利用初中数学知识证明蝴蝶定理
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
蝴蝶定理(Butterfly theorem)出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2BC·sinA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种利用初中数学知识证明蝴蝶定理的方法。
过O作OE，OF垂直AD，BC于点E，F，连接ME，MF，OX，OY，OM。
∵∠OEX=∠OMX=90°
∴O，E,X,M四点共圆
∴∠XOM=∠XEM
同理可证∠YOM=∠YFM
∵∠A=∠C,∠D=∠B
∴△ADM∽△CBM
∵ME,MF是对应边上的中线
∴△MED∽△MFB
∴∠XEM=∠YMF
∴∠XOM=∠YOM
又∵∠OMX=∠OMY=90°，OM是公共边∴△OMX≌△OMY
∴M为XY之中点
初中数学证明题定理 线 1.过两点有且只有一条直线（简：两点决定一条直线） 2.两点之间线段最短 3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 5.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短（简：垂线段最短） 平行公理 1.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（简：平行于同一直线的两直线平行） 三角形 1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边. 2. 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°. 3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 全等三角形的性质、判定 1.边角边(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 2.角边角(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 3.角角边(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 4.边边边(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等. 5. 斜边、直角边(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 角的平分线的性质、判定 1.性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.判定：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上. 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 2.等腰三角形顶角的平分线平分底边,并且垂直于底边 3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 4.等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 5.等腰三角形判定:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）等边三角形 1.三个角都相等的三角形是等边三角形 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 线段垂直平分线 1.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 2.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 直角三角形 1.直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 多边形 1.四边形的外角和等于360°
2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到 圆锥曲线的若干性质. 定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF 交直线AB于P，Q，则有. 证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是的两个根，所以. 若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立. 若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0， q），, ,同理, 所以 将代入(*)得,又得 , , 同理 , ，所以，即 .
注:2003年高考 数学北京卷第18 （III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形. 定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有. 证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为(*)，设A（），B（），则切线MA的方程是，切线MB的方程是 ，得，所以.（下面与定理1的证明相同，略） 特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上. 性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，EF是其焦点轴， 则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直线. 证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得.
人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 目录 一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式
四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学（上）知识点
第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ??? ?????? ????负分数负整数 负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数；
0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
初中数学证明题Prepared on 21 November 2021
1.如图 1，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，∠ADC =130°，求∠BAC 的度数． 2.如图，△ABC 中，AD 平分∠CAB ，BD ⊥AD ，DE ∥AC 。求证：AE=BE 。 ．3.如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，BP ⊥AD 于P ，AB=5，BP=2，AC=9。求证：∠ABP=2∠ACB 。 4.如图1，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，∠ADC =130°，求∠BAC 的度数． 5.点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE 求证：BD ＝CE 6.△ABC 中,AB=AC,PB=PC ．求证：AD⊥BC 7. 已知：如图,BE 和CF 是△ABC的高线,BE=CF,H 是CF 、BE 的交点．求证：HB=HC 8 如图,在△ABC 中,AB=AC,E 为CA 延长线上一点,ED⊥BC 于D 交AB 于F.求证:△AEF 为等腰三角形. 9.如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F 。 （1）求证：AN=BM; （2）求证：△CEF 是等边三角形 10 如图,△ABC 中,D 在BC 延长线上,且AC=CD,CE 是△ACD 的中线,CF 平分∠ACB,交AB 于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD. 11.如图：Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=22.5°,DC=BC, DE⊥AB．求证：AE=BE ． 12.已知:如图，△BDE 是等边三角形，A 在BE 延长线上，C 在BD 的延长线上，且AD=AC 。求证：DE+DC=AE 。 13.已知ΔACF ≌ΔDBE ，∠E =∠F ，AD = 9cm ，BC = 5cm ；求AB 的长． 图1 B E C D A A P D C B 图1 A B C D E
