习 题 三 解 答
1、用高斯消元法解下列方程组。
（1）1231231
22314254
27x x x x x x x x -+=??
++=??+=?①②③
解：?4②＋(-)①2，1
2
?③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得：
1232323231425313222
x x x x x x x ?
?-+=?
-=???-=?④⑤⑥ 再由5
2)4
?⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：
1232332314272184x x x x x x ?
?-+=?
-=???-=
?
回代，得：
36x =-，21x =-，19x = 所以方程组的解为
(9,1,6)T x =--
注意：
①算法要求，不能化简。化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。
②消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。
要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。 矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。 一般形式或分量形式：
1231231
2231425427x x x x x x x x -+=??
++=??+=?①②③
矩阵形式
123213142541207x x x -?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????
向量形式
123213142541207x x x -???????? ? ? ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????
③必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。
④消元顺序12x x →→L ，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。 ⑤不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。
（2）12312312311323
23110
221x x x x x x x x x --=??
-++=??++=-?
①②③
解：?23②＋(
)①11，1
11
?③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得： 123232311323523569111111252414111111x x x x x x x ?
--=??
?
-=??
?
+=-??④⑤⑥ 再由25
11)5211
?⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：
123233113235235691111111932235252x x x x x x ?
?--=?
?
-=?
?
?
=-??
回代，得：
32122310641
,,193193193
x x x =-
==， 所以方程组的解为 41106223(,,)193193193T
x =-
2、将矩阵
102001112011001
1A ??
?
?= ?-
???
作LU 分解。 解：设
111213
1421222324313231
324142434410001020100001111000201110
000011u u u u l u u u A LU l l u u l l l u ?????? ??? ? ???
?=== ??? ?- ??? ?
????
??
根据矩阵乘法，先求U 的第一行，由11j j a u =，得
111213141,0,2,0u u u u ====。
再求L 的第一列，由矩阵乘法，因为1111i i a l u =，所以1
111
i i a l u =，而111u =，所以11i i l a =，所以2131410,2,0l l l ===。 再求U 的第二行，得 21122211l u u ?+?=，则
22211211001u l u =-?=-?=， 21132333101l u u u ?+?+?=，则 23211311021u l u =-?=-?=， 21142434441001l u u u u ?+?+?+?=，则 24211411001u l u =-?=-?=，
再求L 的第二列，得
3112322210000l u l u ?+?+?+?=，则 32311200200l l u =-?=-?=
41124222430000l u l u l ?+?+?+?=，则 42411200000l l u =-?=-?=
再求U 的第三行，得
311332233311l u l u u ?+?+?=-，则
33311332231122015u l u l u =--?-?=--?+?=- 311432243444101l u l u u u ?+?+?+?=，则 34311432241120011u l u l u =-?-?=-?-?= 再求L 的第三列，得
411342234333101l u l u l u ?+?+?+?=，则
4311(10201)55l =-?-?+?=-
再求U 的第四行，得
4114422443344411l u l u l u u ?+?+?+?=，则
4441144224433416
110001(1)55
u l u l u l u =-?+?+?=-?-?--?=
所以，矩阵A 的LU 分解为：
1000102001000111,201000511600100055L U ???? ? ? ? ?== ? ?- ? ?
? ?- ? ????
?
指出：
用分数而表示元素，不能化成近似小数也不化成小数表示。 3、用LU 分解紧凑格式分解法解方程组。 123457910168109171087157651x x x x ?????? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ??????? 解一，用一般格式求解： 将系数矩阵作LU 分解得：
100057
91062410003555,71171000552213
000101105L U ???? ? ? ? ?--- ? ?
? ?==- ?-- ? ? ? ? ? ? ?
????
Ly=b 方程组为 12341000611005171
1105213
1015y y y y ?? ????? ? ? ? ? ? ? ?= ? ?-
? ? ? ????? ? ???
解之得
123411512310y y y y ?? ??? ?- ? ? ? ?= ?- ? ? ??? ?
???
