏斗中间，向漏斗口吹气，乒乓球没被吹跑，反而会贴在漏斗上
不掉下来； ②平行地放两张纸，向它们中间吹气，两张纸不但没被吹开，反而会贴近 4.导入：为什么会出现与我们想象不同的现象，这种现象又如何解释呢?本节课我们就来学习这个问题． 二、新课教学 1.理想流体 (1)用投影片出示思考题： ①什么是流体? ②什么是理想流体? ③对于理想流体，在流动过程中，有机械能转化为内能吗? (2)学生阅读课文，并解答思考题： (3)教师总结并板书 ①流体指液体和气体； ②液体和气体在下列情况下可认为是不可压缩的． a:液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的． b:在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的变化，也可以认为气体是不可压缩的． ③a:流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，这叫流体具有粘滞性． b:不同的流体，粘滞性不同． c:对于粘滞性小的流体，有些情况下可以认为流体没有粘滞性． ④不可压缩的，没有粘滞性的流体，称为理想流体．对于理想流体，没有机械能向内能的转化． 2 定常流动 (1)用多媒体展示一段河床比较平缓的河水的流动． (2)学生观察，教师讲解． 通过画面，我们可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化，河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变，河水的这种流动就是定常流动． (3)学生叙述什么是定常流动 流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变,这样的流动就叫定常流动． (4)举例：自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动． (5)学生阅读课文，并回答下列思考题： ①流线是为了表示什么而引入的? ②在定常流动中，流线用来表示什么? ③通过流线图如何判断流速的大小? (6)学生答： ①为了形象地描绘流体的流动，引入了流线； ②在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹； ③流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大． 3.伯努利方程 (1)设在右图的细管中有理想流体在做定常流动，且流动 方向从左向右，我们在管的a１处和a2处用横截面截出一段流 体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象．设a1处的横截面积为S1，流速为V1，高度
伯努利方程实验 一、实验目的 1、观察流体流经伯努利方程试验管的能量转化情况，对实验中出现的现象进行分析，加深对伯努利方程的理解； 2、掌握一种测量流体流速的原理； 3、验证静压原理。 二、实验仪器 装置如图1所示 图1 伯努利方程仪 1.水箱及潜水泵 2.上水管 3.溢流管 4.整流栅 5.溢流板 6.定压水箱 7.实验细管 8. 实验粗管 9.测压管10. 调节阀11.接水箱12.量杯13.回水管14.实验桌 三、实验步骤 1、关闭调节阀，打开进水阀门，启动水泵，待定压水箱接近放满时，适度打开调节阀，排净管路和测压管中的空气； 2、关闭调节阀，调节进水阀门，使定压水箱溢流板有一定溢流； 3、测出位置水头，并记录位置水头和试验管测试截面的内径； 4、打开调节阀至一定开度，待液流稳定，且检查定压水箱的水位恒定后，测读伯努利方程试验管四个截面上测压管的液柱高度； 5、改变调节阀的开度，在新工况下重复步骤4； 6、关闭调节阀，测读伯努利方程试验管上各个测压管的液柱高度，记下数据。可以观察到各测压管中的水面与定压水箱的水面相平，以此验证静压原理； 7、实验结束，关闭水泵。 四、数据处理 实验数据填入表1
