注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．
上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：
柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1
．函数()ln f x x =+的定义域为 ▲ ．
2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i （i 为虚数单位，a ∈R ）．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[)300,350内的学生人数共有 ▲ 人．
4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ． 5．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，3a ，7a 成等比数列，则1
a d
的值为 ▲ ． 6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．
7．函数()sin()(,,f x A x A ω?ω?=+为常数，0,0,0)A ω?π>><<的图象如下图所示，则()3
f π
的值
是 ▲ ．
南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试
数 学 试 题
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()22221,x y a b a b
-=>>00的两条渐近线与抛物线2
4y x =的准
线相交于,A B 两点．若AOB △的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ． 9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．
10．已知211||1,||2,,,324
OA OB AOB OC OA OB π==∠==+
则OA 与OC 的夹角大小为
▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，过点()5,3P 作直线l 与圆2
2
4x y +=相交于,A B 两点，若OA ⊥OB ，
则直线l 的斜率为 ▲ ．
12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，2
()f x x =，当x ＞0时，(1)()(1)f x f x f +=+．若
直线y =k x 与函数()y f x =的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．
13．在ABC △中，点D 在边BC 上，且2DC BD =，AB :AD :AC ＝3:k :1，则实数k 的取值范围为
▲ ．
14．设函数()sin cos f x ax x x =++．若函数()f x 的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线()
y f x =在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ， PA ⊥PB ，BP BC =，E 为PC 的中点．
（1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ．
16．(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的
正半轴，终边与单位圆O 交于点()11,A x y ，,42ππα??
∈ ???
．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转4π，
交单位圆于点()22,B x y ． （1）若13
5
x =
，求2x ； （2）过,A B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记AOC △及BOD △的面积分别为1S ，2S ，且
124
3
S S =，求tan α的值．
17．(本小题满分14分)
如图，经过村庄A 有两条夹角为60
的公路,,AB AC 根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂
P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N (异于村庄A )，
要求
2P M P N M N
=== (单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声
对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．
18．(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(x y C a a b
+=＞b ＞0）的左、右焦点分别为12,,F F 焦距
为2,一条准线方程为2x =．P 为椭圆C 上一点，直线1PF 交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若点P 的坐标为()0,b ，求过2,,P Q F 三点的圆的方程；
（3）若11F P QF λ= ，且1,22λ??
∈????
，求OP OQ
的最大值．
19．(本小题满分16分)
已知函数(),,x
ax b f x e a b x
+=
∈R ，且a ＞0． （1）若2,1,a b ==求函数()f x 的极值；
（2）设()(1)()x
g x a x e f x =--．
① 当1a =时，对任意()0,x ∈+∞，都有()g x ≥1成立，求b 的最大值； ② 设()g x '为()g x 的导函数，若存在x ＞1，使()()0g x g x '+=成立，求b
a
的取值范围．
20．(本小题满分16分)
已知数列{}n a 的各项都为正数，且对任意n ∈N *21221,,,n n n a a a -+成等差数列，22122,,n n n a a a ++成等比数列．
（1）若251,3,a a ==求1a 的值；
（2）设1a ＜2a ，求证：对任意n ∈N *，且n ≥2，都有1n n a a +＜2
1
a a ．
南京市2014届高三年级第二次模拟考试
数学附加题 2014.03
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．
上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝??????
1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝????
??21．
（1）求矩阵A ；
（2）若A ??????x y ＝????
??
a b ，求x ，y 的值．