同样地，解方程组Ux=y 得 1234201253x x x x ???? ? ?- ? ?= ? ?- ? ?????。
解二，用LU 紧凑格式分解法求解： 对增广矩阵三角分解：
57910157
910
1579101662
418109136810915555
5710871771
108718715
5257651176511065157
9101579101624163555557117155222310
515???? ? ???
? ?----
? ? ? ?→→ ? ?
?- ? ?
?
? ?
?? ? ????
?
?? ? ?----- ? ?→→----
? ? ? ???24135557117
15522231
31051010?? ? ?--- ? ?---- ? ? ? ??
?
原方程组化成同解的上三角方程组为： 1234234344579101241
3555171522131010x x x x x x x x x x +++=??
?---=-???--=-??
?=
??
回代得
(20,12,5,3)T x =--。 指出：
紧凑格式是直接应用公式进行计算，计算结果保存在A 的相应元素位置。从算法的角度，紧凑格式实际体现在数据的存储方法上。
由于紧凑格式计算时不再需要A 的前面的元素，因此可以进行。
4、 用列主元的三角分解法解线性方程组。
1231231
232213472320
x x x x x x x x x -+-=-??
-+=??--=? 解一，列选主元素消元法：
先选第一列主元为213a =，将第一个方程与第二个方程交换，消去1x 得：
123232334752433371414
333x x x x x x x ?
?-+=?
?
-=?
?
?--=-?
?
再选第二列主元为3273
a =-，交换第二、三两个方程，消去2x 得三角形方程组：
12323334771414333126
33x x x x x x ?
?-+=?
?
--=-??
?-=-?
?
回代求得方程组的解312x =，21x =，12x =
所以方程组的解为
1
(2,1,)2
T x =。
解二，列主元素三角分解法：
21233247122132471(,)324712212213232023202
32033247324722714
143203333
31152212133
7A b r r r r ?? ?
-----???? ?
? ? ?=-?---→--- ? ? ?
? ?---- ????? ?--?????
? ? -- ? ? ?--→--- ? ? ? -----
--????u u u u u u u r u u u u u u u r 32472714
14333
3154
23
7?
?? ?-? ?? ?→---? ?? ?? ?--
--??
同解的三角形方程组为
1232333477141433342x x x x x x -+=??
?
--=-??
?-=-?
回代求得方程组的解312x =，21x =，12x =
所以方程组的解为
1
(2,1,)2
T x =。
说明：
用矩阵讨论中，矩阵元素进行了化简。 5．用追赶法解方程组
2111210,121
01210120A b -???? ? ?-- ? ?
? ?==-- ? ?
-- ? ?
? ?-????。 分析： 三对角矩阵
112
21n n n A αβγαβγα-??
? ?= ?
? ???
O O O 可以分解如下形式的两个矩阵：
11
22
2
331111
,1n n
n u l u L l U u l u βββ-????
?
? ? ? ? ?==
? ?
?
? ? ????
?
O
O O
O
。 即
111122
2
2233
111
111n n n n n
n u l u l u l u βαββγαββγα--????
??
??
?
? ??? ? ???= ?
??? ?
??? ??
?
????
??
?
O O
O O O O O
由矩阵乘法规则，有
111
1(2,3,)(2,3,,)
i i
i i i i i u l i n u u l i n αγαβ--?=?
?
==???=-=?L L ， 这样可以求出矩阵L 和U 的所有元素。 设有系数矩阵为A 的方程组：
12,(,,)T n Ax b b b b b ==L ，
这样的方程组称为三对角方程组。 三对角方程组经LU 分解分解为
,Ly b Ux y ==，
求解之
11
1,2,3,,i
i i i y b y b l y i n -=??
=-=?L ， 1(),1,2,,1n n n
i
i i i i x y u x y x i n n β+=??
=-=--?L 这就是所谓追赶法。 解：由公式 11221
22213323332443444355455542,
11,22
13
2()(1)22
12332
24
2()(1)33
13443
35
2()(1)44
1455
4
46
2()(1)55
u l u u l l u u l l u u l l u u l αγαβγαβγαβγαβ==-=
=
=-=-=--?-=
-===-
=-=--?-=
-===-
=-=--?-=
-===-
=-=--?-=
由此得下三角方程组 123451111202
1033
0140415y y y y y ?? ? ?-???? ? ? ? ? ? ?- ? ? ?= ? ? ? ? ? ?- ? ? ???