蝴蝶定理的证明 定理： 设 M 为圆内 弦 PQ 的中点，过 M 作弦 AB 和 CD 。设 AD 和 BC 各相交 PQ 于点 E 和 F ， 则 M 是 EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的 帮助下，翩翩起舞！ 证法 1 如图 2 ，作 OU AD ， OV BC U ，V 分别为 AD 、 BC 的中点，且由于 ，则垂足 EUO EMO 90 FVOFMO 90 得 M 、 E 、U 、O 共圆； M 、F 、V 、 O 共圆。 则 AUM= EOM ， MOFMVC 又 MAD MCB ， U 、V 为 AD 、BC 的中点，从而 MUA MVC ， AUM MVC 则 EOM MOF ，于是 ME=MF 。 证法 2 过 D 作关于直线 OM 的对称点 D' ，如图 3 所示，则 FMD' EMD ，MD=MD' 1 A ○ C 联结 D'M 交圆 O 于 C'，则 C 与 C'关于 OM 对称，即 P E FQ U M PC' CQ 。又 V D O 1 1 1 CFP= （ QB+PC ）= （QB+CC'+CQ ）= BC'= BD'C' 2 2 2 故 M 、F 、 B 、 D' 四点共圆，即 MBF MD'F 而 MBF EDM 2 ○ B 图 2 C' C A 由 1 、 2 知， DME D'MF ， 故 ME=MF 。 ○ ○ P E F Q M 证法 3 如图 4，设直线 DA 与 BC 交于点 N 。对 NEF 及截线 AMB ， NEF 及截 线 CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1 ， FM ED NC 1 ME AN BF ME DN CF 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB O B D D' 图 3 N 得 FM 2 AN ND BF CF BF CF ME 2 AE ED BN CN AE ED A C P E F Q PM +MF MQ - MF PM 2 MF 2 PM - ME MQ+ME PM 2 ME 2 M D O B 化简上式后得 ME=MF 。[2] 图 4 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E． 求证：BE=CE 证明：连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°，ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠EDC ∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90° ∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE 如图，半圆O的直径DE=10cm，△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，BC=10cm，半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，D、E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧且OB=9cm。（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； （2）当△ABC一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。 （1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； 相切分两种情况，如图， ①左图：当t=0时，原图中OB=9，此时圆移动了OB-OE=9-5=4cm 则：t=4/2=2s； --------------- ②右图：设圆O与边AC的切点为F，此问不用三角函数是无法求出的==>∵∠C=30==>∴OC=OF/sinC=5/sin30=10=BC ==>O与B重合，此时圆移动的长即为OB的长，即9cm ==>t=9/2; =========
（2）如右图：由②得：∠AOE=90 ==>S阴=（90*π*5^2)/360=6.25π 不明之处请指出~~
一 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何 方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而M U A M V ?? ， AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1] 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 M B F E D M ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 F M E A N B 1M E A N B F ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到
人教版初中数学命题与证明的图文答案 一、选择题 1．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设() A．三角形的三个外角都是锐角 B．三角形的三个外角中至少有两个锐角 C．三角形的三个外角中没有锐角 D．三角形的三个外角中至少有一个锐角 【答案】B 【解析】 【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】 解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中 至少有两个锐角， 故选B． 【点睛】 .在假设结论不成立时要注意考虑结考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤 论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则 必须一一否定． 2．下列命题中①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等 ②如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形 ③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 ④等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形 ⑤一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 正确命题的个数是（） A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定逐个判断即可． 【详解】 根据等腰三角形的三线合一可知，底边中点在顶角角平分线上，再根据角平分线的性质可 知，其到两腰的距离相等，则命题①正确 全等的三角形不一定是成轴对称，则命题②错误 成轴对称的两个三角形一定全等，则命题③正确 等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形，则命题④错误 成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，则命题⑤错误