1、计算出伯努利方程试验管各测试截面的相应能量损失水头和压强水头，填写在表中。 速度水头： 2 2g V =总水头-测压管水头 压强水头：P γ =测压管水头-位置水头 能量损失水头： w h=静水头-总水头 图2 伯努利方程试验管水头线图 五、思考题 1、为什么能量损失是沿着流动的方向增大的？ 2、为什么在实验过程中要保持定压水箱中有溢流？ 3、测压管工作前为什么要排尽管路中的空气？其测量的是绝对压力还是表压力？ 1、沿着流动方向，阻力损失有沿程阻力损失和局部阻力损失，故沿着流动方向能量损失是增大的。 2、当流体高度差为溢流板高度时，水会流到水箱中，溢流板作用是保持水箱中水位恒定，从而保持压力恒定，压力恒定，则流体流进伯努利试验管时未稳定流动。 3如果不排尽气泡会臧成读取压力值不准确，测得压力为表压力。
伯努利方程的推导及其实际应用总结 楼主：西北荒城时间：2015-03-03 14:08:00 点击：1091 回复：0 一，伯努利方程的推导 1726年，荷兰科学家丹尼尔·伯努利提出了描述理想流体在稳流状态下运动规律伯努利原理，并用数学语言将之精确表达出来，即为伯努利方程。伯努利方程是流体力学领域里最重要的方程之一，学习伯努利方程有助于我们更深刻的理解流体的运动规律，并可以利用它对生活中的一些现象作出解释。同时，作为土建专业的学生，我们将来在实际工作中，很可能要与水、油、气等流体物质打交道，因此，学习伯努利方程也有一定的实际意义。作为将近300岁高龄的物理定律，伯努利方程的理论是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。在本文中，笔者只是想结合自己的理解，用自己的方式推导出伯努利方程，并应用伯努利方程解释或解决现实生活中的一些问题。 既然要推导伯努利方程，那么就首先要理解一个概念：理想流体。所谓理想流体，是指满足以下两个条件的流体：1，流体内部各部分之间无黏着性。2，流体体积不可压缩。需要指出的是，现实世界中的各种流体，其内部或多或少都存在黏着性，并且所有流体的体积都是可以压缩的，只是压缩的困难程度不同而已。因此，理想流体只是一种理想化的模型，其在现实世界中是不存在的。但为了对问题做简化处理，我们可以讲一些非常接近理想流体性质的流体视为理想流体。 假设有某理想流体在某细管中做稳定流动。如图，在细管中任取一面积为s1的截面，其与地面的相对高度h1,，流体在该截面上的流速为v1，并且该截面上的液压为p1。某一时刻，有流体流经s1截面，并在dt时间内发生位移dx1运动到新截面s2。由于细管中的水是整体移动的，现假设细管高度为h2处有一截面s3，其上流体在相同的时间内同步运动到了截面s4，流速为v2，共发生位移dx2。则有如下三个事实： 1：截面s1、s2之间流体的体积等于截面s3、s4之间流体的体积，即s1dx1=s2dx2 2：截面s1、s3之间流体的体积等于截面s2、s4之间流体的体积（由事实1可以推知） 3：细管中相应液体的机械能发生了变化。 事实1和事实2实际上是质量守恒的体现，事实3则须用能量守恒来解释，即外力对该段流体做功的总和等于该段流体机械能的变化。因截面s2、s3之间流体的运动状态没有变化，故全部流体机械能的变化实质上是截面s1、s2之间
伯努利方程 伯努利方程就是能量守衡定律在流动液体中的表现形式。 (动能定理) 1、理想液体的运动微分方程 在微小流束上，取截面积为dA，长为ds的微元体，现研究理想液体定常流动条件下在重力场中沿流线运动时其力的平衡关系。 微元体的所受的重力为-ρgdAds，压力作用在两端面上的力为 微元体在定常流动下的加速度为 微元体的力平衡方程为 上式简化后可得
p，z，u只是s的函数，进一步简化得 上式即为重力场中，理想液体沿流线作定常流动时的运动方程，即欧拉运动方程。 2、理想液体的伯努利方程 沿流线对欧拉运动方程积分得 上式两边同除以g 得 以上两式即为理想液体作定常流动的伯努利方程。 伯努利方程推导简图 物理意义： 第一项为单位重量液体的压力能称为比压能（p/ρg ）； 第二项为单位重量液体的动能称为比动能（u2/2g ）；