?? ? ?- ???
和上三角方程组
1122334454213124
135
1465x y x y x y x y x y -?? ?
?-???? ? ? ? ? ? ?- ? ? ?= ? ? ? ? ? ?-
? ? ???
?? ?
? ?
?
?
解上三角方程组
11223344551
111112202
1103
330114
4041155y y y y y y y y y y ???? ? ? ? ?-?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?=?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- ? ?
? ? ??????? ? ? ? ?- ? ??
???
代入并解上三角方程组
112233445521131122234
114335
1514466155x x x x x x x x x x -???? ? ?
? ?-?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?=?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ???
???? ? ? ? ?
? ?
????
6、用改进的Cholesky 分解法解方程组
12312312342410
21710341097
x x x x x x x x x --=??
-++=??-++=-?
解：设此方程组的系数矩阵为A ，右端向量为b ，则
4241021710,341097A b --???? ? ?=-= ? ? ? ?-????
矩阵A 是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解。 设
111112131222222313233333424217104109u u u u u u u u u u u u --??????
? ???
-= ? ??? ? ???-??????
由矩阵乘法得
1112132223332,1,2,4,2,1u u u u u u ==-=-===
由
11
1122221323
3331037u y u u y u
u u y ??????
??? ?= ??? ? ??? ???????
得
1235,2,1y y y ===-，
再由
1112
13122
232333521u u u x u u x u x ??????
??? ?= ??? ? ??? ?-?
?????
得
1232,1,1x x x ===-。
7、用改进的Cholesky 分解法解方程组
123441107131081152400246x x x x -?????? ? ? ?- ? ? ?= ? ? ?--- ? ? ??????? 解：
11121314222324333444u u u u u u u P u u u ?? ?
?= ? ?
??
1120220222
1155P ??- ? ?
?
- ?
?= ? ? ? ? ?
?
?
解下三角方程组 得
12347,2y y y y ====
解上三角方程组 得
12341,2,1,2x x x x ===-=- 指出：
6、7两题应用一般的乔累斯基分解而没有采用书上的方法。 用MATLAB 求解为： >> format rat
>> a=[4,1,-1,0;1,3,-1,0;-1,-1,5,2;0,0,2,4] a =
4 1 -1 0 1 3 -1 0 -1 -1
5 2 0 0 2 4 >> [P,q]=chol(a) P =
2 1/2 -1/2 0 0 1985/1197 -379/838 0 0 0 1179/55
3 1106/1179 0 0 0 5617/3180 q =
8、设(1,2,3)T x =-，求12,,x x x ∞ 解：
111236n
i i x x ===+-+=∑
212
21
()n
i i x x ====∑{}max 1,2,33max
i
i
x
i
x ∞
==-=
9、设110223541A ?? ?
=- ? ???
，求12,,A A A ∞。
解：{}11
max max 8,7,48n
ij j
i A a ====∑；
{}1
max max 2,7,1010n
ij i
j A a ∞====∑；
12511030251124223252120315411210T A A -?????? ??? ?=-=- ??? ? ??? ?---??????
则
3230
2512521
2
(30)(21)(10)5050(21)4(30)625(10)
1
2
10
6151090
λλλλλλλλλλλλ----=------------=-+-=解之得，12351.0043,9.9780,0.0177λλλ===，
则1
2
2()7.1417T
A A A ρ=≈≈。 指出：
三次方程可用三次方程的求根公式求出根来。 用我们学过的知识，三次方程的根有如下求法： ①用二分法求。
10、设1101223,35412A x -???? ? ?
=-= ? ? ? ?????
，计算,,x A Ax ∞∞∞，并比较Ax ∞与A x
∞∞
的大小。 解：max{1,3,2}3x
∞
=-=，
max{110,223,541}10A ∞=++++++=，
1101222332max{2,2,9}954129Ax Ax
∞
-?????? ??? ?