图 5 蝴蝶定理的证明 定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得 2 2 FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=? ()()()()2 2 22 PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -= =-+-- 化简上式后得ME=MF 。 [2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven 给出）如图5，并令 图 2 图 3 图 4
初中数学三年重难点知识点 一、构建完整的知识框架 1.构建完整的知识框架是我们解决问题的基础，想要学好数学必须重视基础概念，必须加深对知识点的理解，然后会运用知识点解决问题，遇到问题自己学会反思及多维度的思考，最后形成自己的思路和方法。但有很多初中学生不重视书本的概念，对某些概念一知半解，对知识点没有吃透，知识体系不完整，就会出现成绩飘忽不定的现象。 2.正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理，把握他们之间的内在联系。由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科，正确掌握学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础，如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难，那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本知识没有掌握好所造成的，因此要经常查缺补漏，找到问题并及时解决之，努力做到发现一个问题及时解决一个问题。只有基础扎实，解决问题才能得心应手，成绩才会提高。 二、初中数学中考知识重难点分析 1.函数（一次函数、反比例函数、二次函数）中考占总分的15%左右。 特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。 而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。有一定难度。 如果在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。 2.整式、分式、二次根式的化简运算 整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。
初中数学所有几何证明定理 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到哪些原理？
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
初中数学三年重点考点梳理，帮你理清思路！速看 今天，林紫给大家整理了初中数学三年重点考点梳理，帮你理清思路！速看。 初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 （1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。 【考察内容】复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。 （2）整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。 【考察内容】 ①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式，平方差公式的几何意义 ③利用提公因式法和公式法分解因式。 （3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有（归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。 【考察内容】 ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 （4）几何：角和线段，为下册学三角形打基础 初一下册 相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式 组和数据库的收集整理与描述。 （1）相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空，选择题形式出现。分值为3-4分，难易度为易。 【考察内容】 ①平行线的性质（公理） ②平行线的判别方法 ③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。 （2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。 【考察内容】 ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 （3）二元一次方程组：中考分值约为3-6分，题型主要以选择，解答为主，难易度为中。 【考察内容】
七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一、知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统 称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ?????????负分数 负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数 分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数 大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.
初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
一、蝴蝶定理的发展历程简介：。 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q，则PM＝QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。笔者结合自己的证明和收集别人的研究，整理证法十种，以飨读者。 证法1 （证∠POM＝∠QOM） 作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OM⊥AB且OGPM四点共圆。 ∴∠POM＝∠PGM…①。同理，∠QOM＝∠QHM…② ∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE ∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH ∠F＝∠D ∴△MFG∽△MDH，∴∠MGF＝∠MHD…③
由①②③得：∠POM＝∠QOM ∴PM＝QM 证法2 （作△PMD′≌△QM D） 作C关于直线OM的对称点C＇连C＇M交⊙O于D＇，则AC弧＝BC＇弧，MD＇＝MD，∠PMD＇＝∠QMD ∠CPM＝0.5AF弧＋0.5BC＇C弧＝0.5AF弧＋0.5AC弧＋0.5CC＇弧＝0.5FCC＇弧＝∠FD＇M 从而PFD’M四点共圆。 ∴∠PD’M＝∠PFM＝∠D ∴在△PD’M与△QDM中 ∠PD’M＝∠D MD’＝MD ∠PMD’＝∠QMD ∴△PMD’≌△QMD ∴PM＝QM 证法3 （利用梅氏定理） 延长CF、ED相交于G点。