第三项为单位重量液体的位能称为比位能（z）。 由于上述三种能量都具有长度单位，故又分别称为压力水头、速度水头和位置水头。三者之间可以互相转换，但总和（H，称为总水头）为一定值。 3．实际液体流束的伯努利方程 实际液体都具有粘性，因此液体在流动时还需克服由于粘性所引起的摩擦阻力，这必然要消耗能量，设因粘性二消耗的能量为hw'，则实际液体微小流束的伯努利方程为 4．实际液体总流的伯努利方程 将微小流束扩大到总流，由于在通流截面上速度u是一个变量，若用平均流速代替，则必然引起动能偏差，故必须引入动能修正系数。于是实际液体总流的伯努利方程为 式中hw---由液体粘性引起的能量损失； α1，α2---动能修正系数，一般在紊流时取α＝1，层流时取α＝2。 5．伯努利方程应用举例
1. 一变直径管段AB ，直径d A ＝0.2m ，d B ＝0.4m ，高差Δh ＝1.5m 。今测得p A ＝30kN/m 2，p B ＝40kN/m 2，B 处断面平均流速v B ＝1.5m/s 。试判断水在管中的流动方向。 解：列A 、B 断面的连续性方程 v v A A B B A A = 得 v v 6m/s B B A A A A == 以A 所在水平面为基准面，得 A 断面的总水头 2 4.8982A A A p v z m g g ρ+ += B 断面的总水头 22 5.69622B B B B B p v p v z h m g g g g ρρ+ +=?++= 故水在管中的流动方向是从B 流向A 。 2. 如图，用抽水量Q ＝24m 3/h 的离心水泵由水池抽水，水泵的安装高程h s ＝6m ，吸水管的直径为d ＝100mm ，如水流通过进口底阀、吸水管路、90o弯头至泵叶轮进口的总水头损失为h w ＝0.4mH 2O ，求该泵叶轮进口处的真空度p v 。 Q 解：取1-1断面在水池液面，2-2断面在水泵进口，选基准面在自由液面。列1、2断面的能量方程，有 4.026002 22 +++=++g v p p a γγ（其中p 为绝对压强） 即 g v p p p v a 24.62 22 +==-γγ
其中 s m d Q v /849.03600 1.024 44222=???== ππ 故 a v kP p 1.638.92849.04.68.92=??? ? ???+?= 3. 如图，高压水箱的泄水管，当阀门关闭时，测得安装在此管路上的压力表读数为p 1＝280kPa ，当阀门开启后，压力表上的读数变为p 2＝60kPa ，已知此泄水管的直径D ＝25mm ，求每小时的泄水流量。（不计水头损失） 解：取管中心轴为基准面，水箱中取1-1断面，压力表处为2-2断面，闸门关闭时 h p γ=1 所以自由液面至管中心轴距离 h ＝28.57m 闸门打开后，列1－1、2－2断面能量方程 g v p h 20002 22 ++=++γ 即： v 2＝20.98m/s Q ＝v 2A 2＝37.1m 3/h 4. 如图，大水箱中的水经水箱底部的竖管流入大气，竖管直径为d 1＝200mm ，管道出口处为收缩喷嘴，其直径d 2＝100mm ，不计水头损失，求管道的泄流量Q 及A 点相对压强p A 。 解：取1-1断面在A 处，2-2断面在喷嘴出口，自由液面为0-0断面，选基准面在喷嘴出口。
- 1 - 第3章 能量方程（伯努利方程）实验 3.1 实验目的 1) 掌握用测压管测量流体静压强的技能。 2) 验证不可压缩流体静力学基本方程， 通过对诸多流体静力学现象的实验分析，进一步加深对基本概念的理解，提高解决静力学实际问题的能力。 3) 掌握流速、流量等动水力学水力要素的实验量测技能。 3.2 实验装置 能量方程（伯努利方程）实验装置见图3.1。 图3.1 能量方程（伯努利方程）实验装置图 说明：本实验装置由供水水箱及恒压水箱、实验管道（共有三种不同内径的管道）、测压计、实验台等组成，流体在管道内流动时通过分布在实验管道各处的7根皮托管测压管测量总水头或12根普通测压管测量测压管水头，其中测点1、6、8、12、14、16和18均为皮托管测压管（示意图见 图3.2），用于测量皮托管探头对准点的总水头H ’（=2g u 2 ++r p Z ），其余为普通测压管（示意图 见图3.3），用于测量测压管水头。