=-=-?== ??? ? ??? ???????
，
10330A x ∞∞=?=， Ax A x ∞∞∞≤。
11、给定方程组12312212111022110x x x --?????? ??? ?
--= ??? ? ??? ?--??????
。
（1）写出雅可比迭代法和高斯－赛德尔迭代法的迭代格式；
（2）证明雅可比迭代法收敛而高斯－赛德尔迭代法发散。
（3）给定(0)(0,0,0)T x =，用迭代法求出该方程组的解，精确到
(1)()
31
102
k k x x +-∞
-≤?。 解：
（1）此方程组变形为
123213
3
1222122210
x x x x x x x x x =--??
=+??=++? 据此建立雅可比法迭代格式得 (1)()()
123(1)
()()
213
(1)()()31222122210k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++?=--?=+??=++?
高斯－赛德尔迭代法迭代格式为
(1)()()
123(1)
(1)()
213
(1)(1)(1)3
1222122210k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=--?=+??=++? （2）证明一：用定理2证明： 系数矩阵
122100000022111011100001221000220000A D L U --???????? ? ? ? ?=--=--=--- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????
雅可比迭代法的迭代矩阵为
1022()101220J B D L U --??
?
=+= ? ???，
则221122J E B λλλλ-?? ?
-=-- ? ?--??
令
221
1022J E B λ
λλ
λ
--=--=--，
则312300λλλλ=?===， 所以ρ(B J )=0<1
所以雅可比迭代法收敛。
高斯－赛德尔迭代法的迭代矩阵为
1022()021086G S
B D L U ---?? ?
=-=- ? ?-??
由此求出141G S
B -∞
=>
所以，高斯－赛德尔迭代法发散。
证明二：用定理5证明：
122111221A -?? ?=-- ? ?--??
，
令
221
1022λ
λ
λ
---=--，
则312300λλλλ=?===， 所以ρ(B J )=0<1
所以雅可比迭代法收敛。 而
212322
10(44)0(220
220,22λλλλλλλλλλλλ
λλλ---=?+-=?+++=--?==--=-+
所以ρ(B G-S
)=2>1。 所以高斯－赛德尔迭代法发散。
（3）取迭代初值(0)(0,0,0)T x =，用雅可比迭代法迭代得
因为(4)(3)
30102
x x -∞
-=≤?
所以方程组的解为*(4)(12,46,58)T x x ≈=--。
12、给定方程组123211*********x x x ?????? ??? ?
= ??? ? ??? ???????
。
（1）写出Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代格式。
解：（1）方程组变形为
1
232133121122
3
111222x x x x x x x x x ?=--??
=--+???=--+? 所以，Jacobi 迭代格式为
(1)()()1
23(1)()()
213(1)()()3121122
3
111222k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++?=--???=--+???=--+??
Gauss-Seidel 迭代格式为
(1)()()1
23(1)(1)()
213(1)(1)(1)3121122
3
111222k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=--???=--+???=--+??
证明：用定理5证明：
211111112A ?? ?= ? ???
，
令
21
11101
1
2λλ
λ
=，
则
321231114520(21)(22)0,244
λλλλλλλλ--+-+=?-+-=?===，
所以()1J B ρ=
>， 所以雅可比迭代法发散。 或：
记3()452f λλλ=-+ 因为(1)3,(2)20f f -=-=-
所以方程34520λλ-+=在区间（－2，－1）有一个根，则 ρ(B J )>1
所以雅可比迭代法发散。 而
212321
1
10(441)0
211
0,,22λ
λλλλλλλλ
λλλ=?-+=?===
所以ρ(B G-S )=1
2
<1,
所以高斯－赛德尔迭代法收敛。
（3）取迭代初值(0)(0,0,0)T x =，用高斯－赛德尔迭代法迭代得
(1)()()(1)()()
123123(1)(1)()(1)(1)()
213213(1)(1)(1)(1)(1)(1)312312111()2223
()31111(1)2222k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++??=--=-+??????=--+?=-++??????=--+=-+-????