初中数学知识点：知识要点总汇有理数的加法运算 同号两数来相加，绝对值加不变号。 异号相加大减小，大数决定和符号。 互为相反数求和，结果是零须记好。 【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。 有理数的减法运算 减正等于加负，减负等于加正。 有理数的乘法运算符号法则 同号得正异号负，一项为零积是零。 合并同类项 说起合并同类项，法则千万不能忘。 只求系数代数和，字母指数留原样。 去、添括号法则 去括号或添括号，关键要看连接号。 扩号前面是正号，去添括号不变号。 括号前面是负号，去添括号都变号。 解方程 已知未知闹分离，分离要靠移完成。 移加变减减变加，移乘变除除变乘。 平方差公式 两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。完全平方公式 二数和或差平方，展开式它共三项。首平方与末平方，首末二倍中间放。和的平方加联结，先减后加差平方。完全平方公式 首平方又末平方，二倍首末在中央。和的平方加再加，先减后加差平方。解一元一次方程 先去分母再括号，移项变号要记牢。同类各项去合并,系数化“1”还没好。求得未知须检验，回代值等才算了。解一元一次方程 先去分母再括号，移项合并同类项。系数化1还没好，准确无误不白忙。因式分解与乘法 和差化积是乘法，乘法本身是运算。积化和差是分解，因式分解非运算。因式分解 两式平方符号异，因式分解你别怕。两底和乘两底差，分解结果就是它。两式平方符号同，底积2倍坐中央。
因式分解能与否，符号上面有文章。 同和异差先平方，还要加上正负号。 同正则正负就负，异则需添幂符号。 因式分解 一提二套三分组，十字相乘也上数。 四种方法都不行，拆项添项去重组。 重组无望试求根，换元或者算余数。 多种方法灵活选，连乘结果是基础。 同式相乘若出现，乘方表示要记住。【注】一提（提公因式）二套（套公式）因式分解 一提二套三分组，叉乘求根也上数。 五种方法都不行，拆项添项去重组。 对症下药稳又准，连乘结果是基础。 二次三项式的因式分解 先想完全平方式，十字相乘是其次。 两种方法行不通，求根分解去尝试。 比和比例 两数相除也叫比，两比相等叫比例。 外项积等内项积，等积可化八比例。 分别交换内外项，统统都要叫更比。 同时交换内外项，便要称其为反比。
初中数学几何证明题及参考答案 几何证明题是初中学生在学习数学时需要掌握的重点知识。为了帮助初中生学会几何证明题，下面就是给大家的初中几何证明题，希望大家喜欢。 己知M是△ABC边BC上的中点，,D,E分别为AB,AC上的点，且DM⊥EM。 求证:BD+CE≥DE。 延长EM至F,使MF=EM,连BF. ∵BM=CM,∠BMF=∠CME, ∴△BFM≌△CEM(SAS), ∴BF=CE， 又DM⊥EM，MF=EM, ∴DE=DF 而∠DBF=∠ABC+∠MBF=∠ABC+∠ACB<180°， ∴BD+BF>DF， ∴BD+CE>DE。 己知M是△ABC边BC上的中点，,D,E分别为AB,AC上的点，且DM⊥EM。 求证:BD+CE≥DE 如图 过点C作AB的平行线，交DM的延长线于点F;连接EF 因为CF//AB
所以，∠B=∠FCM 已知M为BC中点，所以BM=CM 又，∠BMD=∠CMF 所以，△BMD≌△CMF(ASA) 所以，BD=CF 那么，BD+CE=CF+CE (1) 且，DM=FM 而，EM⊥DM 所以，EM为线段DF的中垂线 所以，DE=EF 在△CEF中，很明显有CE+CF>EF (2) 所以，BD+CE>DE 当点D与点B重合，或者点E与点C重合时，仍然采用上述方法，可以得到BD+CE=DE 综上就有：BD+CE≥DE。 证明因为∠DME=90°，∠BMD 截取BF=BC/2=BM=CM。连结DF,EF。 易证△BMD≌△FMD，△CME≌△FME 所以BD=DF，CE=EF。 在△DFE中，DF+EF≥DE，即BD+CE≥DE。 当F点落在DE时取等号。 另证
蝴蝶定理的证明 定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得 2 2 FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=? ()()()()2 2 22 PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -= =-+-- 化简上式后得ME=MF 。[2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 图 2 图 3 图 4
三角形证明题练习 1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 与D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是（ ） 2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ） 3．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=8cm ，AC=6cm ，则 S △ABD ：S △ACD =（ ） 4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE 的度数 为（ ） 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，且D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为（ ） 6．如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠AOD ，若∠AOC=35°，则∠BOD 等于（ ） 7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交BC 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（ ） 8．如图，已知BD 是△ABC 的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（ ） 9．在Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE=3.8cm ，则BC 等于（ ） A ． 13 B ． 10 C ． 12 D ． 5 A ． 5个 B ． 4个 C ． 3个 D ． 2个 A ． 4：3 B ． 3：4 C ． 16：9 D ． 9：16 A ． 70° B ． 80° C ． 40° D ． 30° A ． 30° B ． 36° C ． 40° D ． 45° A ． 145° B ． 110° C ． 70° D ． 35° A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 A ． 2 B ． 3 C ． 6 D ． 不能确定
摘要 蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。 关键词：蝴蝶定理；证明；推广； 一摘要 [1]作者简介：陈富，祖籍江苏泰州，现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。 [2]指导老师简介：刘东南，祖籍湖南邵阳，现任湖南工业大学讲师。
在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。 如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M 点不再是中点，能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。 二 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何 方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ?? ，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1] 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 M B F E D M ∠=∠ ○2 图 2 图 3
中考数学重点知识点及重要题型 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=3 2-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21 -x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.
6．抛物线2 ) 1(2 12 +-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.