- 2 - 图3.2 安装在管道中的皮托管测压管示意图 图3.3安装在管道中的普通测压管示意图 3.3 实验原理 当流量调节阀旋到一定位置后，实验管道内的水流以恒定流速流动，在实验管道中沿管内水流方向取n 个过水断面，从进口断面（1）至另一个断面（i ）的能量方程式为： 2g v 2111++r p Z =f i i h r p Z +++2g v 2 i =常数 （3.1） 式中：i=2，3，······ ，n ； Z ──位置水头； r p ──压强水头； 2g v 2 ──速度水头； f h ──进口断面（1）至另一个断面（i ）的损失水头。 从测压计中读出各断面的测压管水头（r p Z + ），通过体积时间法或重量时间法测出管道流量，计算不同管道内径时过水断面平均速度v 及速度水头2g v 2 ，从而得到各断面的测压管水头和总水头。 3.4 实验方法与步骤 1) 观察实验管道上分布的19根测压管，哪些是普通测压管，哪些是皮托管测压管。观察管道内径的大小，并记录各测点管径至表3.1。 2) 打开供水水箱开关，当实验管道充满水时反复开或关流量调节阀，排除管内气体或测压管内的气泡，并观察流量调节阀全部关闭时所有测压管水面是否平齐（水箱溢流时）。如不平，则用吸气球将测压管中气泡排出或检查连通管内是否有异物堵塞。确保所有测压管水面平齐后才能进行实验，否则实验数据不准确。 3) 打开流量调节阀并观察测压管液面变化，当最后一根测压管液面下降幅度超过50%时停止调节阀门。待测压管液面保持不变后，观察皮托管测点1、6、8、12、14、16和18的读数（即总水头，取标尺零点为基准面，下同）变化趋势：沿管道流动方向，总水头只降不升。而普通测压管2、3、4、5、7、9、10、11、13、15、17、19的读数（即测压管水头）沿程可升可降。观察直管均匀流同一断面上两个测点2、3测压管水头是否相同？验证均匀流断面上静水压强按动水压强规律分布。弯管急变流断面上两个测点10、11测压管水头是否相同？分析急变流断面是否满足能力方程应用条件？记录测压管液面读数，并测记实验流量至表3.2、表3.3。 4) 继续增大流量，待流量稳定后测记第二组数据（普通测压管液面读数和测记实验流量）。 5) 重复第4步骤，测记第三组数据，要求19号测压管液面接近标尺零点。 6) 实验结束。关闭水箱开关，使实验管道水流逐渐排出。 7) 根据表3.1和表3.2数据计算各管道断面速度水头2g v 2和总水头(2g v 2 ++r p Z ) （分别记录于表3.4和表3.5）。
中国石油大学（华东）工程流体力学实验报告 实验日期：2014.12.10成绩： 班级：石工（实验）1202学号：姓名：教师：李成华 同组者： 实验二、能量方程（伯诺利方程）实验 一、实验目的 1．验证实际流体稳定流的能量方程； 2．通过对诸多动水水力现象的实验分析，理解能量转换特性；3．掌握流速、流量、压强等水力要素的实验量测技能。 二、实验装置 本实验的装置如图2-1所示。 图2-1 自循环伯诺利方程实验装置 1. 自循环供水器； 2. 实验台； 3. 可控硅无极调速器； 4 溢流板； 5. 稳水孔板； 6. 恒压水箱； 7. 测压计； 8. 滑动测量尺； 9. 测压管；10. 实验管道； 11. 测压点；12 皮托管；13. 实验流量调节阀 说明 本仪器测压管有两种： （1）皮托管测压管（表2-1中标﹡的测压管），用以测读皮托管探头
对准点的 总水头??? ? ? ? + +=g u p z H H 22' ' γ ； （2） 普通测压管 （表2-1未标﹡者），用以定量量测 测压管水 头 。 实验流量用阀13调节，流量由 体积时间法，质量时间法，电测法 测量。 三、实验原理 在实验管路中沿管内水流方向取n 个过水断面。可以列出进口断面（1）至另一断面（i ）的能量方程式（i =2,3,…,n ） i w i i i i h g v p z g v p z -+++=++1222 21111αγαγ 取12n 1a a a ==???