因为(17)(16)
30102
x x -∞
-=≤?
所以方程组的解为*(16)( 3.000,8.000, 2.000)T x x ≈=--。
13、已知12341234
12341234541012581034
x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-??-+--=??--+-=??---+=?，考察Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代
格式的收敛性。 解：因为
()122222
1
23
412343451111101127270115111110x x x x x x x x x x x x ---??
?? ?
?--- ? ?=+++> ? ?--- ?
?---????
系数矩阵
511111011115111110A ---??
?
--- ?
= ?
--- ?
---??
是对称正定矩阵，而且严格对角占优，因此两种
迭代法都是收敛的。 14、方程组Ax=b ，其中
31410,,01a a A a x b R a ?? ?
=∈ ? ???
利用迭代收敛的充分必要条件确定雅可比迭代法和高斯－赛德尔迭代法均收敛的a 的取值范围。
解：对雅可比迭代法来说，因为
3240500a a
a a a
λ
λ
λλλ
=-=，
所以B J 的特征值为
1230,,λλλ===。
所以，迭代矩阵B 的谱半径为
()B ρ=，
当()1B a ρ=
32240500a a
a a a λλλλλλλ
=-= 所以高斯－赛德尔迭代矩阵特征值为
21230,5a λλλ=== 其谱半径为
2()5G S B a ρ-=，
当2()51G s B a a ρ-=
的范围是(。 15、设方程组123430243413001424x x x ?????? ??? ?
-= ??? ? ??? ?--??????
，分别用Gauss-Seidel 迭代法和ω＝1.25
的SOR 法求解此方程组，准确到4位有效数字（取(0)(1,1,1)T x =）。 解：本方程组的Gauss-Seidel 迭代格式为
(1)
()1
2(1)
(1)()2
13(1)(1)
32364
3115442164k k k k k k k x x x x x x x +++++?=-+??
?=-++??
?=-??
取(0)(1,1,1)T x =迭代得
(1)(2)(5.250,3.813, 5.057)(3.141,3.883, 5.029)x x =-=-L
用SOR 方法解方程组迭代格式为
(1)()
()1
12(1)()
(1)()22
13(1)()
(1)3
323(1)(6)4
3115(1)()4421(1)(6)4k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x ωωωωωω+++++?=-+-+??
?=-+-++??
?=-+-??
取ω＝1.25，(0)(1,1,1)T x =迭代得
(1)(2)(6.313,3.520, 6.650)(2.622,3.959, 4.600)x x =-=-L 。
。
17、设100999998A ??
= ???
，计算A 的条件数(),2,p cond A p =∞。
解：因为
12211221009910111199980199980111111098999901991000199100109899(1)0199100r r r r r r r -????
- ? ?????--????
-+ ? ?----????
-??
?- ?
-??
u u u u u r u u u u u u u u r u u u u u r u u u u u u u u r 所以
1989999100A --??
= ?-??
则
1
199A A -∞∞
==
所以2()199cond A ∞=。 由
22
22
100991009999200199198100991009999989998999899198
2999811009999989998T
A A ?+???+?+???????=== ? ??? ????+?+?+????????得
2
22212(992001)
99198
((992001))((299981))(99198)99198
(299981)
((992001)(299981))(992001)(299981)(99198)39206290109601014653.5,4949.5
λλλλλλλλλλ-?+-?=-?+?-??+-?-?-??+=-?++??++?+???+-?=-+=?==
所以2121.05A ===；
2211
22
98999899991961991989998(100999998)()991009910099198992001(100999998)10099T
A A ----?+-??
?+-?+???????=== ? ??? ?---??+-?+?+??????