==，选好基准面，从已设置的各断面的测压管中读出 γ p z + 值，测出 通过管路的流量 ，即可计算出 断面平均流速v 及g v 22 α ， 从而即可得到 各断面测压管水头和总水头 。 四、实验要求 1．记录有关常数 实验装置编号 No._2_______ 均匀段1d = 1.40 -210m ?；缩管段2d = 1.03 -210m ?；扩管段3d = 2.00 -210m ?； 水箱液面高程0?= 47.80 -210m ?； 上管道轴线高程z ?= 18.55 -210m ? （基准面选在标尺的零点上） 2．量测（p z γ + ）并记入表2-2。 表2-2 数据记录表
伯努利方程的原理及其应用 摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程 发展和原理 应用 1.伯努利方程的发展及其原理： 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。 无黏性流体的运动微分方程： 无黏性元流的伯努利方程： 实际恒定总流的伯努利方程： z 1+g p ρ1+g v 2121α=z 2+g p ρ2+g v 2222α+h w 总 流 伯 努 利 方 程 的 物 理 意 义 和 几 何 意 义 ：
Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头； g p ρ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头； g 2v 2 α----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。 总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。 （6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。 （7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。 2.伯努利方程的应用: 伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子： ※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。新一代差压式流量测量仪表，其基本测量原理是以能量守恒定律——伯努力方程和流动连续性方程为基础的流量测量方法。内文丘里管由一圆形测量管和置入测量管内并与测量管同轴的特型芯体所构成。特型芯体的径向外表面具有与经典文丘里管内表面相似的几何廓形，并与测量管内表面之间构成一个异径环形过流缝隙。流体流经内文丘里管的节流过程同流体流经经典文丘里管、环形孔板的节流过程基本相似。内文丘里管的这种结构特点，使之在使用过程中不存在类似孔板节流件的锐缘磨蚀与积污问题，并能对节流前管内流体速度分布梯度及可能存在的各种非轴对
伯努利方程与生活 试验122班黄颖祺 关键字：伯努利方程、台风、龙卷风 摘要：由伯努利方程可得台风来临时应关闭门窗龙卷风来临时应打开窗户 伯努利方程是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。这个理论是由瑞士数学家丹尼尔第一·伯努利在1738年提出的，当时被称为伯努利原理。后人又将重力场中欧拉方程在定常流动时沿流线的积分称为伯努利积分，将重力场中无粘性流体定常绝热流动的能量方程称为伯努利定理。这些统称为伯努利方程，是流体动力学基本方程之一。 如图所示，经过很短的时间Δt，这段流体的左端s1由a1移到 b1，右端s2由a2移到b2，两端移动的距离为Δl1和Δl2，左端流 入的流体体积为ΔV1＝s1Δl1，右端流出的体积为Δv2＝s2Δl2． 所以ΔV1＝ΔV2＝ΔV(因为理想流体是不可压缩的) 左 端的力对流体做的功为Ｗ1＝F1Δl1 同时F1＝p1·S1＝p 所以W1=p1S1Δl1=p1ΔV 作用于右端的力F2＝p2S，它对流体做负功(因为右边对这段流 体的作用力向左，而这段流体的位移向右)，所做的功为： Ｗ2＝－Ｆ2Δl2＝－p2Ｓ2Δl2＝－p2ΔＶ 因此，两侧外力对研究液体所做的功为： W＝Ｗ1＋Ｗ2＝（p1－p2）ΔV 又因为我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v没有改变，所以研究对象(a1到a2之间的流体)的动能和重力势能都没有改变．这样，机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。 所以Ｅ2－Ｅ1＝0.5*ρ(V2*V2-V1*V1)ΔV＋ρg（ｈ2－h1）ΔV 又理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能 所以Ｗ＝Ｅ2－Ｅ1 （p1－p2）ΔV＝0.5*ρ(V2*V2-V1*V1)ΔV＋ρg（ｈ2－h1）ΔV 整理后得：P +0.5*ρv*v+ρgh = 常量 伯努利方程的实质是：功能守恒原理在理想流体做定常流动中的应用。它的结论是，对于同一直线上的，任意两点有： P +0.5*ρv*v+ρgh = 常量 伯努利方程在生活中有很多应用，比如喷雾器的基本原理、用托里拆利定律估计流量问题、球类比赛中的旋转球以及飞机为什么可以起飞等等。伯努利方程非常有用，合理的利用伯努利方程甚至可以挽救我们的生命财产，比如，当强劲的台风来临的时候，我们应该怎么做呢？ 我们所说的台风实际上是一种强热带气旋。台风和飓风都是一种风，只是发生地点不同，叫法不同，也就是说在美国一带称飓风，在菲律宾、中国、日本一带叫台风。台风是一
实验一、伯努利方程实验 一、实验目的： 1.通过实验，加深对流动流体中各种能量或压头及其相互转化概念的理解，在此基础上熟练掌握伯努利努利方程； 2.观察流速的变化规律，从而理解流体流动的连续性方程； 3.观察各项压头变化的规律，讨论阻力损失H f 在不同流动形式与u 的关系。 二、实验原理： 不可压缩的流体在管路中做稳定流动时，由于管路条件改变（如位置高低、管径大小、距离远近），引起各种机械能之间自行转化，其关系可由流动过程中能量衡算式——伯努利方程式描述，即 液柱，m H g 2u g P Z g 2u g P Z 2-1f 2 2222111∑+++=++ρρ 1.对于无粘性的理想流体，则流体质点之间无摩擦和碰撞就无机械能的损失，即 0H f =∑ ，管路上任意两个截面上每种机械能并不一定相等，但机械能的总和是相等的。 2.对于实际流体而言，因为有粘性存在内摩擦，流动过程中消耗部分机械能，此机械能转化为热能而不可恢复。对实际流体的两个截面上的机械能总是不相等，两者差额就是这部分转化为热能的机械能，因此进行机械能衡算时，就必须将这部分消失的机械能加到第二个截面上去。 3.上述几种机械能都可以用测量管中的一段流体柱的高度来表示。该流体柱高度称为“压头”：表示位能的，称为位压头Z ；表示动能的称为动压头（或速度头）g 2u 22；表示压力能的，称为静压头g P ρ（或压强压头）；消失的机械能称为损失压头（或摩擦压头）∑f H 。
4.静压测量管与水流方向垂直，测量管内液位高度（从测量管算起）即为静压头,它反映测压点处液体静压强的大小。测量管处液体的位压头则由测量管的几何高度决定。 5.测量管的测压孔正对水流方向，所测得的液位高度称为冲压头，冲压头即为静压头和动压头之和。 6.任意两个截面上，位压头、动压头、静压头三者总和之差即为损失压头，即表示流体流经这两个截面之间时机械能的消耗。 三、实验装置及流程： 实验装置示意图及流程： 图2-4伯努利方程实验装置示意图 1．贮水箱；2．离心泵；3．回流阀；4．溢流堰；5．高位槽； 6、8、10．静压测量管； 7、9、11．冲压测量管；12．出口调节阀；13．泵出口阀 实验装置由测试玻璃管、测量管、不锈钢离心泵、高位槽、贮水箱等组成。测试玻璃管被制成粗细不同的三段，如图2-4所示。截面A、C的直径均为18mm，截面B的直径为30mm。在各截面处均有一根小孔接在测试玻璃管管壁上的垂直测量管和一根小孔位于玻璃管中心线上正对水流方向的垂直测量管。 四、实验步骤及注意事项