??得
212(991961)
99198
39206290109601014653.5,4949.599198
(992001)
λλλλλλ-?+?=-+=?==?-?+
所以1
2
121.05A -===；
所以22()121.05cond A =。
18、设A 是n 阶非奇异方阵，B 是n 阶奇异方阵，试证明
1
()A B cond A A
-≤
。
第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b --
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)
三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）
《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 2 10- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ))((!2) (b x a x f --''ξ ） 。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5 2 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2 )(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?? ? ? ??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ） ． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2 h o Ｃ．)(3 h o Ｄ．)(4 h o 三、计算题 1．求矛盾方程组：??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?， 由 0,021=??=??x x ? ?得：???=+=+9 629232121x x x x ， 解得14 9 ,71821== x x 。
习题二 1. 证明方程043 =-+x x 在区间[1，2]内有一个根。如果用二分法求它具有5位有效数字的根，需要 二分多少次。 证明: （1） 不妨令 4)(3-+=x x x f ，求得： 02)1(<-=f 06)2(>=f 又因为4)(3-+=x x x f 在区间[1，2]内是连续的，所以在区间[1，2]内有至少一个根。 又因为 13)(2'+=x x f 在区间[1，2]内013)(2'>+=x x f ，所以4)(3-+=x x x f 单调。 得证，043 =-+x x 在区间[1，2]内仅有一个根。 （2）具有5位有效数字的根，说明根可以表示成 5 4321.a a a a a ，所以绝对误差限应该是 5a 位上的 一半，即： 4105.0-?=ε。由公式： ε≤-+1 2 k a b 可得到, 14=k 迭代次数为151=+k 次。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. 用二分法求方程 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内的近似根（精确到10-3）。 解：043499.05625.099749.0)25.1(5.1sin )5.1(2 >=-=-=f 009070.0190930.0)22(2sin )2(2 <-=-=-=f 所以0)2 (sin )(2 =-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，又 x cos )('-=x x f 在区间[1.5，2]内 0x cos )('<-=x x f 所以 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，且唯一。符合二分条件，可以用二分法，二分的 次数为：
第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因
，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和.
解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.*x=–1 2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限 ≤ 4 10 2 1 - ? 。( ) 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( )
4. 用 2 12x -近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 5. 3.14和3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ； 2. *x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限 为 ，相对误差限为 ； 3. 误差的来源是 ； 4. 截断误差为 ； 5. 设计算法应遵循的原则 是 。 三、选择题 1．*x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值
3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s *=21 g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是 在时间t 内的实际距离，则s t s *是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 四、计算题 1． 3.142，3.141，22 7分别作为π的近似值，各有几位有效数字？ 2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)1||,11211<<+-++x x x x ， (2) 1||1112<<+?+x dt t x x (3) 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x 4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21 g t 2，g 为重力加速度。现设g 是精确的，而对t 有0.1±秒的测量误差，证明：当t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为
025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字
数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数
是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。
计算方法第3版习题答案 习题1解答 1.1 解：直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤， 1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤，从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解：因S ld =，故 S d l ?=?，S l d ?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解：（1）4.472 （2）4.47 1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减 (3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-， （2） 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解：0.00548。 1.12解：21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解：0.000021
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公
1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数 解 近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有 31105.06592001.0-*?≤=- x x . 即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 5-1*10?50≤00000740=-.. x x 即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字. 而近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 4-1*10?50≤00009260=-.. x x 即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00 解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1 绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*?≤≤-=-x x x m -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字 1x =2，相对误差限000025.010******** 1)1(1 =??=??=---n r x ε （2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m =-2 5105.00000049.0)00200.0(-*?≤≤--=-x x x m -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字 1x =2，相对误差限3 110221 -??=r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4， 0105.049.09000?<≤-=-*x x x m -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字 4 110921-??=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4， 2105.00049.000.9000-*?<≤-=-x x x m -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6 110921-??=r ε＝0.000 00056 由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是多少？ 解 精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693 2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过 31021-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f +=，则32)(x x f -='，由于
数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 1122k k k k k k x a x x x x +-??=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ? ?+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）
则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为00678.07 .20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 2102 1 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字
《计算方法》习题 习题一 1． 设85.9,64.3,23.1321===x x x 均准确到末位数字，试估计由这些数据计算 321x x x +的相对误差。 ??? ? ??? ??-=??????? ????????? ? ?----4170212153222352 32 31 4321x x x x 4． 用追赶法解方程组